优化探究高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示课时作业理新人教A版
2025版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一节函数及其表示学案文含解析新人教A版
第一节 函数及其表示2024考纲考题考情1．函数与映射的概念函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做值域。
3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。
分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。
1．一种优先意识 函数定义域是探讨函数的基础依据，对函数的探讨，必需坚持定义域优先的原则。
2．两个关注点(1)分段函数是一个函数。
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。
3．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点。
一、走进教材1．(必修1P 18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。
故选B 。
答案 B2．(必修1P 25B 组T 1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________。
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 二、走近高考3．(2024·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________。
新高考一轮复习人教A版第二章第一讲函数的概念及其表示课件(43张)
题组一 走出误区
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的函数.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相 等.( )
(3)已知 f(x)＝5(x∈R)，则 f(x2)＝25.( ) (4)函数 f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
B.y＝ 3 x3 ＋1
D.y＝ x2＋1
题组三 真题展现
4.(2019 年上海春季)下列函数中，值域为[0，＋∞)的
是( ) A.y＝2x
1
B.y＝x 2
C.y＝tan x
D.y＝cos x
答案：B 5.(2020 年北京)函数 f(x)＝x＋1 1＋ln x 的定义域是 ________.
答案：(0，＋∞)
所以 f(15)＝f(－1)＝12，因此 f(f(15))＝f12＝cos
π4＝
2 2.
答案：
2 2
考向 2 分段函数与方程、不等式问题
[例 5](1)设函数 f(x)＝32xx，－xb≥，1x.<1， 若 ff56＝4，则
b＝( )
A.1
B.78
C.34
D.21
解析：f56＝3×56－b＝52－b，若25－b<1，即 b>23，则 ff56＝f25－b＝352－b－b＝4，解得 b＝87，不合题意舍 去.若52－b≥1，即 b≤23，则 252－b＝4，解得 b＝12.
原不等式化为 2x＋x＋21>1，该不等式恒成立；
当
x>12时，f(x)＋fx－12＝2x＋2
优化探究高三一轮人教A理科数学复习第2章函数与导数课件及课时作业(27份)211
A 组 考点基础演练一、选择题1．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x <1.∴k ≥1，故选D. 答案：D2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0.答案：C3．(2014年云南联考)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且f (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：设h (x )＝f (x )g (x )，又h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0知x <0时，h (x )为增函数，又f (x )，g (x )分别是奇函数和偶函数，∴h (x )为奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，且h (3)＝0，所以f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故选D.答案：D4．可导函数f (x )的导函数为g (x )，且满足：①g (x )－1x －1>0；②f (2－x )－f (x )＝2－2x .记a ＝f (2)－1，b ＝f (π)－π＋1，c ＝f (－1)＋2，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．b >a >c解析：由f (2－x )－f (x )＝2－2x 知f (x )为增函数，设h (x )＝f (x )－x ＋1，h ′(x )＝f ′(x )－1＝g (x )－1，又g (x )－1x －1>0知，h (x )在(1，＋∞)上递增，所以a ＝f (2)－2＋1＝h (2)，b ＝f (π)－π＋1＝h (π)，c＝f (－1)＋2＝f (3)－2＝f (3)－3＋1＝h (3)，而π>3>2，所以b >c >a ，故选C.答案：C5．(2015年沈阳质检)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x ＝xf ′(x )＋f (x )x ＝[x (f )x ]′x >0，当x >0时，[xf (x )]′>0，则h (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，且h (0)＝0，∴h (x )＝xf (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，又1x >0，∴F (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即F (x )在(0，＋∞)上无零点．当x <0时，[xf (x )]′<0，∴h (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，且h (0)＝0，∴h (x )＝xf (x )>0在(－∞，0)上恒成立，所以F (x )＝xf (x )＋1x 在(－∞，0)上为减函数，当x →0时，xf (x )→0，1x →－∞，则F (x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上有唯一零点．综上所述，F (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.答案：B 二、填空题6．已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (1－a )＋f (2a )<0，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，得f ′(x )＝cos x ＋2>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上递增且是奇函数，由f (1－a )＋f (2a )<0，即f (2a )<f (a －1)，∴2a <a －1，∴a <－1.答案：(－∞，－1)7．已知函数f (x )＝x 2(x －a )，若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是________． 解析：由f (x )＝x 3－ax 2，得f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －2a3，若f (x )在(2,3)上不单调，则有⎩⎨⎧2a3≠0，2<2a3<3，可得3<a <92.答案：⎝⎛⎭⎫3，92 8．(2014年保定调研)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(0)f ′(1)<0，即－6b ·(3－6b )<0，解得0<b <12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题9．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0.若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0.综合得a 的取值范围为(－∞，1]．10．(2014年忻州联考)设函数f (x )＝x e x －x ⎝⎛⎭⎫a 2x ＋1＋2. (1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围． 解析：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x －x ⎝⎛⎭⎫12x ＋1＋2＝x e x －12x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1≤x ≤0时，f ′(x )<0； 当x ≤－1或x ≥0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[－1,0]上单调递减，在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －a ＋22x ≥0，即要满足e x≥a ＋22x ，当x ＝0时，显然成立；当x >0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，易知g (x )的最小值为g (1)＝e ，∴a ＋22≤e ，得a ≤2(e －1)．B 组 高考题型专练1．(2015年大连双基测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c (x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥233C ．函数f (x )的图象是中心对称图形D ．函数f (x )一定存在三个零点解析：对于A ，f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，Δ＝4a 2＋12>0，因此函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －1恒有两个相异零点x 3，x 4(其中x 3<x 4)，易知函数f (x )的增区间是(－∞，x 3)与(x 4，＋∞)，减区间是(x 3，x 4)，函数f (x )一定存在极大值与极小值，选项A 正确．对于B ，由A 知，x 3＋x 4＝－2a 3，x 3x 4＝－13，则x 4－x 3＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝⎝⎛⎭⎫－2a 32＋43≥233，又x 1≤x 3，x 4≤x 2，因此x 2－x 1≥x 4－x 3≥233，选项B 正确．对于C ，注意到f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－a3，f ⎝⎛⎭⎫－a 3中心对称，因此选项C 正确(注：函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (x ≠0)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－b3a ，f ⎝⎛⎭⎫－b 3a 中心对称)．对于D ，取a ＝－c ＝1，得f (x )＝x 3＋x 2－x －1＝(x ＋1)2(x －1)，此时函数f (x )仅有两个相异零点，因此选项D 不正确．综上所述，选D.答案：D2．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9解析：∵f (x )＝a x g (x )，∴f (x )g (x )＝a x ，∵f ′(x )·g (x )>f (x )g ′(x )，∴⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝(a x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2＝a x ln a >0，即ln a >0，∴a >1.∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，∴a ＋a －1＝52，∴a ＝2，∴f (x )g (x )＝2x ，∴f (n )g (n )＝2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )为等比数列，∴S n ＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2，令S n >62，得n ＋1>6，n >5，∴n 的最小值为6，故选A.