专题21.3一元二次方程的解法：公式法-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典(解

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题21.3一元二次方程的解法：公式法
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•青山区期末）方程x（x﹣1）＝2的两根为（）
A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
【解析】：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
△＝1+8＝9＞0
∴x=1±√9 2
解得x1＝﹣1，x2＝2．故选D．
2．（2020秋•盐城期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）
A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，8
【分析】整理为一般式即可得出答案．
【解析】：∵3x2﹣4x＝8，
∴3x2﹣4x﹣8＝0，
则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，
故选：B．
3．（2019秋•宜城市期中）x=−4±√42−4×2×1
2×2是下列哪个一元二次方程的根（）
A．2x2+4x+1＝0B．2x2﹣4x+1＝0C．2x2﹣4x﹣1＝0D．2x2+4x﹣1＝0【分析】根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论．
【解析】：解一元二次方程的公式为
x=−b±√b2−4ac
2a．
所以a＝2，b＝4，c＝1．
所以方程为2x2+4x+1＝0
故选：A．
4．（2020秋•松桃县期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2﹣2x+1＝0C．2x2﹣x﹣1＝0D．2x2﹣x+1＝0【分析】根据判别式即可求出答案．
【解析】：（A）△＝4，故选项A有两个不同的实数根；
（B）△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；
（C）△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；
（D）△＝1﹣8＝﹣7，故选项D没有两个不同的实数根；
故选：D．
5．（2020•福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+√b2+4
2，x2=
−b−√b2+4
2，
下列判断一定正确的是（）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝﹣1D．c
a
=−1【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．
【解析】：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=−b+√b2−4ac
2a，x2=
−b−√b2−4ac
2a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+√b2+4
2，x2=
−b−√b2+4
2，
∴x1+x2＝﹣b=−b
a，x1•x2=
c
a
=−1，
∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，
故选：D．
6．（2020春•广陵区校级期中）用公式法解方程√2x2+4√3x＝2√2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16B．±4C．32D．64
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可．
【解析】：∵√2x2+4√3x＝2√2，
∴√2x2+4√3x﹣2√2=0，
∴a=√2，b＝4√3，c＝﹣2√2，
∴b2﹣4ac＝（4√3）2﹣4×√2×（﹣2√2）＝64；
7．（2019秋•连城县期中）已知α是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（ ） A ．2＜α＜3
B ．1.5＜α＜2
C ．1＜α＜1.5
D ．0＜α＜1
【分析】先求出方程的解，再估算出√5的范围，求出1+√52
的范围，即可得出选项．
【解析】：解方程x 2﹣x ﹣1＝0得：x 1=1+√52，x 2=1−√5
2
， 即a =
1+√5
2
， ∵2＜√5＜3， ∴3＜1+√5＜4， ∴3
2＜
1+√52
＜2，
即1.5＜a ＜2， 故选：B ．
8．（2021春•龙口市期中）观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A ．1.5＜x ＜1.6
B ．1.6＜x ＜1.7
C ．1.7＜x ＜1.8
D ．1.8＜x ＜1.9
【分析】根据公式法求出方程的解，进一步根据2.2＜√5.4＜2.4，依此即可求出一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围． 【解析】：x 2﹣x ＝1.1， x 2﹣x ﹣1.1＝0，
△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4， x =
1±√5.4
2
， x 1=
1+√5.42，x 2=1−√5.4
2
， ∵2.2＜√5.4＜2.4， ∴3.2＜1+√5.4＜3.4， ∴1.6＜
1+√5.4
2
＜1.7， 即一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是1.6＜x ＜1.7．
9．（2020秋•遂宁期末）如果关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞−1
4
B ．a ≥−1
4
C ．a ≥−1
4且a ≠0
D ．a ＞−1
4且a ≠0
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围．
【解析】：∵关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴{a ≠0△=12−4×a ×(−1)＞0， ∴a ＞−1
4
且a ≠0． 故选：D ．
10．（2021春•中原区校级月考）定义新运算“a *b ”对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（ ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根
【分析】利用新定义得到（x +k ）（x ﹣k ）﹣1＝x ，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．
【解析】：∵x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程， ∴（x +k ）（x ﹣k ）﹣1＝x ， 整理得x 2﹣x ﹣k 2﹣1＝0， ∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k 2﹣1） ＝4k 2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2019•西藏）一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的根是 x 1=
1+√52，x 2=1−√5
2
． 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【解析】：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，
x =1±√5
2×1， 所以x 1=
1+√52，x 2=1−√5
2
． 故答案为x 1=
1+√52，x 2=1−√5
2
． 12．（2020秋•宛城区校级月考）已知x =−b+√b 2
−4c 2（b 2﹣4c ≥0），则式子x 2
+bx +c 的值是 0 ． 【分析】把x =−b+√b 2
−4c 2代入代数式x 2+bx +c ，再进行化简即可．
【解析】：∵x =−b+√b 2−4c 2
（b 2
﹣4c ≥0）， ∴x 2
+bx +c ＝（
−b+√b 2−4c
2
）2
+b •
−b+√b 2−4c
2
+c
=b 2
−2b √b 2
−4c+b 2
−4c 4+−2b 2
+2b √b 2
−4c 4+4c 4 =b 2
−2b √b 2
−4c+b 2
−4c−2b 2
+2b √b 2
−4c+4c 4
＝0， 故答案为：0．
13．（2020秋•云县校级期末）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为 ﹣1 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2﹣4ac ＝0，建立关于k 的等式，求出k 的值．
【解析】：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝4+4k ＝0， 解得k ＝﹣1， 故答案为﹣1．
14．（2020秋•长春期末）若关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0无实数根，则k 的取值范围是 k ＞1 ． 【分析】根据判别式的意义得到△＝22﹣4k ＜0，然后解不等式即可． 【解析】：根据题意得△＝b 2﹣4ac ＝22﹣4k ＜0， 解得k ＞1． 故答案为：k ＞1．
15．（2021•浦东新区二模）如果关于x 的方程x 2+3x ﹣k ＝0没有实数根，那么k 的取值范围是 k ＜−9
4 ． 【分析】根据判别式的意义得到△＝32﹣4×（﹣k ）＜0，然后解不等式即可．
【解析】：根据题意得△＝32﹣4×（﹣k）＜0，
解得k＜−9 4．
故答案为：k＜−9 4．
16．（2021•长丰县模拟）定义a⊗b={a(a−b≤1)，
b(a−b＞1).
