不等式的比较掌握大小关系的判断
不等式的基本性质(一)
不等式的基本性质（一）一、教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．二、教学重点：比较两实数大小．三、教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号四、教学过程：1、 复习：不等式的基本性质 1 ：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质 2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的基本性质 3 ：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变3、作差法：b a b a ba b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-0004、例题分析：cb c a b a ±>±>，则即：若()0,>>⋅>⋅>c c b c a c b c a b a ，则即：若()0,<<⋅<⋅>c cb c a c b c a b a ，则即：若例2 对任意实数 x ，比较（x +1)(x +2) 与 (x -3)(x +6) 的大小 ．练习1、练习2、例3：()()()()22221111a a a a a a +-+++-+比较与的大小练习3：111,1b 1a b a <<--若比较与的大小例4： 的大小与比较且如果22,0++>>a b a b b a a 的大小（与试比较（若)g )(,12)(,13)22x x f x x x g x x x f -+=--=()()()()()()()()(){()的解析式。
求设x h x h x x x g x x x g x f x f x g x f x g ,,.,22,12,13x f ≥<=-+=--=练习4：例5：练习5：似曾相识：的大小与比较122-+++b a ab b a ()的大小与比较52222-++b a b a 的大小与比较且改为：把例)0(,,04>++>>m m a m b a b b a a ()()()上的单调性。
四个不等式的大小关系
四个不等式的大小关系一种数学知识，一个重要的概念，也是数学中最基础也最重要的概念之一。
不等式就是说两个实数之间的大小关系，它分为大于(>)、小于(<)、大于等于(>=)和小于等于(<=)四种，其中大于和小于组成不等式，而大于等于和小于等于组成等式。
在数学中，等式(=)以及它的变种有助于解题，而不等式(>)和(<)则可以帮助我们比较两个数值之间的大小关系，也可以帮助我们确定位置。
在实际问题中，不等式经常出现，例如它可以用来比较两个条件，用来判断一个条件是否满足，甚至可以用来表达平衡关系。
大于号(>)及其大于等于号(>=)的用法：1.果A > B，则表明A的值要大于B的值，例如，在数学中，如果有一个数字是 6，另一个数字是 3，则可以表示为6 >3。
2. 果A > B，则A必须大于等于B，例如，当需要满足一个条件时，可以通过判断 A > B情况来判断是否满足，如“要购买车票，年龄必须大于18岁”，则可以表示为“年龄 >=18”。
3.果A>=B，则A的值可以等于B的值，例如，当要确认一组数字中某个数值等于另一个数值时，可以使用 A>=B表达方式，例如：“数字A（A>=B）与B相等”，表示A的值等于B的值。
小于号(<)及其小于等于号(<=)的用法：1.果A < B，则表明A的值比B的值小，例如，在数学中，如果有一个数字是3，另一个数字是6，则可以表示为3 < 6。
2. 果A < B，则A必须小于等于B，例如，当需要满足一个条件时，可以通过判断 A < B情况来判断是否满足，如“要购买车票，年龄必须小于12岁”，则可以表示为“年龄 <=12”。
3.果A<=B，则A的值可以等于B的值，例如，当要确认一组数字中某个数值等于另一个数值时，可以使用 A<=B表达方式，例如：“数字A（A<=B）与B相等”，表示A的值等于B的值。
不等式比较大小-高中数学知识点讲解
不等式比较大小1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法푏2푎2典例 1：若a＜0 ，b＜0 ，则p =+q＝a b푎푏与的大小关系为（）A．p＜q B．p q C．p＞q D．p q푏2푎2푏2―푎2푎2―푏21解：=+―a =+푎―p﹣q ﹣b =（b2﹣a2）⋅(푎푏푎푏1푏)=(푏2―푎2)(푏―푎)푎푏=(푏―푎)2(푎+푏)，푎푏Q a＜0，b＜0，a b＜0，ab＞0，若，则，此时，a＝b p﹣q＝0 p＝q若，则，此时，a b p﹣q＜0 p＜q综上，p q故选：B1/ 2方法二：利用函数的单调性―1―1―2266典例 2：三个数(5，(5，(5)5)5)5的大小顺序是（）―1―2―1―2―1―1―1―1―2―1―1―2 662662626626 A．(5)5)5＜(5)5)5)5)5)5)5)5)5)5) 5＜(5B．(5＜(5＜(5C．(5＜(5＜(5D．(5＜(5＜(5―1―266解：由指数函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―126由幂函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―1―2266则(5＞(5)5)5)5＞(5，―2―1―1662故(5＜(5＜(5，5)5)5)故选：B ．2/ 2。
认识不等式和大小关系
认识不等式和大小关系不等式是数学中一种重要的关系符号表示方式，用于描述数值大小之间的关系。
在解决实际问题中，对不等式的认识和运用至关重要。
本文将介绍不等式的定义、性质以及它们与大小关系的应用。
一、不等式的定义和性质不等式是用不等号（<，>，≤，≥）表示的数值大小关系，分为严格不等式和非严格不等式。
严格不等式中不等号两侧的值不能相等，例如x > y；非严格不等式中不等号两侧的值可以相等，例如x ≥ y。
不等式具有以下性质：1. 反身性：对于任意实数x，有x = x。
2. 对称性：如果x > y，则y < x；如果x ≥ y，则y ≤ x。
3. 传递性：如果x > y，y > z，则x > z；如果x ≥ y，y ≥ z，则x ≥ z。
4. 加法性：如果x > y，则x + z > y + z；如果x ≥ y，则x + z ≥ y + z，其中z为任意实数。
二、大小关系的判断在不等式中，常常需要通过比较关系来判断数值的大小。
以下是常见的判断方法：1. 单个变量的不等式：对于单个变量的不等式，可以通过计算来判断其大小关系。
例如，对于不等式2x - 5 > 0，可以将不等式转化为等式2x - 5 = 0，求得x = 2.5，然后判断2x - 5在x = 2.5两侧的取值情况，从而确定不等式的解集为x > 2.5。
2. 两个变量的不等式：对于含有两个变量的不等式，通常需要先将其化简为一元不等式或者求解解集。
可以通过互换变量的位置，并通过图像、计算等方法来判断大小关系。
例如，对于不等式x^2 - y^2 > 0，可以将其化简为(x + y)(x - y) > 0，然后通过绘制函数图像或者列举取值表来判断不等式的解集为x + y > 0且x - y > 0。
3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一种常见的不等式类型，含有绝对值符号。
不等式的计算规律口诀
不等式的计算规律口诀不等式是数学中一种重要的表达式形式，它描述了数值之间的大小关系。
在解决实际问题时，我们经常会遇到不等式的计算和简化。
为了更好地掌握不等式的计算规律，我们可以借助口诀来帮助记忆。
下面是不等式的计算规律口诀：一、加减法口诀：1. 当不等式两边同时加减一个数时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边同时加减一个负数时，不等号方向相反。
二、乘除法口诀：1. 当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边同时乘以一个负数时，不等号方向相反。