答案：A3.已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )(1)f (x )的极小值为________；(2)若函数y ＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：(1)由y ＝f ′(x )的图象可知， f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：(2)y ＝f (x )的图象如图所示．若函数y ＝f (x )－a 有4个零点，则a 的取值范围为1≤a <2.答案：(1)0 (2)[1,2)4．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________. 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)3＋3m (－1)2＋n (－1)＋m 2＝0，f ′(－1)＝3×(－1)2＋6m (－1)＋n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 答案：115．(2014年江西七校联考)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)若x ＝1时，函数f (x )取得极值，求函数f (x )的图象在x ＝－1处的切线方程； (2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内不单调，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，由f ′(1)＝0，得a ＝－2，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，当x ＝－1时，y ＝－3，即切点(－1，－3)，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＋1，令x 0＝－1，得k ＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内不单调，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1有解，所以3x 2＋2ax ＋1＝0,2ax ＝－3x 2－1，由x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴2a ＝－3x －1x ，令h (x )＝－3x －1x， ∴h ′(x )＝－3＋1x 2<0，知h (x )在⎝⎛⎭⎫33，1单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，33单调递增，所以h (1)<h (x )≤h ⎝⎛⎭⎫33，即h (x )∈(－4，－23]，∴－4<2a ≤－23，即－2<a ≤－3，而当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，∴舍去，综上，a ∈(－2，－3)．。
2024届新高考一轮复习人教A版 第二章 第1节 函数的概念及其表示 课件(38张)
C )
g(x)=
C.f(x)= 与 g(x)=|x|
0
D.f(x)=1,x∈R 与 g(x)=x
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同
一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义
域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,
2
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -x+3.
义域.
求函数的解析式
1.(2022·黑龙江哈尔滨月考)已知 f( +1)=lg x,则 f(x)的解析式为
解析:令 +1=t(t>1),则 x=
所以 f(t)=lg
所以 f(x)=lg
(t>1),
-
(x>1).
-
答案:f(x)=lg
(x>1)
பைடு நூலகம்-
,
-
.
2.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为
所以f(x)的定义域为[-5,5],所以f(1-2x)满足-5≤1-2x≤5,所以-2≤x≤3,
所以函数f(1-2x)的定义域为[-2,3].
3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x-1)的定义域为
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],
所以0≤x-1≤2,即1≤x≤3,
所以函数f(x-1)的定义域为[1,3].
答案:[1,3]
新高考数学人教版一轮学案第二章第一节 函数及其表示
第一节函数及其表示热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法，尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现，属于中、低档题.本节通过对函数的概念及其表示方法、分段函数的理解及应用考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第8页知识点一函数的基本概念1．函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．4．表示函数的常用方法：列表法、图象法和解析式法．•温馨提醒•函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．1．(多选题)下列图象中，能表示函数的图象的是()解析：显然，对于选项D，当x取一个正值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．答案：ABC2．函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为()A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．•温馨提醒•二级结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．必明易错1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．1．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x ＞0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案：C2．(易错题)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．答案：(－∞，－2]∪[0,10]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．答案：－3授课提示：对应学生用书第9页 题型一 函数的定义域 自主探究1．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案：[－1,2] 2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，所以mx 2＋4mx ＋3≠0，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m ＜0，即m ＝0或0＜m ＜34，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34求函数f (x )的定义域时，要使解析式有意义．具体如下：(1)分式中，分母不为0；(2)偶次方根中，被开方数非负；(3)对于y ＝x 0，要求x ≠0，负指数的底数不为0.题型二 函数解析式的求法 自主探究求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式． 解析：(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，因为f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]． (2)(配凑法)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．(3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，所以3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2xax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7. (4)(方程组法)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)①.又－x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)②.由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．题型三 分段函数 多维探究高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题. 考法(一) 分段函数求值问题[例1] (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x ＋3)，x ＜6，log 2x ，x ≥6，则f (－1)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x ＜0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.[答案] (1)C (2)－2求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的取值选择相应段的解析式求解，有时各段交替使用求值 考法(二) 求参数值问题[例2] (1)(2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1＜x ＜0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥2，log 2x ，0＜x ＜2，若f (m )＝3，则实数m 的值为________．[解析] (1)由题意得a ≥0且－1＜a －1＜0，即0＜a ＜1，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8.(2)当m ≥2时，由m 2－1＝3，得m 2＝4，解得m ＝2；当0＜m ＜2时，由log 2m ＝3，解得m ＝23＝8(舍去)．综上所述，m ＝2. [答案] (1)D (2)2求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应段上自变量的值，切记要代入检验．[题组突破]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12 B ．2 C ．4 D ．11答案：C2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x ＜1，ax 2－x ，x ≥1，若f (f (0))＝3a ，则实数a 等于( )A.12 B ．4 C ．2 D ．9答案：C函数概念中的核心素养(一)数学抽象——函数的新定义问题 解决与函数有关的新定义问题(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x ，y 取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的． [例1] (多选题)(2021·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数： 其中是一阶整点函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．g (x )＝x 3 C ．h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x D ．φ(x )＝ln x .[解析] 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，(只要找到两个整点，即可判断函数不是一阶整点函数)；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数．对y (x )＝ln x 是一阶整点函数，故选AD. [答案] AD本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．(二)数学运算——分类讨论思想在分段函数中的应用[例2] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量的取值范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，即应用分类讨论思想解决．[题组突破]1．(多选题)(2021·山东菏泽一中月考)设函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称f (x )为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x －1C ．f (x )＝ln(2x ＋3)D ．f (x )＝2x ＋3解析：函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，所以函数f (x )的值域关于原点对称．对于选项A ，函数f (x )＝x 2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意； 对于选项B ，函数f (x )＝1x －1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；对于选项C ，函数f (x )＝ln(2x ＋3)的值域为R ，关于原点对称，符合题意； 对于选项D ，函数f (x )＝2x ＋3的值域为R ，关于原点对称，符合题意． 答案：BCD2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜2，2xx ＋3，x ≥2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．答案：(0,2)∪(3，＋∞)。
