条件极值问题
条件极值问题：数学建模与优化算法
05
条件极值问题的实例分析
线性规划实例
• 线性规划实例：某公司生产多种产品，需要求解各产品的产量和 生产成本的最优解
• 目标函数：最小化生产成本 • 约束条件：产量和原材料消耗的线性方程组 • 求解方法：线性规划模型和单纯形法
非线性规划实例
• 非线性规划实例：某企业需要确定最优的生产策略，以实现最大利润 • 目标函数：最大化利润 • 约束条件：产量、成本和市场需求的非线性方程组 • 求解方法：非线性规划模型和梯度下降法
条件极值问题：数学建模与优化算法
01
条件极值问题的基本概念与类型
什么是条件极值问题
• 条件极值问题是指在一定条件下，求解目标函数的最大值或最小值问题 • 目标函数：需要优化的函数 • 约束条件：限制目标函数取值的范围 • 条件：问题的特定背景和要求
• 条件极值问题可以分为无条件极值问题和条件极值问题 • 无条件极值问题：没有约束条件的极值问题 • 条件极值问题：存在约束条件的极值问题
02
• 等式约束条件极值问题：约 束条件为等式 • 不等式约束条件极值问题： 约束条件为不等式
条件极值问题的应用领域
• 条件极值问题在优化算法、数学建模、工程领域等方面具有广泛 的应用
• 优化算法：求解条件极值问题的方法，如梯度下降法、牛顿法 等
• 数学建模：将实际问题抽象为数学模型，如线性规划模型、非 线性规划模型等
01
• 优点：可以得到精确解，计 算速度快 • 缺点：适用范围有限，需要 满足一定的条件
解析法在条件 极值问题中的 应用领域包括 简单的线性规 划问题、简单 的非线性规划
问题等Biblioteka 02• 简单的线性规划问题：如求 解线性方程组的解 • 简单的非线性规划问题：如 求解一元函数的极值点
高考数学中的条件极值问题详解
高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。
其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。
本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。
一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。
所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。
条件则是问题给出的限制条件。
例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。
二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。
2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。
3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。
4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。
5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。
三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。
分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。
其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。
根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。
2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。
证明此三角形是等边三角形，并求其面积。
CH4泛函的条件极值问题
x1
的欧拉方程组
x1 x0
H x , y , z , y ', z ', x dx
d H H 0 y dx y ' H d H 0 z dx z '
2
y
x
0 x y' C1 2 2 1 y' z' x1 z' x dx C 2 2 2 x0 1 y' z' 2 z 1 x
11
泛函的条件极值问题
let ds 1 y '2 z '2 dx dy C1 ds x1 dz x dx C 2 ( x ) x 0 ds 1 x2 1 x2 dx dz x ds x x
2 1 C1 s C2
12
泛函的条件极值问题
例2 求在约束条件 下，泛函
dx u x dt
1 t1 2 2 J x t u dt t 0 2
的极值曲线。边界条件为x(0)=x0，x(t1)任意 解 作辅助函数 t
I
1
0 t1
1 2 2 2 x u t u x x dt H t , x , u, x , u dt
Gz 0
z x, y
G x, y, ( x, y) 0
从约束条件可确定一函数 使 由于所求曲线 位于曲面上
条件极值拉格朗日乘数法
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
高等数学第18章第4节条件极值
第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
条件极值
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
条件极值简介