3. 当不等式两边同时除以一个正数时，不等号方向不变。
4. 当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向相反。
三、乘方口诀：1. 当不等式两边同时取平方时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边同时取平方根时，不等号方向不变，但需要注意正负号的情况。
四、绝对值口诀：1. 当不等式两边的绝对值相等时，不等号方向不变。
2. 当不等式两边的绝对值不等时，不等号方向可能发生改变，需要仔细判断。
五、分式口诀：1. 当不等式两边的分式取倒数时，不等号方向相反。
六、倒数口诀：1. 当不等式两边的倒数取倒数时，不等号方向不变。
七、开方口诀：1. 当不等式两边同时开方时，不等号方向不变，但需要注意正负号的情况。
八、综合运用口诀：1. 当不等式中同时包含加减、乘除、乘方、绝对值、分式、倒数、开方等多种运算时，根据不等式计算规律的先后顺序，逐步进行运算。
九、解不等式的步骤口诀：1. 将不等式化简为等式或不等式的组合形式。
2. 确定不等式的解集的方向性。
3. 判断不等式的解集是否为空集。
4. 判断不等式的解集是否为有限集或无限集。
以上口诀是解决不等式计算过程中的一些基本规律，通过熟练掌握这些规律，我们可以更加灵活地运用不等式来解决实际问题。
同时，需要注意的是，在不等式计算过程中，要遵循数学规律，严格按照口诀的要求进行计算，以确保结果的准确性。
教案二：小学一年级下册数学,学习不等式以及大小比较
作为小学一年级下册数学中的重要一环，学习不等式以及大小比较可谓是培养健康数学思想的必修课。
通过学习，孩子们可以了解数值的关系、掌握数字排序的方法，还能进一步激发他们对数学的学习兴趣。
我们该如何教授小学生不等式以及大小比较呢？一、教学目标1.能够正确使用不等式符号，如“<”、“>”、“≤”、“≥”，并掌握数字的大小关系。
2.能够比较两个数的大小，并根据大小确定大小关系。
3.能够掌握大小比较的基本思路和方法，并能在数学应用题中正确运用。
二、教学内容一、认识不等式符号我们需要教授孩子们四种不等式符号。
在学习的过程中，也应该引导孩子们了解符号的含义和使用方法。
1.“<” 表示小于。
2.“>” 表示大于。
3.“≤” 表示小于等于。
4.“≥” 表示大于等于。
二、认识数字的大小关系在掌握不等式符号后，我们需要引入数字的大小比较，让孩子们了解哪些数字是大的，哪些数字是小的，并且掌握数字大小之间的关系。
例如，让孩子们比较 5 和 3 的大小。
让孩子们看一下这两个数字，问他们哪一个数字更大。
当孩子们给出答案时，让他们解释答案的依据，并且检查答案是否正确。
三、学习大小比较的方法当孩子能够正确地比较两个数字的大小后，我们需要引导他们理解大小比较的基本思路和方法。
孩子们需要掌握数字的基本大小关系，例如：1.对于任何的整数 n，n + 1 都是比 n 大的。
2.当 n 越大，n² 也越大。
3.首位数相同的两个数字，百位上数字越大，这个数就越大。
与此同时，我们还应该将大小比较融入到数学应用题中。
例如，让孩子们解决如下问题：1.班级里有 34 个男生和 28 个女生，男生人数是女生人数的 __%。
2.请你根据题目所给的条件，判断“小明比小李大”这个说法是否正确，并说明原因。
通过训练，孩子们可以掌握大小比较的基本思路和方法，并能通过解题训练提高运用能力。
四、教学方法教学方法包括讲述、示范法、探究式教学、练习巩固等多种方式。
不等式计算方法
不等式计算方法不等式是数学中常见的一种基本概念，它表示两个数或多个数之间的大小关系。
不等式计算方法有很多种，下面我将详细介绍几种常用的方法。
一、比较法比较法是最基本的不等式计算方法之一，通过比较两个数或多个数的大小，来判断它们之间的大小关系。
比较法可以分为直接比较法和作差比较法。
直接比较法是通过观察两个数的大小关系来直接判断不等式的真假。
作差比较法是通过计算两个数的差值，然后判断差值与零的大小关系，从而判断原不等式的真假。
二、综合法综合法是一种基于已知的不等式和代数性质来推导出新的不等式的方法。
综合法通常需要结合代数运算和不等式的性质，通过逻辑推理来得出结论。
综合法的基本步骤包括：已知不等式、应用代数性质、推导新的不等式。
三、分析法分析法是一种基于不等式的性质来分析问题的方法。
通过分析不等式的结构、性质和变量之间的关系，可以找出解决问题的线索。
分析法通常用于解决一些结构复杂、涉及多个变量和条件的不等式问题。
分析法的基本步骤包括：分析不等式的结构、找出关键点、应用性质解决不等式。
四、反证法反证法是一种通过假设某个不等式不成立，然后推导出矛盾，从而证明不等式成立的方法。
反证法的基本步骤包括：假设反面命题、推导出矛盾、得出结论。
反证法通常用于解决一些难以直接证明的不等式问题。
五、数学归纳法数学归纳法是一种通过归纳和总结不等式的规律来证明不等式的方法。
数学归纳法的基本步骤包括：归纳基础、归纳假设、归纳步骤。
归纳基础是指将问题简化到最基本的形式，归纳假设是指假设某个不等式对某个自然数成立，归纳步骤是指通过归纳假设和代数性质来证明不等式对所有自然数都成立。
数学归纳法通常用于解决一些具有规律性的不等式问题。
除了以上几种常用的方法外，还有一些特殊的解法，如放缩法、构造法等。
这些方法可以根据具体的问题和条件选择使用，有时需要综合运用多种方法来解决复杂的不等式问题。
在解决不等式问题时，需要注意一些常见的问题和陷阱，如不等式的定义域、等号成立的条件等。
基本不等式公式四个大小关系
基本不等式公式四个大小关系基本不等式（basicinequality）是数学中比较运算中的重要组成部分，它用来表示两个不同的数值之间的大小关系。
不等式法则通常有四种：大于(>)、小于(<)、大于等于(>=)和小于等于(<=)。
大于 (>)此规则表示大于，它比较两个数字的大小，前者要大于后者，即a>b。
例如，5>3表示5大于3。
小于 (<)此规则表示小于，它比较两个数字的大小，前者要小于后者，即a<b。
例如，3<5表示3小于5.大于等于 (>=)此规则表示大于等于，它比较两个数字的大小，前者要大于等于后者，即a≥b。
例如，5≥3表示5大于等于3.小于等于 (<=)此规则表示小于等于，它比较两个数字的大小，前者要小于等于后者，即a≤b。
例如，3≤5表示3小于等于5.基本不等式的概念和定义都非常简单，但它常被用来解决复杂的问题。
在很多学科中，基本不等式不仅仅是简单地用来比较两个数字的大小，而且它可以表达一系列复杂的约束条件，有助于解决许多复杂问题。
例如，在线性规划中，基本不等式可以用来确定变量的取值范围，以便优化模型的性能。
此外，基本不等式也可以用于概率和统计学中，来推断一组数据的可能性分布情况。
基本不等式的应用就不能只局限于数学领域，它也可以用于其他领域，比如经济学、社会学、心理学等。
例如，经济学家可以利用基本不等式，来推断不同行业之间的条件，以及消费者在不同价格下的需求量。
心理学家可以利用基本不等式来推断人们在不同情境下的情绪变化。
而社会学家则可以利用基本不等式来探索不同社会阶层之间的差异。
综上，基本不等式的四个大小关系在很多学科中都有着广泛的应用，不仅仅是简单的用来比较两个数字的大小，而且可以表达一系列复杂的约束条件，以便解决复杂的问题。
它也可以被用于生活中各种复杂的情况，而这正是基本不等式的重大价值所在。
比较大小小学数学中的大小比较和不等式
比较大小小学数学中的大小比较和不等式在小学数学教学中，大小比较和不等式是学生需要掌握的重要概念。
通过比较大小和不等式的学习，学生可以培养出准确判断和推理的能力，为解决实际问题打下基础。
本文将就小学数学中的大小比较和不等式进行探讨。
一、大小比较大小比较是指对数值的大小进行比较判断的过程。
在小学数学中，学生通过掌握大小比较的方法，可以对数字、几何图形等进行大小的确定。
1.1 数字的大小比较在小学数学中，学生首先需要学会对数字进行大小比较的技巧。
比如，当给出两个数字11和18时，学生可以通过数值的大小来确定两者的大小关系。
显然，18大于11，因此可以写作18＞11。