高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示课时作业文(含解析)
第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1. 函数g(x) = x+ 3的定义域为()A. {x|x >- 3} B . {x|x >—3}C. {x|x w —3} D . {x|x v—3}解析：由x + 3>0可得x>—3，故选A.答案：A2x, x w 0,2. 已知函数f(x)= 则f(f( —1))=( )log 2x, x>0,A. —2 B . —1C. 1 D . 2答案：B3. 已知函数f(x)的定义域为［—3, 4］，在同一坐标系下，函数y = f(x)的图象与直线x =3的交点个数是()A. 0 B . 1C. 2 D . 0 或1答案：Blg x , x> 0,4. 已知函数f(x)= 若f(a) = 0,则实数a的值等于()x + 3, x w 0,A. —3 B . 1C.—3 或1 D . —1 或3解析：当a>0 时，f(a) = lg a= 0，所以a= 1;当a wo 时，f(a) = a+ 3 = 0,解得 a =—3.所以实数a的值为1或—3,故选C.答案：Clog 2(x+ 1) , x> 3,5. (2013 •湖南五市十校联考)已知函数f(x) = x—3 满足f(a) = 3,2 + 1, x w 3,则f(a —5)的值为()17A. log 23B.—c.@ D. 2 或1解析：当a> 3 时，log 2(a + 1) = 3,得a+ 1 = 2 = 8,所以a= 7,于是f(a —5) = f(2) 3=2—1+ 1 = 2.当a<3时，2a—3+ 1 = 3,得a = 4,不符合条件.故选 C.答案：C6•函数f(x) = 2x—4的定义域为解析：由2x—4>0得x>2.因此，所求函数的定义域是{x|x >2}.答案：{x|x > 2}2x + 2x, x>0,7. 已知函数f(x) = 2_________________________________________________________________ 若f(a) < 3,则a的取值范围是.—x + 2x, x v 0,解析：在坐标平面内画出函数y = f(x)的图象，结合图象可知该函数是在R上的增函数, 且f(1) = 3,因此f(a) <3= f(1)，得a w 1,即实数a的取值范围是(―® 1].答案：(―汽1]2x3, x v 0,n8. (2013 •福建卷)已知函数f(x) = n 贝U f f — = _____________ .—tan x , 0<xv-^, 4n n 3解析：f f 4 = f —tan 4 = f( —1) = 2( —1) =— 2.答案：—29•下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1) 试确定y与x的函数关系式;⑵求f( —3) , f(1)的值；⑶若f(x) = 16，求x的值.解析：(1)由流程图可知，当x>1时，y = y? = (x + 2)2;22(x+ 2) , x> 1,当x v 1 时，y = y2 + 2= x + 2.所以y = 2x + 2, x v 1.2 2(2) f( —3) = ( —3) + 2 = 11, f (1) = (1 + 2) = 9.2(3) 若x> 1,则(x + 2) = 16,解得x = 2或x = —6(舍去).2若x<1，则x + 2= 16,解得x = 14(舍去)或x =- 14.综上所述，x= 2或x =- 14.10•甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km,甲10时起出发前往乙家•如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系.试写出y = f(x)的函数解析式.解析：当x€ [0 , 30]，设y = k1x+ ",b1 = 0, 由已知得30k1 + b = 2.1 1•-k1=亦，b1= 0，y=存.当x€ (30 , 40)时，y= 2;当x€ [40 , 60]时，设y = k?x+ b2.40k2+ b2= 2,由60k2+ b2= 4,1 1•-k 2= 10, b2=- 2, y= 10x一2，115x, x€ [0 , 30],.• f(x) = 2, x€( 30, 40),丄x- 2, x€ [40 , 60].。
2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第一讲 函数及其表示学案(含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示学案（含解析）新人教版班级：科目：第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A,B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__.(3）函数的表示法:__解析法、图象法、列表法__。
(4）两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时,这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系,这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A,B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；（3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×"）(1)f（x)＝错误!＋错误!是一个函数．（×)(2)函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．(×)(3）已知f(x）＝m（x∈R），则f(m3）等于m3。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
优化探究高三一轮人教A理科数学复习第2章函数与导数课件及课时作业(27份)24
A 组 考点基础演练一、选择题1．(2015年大同模拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f ⎝⎛⎭⎫14的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设幂函数为y ＝x α，∵幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴4α＝12，∴α＝－12，∴y ＝x －12，则f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫14－12＝2.答案：B2．幂函数f (x )的图象在第一、三象限，且f (3)<f (2)，则下列各式中一定成立的是( ) A ．f (－3)<f (－2) B ．f (－3)>f (－2) C ．f (－3)>f (2)D ．f (3)<f (－2)解析：幂函数f (x )的图象在第一、三象限，则f (x )为奇函数，∵f (3)<f (2)，∴－f (3)>－f (2)，即f (－3)>f (－2)．答案：BA ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由y ＝x 25在(0，＋∞)上递增知a >c ，由y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上递减知c >b . 答案：A4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上． 答案：D5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a <0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C 二、填空题6．(2015年海口模拟)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2－x )，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是________．解析：由f (2＋x )＝f (2－x )，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|<|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|<|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1<x 2－2x ＋1，∴－2<x <0.答案：(－2,0)7．(2014年高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：据题意，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0 解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 8．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a <0时，y max ＝1－a .根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1－a ＝2，解得a ＝2，或a ＝－1.答案：2或－1 三、解答题9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数，且f (－1)＝－1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )＋(2－k )x 在区间[－2,2]上单调递减，求实数k 的取值范围． 解析：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数， ∴对称轴x ＝－b2a ＝0，得b ＝0，由f (－1)＝a ＋1＝－1，得a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 2＋1.(2)g (x )＝－2x 2＋(2－k )x ＋1∵抛物线g (x )的开口向下，对称轴x ＝2－k4，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－k 4，＋∞上单调递减．依题意可得2－k4≤－2，解得k ≥10，∴实数k 的取值范围为[10，＋∞)．10．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(1,13)，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －12是偶函数． (1)求f (x )的解析式；(2)已知t <2，g (x )＝[f (x )－x 2－13]·|x |，求函数g (x )在[t,2]上的最大值和最小值．解析：(1)因为函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －12是偶函数，所以二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴方程为x ＝－12，故b ＝1.又因为二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(1,13)，所以1＋b ＋c ＝13，故c ＝11，因此，f (x )的解析式为f (x )＝x 2＋x ＋11.