11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
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11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
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11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
条件极值
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题是数学建模中一个经典的问题，用于描述某事物的最优或最坏状态。
它的特点是求解给定某一特定约束条件下的极值，得到最优或最坏状态，而极值则是指给定约束条件下，可行范围内函数形式最大或最小值。
条件极值问题可以用于解决各种实际问题，例如经济学中的经济最优分配问题，以及机械设计问题中的最优设计问题、投资组合问题等。
在解决实际问题时，首先要确定约束条件和目标函数，然后分析不受约束的情况，如果没有约束，则定义目标函数并求解其极值；如果有约束，则确定约束条件，然后将目标函数求解为受约束的情况，接着解决等式约束和不等式约束问题，最后求解受约束情况下的极值，或者使用某些近似求解法求解极大值和极小值问题。
下面以一元函数的极值问题为例，来详细讲解条件极值的求解。
首先要确定目标函数和约束条件，比如求解函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的极值，其约束条件可以为x∈[a,+a]。
目标函数可以写成二次函数形式f(x)=ax^2+bx+c，而极值则要求其函数最大值或最小值，即f(x)的极大值与极小值。
求解极值的一般方法有以下几步：1.先求解函数的一阶导数，得到f(x)=2ax+b；2.f(x)=0时，找到函数的极值点 x0；3.断函数的一阶导数的变化趋势，即判断f(x)=2ax+b的大小关系，从而可以推断函数在极值点处的最大值或者最小值；4.据f(x)=2a，若f(x)>0，则函数在极值点处是极小值；若f(x)<0，则函数在极值点处是极大值；5.函数的极值与给定的约束条件进行比较，挑选出给定约束条件下的极值点。
在经济学、机械设计、投资组合等领域，都有着大量关于条件极值问题的研究和应用，无论是从数学的角度求解极值，还是应用于实际问题的求解，都有着重要的意义。
以上就是本文关于条件极值问题的简介，希望对读者有所帮助。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem），简称极值问题，是一个常见的数学问题，也是非常实用的数学方法之一。
它可以求解多元函数的极大极小值。
条件极值问题在工程、经济、物理等各个领域都有广泛的应用，是现代科学研究的重要工具。
本文将就极值问题的一般性定义、求解方法、实例应用和最优化原理等方面作一简要介绍。
一、极值问题的一般性定义条件极值问题是一个多元函数的极大极小值的求解问题，也称为最优化问题。
它就是求解函数f(x)在给定条件C(x)=0下的极大或极小值，这里f(x)表示目标函数，C(x)表示约束条件。
二、极值问题的求解方法求解极值问题的关键是利用数学方法求解多元函数的极大或极小值。
一般有以下几种方法：1、求导法。
首先要利用微积分求出函数极值的判据，即最优原理，然后利用求导法求出函数的极值；2、等价转化法。
首先将求解的极值问题转化为等价的标准型解，然后利用判别函数的变化情况求解极值；3、线性规划法。
这是极值问题最常用的求解方法，它可以把极值问题转化为一个线性规划问题，然后求解出解析解；4、善用数值方法。
求解极值问题时，也可以善用数值方法，比如牛顿法、梯度下降法等。
三、实例应用1、求一个凸多元函数的极小值。
这里给出一个凸多元函数f(x)=x1+2x2+3x3。
求它的极小值问题，其约束条件为x1+x2+x3=1，即C(x)=x1+x2+x3-1=0。
利用求导法研究函数极值判据，其一阶导数为f(x)=1+2+3=6，它的极小值出现在导数恒为零的地方。
将约束条件带入判别函数，即F(x)=f(x)-λC(x)=x1+2x2+3x3-λ(x1+x2+x3-1)=0，其中λ为拉格朗日乘子，由于极小值时一阶导数恒为零，所以可以得到F(x)=6-3λ=0，可以求出λ=2，此时可以把原问题转化为等价的标准型问题，即F(x)=x1+2x2+3x3-2(x1+x2+x3-1)=0，然后求解这个非线性方程组，得出x1=0, x2=0.5,x3=0.5,此时f(x)=3，即极小值为3。
条件极值问题
数 f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 的最小值。这就是所谓的条件极值问题。
以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数
f ( x, y , z )
在约束条件
⎧G ( x, y, z ) = 0, ⎨ ⎩ H ( x, y , z ) = 0
下的极值。 假定 f , F , G 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵
得到唯一解
x = 2a ,
3
y = 2a , z =
3
3
2a 。 2
由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水 箱的底为边长是 3 2a 米的正方形，高为 3 2a 2 米时，用料最省。