同样，当给出数字10和12时，学生可以判断12＞10。
此外，还可以通过绘制数轴的方式来进行大小比较，比如将11和18标在数轴上，可以清晰地看出18在11的右侧，即18＞11。
1.2 几何图形的大小比较除了对数字进行大小比较外，小学生还需要学习对几何图形进行大小比较。
在几何图形的大小比较中，学生需要学习形状和大小的关系。
比如，在给定两个矩形时，学生需要判断哪个矩形的面积更大。
对于简单的矩形，可以通过比较长和宽的关系进行判断。
如果一个矩形的长和宽分别是3cm和4cm，另一个矩形的长和宽分别是4cm和5cm，我们可以看出，第二个矩形的面积更大，因为4×5大于3×4。
对于复杂的几何图形，学生可以利用图形的面积或周长进行大小比较。
二、不等式不等式是数学中用于表示两个数或两个表达式大小关系的符号。
在小学数学中，学生从简单的不等式关系入手，逐渐提高到复杂的不等式求解。
2.1 简单的不等式关系在小学数学中，学生首先学习了简单的不等式关系，如小于（<）、大于（>）、小于等于（≤）和大于等于（≥）。
这些不等式关系可以用于解决现实生活中的实际问题，如年龄、身高、温度等的比较。
比如，当我们需要比较两个人的年龄时，可以用不等式符号来表示，如10＞8表示一个人的年龄大于另一个人。
大于大的小于小的数学不等式
大于大的小于小的数学不等式：理解与解析数学不等式是数学中一个重要的概念，它描述了两个数之间的大小关系。
当我们说“大于大的”和“小于小的”时，其实是在讨论数学不等式的性质和特点。
本文将深入探讨这一主题，并分析其在数学中的应用。
一、大于大的在数学不等式中，“大于大的”意味着在一个不等式中，如果一个数比另一个数大，那么这个数也一定比其他数大。
例如，在不等式 x > 3 中，x 必须大于 3，否则不等式不成立。
这种性质在数学中非常重要，因为它可以帮助我们判断一个数是否满足某个条件。
例如，如果我们要求解一个不等式 x > 3，我们可以直接判断 x 是否大于 3，而不需要比较 x 与其他数的大小。
二、小于小的“小于小的”则是在一个不等式中，如果一个数比另一个数小，那么这个数也一定比其他数小。
例如，在不等式 x < 2 中，x 必须小于 2，否则不等式不成立。
这种性质同样在数学中非常重要。
当我们要求解一个不等式 x < 2 时，我们可以直接判断 x 是否小于 2，而不需要比较 x 与其他数的大小。
三、应用与实例1.解不等式：通过“大于大的”和“小于小的”的性质，我们可以直接判断一个数是否满足某个不等式的条件。
例如，对于不等式 x > 3，我们可以直接判断 x 是否大于 3，从而确定 x 是否满足该不等式的条件。
2.比较大小：在比较两个数的大小时，我们可以利用“大于大的”和“小于小的”的性质来判断它们的大小关系。
例如，如果 a > b > c，那么我们可以直接判断 a > c 和 b > c。
3.区间分析：在区间分析中，“大于大的”和“小于小的”的性质可以帮助我们确定一个数是否在一个特定的区间内。
例如，如果 x < 2 和 x > 1，那么我们可以确定 x 在区间(1, 2) 内。
四、结论与展望“大于大的”和“小于小的”的数学不等式是数学中一个重要的概念，它帮助我们理解数的大小关系和不等式的性质。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
作差法比较不等式大小
作差法比较不等式大小
《作差法比较不等式大小，真有那么难？》
嘿，同学们！今天咱们来聊聊作差法比较不等式大小这个事儿。
你们说，这是不是像个调皮的小怪兽，有时候让人头疼得不行？
就拿我前几天遇到的题目来说吧，“比较2x + 3 和x + 5 的大小”。
一开始，我看着这俩式子，心里那叫一个迷茫啊！这可咋比呢？后来老师一讲，原来是用作差法。
咱们先把这两个式子相减：（2x + 3）- （x + 5），算出来就是2x + 3 - x - 5 = x - 2 。
这时候就得看啦，如果x - 2 大于0 ，那不就说明2x + 3 大嘛；要是x - 2 小于0 ，那就是x + 5 大；要是等于0 呢，嘿，这俩就一样大！
你们想想，这作差法是不是就像一场比赛，两个式子在那里较量，而咱们就是裁判，通过计算它们的差值来判断谁胜谁负？
再比如说，比较3x - 1 和2x + 4 的大小。
咱们还是作差，（3x - 1）- （2x + 4）= 3x - 1 - 2x - 4 = x - 5 。
要是x - 5 大于0 ，那3x - 1 赢；小于0 呢，2x + 4 赢；等于0 ，平局！
我同桌当时还跟我抱怨：“这也太麻烦啦，我脑子都转不过来！”我就跟他说：“你别着急呀，多练几道题就会啦！” 就像咱们学骑自行车，一开始也觉得难，摔了几次不就学会了？
其实作差法比较不等式大小，只要咱们掌握了诀窍，多练习，也没那么可怕！它就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开不等式的神秘大门。
所以啊，同学们，别害怕作差法，勇敢地去挑战它，咱们一定能战胜这个小怪兽！。
初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质
初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质初中数学知识归纳——不等式的基本概念和性质不等式是数学中常见的一种关系表示方法，用于描述数值的大小关系。
在初中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，掌握不等式的基本概念和性质对于解题和拓展数学思维非常关键。
本文将对初中数学中不等式的基本概念、不等式的性质以及一些相关的解题方法进行归纳总结。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的两个数之间的大小关系。
例如，a < b表示a小于b，a > b表示a大于b，a ≤ b 表示a小于等于b，a ≥ b表示a大于等于b。
2. 不等式的解：对于单个不等式，解是使得不等式成立的数的取值范围。
解可以是有限集合，也可以是无限集合。
二、不等式的性质1. 不等式的传递性：对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。
这意味着如果不等式链中的不等号方向一致，则整个不等式链成立。
2. 不等式的加减性：对于不等式a < b和任意实数c，有a + c < b + c。
同样地，如果a > b，则有a - c > b - c。
这就是不等式的加减性质。
3. 不等式的乘除性：对于不等式a < b和正实数c，有ac < bc；如果a > b且c为负实数，则有ac > bc。
同样地，如果c为正实数，且a > b，则ac > bc。
这就是不等式的乘除性质。
4. 反向不等式：对于不等式a < b，取相反数得到-a > -b。
同样地，如果a > b，则-a < -b。
反向不等式是指改变不等号方向后得到的不等式。
三、不等式的解题方法1. 图解法：对于简单的不等式，可通过图形来解决。
将不等式表示的数轴上的点标出，并根据不等号表示的关系确定解的范围。
2. 存在性法：对于含未知数的不等式，可以通过判断某个特定数是否满足不等式，并验证该数范围的其他数是否满足不等式来确定解的范围。
不等式.版块一.不等式性质的应用1比较大小.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