(2)g (x )＝(x －2)·|x |，当x ≤0时，g (x )＝－(x －1)2＋1，当x >0时，g (x )＝(x －1)2－1， 由此可知g (x )max ＝0，当1≤t <2，g (x )min ＝t 2－2t ； 当1－2≤t <1，g (x )min ＝－1； 当t <1－2，g (x )min ＝－t 2＋2t .B 组 高考题型专练1．(2014年揭阳测试)已知f (x )＝2x 2＋px ＋q ，g (x )＝x ＋4x 是定义在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1≤x ≤52上的两个函数．对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)．则函数f (x )在集合M 上的最大值为( )A.92 B ．4 C ．6D.892解析：利用导数可知函数g (x )＝x ＋4x 在区间⎣⎡⎦⎤1，52上的最小值为4，最大值为5，对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得g (x )≥g (x 0)，则g (x 0)＝g (x )min ＝4，此时x 0＝2，根据题意知，f (x )min ＝f (x 0)＝4，根据题意知f (x )min ＝f (2)＝4，即二次函数f (x )＝2x 2＋px ＋q 的顶点坐标为(2,4)，因此－p4＝2⇒p＝－8，∴f (x )＝2x 2－8x ＋q ，f (2)＝2×22－2×8＋q ＝q －8＝4⇒q ＝12，∴f (x )＝2x 2－8x ＋12＝2(x －2)2＋4，因此函数f (x )在集合M 上的最大值为f (x )max ＝f (1)＝6，故选C.答案：C2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析：当x 2－1－(4＋x )≥1时，x ≥3或x ≤－2；当x 2－1－(4＋x )<1时－2<x <3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≥3或x ≤－2x 2－1，－2<x <3，f (x )的图象如下图所示，y ＝f (x ) ＋k 的图象与x 轴有三个不同交点转化为y ＝f (x )与y ＝－k 有三个不同交点，由图可知－1<－k ≤2，故－2≤k <1.答案：D3．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2. 又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)， ∴m ＋m ＋6＝－a ，∴m ＝－12a －3，∴c ＝f (m )＝⎝⎛⎭⎫－12a －32＋a ⎝⎛⎭⎫－12a －3＋14a 2＝9.答案：94．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象和直线y ＝x 无交点，现有下列结论： ①方程f [f (x )]＝x 一定没有实数根；②若a >0，则不等式f [f (x )]>x 对一切实数x 都成立； ③若a <0，则必存在实数x 0，使f [f (x 0)]>x 0；④函数g (x )＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图象与直线y ＝－x 一定没有交点， 其中正确的结论是________(写出所有正确结论的编号)．解析：因为函数f (x )的图象与直线y ＝x 没有交点，所以f (x )>x (a >0)或f (x )<x (a <0)恒成立． 因为f [f (x )]>f (x )>x 或f [f (x )]<f (x )<x 恒成立，所以f [f (x )]＝x 没有实数根，故①正确； 若a >0，则不等式f [f (x )]>f (x )>x 对一切实数x 都成立，故②正确；若a <0，则不等式f [f (x )]<x 对一切实数x 都成立，所以不存在实数x 0，使f [f (x 0)]>x 0，故③错误； 由函数g (x )＝f (－x )，与f (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )和直线y ＝－x 也一定没有交点，故④正确．答案为①②④.答案：①②④5．(2015年聊城模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx在t ∈[－2,2]时恒成立，求实数x 的取值范围． 解析：(1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴是直线x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x 有且只有一个解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相同的实根，∴Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx 等价于f (x )>tx －2，即12x 2＋x >tx －2在t ∈[－2,2]时恒成立⇔函数g (t )＝xt －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋2<0在t ∈[－2,2]时恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0，解得x <－3－5或x >－3＋5，故实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)．。
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版
●命题角度三 分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所 以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一 函数解析式的求法 【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二 分段函数——多维探究 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段 函数与不等式问题．
●命题角度一 分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，
优化探究高三一轮人教A理科数学复习第2章函数与导数课
A 组 考点基础演练一、选择题1．(2014年山西四校联考)定积分⎠⎛2－2|x 2－2x |dx ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：⎠⎛2－2|x 2－2x|d x ＝⎠⎛0－2(x 2－2x)d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2| 0－2＋(－13x 3＋x 2)| 20＝8. 答案：D2．(2015年南昌一模)若∫π20(sin x －a cos x)d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2答案：A3.如右图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.||⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：由定积分的几何意义得阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x.答案：A4．把函数f(x)＝sin x(x ∈[0,2π])的图象向左平移π3后，得到g(x)的图象，则f(x)与g(x)的图象所围成的图形的面积为( )A ．4B ．2 2C ．2 3D ．2答案：D5．(2014年高考湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案：C 二、填空题6．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2，－2πx ＋2⎝⎛⎭⎫π2<x ≤π，则⎠⎛0πf(x)d x ＝________.答案：π4＋17.如图，阴影部分由曲线y ＝x 与y 轴及直线y ＝2围成，则阴影部分的面积S ＝________.解析：x ＝2得x ＝4故S ＝⎠⎛04(2－x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x －23x 32| 40 ＝83. 答案：838．(2015年辽宁六校联考)由曲线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝x ＋2及y 轴围成的封闭图形的面积为________．解析：由方程x 2＝x ＋2及x ≥0解得x ＝2，所求面积S ＝⎠⎛02(x ＋2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －13x 3| 20＝103. 答案：103三、解答题9．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积．10. (2014年大庆模拟)如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．B 组 高考题型专练1．一物体在变力F(x)＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N )的作用下，沿着与F(x)成30°方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F(x)所做的功为( )A .32J B . 3 JC .433JD ．2 3 J解析：由积分的意义，结合物理中功的公式可知，F(x)所做的功W ＝[]⎠⎛12(5－x 2)d x ·cos 30°＝32⎝⎛⎭⎫5x －x 33| 21 ＝32×⎝⎛⎭⎫223－143＝433，故选C . 答案：C2．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x>0，2x ＋∫π60cos 3t d t ，x ≤0，则f(2 016)＝( ) A ．1 B ．2 C .43D .53答案：C3．(2015年青岛模拟)曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝⎠⎛1e1x d x ＋⎠⎛1e(2x)d x ＋⎠⎛1e(2e 2x )d x ＝(ln x)| e 1＋x 2| e 1＋e 2x | e1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2)＝e 2e .答案：e 2e4．(2014年洛阳统考)用min {a ，b}表示a ，b 两个数中的较小的数，设f(x)＝min {x 2，x}，那么由函数y ＝f(x)的图象、x 轴、直线x ＝12和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为________．答案：119245.在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1和S 2之和最小，并求最小值．解析：S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t·t 2－⎠⎛01x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t 1x 2d x －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t)＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12. 当t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。
高考数学一轮复习 第二章 函数2.1函数及其表示教学案 理 新人教A版