例 12.7.2 求平面 x + y + z = 0 与椭球面 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 1 相交而成的 椭圆的面积。 z
O x 图 12.7.1
y
解 椭圆的面积为 πab ，其中 a, b 分别为椭圆的两个半轴，因为椭 圆的中心在原点，所以 a, b 分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最 小距离。 于是，可以将问题表述为，求
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
在约束条件
⎧ x + y + z = 1, ⎨ ⎩ x + 2 y + 3z = 6
下的最小值（最小值的平方根就是距离） 。为此，作 Lagrange 函数 L( x, y, z , λ , μ ) = x 2 + y 2 + z 2 − λ ( x + y + z − 1) − μ ( x + 2 y + 3 z − 6) ， 在方程组
条件极值问题
条件极值问题
条件极值问题是数学建模中的一种基本问题。
它属于一类优化问题，它包含了一些非常有趣的内容，能够让使用者更好地深入了解所求问题。
条件极值问题非常重要，主要用于最优化问题，让我们能够在有限的资源条件下最大限度地发挥出资源的最大价值。
条件极值问题是一种优化问题，它的基本思想是：在满足一定限制条件的情况下，求出一组变量的最优解。
简单来说，它主要是要求出在满足某种限制条件的情况下，优化一组变量的最优解。
条件极值问题包括了定义优化问题的变量、限制条件、目标函数等多个方面，都是非常重要的内容。
条件极值问题经常用于把一个组合优化问题分割成若干个单一变量优化问题，使用者可以根据自己的需求和条件来选择不同的优化模型，从而得到自己所需要的结果。
在求解条件极值问题时，有很多的技术和方法可以用。
如果问题是一个简单的条件极值问题，可以使用梯度法或者凸优化算法来求解。
如果问题比较复杂，则可以使用拟牛顿法、共轭梯度法或者其他优化算法。
条件极值问题可以用在很多场合，如生产调度问题、分配问题、最佳化规划问题等。
例如，在生产调度问题中，可以使用极值条件来减少计划内生产成本；在分配问题中，可以使用极值条件来获得最大收益。
条件极值问题的求解是一个技术活，目前已经有了不少的技术
来求解这种问题，但这些技术仍然是有限的，因此神经网络等新技术的出现可能会拓宽条件极值问题的解决方案。
条件极值问题是一个很有趣的问题，它可以让我们更好地探索和利用资源，让资源发挥最大价值，对于实践中的各类问题都可以有所作为。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem）是数学优化学中一种经典的问题。
它是寻找函数代数形式中给定条件下的极大值或极小值的问题，也称为特征值问题。
条件极值问题是非线性规划中最重要的研究内容之一，它在工程、科学和经济领域有广泛的应用。
条件极值问题的基本概念是以决策变量给定的函数的形式而存在。
它是一种非线性的数学问题，可以用来模拟复杂的现实系统，并得出最优解。
条件极值问题可以分为线性条件极值问题、二次条件极值问题、多项式条件极值问题和非线性条件极值问题四大类。
线性条件极值问题的特点是，它的结果是一个固定的最优值，而不是函数的极值，这样优化问题就可以转换为数学模型，从而解决函数极值的求解问题。
它的求解方法可以是单纯形法、拉格朗日法和变分法等。
二次条件极值问题涉及到函数结构和约束条件，使用等式和不等式条件限制函数极值，从而实现函数最优化。
这些条件中必须包含几个变量，以使求解过程更加复杂。
一般来说，这类问题的求解方法可以是梯度法、拉格朗日法和凸规划法等。
多项式条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列多项式来表示，而这系列多项式都符合条件限制。
多项式条件极值问题的求解方法可以是微积分法、牛顿法和拉格朗日法等。
非线性条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列非线性函数来表示，而这系列函数都符合条件限制。
非线性条件极值问题的求解方法可以是拉格朗日法、曲线法、局部搜索法和迭代法等。
条件极值问题有着广泛的应用。
在工程设计中，如汽车设计、机床设计和航空设计等，都需要考虑优化问题，如参数选择、尺寸设定和构型设计等，这些问题都可以用条件极值问题解决。
在经济学领域，它可以用来模拟复杂的经济体系，以求最终的最优解。
条件极值问题有着广泛的应用，其解决方法也非常多，但其都存在某些不足。
例如，很多方法往往只能求解一些特定的问题，而在复杂的环境中，常常无法得出全局最优解；另外，由于它涉及到非线性条件，这些条件也影响求解的结果。
条件极值问题的讨论