版块一．不等式的性质1．用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式．2．对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中，有且仅有一种关系成立． 3．两个实数的大小比较：对于任意两个实数,a b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．作差比较法：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．其中符号⇔表示它的左边与右边能够互相推出．4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：如果,a b c d >>，则a c b d +>+．我们把a b >和c d >（或a b <和c d <）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1ab>，且0b <，则a b <．推论1：如果0,0a b c d >>>>，则ac bd >．推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 推论3：如果0a b >>,1)n n +>∈>N<教师备案>1． 对于任意两个实数,a b ，有0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．知识内容比较大小在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况．2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．版块二．均值不等式1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b,a b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： ⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==； ⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=， ∵,AC BC CD AB ⊥⊥∴CD 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，CODB A有2a bOC CD +=> 当且仅当a b =时，,O D两点重合，有2a bOC CD +=== 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），22112a b a b +⎝⎭+≥2a b +称为算术平均数，211a b+称为调和平均数．证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104-=⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b==++=0=211a b +，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．板块三．解不等式1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．2． 解不等式⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； ⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．b【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】选择【关键字】2010年，北京丰台1模 【解析】不妨设12,33a b ==，则2259a b +=，429ab =，69b =；于是排除选项A 、B 、C ．【答案】D ；【例2】 将232，1223⎛⎫⎪⎝⎭，122按从大到小的顺序排列应该是 ．【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2010年，北京东城1模【解析】12123222213⎛⎫>>> ⎪⎝⎭【答案】12123222213⎛⎫>>> ⎪⎝⎭【例3】 若52x =，23x =,x y 满足（ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =典例分析【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年，北京宣武2模【解析】容易有x y ==22+x y <．【答案】C ；【例4】 若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b aa b+> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）【考点】不等式性质的应用 【难度】星 【题型】填空【关键字】2010年，崇文2模 【解析】由题意有0a b >>，③不对；0a b ab +<<，故①正确；||||a a b b =-<-=，②不对；2b a a b +≥，但b a a b a b=⇒=，故等号不成立，④正确． 【答案】①，④；【例5】 已知,a b ∈R ，那么“||a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】选择【关键字】2010年，崇文2模【解析】22||||||a b a b a b >⇒>⇒>，反过来不成立． 【答案】A ；【例6】 若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b> B ．a b > C ．2b aa b +> D ．a b ab +>【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年，西城2模【解析】取2,1b a =-=-，容易排除选项A 、B 、D ，故选C ． 【答案】C ；【例7】 比较下列代数式的大小：⑴ 23x x +与2x -； ⑵ 61x +与42x x +；【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ ∵2223(2)22(1)10x x x x x x +--=++=++>，∴232x x x +>-；⑵ 642(1)()x x x +-+6421x x x =--+422(1)(1)x x x =---24(1)(1)x x =--222(1)(1)(1)x x x =--+222(1)(1)x x =-+，∴ 当1x =±时，6421x x x +=+；当1x ≠±时，6421x x x +>+ ∴6421x x x ++≥【答案】⑴ 232x x x +>-；⑵6421x x x ++≥【例8】 比较下列代数式的大小：⑴ 43x x y -与34xy y -；⑵（其中0xy >，且x y >） ⑶ x y x y 与y x x y （其中0,0,x y x y >>≠）．【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 433433222()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x xy y ---=---=-++2223()[()]024y x y x y =-++≥，故有4334x x y xy y --≥．⑵ x y >，0xy >>，∴330-<，∴33<，<． ⑶ 0x y >>时，1,0x x y y >->，∴()1x y xy->， 当0y x >>时，01,0x x y y <<-<，∴()1x y xy ->，∴()1x yx y->，即1x y y x x y x y >，又0y x x y >，∴x y y x x y x y >．【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】∵a b 、c 、d 均为正实数，且a b >，∴01b a <<，1a b >，01b c a c +<<+，1a db d +>+ ()0()a d a b a d b d b b b d +--=<++，()0()b b c c b a a a c a a c +--=<++， ∴,a d a b b c b d b a a c ++<<++，从而有b b c a d a a a c b d b ++<<<++． 【答案】b b c a d aa a cb d b++<<<++．