高考数学一轮复习 第二章 函数2．1函数及其表示教学案 理 新人教A 版2．1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．1．函数与映射的概念函数 映射两集合A ，B 设A ，B 是两个非空____ 设A ，B 是两个非空____对应关系f ：A →B 如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的____一个____，在集合B 中____________的____和它对应 如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的____一个______在集合B 中__________的______与之对应名称称________为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应______为从集合A 到集合B的一个映射记法 y ＝f (x )，(x ∈A ，y ∈B ) 对应f ：A →B 是一个映射 2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：x 1 2 3 f 3 1 2 g 3 2 1则f (g (3))等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lgx ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f (u )＝1＋u 1－u ，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 24．(2012山东高考)函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( )． A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )． A ．log 32 B ．－2 C ．log 32或－2D ．2一、求简单函数的定义域、值域【例1－1】(2012江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为__________． 【例1－2】已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域． 【例1－3】求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]；(2)y ＝2x 2－1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1. 方法提炼1．求函数定义域的方法(1)求具体函数y ＝f (x )的定义域：函数给出的方式 确定定义域的方法列表法 表中实数x 的集合 图象法 图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合 解析法 使解析式有意义的实数x 的集合 实际问题 有实际意义及使相应解析式有意义的x 的集合(2)求抽象函数的定义域：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．提醒：定义域必须写成集合或区间的形式． 2．求值域的方法常见的求值域的方法有：①配方法；②换元法；③基本不等式法；④利用函数的单调性；⑤分离常数法；⑥数形结合法；⑦导数法等．3．若两个函数的定义域与值域相同，它们不一定是同一函数，如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．4．分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集；最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的；图象则是由各段上的图象合成的．请做演练巩固提升1,4 二、求函数的解析式【例2－1】 若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】 若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】 已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2. (1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围． 方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； 3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同、定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升2忽略分段函数中自变量的取值范围而致误【典例】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解． 错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2. 所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， 所以方程f (x )＝x 的解为－2,2. 答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．(2013届广东湛江一中第一学期期中)函数f (x )＝ln x －1的定义域为( )． A ．(e ，＋∞) B ．[e ，＋∞) C ．(0，e] D ．(－∞，e]2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )．A ．lg 1xB ．lg1x －1 C ．lg2x －1D ．lg 1x －23．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 3．解析法 列表法 图象法 4．对应法则 并集 并集 基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1， ∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x ＋1)≠0，x ＋1>0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x >－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x＝2， ∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32. 考点探究突破【例1－1】 (0，6] 解析：要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0，x >0，解得0＜x ≤6，故f (x )的定义域为(0，6]． 【例1－2】 解：用换元思想，令3－2x ＝t ，f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∴t ＝3－2x (x ∈[－1,2])．∴－1≤t ≤5. 故f (x )的定义域为[－1,5]．【例1－3】 解：(1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[0,3]，结合二次函数的图象，可知y ＝x 2＋2x 在区间[0,3]上是增函数，故当x ＝3时，y max ＝15； 当x ＝0时，y min ＝0.故函数的值域为[0,15]．(2)令x 2－1＝t ，则t ≥－1，原函数化为y ＝2t，t ∈[－1，＋∞)．结合y ＝2t 的单调性得y ＝2t，t ∈[－1，＋∞)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)原函数即为y ＝log 3x ＋1log 3x－1.当x ＞1时，log 3x ＞0，因此利用基本不等式得y ≥2－1＝1，当log 3x ＝1log 3x，即x ＝3时取“＝”；当0＜x ＜1时，log 3x ＜0， 因此log 3x ＋log x 3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log 3x ≤－2，∴log 3x ＋1log 3x－1≤－3，当且仅当log 3x ＝1log 3x，即x ＝13时取“＝”．综上可知，y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【例2－1】 2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b＝x ， 变形得x ⎝⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba， 又∵方程有唯一解， ∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.【例2－2】 解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.【例2－3】 解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x . ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2.故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12.演练巩固提升1．B2．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1，故选C.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]．∵函数g(x)是以1为周期的函数，∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]．当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]．综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]．5．1 解析：y＝f(x)是y＝12x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。
高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示知识点
第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)≥0f（x），n∈N*1与[f(x)]0f(x)≠0f（x）log a f(x)f(x)＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×) (3)函数是特殊的映射．(√)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×) 2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 答案 C3．(2014·山东卷)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2x ）2－1＞0，解得x ＞2或0＜x ＜12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．答案 C4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0. 答案 B5．已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________． 解析 令2x ＋1＝a ，则x ＝a －12，则f (2x ＋1)＝3x －4可化为f (a )＝3（a －1）2－4，因为f (a )＝4，所以3（a －1）2－4＝4，解得a ＝193.答案 193考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2015·杭州模拟)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．(－∞，－3)∪(－3，0]D ．(－∞，－3)∪(－3，1] (2)函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3，0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1有意义，需满足x ＋1＞0且x －1≠0，得x ＞－1且x ≠1，故选C.答案 (1)A (2)C规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．(2)对于实际问题中求得的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义．【训练1】 (1)(2014·江西卷)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 (1)由题意可得x 2－x ＞0，解得x ＞1或x ＜0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1]．答案 (1)C (2)(0，1] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________．(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________．解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②①×2－②得3f (x )＝6x －3x， ∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)2x －1x(x ≠0)规律方法 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法，若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法，已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法，由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)方程法，已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【训练2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________．