摘要条件极值问题是一个非常普通的数学问题，它不仅在理论上有重要的作用，而且在其他学科及有关实际问题中有着广泛的应用.本文首先介绍了极值的相关理论；然后对求解条件极值的方法做了详细的归纳与总结，从中得到不同的条件极值问题可以有不同的求解方法，如有些问题可以通过变形转化为均值不等式或柯西不等式的形式进行求解. 对于二元二次函数的条件极值问题，有时可以借助二次曲线的图像进行求解. 而在求多个限制条件下的极值问题时，一般考虑用拉格朗日乘数法和梯度法；最后通过一些实例研究了条件极值在物理学、不等式证明、渠道设计及最优销售方案等实际问题中的应用.关键词：条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法AbstractConditional extremum problem is a very common Mathematical problems, it not only plays an important role in theory, but also has a wide application in other subjects and the related regions.In this paper, we first introduce the related theory of extremum. Then we give a detailed induction and summary which is the metheds of solving conditional extremum, for different conditional extremum problems can have different solving. Such as some problems can be solved through transformation of Mean Value Inequality or Cauchy Inequality. Sometimes conditional extremum problems of binary quadratic function is solved depending on image of quadratic carve. We generally used Lagrangian Multipliers and Gradient Method to solve extremum problems of multiple constraints. Finally we study the applications of conditional extremum in physics, inequality proof, channel design and optimal sale plan and other practical problems through examples.Key words:Conditional extremum; Lagrangian Multipliers; Gradient Method目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (4)第1章基础知识 (5)1.1 隐函数的概念 (5)1.2隐函数定理 (5)1.3极值 (6)1.3.1 无条件极值 (6)1.3.2 条件极值 (7)第2章条件极值的解法 (8)2.1拉格朗日乘数法 (8)2.2 不等式法 (14)2.2.1 均值不等式 (14)2.2.2 柯西不等式 (15)2.3 梯度法 (16)2.4 三角函数法 (18)2.5 对称函数法 (19)2.6 数形结合法 (20)2.7 比较法 (21)第3章条件极值的应用 (23)3.1 在物理学中的应用 (23)3.2 在不等式证明中的应用 (24)3.3 在渠道设计中的应用 (24)3.4 在生产销售中的应用 (25)3.4.1 生产成本最小化方案 (26)3.4.2 利润最大化方案 (26)结论 (29)参考文献 (30)致谢 (31)绪论条件极值问题是一类应用较强的问题，现实生活中诸多问题均可转化为条件极值问题进行研究. 拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的一种重要方法，对拉格朗日乘数法的研究可以为相关理论应用到集值分析、优化等领域奠定理论基础. 另一方面，对条件极值问题解法的研究为我们运用数学知识解决实际问题（如工农业生产、经济管理）提供了理论依据与工具，使许多实际问题找到一个最优的解决方案. 同时对解法适用情形的分析可以提高我们解决实际问题的效率. 由此可见，条件极值问题的研究具有极高的理论与应用价值，同时对数学和其它学科的发展也起着至关重要的作用.国内外，有许多学者在研究条件极值，取得了丰硕的成果. 在国内，2000年，王延源[1]阐述了解决条件极值问题的几种有效方法. 2003年，查中伟[2]介绍了在生产中利用条件极值理论的经济意义. 2009年，侯亚红[3]通过例题详细介绍了判定多元函数条件极值的几种方法. 2010年，赵德勤、殷明[4]讨论了如何用构建函数条件极值的方法证明不等式. 2011年，孙海元、孙永妃[5]结合具体实例介绍了几种特殊的求解条件极值问题的方法，并给出了各方法的适用范围.在国外，2000年，E.M.Safro[6]介绍了条件极值理论在最优化方面的相关应用. 2007年，Karamzin与D.Yu[7]讨论了条件极值的必要条件在优化领域中的应用. 2008年，Tikhomirov[8]简单地叙述了解决条件极值问题的几种常见方法. 2011年，V.A.Samgin[9]阐述了如何求解在一定条件下的极值问题.本文主要研究条件极值及其应用. 第一章对条件极值的理论作简单的介绍，为下文奠定理论基础. 第二章重点对条件极值的解法进行探讨，本部分将结合具体实例，采用由易到难，归纳总结的方法. 针对不同问题的特点给出求不同类型条件极值问题的常用方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并通过对方法的比较研究，总结各方法的优缺点与适用范围. 第三章主要阐述如何应用函数的条件极值理论解决一些实际问题，分别介绍条件极值在数学、物理学等学科中的应用，及在优化方面的实际应用.