【例10】 比较大小：log a ab、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】21a b a >>>，∴log 1a b >、0log 1b a <<、0log 1log 1b b b a a <=-<、log 1log 0a a ab b=-<， 再比较log b a 和log bba， 2log log log log 10b b b b b b a a a -=<=，故log log b b ba a <，∴log log log log a b b a a ba b b a <<<．【答案】log log log log a b b a a ba b b a<<<【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a bc d<【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ab ac >B ．a c b c >C ．ab bc >D ．()0a b c b -->【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】D ；【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】不等式性质的应用 【难度】3星【题型】选择 【关键字】无【解析】00c d bc ad a b ab-->⇔>，所以下列三个命题都成立： ①000ab c d bc ad a b >⎧⇒->⎨->⎩ ②000ab bc ad c d a b >⎧⎪⇒->⎨->⎪⎩③000bc ad ab c d a b->⎧⎪⇒>⎨->⎪⎩．【答案】D ；【例14】 ⑴已知：11,a b a b>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d ca b<．【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴利用不等式的性质，得：00111100a b a b ab a b a b b a ab >⇒->⎫⎪⇒<-⎬>⇒-<⇒<⎪⎭00,0.ab a b a b <⎫⇒><⎬>⎭⑵∵0a b >>，∴0ab >，故10ab>， 又0a b >>，∴110a b ab b ab a =>=>，又0c d >>，∴c db a >．【例15】 设a ∈R ，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】A ；【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B C ．22a b < D ．||||a b > 【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】显然00a b <>，，但无法判断a b -，与||||a b ，的大小． 【答案】A ；【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，新课标广东高考【解析】利用赋值法：令1,0a b ==排除A ，B ，C ． 【答案】D ；【例18】 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】110a b <<0b a ⇒<<，从而A ，B 正确；又10b <，有01ab<<，故C 正确 ；因为a b ，同号，有a b a b +=+，故D 错误．【答案】D【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．11a b >和11||||a b >均不能成立 B ．11a b a >-和11||||a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立D ．不等式11||||a b >和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立 【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】∵0b <，∴0b ->，∴a b a ->，又∵0a b -<，0a <，∴11a b a<-． 故11a b a>-不成立． ∵0a b <<，∴a b >，∴11||||a b <，故11||||a b >不成立．由此可知B 正确． 又∵0a b <<，110b a <<，∴110a b b a +<+<，∴11a b b a +>+，故2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，且11a b >成立．其它都不正确．【答案】B ；【例20】 若111a b<<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +> C ．2(log )1b a <D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2004年，湖北高考【解析】由题意知1b a <<，于是log log 1a a b a >=，而log log 1a b b a ⋅=，故0log 1b a <<，容易得到答案．本题也可以用特殊值法．【答案】D ；【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，西城1模【解析】由题意知0b ≠，当0b >时，有10a b ++<，10a b +-<，故11a b <--<-；当0b <时，有10a b ++>，10a b +->，故11a b >-+>．故1a >或1a <-．【答案】D ；【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则11.a b< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b > 【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴2220ac bc c >⇒≠⇒22210a b c ac bc ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭，是真命题．⑵可用赋值法：3,2a b ==-，有11a b>，是假命题． 也可这样说明：11b aa b ab--=，∵a b >，只能确定0b a -<， 但ab 的符号无法确定，从而11a b -的符号确定不了，所以11a b <无法得到，实际上有：11,0;a b ab a b >>⇒<11,0.a b ab a b><⇒>⑶取特殊值：5,1,2, 3.a b c d ====-有a c b d -<-，此命题是假命题． ⑷此命题是假命题，定理4成立的条件为必须是正数，且1m >． 否则有反例：3,4,2a b m ==-=，则有.m m a b <是假命题．【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-． 【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由于102a -<<，可知20a >，110a >+>，11a ->，所以A 与C 均大于1，而B 与D 均大于0且小于1．∵2322213241(1)11111a a a a a a a a A C a a a a a⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥++++⎣⎦-=+-===++++ 由于102a -<<，所以10a +>且213024a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭∴0A C -<即1A C <<∵2322215241(1)11111a a a a a a a a B D a a a a a⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥----⎣⎦-=--===---- 由于102a -<<，10a ->，11122a -<-<-，211142a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴215024a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，故0B D ->即1B D >>．