(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________． 解析 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f （x ）x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (2)23x ＋13考点三 分段函数【例3】 (1)(2014·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析 (1)f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝ －f (0)＝－log 28＝－3. (2)当x ＜1时，e x －1≤2成立，解得x ≤1＋ln 2，∴x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【训练3】 (1)(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2](2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________． 解析 (1)∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0；当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D. (2)当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．答案 (1)D (2) 2微型专题 抽象函数的定义域问题抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感觉棘手，在高考中一般不会单独考查，但从提升能力方面考虑，还应有所涉及．【例4】 若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 015]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．[0，2 014]B ．[0，1)∪(1，2 014]C ．(1，2 015]D ．[－1，1)∪(1，2 014]点拨 先利用换元法求出函数f (x ＋1)的定义域，则函数g (x )的定义域为f (x ＋1)的定义域与不等式x －1≠0的解集的交集．解析 要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 015，解得0≤x ≤2 014，故函数f (x ＋1)的定义域为[0，2 014]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 014，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 014.故函数g (x )的定义域为[0，1)∪(1，2 014]，故选B. 答案 B点评 函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围，即f (x )与f (g (x ))的定义域都是自变量x 的取值范围，常见有如下两种类型：(1)已知函数f (x )的定义域为D ，则函数f (g (x ))的定义域就是不等式g (x )∈D 的解集；(2)已知函数f (g (x ))的定义域为D ，则函数f (x )的定义域就是函数y ＝g (x )(x ∈D )的值域．[思想方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、方程法． [易错防范]1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·广州调研)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 答案 B2．(2014·郑州模拟)函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.答案 A3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7解析 ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 B4．(2015·合肥检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，f （x －1）＋1，x ≥0，则f (2 014)＝ ( )A ．2 014B.4 0292C ．2 015 D.4 0312解析 f (2 014)＝f (2 013)＋1＝…＝f (0)＋2 014＝f (－1)＋2 015＝2－1＋2 015＝4 0312.答案 D5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析 法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10， 当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1，所以选B.答案 B 二、填空题6．下列集合A 到集合B 的对应f 中：①A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值， 是从集合A 到集合B 的函数的为________．解析 其中②，由于1的开方数不唯一，因此f 不是A 到B 的函数；其中③，A 中的元素0在B 中没有对应元素；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素． 答案 ①7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2， 从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)8．(2015·武汉一模)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________．解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1，0] 三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. ∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10.根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式． 解 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为 ( ) A ．(－4，0)∪(0，4)B ．(－4，－1)∪(1，4)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－4，－2)∪(2，4)解析 ∵2＋x2－x＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x＜2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C ，D ，故选B. 答案 B12．(2014·包头测试与评估)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f (x )≤3的x 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．[－1，3]C ．[0，3]D ．[1，＋∞)解析 依题意，不等式f (x )≤3等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，31－x ≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 3x ≤3.解①得0≤x ≤1，解②得x ＞1.因此，满足f (x )≤3的x 的取值范围是[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)． 答案 A13．(2015·杭州质检)函数f(x)＝ln1|x|＋1的值域是________．解析依题意，因为 |x|＋1≥1，则0＜1|x|＋1≤1，ln1|x|＋1≤ln 1＝0，即函数的值域是(－∞，0]．答案(－∞，0]14．某人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地．在B地停留1 h 后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解x＝⎩⎪⎨⎪⎧60t，0≤t≤52，150，52<t≤72，150－50⎝⎛⎭⎪⎫t－72，72<t≤132.其图象如图所示．特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第2讲函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论 M 为最大值 M 为最小值诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．(√)(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．(×)(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) 2．(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析 y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 在(1，＋∞)上为减函数，t ＝x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)在(0，＋∞)上为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y＝x ＋1为增函数，故选A. 答案 A3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增． 答案 C4．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a＜0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C. 答案 C5．(人教A 必修1P31例4改编)f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案 2 25考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上递增．规律方法 判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．【训练1】 (1)已知a ＞0，函数f (x )＝x ＋ax(x ＞0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．深度思考 解决函数的单调性问题一般有两种解法：定义法和导数法，你不妨都试一试． (1)证明 法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a （x 2－x 1）x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0，1－ax 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)在(0，a ]上为减函数；当x 1＞x 2≥a 时，x 1－x 2＞0，1－ax 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )＞0，则1－a x2＞0， 解得x ＞a 或x ＜－a (舍)．令f ′(x )＜0，则1－a x2＜0， 解得－a ＜x ＜a .∵x ＞0，∴0＜x ＜a .∴f (x )在(0，a )上为减函数；在(a ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．(2)解 令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．考点二 利用函数的单调性求参数范围【例2】 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2015·奉化模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数， 则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立． 