第1章 基础知识1.1 隐函数的概念隐函数是表示函数f 变量间对应关系的一种方法，它与我们平时接触的函数有所区别，也就是对应关系不明显地隐含在方程中. 由于隐函数在条件极值问题中占有非常重要的地位，因此，这一节将简略地介绍隐函数的相关概念.定义 1.1[10] 设有两个非空数集A 与B . 若A x ∈∀，由二元方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f （或写成)(x f y =）是二元方程0),(=y x F 确定的隐函数.例如，二元方程448),(+-=y x y x F 在R 上确定一个隐函数.类似地将二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数推广到含1+n 个变量y x x x n ,,,,21 的方程0),,,,(21=y x x x F n中.若存在点),,,(002010n x x x Q =的邻域N ，N x x x Q n ∈∀),,,(21 ，通过上面的方程存在唯一一个y 与之对应，假设),,,(21n x x x f y =，则有0)],,,(,,,,[2121≡n n x x x f x x x F就可称n 元函数),,,(21n x x x f y =是由方程0),,,,(21=y x x x F n 确定的隐函数.1.2 隐函数定理在上一节中介绍了隐函数的概念，那么给定一个方程0),(=y x F ，满足什么条件时，此方程才存在隐函数呢？在本节我们将继续讨论隐函数的存在性.定理 1.1[11] 若二元函数),(y x F z =在以点),(00y x 为心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：1) ),(y x F x 与),(y x F y 在D 连续(从而),(y x F 在D 连续)，2) 0),(00=y x F ，3) 0),(00≠y x F y ，则 ⅰ) 0>∃δ与0>β，),(00δδ+-=∆∈∀x x x 存在唯一一个)(x f y =(隐函数)，使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且ββ+<<-00)(y x f yⅱ) )(x f y =在区间∆连续.ⅲ) )(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()(y x F y x F x f y x -=' 其中，我们用),(y x F x 、),(y x F y 表示),(y x F 关于x 、y 的偏导数，也可简记为x F 、y F .类似地，我们可以推出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的含有1+n 个自变量的隐函数.定理 1.2[11] 若函数),,,,(21y x x x F z n =在以点),,,,(000201y x x x P n 为心的矩形区域G 满足下列条件：ⅰ) 1x F ,2x F ,…,n x F ,y F 在G 连续(从而F 在G 连续)，ⅱ) 0),,,,(000201=y x x x F n ， ⅲ) 0),,,,(000201≠y x x x F n y ，则存在点),,,(00201n x x x Q 的邻域U ，在U 内存在唯一一个有连续偏导数的n 元(隐)函数),,,(21n x x x f y =，使0)],,,(,,,,[2121≡n n x x x f x x x F),,,(002010n x x x f y =且yx k F F x y k -=∂∂ ),,2,1(n k =1.3 极值极值的概念源自于日常生活中的最值问题，可根据自变量是否受到其它条件的限制，把条件极值问题分为无条件极值与条件极值两类. 本节我们将分别介绍无条件极值与条件极值的基础知识.1.3.1 无条件极值定义 1.2[12] 设n 元数值函数),,,()(21n x x x f x f =在点),,,(21n a a a a =邻域有定义. 如果存在0>η，使得)()(a f x f ≥,))()((a f x f ≤, ),(ηa U x ∈∀那么我们就说函数f 在点a 取得极小值(极大值). 极小值和极大值统称极值.1.3.2 条件极值然而在计算函数的极值时，所求函数的自变量往往要受到一些条件的限制. 如求曲面0),,(=z y x F 与原点的距离时，就可转化为求函数222),,(z y x z y x f ++=的最小值，而其中的自变量x 、y 、z 并不是独立存在的，要满足0),,(=z y x F 这一条件，这种问题称为条件极值问题.定义1.3[13] 实值函数),,,()(21n x x x f x f y ==在满足以下函数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,(...),,,(),,,(21212211n m n n x x x x x x x x x ϕϕϕ n m ≤ (1-1) 的极值称为条件极值. 式(1-1)称为函数f 的约束条件，函数f 常称为约束条件下极值问题的目标函数.第2章 条件极值的解法条件极值的求解方法有很多种，本章采用结合具体例子的方法，归纳总结出几种求解条件极值的方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并比较得出各方法的难易程度、适用条件以及注意事项.2.1 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题时常用的方法. 