综上所述，所求的大小顺序是D B A C <<<．【答案】D B A C <<<；【例24】 实数a b cd 、、、满足条件：①,a b c d <<；②()()0a c b c -->；③()()0a d b d --<，则有（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c a d b <<<【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】比较实数的大小可以结合数轴考虑：由()()0a d b d --<知：d 在a b 、的之间，有a d b <<，由()()0a c b c -->知：c 在a b 、的同侧，又c d <，故c 只能 在a b 、的左侧， 由此得出c a d b <<<，∴此题选D ．【答案】D ；【例25】 （2005·江西）已知实数a 、b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2005年，江西高考 【解析】答案：B ．③④不成立1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为23a b--=，两边同时取对数lg 2lg3a b -=- 当a 、b 不为零时，lg3lg 2a b =，∵lg31lg 2>，∴1ab >．当0a b ==时，1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．综上所述，不可能成立的关系式有③④，故选B ．也可根据指数函数图象直接得到①②⑤成立，则③④不成立．【答案】B ；【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大小．【考点】不等式性质的应用 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】3()()log 4x f x g x x -=．①当314x =，即43x =时，3log 04x x =，∴()()f x g x =．②当01x <<时，有330144x <<<，∴3log 04x x >，∴()()f x g x >③当413x <<时，3log 04x x <，∴()()f x g x <④当43x >时，有314x >，3log 04x x >，∴()()f x g x >．．综上，当x ∈4(0,1),3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()()f x g x >；当41,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()f x g x <；当43x =时，有()()f x g x =【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，浙江省瓯海中学新课标必修5 测试卷 【解析】由已知有d a =-，c b =-，且lg31lg 2a =>，01b <<，∴0a b >>，∴a b -<-， 即0d c <<，∴a b c d >>>【答案】C ；【例28】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】1100b a a b <<⇔<<，∴0a b ab +<<，||||a b <，2b a a b +>=（∵0b a <<，故等号取不到）．即①④正确，②③错误，故选B ．本题亦可用特值法，如取1a =-，2b =-验证得．【答案】B ；【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =那么（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】22()2b d m Q m anmnn⎛⎫=++=++++==⎪⎝⎭≥， 故0Q P >≥．【答案】B ；【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，上海【解析】方法1：特值验证．取2a =-，1b =-，可排除A 、B ；再取1a =，2b =，可排除D ，故选C ．方法2：∵2222110a b ab a b a b --=< ∴2211ab a b<，故选C ．【答案】C ；【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥C ．1||2a b a b-+-≥ D 【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2006年，江苏高考【解析】运用排除法，C 选项12a b a b-+-≥，当0a b -<时不成立， 运用公式一定要注意公式成立的条件．【答案】C ；【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】A ；【例33】 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，浙江高考 【解析】略 【答案】C ；【例34】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，全国高考【解析】法一：∵1OM =，故原点到直线1x ya b+=的距离不大于11，从而22111a b+≥． 法二：由题意知cos sin 1a bαα+=，即cos sin )b a ab αααϕ+==+，1，得到222222111a b a b a b +=+≥． 法三： 2222cos sin 11111cos sin 22a b a b αααα⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤⇒22111a b +≥．【答案】D ；【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无【解析】由已知有102b a >>>，且222a b ab +>，排除C ，D 作差比较A ，B ．由22212()4114222a b ab ab a b +---+-==又22a b ab +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即14ab <，∴140ab ->，∴2212a b +>【答案】B ；【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】法一：设a d b c +=+k =，则222()()a d b c k +=+=则2222a d k ad +=-，2222b c k bc +=-， 由a d b c -<-可得：22()()a d b c -<-即2242k ad k bc -<-，解得：ad bc > 法二：224()()ad a d a d =+-- 224()()bc b c b c =+--由22()()a d b c +=+，且a d b c -<- 则44ad bc >，因此选择答案C【答案】C ；【例37】 已知a b c >>2a c-的大小关系是 ． 