令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.答案 (1)D (2)C规律方法 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【训练2】 (1)(2014·北京西城区模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞) (2)若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析 (1)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.(2)法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1， 设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝（a ＋1）（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）， 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0.由于x 1<x 2<－1， ∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1（x ＋1）2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1（x ＋1）2≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故a 的取值范围是 (－∞，－1)．答案 (1)D (2)(－∞，－1) 考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值． (1)证明 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数，∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，又函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )，∴f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.规律方法 利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )在区间[a ，c ]上的最大值是f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在区间[a ，c ]上的最小值是f (b )．【训练3】 如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C[思想方法]1．利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 (1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义 域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减．[易错防范]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的．2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1．(2014·太原模拟)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是 ( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝C ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝1x解析 y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝在(0，＋∞)上是增函数；y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0， ＋∞)上是减函数，故y ＝1x在(0，1)上是减函数．故选D.答案 D2．(2014·济南模拟)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，1)D ．(0，1]解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上是减函数，∴a ≤1.① 又g (x )＝(a ＋1)1－x在[1，2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①②知，0<a ≤1. 答案 D3．(2014·长沙月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 答案 B5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1，2)时，f (x 1)＜f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0， 即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0. 答案 B 二、填空题6．(2014·中山质检)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． 解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞， －1]，[0，1]上是增函数． 答案 (－∞，－1]，[0，1]7．(2015·厦门质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． 解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在 [－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 3 8．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________． 解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1. 答案 [1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0，2]，求函数的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是区间[0，2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2（x 2＋1－x 1－1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝－2（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）.由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0，2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0，2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝ －23.10．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，（a －1）2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2，2]上是单调函数，∴k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D12．(2014·武汉二模)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)解析 函数f (x )在(－∞，1)和[1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1)上的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a ＜8.答案 B13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案 114．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝（x 1－x 2）（2x 1x 2－1）2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－（x 2＋2x ），x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞).第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有偶函数关于y轴对称f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有关于原点对称奇函数f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√)(5)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．(√) 2．(2014·太原模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝|log 2x |D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析 函数y ＝x 3是奇函数，排除A ；函数y ＝|log 2x |既不是奇函数，也不是偶函数，排除C ；当x ＞0时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减，排除D ；函数y ＝|x |＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选B. 答案 B3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析 依题意得对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此， f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－[f (x )·g (x )]，f (x )g (x )是奇函数，A 错；|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )，|f (x )|g (x )是偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－[f (x )|g (x )|]，f (x )|g (x )|是奇函数，C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|， |f (x )g (x )|是偶函数，D 错． 答案 C4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 015)＝－2. 答案 A5．(人教A 必修1P39A6改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．解析 当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )． 答案 x (1－x )考点一 函数奇偶性的判断及其应用【例1】 (1)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 答案 C(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)； ②f (x )＝(1－x )1＋x1－x； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1 （x ＞0），x 2＋2x －1 （x ＜0）；④f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.解 ①∵x 2＋1＞|x |≥0，∴函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )lg(－x ＋（－x ）2＋1) ＝－x lg(x 2＋1－x )＝x lg(x 2＋1＋x )＝f (x )． 即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．