我们先从最简形式的二元函数说起，即求目标函数),(y x f g =在约束条件0),(=y x ϕ下取得极值，如果目标函数),(y x f g =在),(00y x 取到极值，那么就应该满足0),(00=y x ϕ. 若),(y x f 、),(y x ϕ在),(00y x 的某领域内都有一阶连续偏导数，且0),(≠y x y ϕ，根据满足隐函数存在的条件,可设由方程0),(=y x ϕ所确定的隐函数是)(x q y =，则点0x 成为函数))(,(x q x f g =的极限点，因此有0)(),(),(000000='+==x q y x f y x f dxdgy x x x 根据隐函数的求导公式可得 ),(),()(00000y x y x x q y x ϕϕ-=' 则有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ 即0=-x y y x f f ϕϕ，故 0),(),(=-⋅x y y x f f ϕϕ由此可见，向量),(y x f f 与向量),(x y ϕϕ-正交，而向量),(y x ϕϕ与向量),(x y ϕϕ-也正交，可得向量),(y x f f 与向量),(y x ϕϕ相性相关，故可知存在实数λ，使得0),(),(=+y x y x f f ϕϕλ即⎩⎨⎧=+=+00y y x x f f λϕλϕ由以上的讨论我们可以得出，函数),(y x f g =在约束条件0),(=y x ϕ下的条件极值点是以下方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ的解.由上述讨论产生一个重要的思想：通过引入辅助函数的方法，把条件极值的相关问题转化为关于所构建函数的一般极值问题.对目标函数),,,(21n x x x f y =和约束函数).,,2,1)(,,,(21n m m k x x x n k <= ϕ，我们可以引入辅助函数∑=+=mk n k k n m n x x x x x x f x x x G 121212121),,,(),,,(),,,,,,,( ϕλλλλ上述函数称为拉格朗日函数，m λλλ,,,21 称为拉格朗日乘数.定理 2.1[14] 设),,,(21n x x x f y =，),,,(21n k x x x ϕ).,,2,1(n m m k <= ，在以点),,,(00201n x x x P 为内点的区域D 内连续可微，P 是满足条件)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ且使函数),,,(21n x x x f 取得极值的点，若矩阵p x x x x x x x x x n m m mn n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ212221212111 的秩为m ，则存在m 个常数01λ，02λ，…，0m λ，可使),,,,,,,(0020100201n n x x x λλλ 是拉格朗日函数G 的稳定点，则),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ 为以下m n +个方程组的解⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂0),,,(0),,,(00212111111111n m n n m m n n m m x x x x x x x x x fx x x f ϕϕϕλϕλϕλϕλ (2-1) 以上求解条件极值的方法称为拉格朗日乘数法，用它求解条件极值问题的一般步骤是：1) 根据上述拉格朗日乘数法，构建辅助函数m m f G ϕλϕλϕλ++++= 22112) 求辅助函数的稳定点，即方程(2-1)的解. 设解是),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ ，在求解的过程中可以消去k λ，从而求得满足方程组的稳定点),,,(00201n x x x . 3) 根据问题的实际意义，如果条件极值存在，且方程组只有唯一的一个稳定点， 则该点一定是函数的极值点.例2.1抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截得一椭圆，求该椭圆上的点与坐标原点的最短和最长距离.解 本问题实际为求函数222),,(z y x z y x f ++=在约束条件z y x z y x -+=22),,(ϕ，1),,(-++=z y x z y x γ下的最值问题.根据拉格朗日乘数法，构建函数)()1(2221222z y x z y x z y x G -++-+++++=λλ其中1λ、2λ为参数，令函数G 的每个一阶导数均为0. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-++=∂∂=-+=∂∂=++=∂∂=++=∂∂001020220222221212121z y x G z y x G z z G y y yG x x x G λλλλλλλλ 前两个方程作差，可求得0)1)((2=+-λy x ，那么y x =或12-=λ. 如果12-=λ，则可知01=λ，21-=z ，不满足方程组. 所以y x =，把y x =代入方程组中，得 ⎩⎨⎧=+=1222z x x z 解出两个稳定点为)32,231,231(+----和)32,231,231(-+-+-. 