【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键字】无【解析】∵0a b ->，0b c ->，22a b b c a c-+--=2a c-【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ）A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】yz xz xyT xyz++=20()x y z =++222222x y z xy yz xy =+++++，∵0xyz >，∴x 、y 、z 全不为0∴2220x y z ++>∴2220xy yz xz ++<，∴0xy yz xz ++<，∴0T <．【答案】C ；【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）A ．12a b +> B ．12b a +>C ．1lg 2a b b +>D ．1lg 2b a a +<【考点】不等式性质的应用【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】12a +>()01xy b b =<<为减函数，∴12a b +<A 错，12b +()1xy a a =>为增函数，∴12b a +>B 对，∵01b <<，lg 0b <，又12a +>∴1lg 2a b b +<，∴C 错，1a >，lg 0a >，又12b +>1lg 2b a a +，∴D 错．【答案】B ；【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，江西高考【解析】作差比较选项A 与选项B ，有21122121211()()(1)0a b a b a a b b a b +-+=+->，∴11221212a b a b a a b b +>+， 比较选项A 与选项C ，有1122122111()()(21)(21)a b ab a b ab b a +-+=--，由2112a a >>，2112b b >>， 有11221221a b a b a b a b +>+， 因此比较选项A 与选项D ，有111122(21)(21)1022b a a b a b --+-=>，∴112212a b a b +>故选答案A另，本题可采用特殊值法比较，也可根据排序不等式的结论比较大小【答案】A ；。
【教学随笔】利用不等式的性质比较大小
利用不等式的性质比较大小不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的各个章节，是解决其它数学问题的一种有利工具，是高考命题的重点和热点.而不等式的基本性质又是不等式这一章的基础，是解不等式与证明不等式及应用的理论根据，运用不等式的性质要切实注意不等式的性质的前提条件，防止条件的强化或弱化.下面就利用不等式的性质比较数(式)大小的方法与技巧举例说明.一、比较已知两式的大小例1判断a 2＋b 2与ab ＋a ＋b －1的大小.解析一：(将差化成几个平方和)(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.解析二：(将差看作a 的二次三项式，再配成平方和)(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1＝(a －b ＋12)2＋34b 2－32b ＋34＝(a －b ＋12)2＋34(b －1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.解析三：(将差看作a 的二次三项式，利用根的判别式证)对于a 的二次三项式a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1，△＝(b ＋1)2－4(b 2－b ＋1)＝－3(b －1)2≤0，又∵二次项系数为1，故此二次三项式恒大于(或等于)零，即a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1≥0，∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.评注：比较a 与b 的大小，常常归结为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).比较a 与b 大小的步骤是①作差；②变形(分解因式、配方、通分或分子分母有理化等，如前两种解法变形用的配方，第三种解法变形用的二次函数的判别式)；③判断符号.二、已知条件等式比较两数的大小例2设实数x 、y 、z 满足y ＋z ＝6－4x ＋3x 2，z －y ＝4－4x ＋x 2，试确定x 、y 、z 的大小关系.解析一：∵z －y ＝4－4x ＋x 2＝(x －2)2≥0，∴z ≥y ，又由⎩⎨⎧ y ＋z ＝6－4x ＋3x 2z －y ＝4－4x ＋x 2，得⎩⎨⎧ y ＝1＋x 2z ＝5－4x ＋2x2， ∴y －x ＝1＋x 2－x ＝(x －12)2＋34＞0，∴y ＞x ，故z ≥y ＞x. 解析二：∵z －y ＝4－4x ＋x 2＝(x －2)2≥0，∴z ≥y ，又∵y －x ＝12[(y ＋z)－(z －y)]－x ＝12[(6－4x ＋3x 2)－(4－4x ＋x 2)]－x＝1＋x 2－x ＝(x －12)2＋34＞0， ∴y ＞x ，综上可知z ≥y ＞x.评注：此类题型的难度相对较大，其基本的思路是：灵活变换已知的等式，用等式中所涉及的一个字母表示另外的字母，可使作差后式子中只含有一个字母，或者对已知的条件等式进行转化，使之出现要比较的两数(式)的差.三、已知条件不等式比较两数的大小例3已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ≥0，试比较a 3＋b 3＋c 3与3abc 的大小.解析：∵a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b)3－3ab(a ＋b)＋c 3－3abc ＝(a ＋b)3＋c 3－3ab(a ＋b ＋c)＝(a ＋b ＋c)[(a ＋b)2－(a ＋b)·c ＋c 2]－3ab(a ＋b ＋c)＝(a ＋b ＋c)(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca)＝12(a ＋b ＋c)[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0， 在a ＋b ＋c ＝0或a ＝b ＝c 时才能取“＝”，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc.评注：解答已知条件不等式比较两数的大小问题时对条件不等式的利用主要有两个方向：一是对作差后的式子通过分解因式或配方等手段变形后的式子中含有条件不等式的部分因式(如本题解法)；二是首先对条件不等式进行变形化简，导出相关的结论，再应用于作差变形后的式子中.。
高考数学必考知识点不等式
高考数学必考知识点不等式：不等式导语：高考数学中，不等式是必考的重要知识点之一，掌握不等式的基本性质和解题方法对提高数学成绩至关重要。
本文将重点介绍不等式的基本概念、性质和解题方法。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种符号表示法。
常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
二、不等式的性质1. 传递性：若a>b，b>c，则a>c。
即不等式大小关系具有传递性的特点。
2. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0，则ac>bc。
即不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式的大小关系不变；不等式两边同时乘以一个正数（或除以一个正数），大小关系不变；不等式两边同时乘以一个负数（或除以一个负数），不等式的大小关系发生改变。
3. 倒置性质：若a>b，则-b>-a；若a>b，c<0，则ac<bc。
即不等式两边同时乘以-1，不等式的大小关系发生倒置。