②当且仅当1＋x1－x ≥0时函数有意义，∴－1≤x ＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数． ③函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． ∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数．④∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3⇒－2≤x ≤2且x ≠0，∴函数的定义域关于原点对称． ∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x，又f (－x )＝4－（－x ）2－x ＝－4－x2x ，∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数．规律方法 判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 (1)(2015·郑州质量预测)下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( )A ．y ＝log 2|x |B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x－2－x2 D ．y ＝log 22－x2＋x(2)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________．解析 (1)对于A ，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1，2)上是增函数；对于B ，函数y＝cos 2x 在区间(1，2)上不是增函数；对于C ，函数y ＝2x －2－x2不是偶函数；对于D ，函数y ＝log 22－x2＋x不是偶函数，故选A.(2)∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x )＝（k －2x ）（2x ＋k ）＋（k ·2x －1）·（1＋k ·2x）（1＋k ·2x ）（2x＋k ） ＝（k 2－1）（22x＋1）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）. 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1. 答案 (1)A (2)±1 考点二 函数周期性的应用【例2】 (1)(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________．解析 (1)∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. (2)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )， 所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案 (1)A (2)2.5规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．【训练2】 (1)(2014·长春一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0，1)时，f (x )＝2x－1，则f (log 126)的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－6(2)(2015·雅安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于( ) A ．335 B ．336 C ．1 678 D ．2 012 解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数．(2)利用函数的周期性和函数值的求法求解． ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336. 答案 (1)C (2)B考点三 函数性质的综合应用【例3】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )。
高三数学一轮复习 第二章 第一节 函数及其表示课件 理 新人教A版
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②当0＜x≤1时，－1≤－x＜0， 此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1， ∴f(x)－f(－x)＞－1化为－x＋1－(x－1)＞－1， 解得x＜32，则0＜x≤1. 故所求不等式的解集为[－1，－12)∪(0，1]．
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名称
称___f：__A_→__B__为从集 称___f：__A__→__B__为从
合A到集合B的一个 集合A到集合B的一函数来自个映射第七页，共39页。
2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A) 叫函数的__定__义__域_；函数值的_集__合__(j_íh_é_)_{f_(_x)_|x_∈_是A}函数的值域． (2)如果两个函数的________相同，并且 (bìngqiě)_________完全一定致义，域则这两个函数对应为(相du等ìyìn函g)数关．系 3．函数的表示方法 表示函数的常用方法有_______、________和列表法．
④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
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【解析】 由函数的定义知①正确． ∵满足f(x)＝ x－3＋ 2－x的x不存在，∴②不正确． 又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤 立的点，∴③不正确． 又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确． 【答案(dáàn)】 A
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(1)已知函数f(x)＝
1－x，x≤0， ax，x＞0，
若f(1)＝f(－1)，则实
数a的值等于( )
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【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第二章 第一节 函数及其表示课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32解析：由f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝12. 答案：C2．(2015·北京朝阳模拟)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，解得x ≥0且x ≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C.答案：C3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 014)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0－x ，x <0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝( )A ．2 014B ．4 C.14D.12 014解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 986)＝f (2 014－10 000)＝lg 10 000＝4， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝4. 答案：B4．(2016·岳阳质检)设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( ) A ．(－9,0)∪(0,9) B ．(－9，－1)∪(1,9) C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9)解析：利用函数f (x )的定义域建立不等式组求解．要使函数f (x )有意义，则3＋x3－x>0，解得－3<x <3.所以要使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<x 3<3，－3<3x <3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－9<x <9，x <－1或x >1，所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析：函数的定义域为R 等价于对∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0，令f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a 2－4≤0即可，解得实数a 的取值范围为[－2,2]，故选D.答案：D6．(2015·陕西二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >01－x ，x ≤0，则f (f (－99))＝________.解析：f (－99)＝1＋99＝100，所以f (f (－99))＝f (100)＝lg 100＝2. 答案：27．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2]8．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒 负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋11x＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③9．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x >0，x 2－4x ＋3， x <0.10．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值．解：当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)； 当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋x －2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)；当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋－x2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)；当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)； 综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52. B 组 高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵f (x )有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1>0，x >0.∴x >2，∴f (x )的定义域为(2，＋∞)． 答案：C2．(2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]． 答案：C3．(2015·高考山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b .当52－b <1，即b >32时， 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4， 解得b ＝12.故选D.答案：D4．(2015·高考浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的y 与之相对应．对于A ，当x ＝π4或5π4时，sin 2x 均为1，而sin x 与x 2＋x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当x ＝1或－1时，x 2＋1＝2，而|x ＋1|有两个值，故C 错误，故选D.答案：D5．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又∵当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－4x 2＋2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 答案：1。