根据本题的实际意义可知，必存在最短距离与最长距离，所以上述两点即为所求的极值点，从而求得距离函数222z y x d ++=的最小值359-和最大值359+.在应用拉格朗日乘数法求解条件极值时应注意，拉格朗日乘数法只是取得条件极值的必要条件. 上述问题是在利用拉格朗日乘数法求出稳定点后，根据问题的实际意义来判断所求的稳定点是否为极值点. 那么在求解没有赋予实际意义的函数的条件极值时，应该如何来判断稳定点的极值性，是一个需要解决的问题. 下面就来给出证明条件极值的一个充分条件，方便我们快速、有效地处理在做题过程中所遇到的各种问题.定理2.2[15] 设)(x f 与),,,(21n k x x x ϕ，)(,,2,1n m m k <= 都在),,,(00201n x x x 的某邻域)(0x U 内有二阶连续偏导数，记)),,,()(()(),(121∑==+=mk m k k x x f x G λλλλϕλλ ，如果ⅰ) ),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ 是方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂0),,,(0),,,(00212111111111n m n n m m n n m m x x x x x x x x x f x x x fϕϕϕλϕλϕλϕλ的解；ⅱ) 函数)()()(10x x f x k mk k ϕλ∑=+=Φ关于n x x x ,,,21 在0x 处的Hessian 矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂=n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x H )()()(.........)()()()()()()(0220210220222021202102210211020其中j i ji ij x x x x x ∂∂Φ∂=Φ=Φ)()()(0200，则有：(1) 当)(0x H 正定时，)(0x f 为条件极小值； (2) 当)(0x H 负定时，)(0x f 为条件极大值； (3) 当)(0x H 不定时，)(0x f 非极值.证明 )(),...,,()(002021010x U g x g x g x g x n n ∈+++=+∀)),...,,((21n g g g g =，根据多元函数的泰勒公式可知∑∑∑===+Φ+Φ+Φ=+Φnj n i nj j i ij j j g g g x g x x g x 1110000)(!21)()()(θ)10(<<θ (2-2)由ⅰ)可知∑==mk kk x 1000)(ϕλ，0),()(000==Φλx G x j j因此可以得到)()()()(001000x f x x f x k m k k =+=Φ∑=ϕλ，0)(01=Φ∑=j nj j g x然后，把(2-2)化为：j i n i nj ij g g g x x f g x )(!21)()(01100θ+Φ+=+Φ∑∑== (2-3)如果g x +0满足方程0)(=x k ϕ，根据ⅱ)可知)()()()(001000g x f g x g x f g x mk k k +=+++=+Φ∑=ϕλ把(2-3)化为：j i n i nj ij g g g x x f g x f )(!21)()(01100θ+Φ+=+∑∑== (2-4)因为函数)(x f 、)(x k ϕ在)(0x U 均存在二阶连续偏导数，所以函数j i ni nj ij g g x x Q )()(11∑∑==Φ=在)(0x U 内连续.(1) 当)(0x H 正定时，0≠∀g ，有0)(0>x Q 恒成立，根据连续函数的性质，知0x ∃的某邻域)()(001x U x U ⊆，使得在满足)(01x U x ∈且0≠g 的条件下，有0)(>x Q 恒成立. 对于满足约束方程的任意一点)0)(()(010≠∈+g x U g x ，根据(2-4)可得0)(!21)()(000>+=-+g x Q x f g x f θ 所以)()(00x f g x f >+. 根据条件极值的定义，得出)(0x f 为)(x f 的极小值.(2) 当)(0x H 负定时，同理可证.(3) 当)(0x H 不定时，j i ni nj ij g g x x Q )()(0110∑∑==Φ=即为不定，所以在0x 的某邻域内)(0g x Q θ+内的符号不能确定，即)()(00x f g x f -+的符号不能确定，因此)(0x f 不是极值. 证毕.根据条件极值的必要条件与充分条件，可总结下列求解条件极值的步骤：1) 求拉格朗日函数的稳定点),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ ；2) 构建函数∑=+=Φmk k k x x f x 10)()()(ϕλ，求出)(x G 在0x 处的Hessian 矩阵)(0x H ；3) 利用定理2.2判断函数的极值，当)(0x H 为半定时，采用其它方法.例 2.2 求函数z y x z y x u 22),,(-+=在约束条件36),,(222-++=z y x z y x ϕ下的极值.