4. 倒数性质：若a>b，c>d且c>0，d>0，则1/a<1/b；若a>b，c>d且c<0，d<0，则1/a>1/b。
5. 平方性质：对于正实数a和b，若a>b，则a²>b²；若a=b，则a²=b²；若a<0，b<0，则a²>b²。
即不等式两边同时平方，不等式的大小关系不变。
三、不等式的解题方法1. 直接比较法：通过观察和比较不等式中数的大小关系，直接求解不等式。
例题1：解不等式3x+5>2x-1。
解：首先将不等式移到等式两边，得3x-2x>-1-5，即x>-6。
例题2：解不等式(x+1)(x-2)<0。
解：使用区间法解不等式，首先找出等式的零点x=-1和x=2，然后根据零点将数轴划分为三个区间：(-∞，-1)，(-1，2)和(2，+∞)。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点一、概述不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。
在高中阶段，学生需要掌握不等式的基本概念、性质及解不等式的方法。
本文将对高中数学不等式的知识点进行详细介绍。
二、不等式的定义及表示方式1. 不等式的定义：不等式是两个数或两个式子之间的大小关系的描述。
2. 不等式的表示方式：不等式可以用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）来表示。
例如，x < y 表示x小于y，x ≤ y 表示x小于等于y。
三、不等式的基本概念1. 大于与小于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于零，则称a大于b，表示为a > b；如果a-b小于零，则称a小于b，表示为a < b。
2. 大于等于与小于等于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于等于零，则称a大于等于b，表示为a ≥ b；如果a-b小于等于零，则称a小于等于b，表示为a ≤ b。
四、不等式的性质1. 加减法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b，则a + c > b + c；- 若a < b，则a + c < b + c；- 若a > b，则a - c > b - c；- 若a < b，则a - c < b - c。
2. 乘除法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b且c > 0，则ac > bc；- 若a > b且c < 0，则ac < bc；- 若a < b且c > 0，则ac < bc；- 若a < b且c < 0，则ac > bc。
3. 反方向性质：对于任意实数a和b，有以下性质：- 若a > b，则-b > -a；- 若a < b，则-b < -a；- 若a > b，则1/b > 1/a（a、b为正数）；- 若a < b，则1/b < 1/a（a、b为正数）。
利用不等式性质比较代数式大小
利用不等式性质比较代数式大小作者：赵爱琴来源：《初中生世界·七年级》2020年第06期在比较代数式大小时，我发现主要有两种方法，一是特殊值法，二是利用不等式的性质。
下面我就来谈谈我是如何利用不等式的性质比较代数式大小的。
请看这道题：已知x<y，比较下列各数的大小：（1）8x-3和8y-3;（2）-2x+1和-2y+1;（3）x-2和y-1。
这道题的条件中有一个不等式，于是我便从这个不等式出发。
因为x<y，所以根据不等式性质2，不等式两边同乘8，得8x<8y，再根据不等式性质1，不等式两边同减3，得8x-3<8y-3。
同理，第二题也用了这个方法，但不等式两边同乘-2时，我们不能忘记改变不等号的方向。
第三题我用了不等式的传递性。
因为根据不等式性质1，可得x-2<y-2，而要比较的是x-2和y-1，根据不等式的性质1可知y-2<y-1，于是我用了不等式的传递性，可得x-2<y-1。
这组题比较简单，只要套用不等式的性质就能很快做出来。
下面我们再看一题：如图，若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则下列结论正确的是（）。
这道题中，a、b的大小关系并没有直接给出，而是用数轴表示的，于是我先根据数轴的特征，得出a、b的正负性和大小关系。
由数轴可知a<-1<0<b<1，所以a-b<0，先排除B选项。
根据不等式的性质，得-a>11，12b>02，-2a>23，-b>-14，所以，1+2得12b-a>1，1+4得-a-b=-（a+b）>0，3+4得-2a-b=-（2a+b）>0，所以，选项A正确。
這一题还可以利用a、b绝对值的大小关系或者特殊值代入法快速得出答案，小伙伴们可以试一下哦。
教师点评很多同学在学习不等式的性质时，之所以总觉得有困难，是因为不知道如何灵活运用不等式的性质。
本文小作者善于发现、总结，由浅入深地介绍了自己平时利用不等式的性质比较代数式大小的方法，这一点值得同学们学习。
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不等式的比较掌握大小关系的判断在数学学科中，不等式是常常会遇到的一个重要概念。
我们经常需要进行大小关系的判断，以解决各种实际问题或推导数学结论。
掌握不等式的比较，能够在解决数学问题时提供有效的参考和引导。
本文将介绍如何准确地判断不等式的大小关系。
一、基本概念
不等式是数学中的一种关系，在形式上使用不等号进行表示。
通常我们会见到比较运算符“<”，“>”，“≤”，“≥”等。
这些符号的含义如下：
1. 小于号“<”：表示左边的数小于右边的数，例如 a < b 表示 a 相对于 b 而言较小。
2. 大于号“>”：表示左边的数大于右边的数，例如 c > d 表示 c 相对于 d 而言较大。
3. 小于等于号“≤”：表示左边的数小于或等于右边的数，例如x ≤ y 表示 x 相对于 y 而言小于或等于。
4. 大于等于号“≥”：表示左边的数大于或等于右边的数，例如z ≥ w 表示 z 相对于 w 而言大于或等于。
二、比较不等式大小的方法
判断不等式的大小关系主要有两种方法：一是通过运算的性质和规则，二是通过图形表示。
1. 运算的性质和规则：借助运算性质和规则，我们可以对不等式进
行等价变形，从而方便地进行大小关系的判断。
以下是一些常见的运
算性质：
a) 加减法性质：对于任意实数 a、b、c，如果 a < b，则 a+c < b+c，a-c < b-c；
b) 乘除法性质：对于任意实数 a、b、c（c 不为 0），如果 a < b，
则 ac < bc，a/c < b/c；
c) 等价变形性质：对于任意实数 a、b、c，如果 a < b，则 a+c <
b+c，a-c < b-c，ac < bc（当 a、b、c 都大于 0 或都小于 0 时），a/c <
b/c（当 a/c 和 b/c 定义有意义时）。
基于这些性质，我们可以通过不等式的等价变形，将其转化为更
简单的形式以便进行大小比较。
2. 图形表示：一些不等式可通过图形的方式进行表示，进而直观地
判断大小关系。
例如，我们可以把不等式 a < b 表示在数轴上，将 a 和
b 分别标记在适当的位置，通过比较两者的位置关系来判断不等式的大小关系。
三、解决问题时的注意事项
在解决具体问题时，我们需要注意以下几点：
1. 注意不等式两边运算的一致性。
在多步运算过程中，要保证左右
两边运算方法一致，以确保不等式的正确性。
2. 注意特殊情况的处理。
有些不等式可能存在特殊情况，例如分母
为零的情况，需要在判断大小关系时特别留意。
3. 注意不等式区间的表示。
当解决不等式的同时，需要找到合适的
区间来表示解集，以便更清晰地描述不等式的大小关系。
四、总结
掌握不等式的比较和大小关系的判断是数学学习的重要一环。
通过
熟练掌握不等式的运算性质和规则，并借助图形表示方法，我们能够
准确地判断不等式的大小关系，并在解决实际问题时得到有效的结果。
总之，掌握不等式的比较方法和大小关系的判断有助于我们在数学
学习和实际应用中更好地理解和解决问题。
希望本文对读者能够提供
一些有用的指导，使大家在处理不等式时更加得心应手。