比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]
﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是k≥1．
【分析】先根据定义对方程进行分两种情况讨论．第一种情况是x2﹣（x+1）≤1时，解出﹣1≤x≤2．方
程变为kx2﹣1＝0有两个不等实数根，△＞0，代入可以解出k＞0．而方程的根可以解出为±√1
k，这个
值需要满足﹣1≤x≤2，再代入求解得到k≥1．第二种情况是x2﹣（x+1）＞1，方程变为k（x+1）﹣1＝0．当k≠0时，是一元一次方程，只有一个实数解，与题意矛盾；当k＝0，方程不存在．综上所述，k ≥1．
【解析】：（1）当x2﹣（x+1）≤1时，方程变为kx2﹣1＝0．
∵方程变为kx2﹣1＝0有两个不等实数根，
∴△＞0，即△＝4k＞0，k＞0．
∴方程的解为x＝±√1 k．
又∵x2﹣（x﹣1）≤1，∴﹣1≤x≤2，
∴﹣1≤−√1
k＜
√1
k
≤2，解出k≥1．
（2）当x2﹣（x+1）＞1时，方程变为k（x+1）﹣1＝0．
因为k≠0时，此方程是一元一次方程方程，不可能有两个不等实数根，k＝0时，方程不存在，所以这种情况舍去．
故答案为：k≥1．
17．（2021•海城市模拟）关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≤2．【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当k﹣1＝0时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即k＝1符合题意；当k﹣1≠0时，由根的判别式△≥0，可求出k的取值范围．综上即可得出结论．
【解析】：当k﹣1＝0，即k＝1时，原方程为2x﹣2＝0，
解得：x＝1，
∴k＝1符合题意；
当k﹣1≠0，即k≠1时，有△＝22﹣4×（k﹣1）×1≥0，
解得：k≤2且k≠1．
综上所述：k的取值范围是k≤2．
故答案为：k≤2．
18．（2020•浙江自主招生）关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，则整数a＝0或1或﹣1或2或3．
【分析】分两种情况讨论：当a＝1时，x＝1；当a≠1时，△＝4a2≥0，x1+x2=
2
1−a，再由已知，可得1
﹣a＝±1，1﹣a＝±2，求出a的值即可．【解析】：当a＝1时，2x﹣2＝0，
解得x＝1；
当a≠1时，（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0，
△＝4a2≥0，
x1+x2=
2
1−a，x1•x2=
a+1
1−a
=−1−2a−1，
∵根都是整数，
∴1﹣a＝±1，1﹣a＝±2，
∴a＝0或a＝2或a＝﹣1或a＝3，
故答案为0或1或﹣1或2或3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•夏邑县期末）解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式求方程的解．
【解析】：（1）x2+2x﹣15＝0，
（x+5）（x﹣3）＝0，
x+5＝0或x＝3，
所以x1＝3，x2＝﹣5；
（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，
∴x=4±√8
4
=4±2√2
4，
即x1=2+√2
2，x2
=2−√2
2．
20．（2019秋•广汉市期末）解方程
（1）用配方法：x2﹣8x﹣2＝0．
（2）用公式法：（2x﹣1）（x+3）＝﹣5．【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解析】：（1）∵x2﹣8x＝2，
∴x2﹣8x+42＝2+42，
∴（x﹣4）2＝18，
∴x﹣4＝±√18，
则x1＝4+3√2，x2＝4﹣3√2；
（2）整理得：2x2+5x+2＝0，
∴b2﹣4ac＝52﹣4×2×2＝9，
∴x=−b±√b2−4ac
2a
=−5±√9
2×2，
则x1=−1
2，x2＝﹣2．
21．（2020春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1＝0．（1）当k＝1时，求此方程的根；
（2）若此方程有两个实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）先写k＝1时的方程，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可．【解析】：（1）当k＝1时，x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3；
（2）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤13 4．
22．（2019秋•东莞市校级期末）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．
【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）取m＝0时，得到方程x2﹣1＝0，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，
∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）解：当m＝0时，方程x2﹣mx+m﹣1＝0为方程x2﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
故m＝0时，方程的根是x1＝﹣1，x2＝1．
23．（2020秋•曾都区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得m的取值范围；
（2）利用配方法求解即可．
【解析】：（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4m＞0．
解得m＜3；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1+√2，x2＝1−√2．
24．（2020春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该
方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．。