解 构建拉格朗日函数)36(22),,,(222-+++-+=z y x z y x z y x G λλ令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+-=∂∂=+=∂∂=+=∂∂036022021022222z y x G z zGy y Gx x Gλλλλ解得两个稳定点)41,4,2,4(1--=P ，)41,4,2,4(2--=P ，),,(λy x G 的Hessian 矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ20020002),,(y x H 因为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=21000210021)(1p H 是负定的，所以),4,2,4(1-=P 为条件极大值点，且最大值为18；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=210002100021)(2p H 是正定的，所以)4,2,4(2--=P 为条件极小值点，且最小值为18-；2.2 不等式法不等式的应用非常广泛，灵活运用不等式的相关知识，可以解决一些比较困难的问题. 下面就均值不等式、柯西不等式来说明它在条件极值问题中的应用.2.2.1 均值不等式定理 2.3[16] 设n a a a ,,,21 是n 个正数，我们把na a a n+++ 21和n n a a a 21分别叫做这n 个正数的算术平均值和几何平均值，分别记为)(a A n ，)(a G n . 对于上述n 个正数n a a a ,,,21 ，有nn n a a a na a a 2121≥+++，当且仅当n a a a === 21时，等号成立.这个不等式称为均值不等式.证明 证明均值不等式的方法有很多种，下面我们以逐次调整法来加以说明.n a a a ,,,21 中一定存在最小值与最大值，那么设1a 、2a 分别为n 个正数中的最小值与最大值. 易得21221)2(a a a a ≥+，用221a a +，221a a +取代1a ，2a . 可以发现)(a A n 不变，但)(a G n 增大，也就是∑==++++++ni i n a n a a a a a a n 1321211)22(1 nn nn a a a a a a a a a 321212122+⋅+≤ 对于每个n ，最多进行1-n 次有限次的代换. 即n n n n n n n n n n A A A A a a a a a a a a G =≤≤+≤= ...)2()(322121 故)()(a A a G n n ≤，当且仅当n a a a === 21时，等号成立. 证毕.在利用均值不等式求解函数的条件极值时，有时需要把函数进行变形，然后再利用“和定”求积的极大值或“积定”求和的极小值来求解. 也就是要满足条件“一正二定三相等”.例2.3 已知71111=++z y x )0,0,0(>>>z y x ，求z y x z y x f ++=),,(的极小值. 解 因为0,0,0>>>z y x ，所以71)(7),,(⋅++=++=z y x z y x z y x f)111()(7z y x z y x ++⋅++=)3(7xz z x y z z y x y y x ++++++= 63)2223(7=+++≥当且仅当21===z y x ，等号成立，所以z y x z y x f ++=),,(的最小值为63.2.2.2 柯西不等式数学家柯西在研究“流数”问题时，得到了非常重要的柯西不等式，它对一些函数的最值、极值问题有更简便的解决方法.定理2.4[17] 如果n a a a ,,,21 ，n b b b ,,,21 为两组实数，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++当且仅当k b a b a b a nn ==== 2211(常数)时，等号成立，这个不等式称为柯西不等式.可以简述为“方和积不小于积和方”.证明 采用数学归纳法证明 当1=n 时，结论显然成立. 当2=n 时，))((2)(22212221222221222221212122222211212122211b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++=+++≤++=+当且仅当1221b a b a =时等号成立.假设当k n =时，等式成立，即∑∑∑===≤ki ki ki iii i bab a 111222)(，当且仅当i j j i b a b a =等号成立，这里k j i ,,2,1, =.因此，当1+=k n 时，))((21122112112112+=+=+=+=++=∑∑∑∑k ki i k ki i k i ik i ib b aa ba∑∑∑∑=+++=+==+++=ki k k i k ki ik ki iki ib a baabba1212122112211212212112121112122++==++==++≥∑∑∑∑k k ki i ki i k k ki iki lb a ba b a ba211212111121)(2)(∑∑∑+=++=++==++≥k i i i k k ki i i k k ki i i b a ba b a b a b a当且仅当jji i b a b a =，k j i ,,2,1, =时，等号成立. 即定理2.4成立. 证毕.例2.4 已知9)1()2()4(222=-+-++z y x ，求z y x z y x f 22),,(-+=的最值. 解 将z y x z y x f 22),,(-+=变形为2)1(2)2(2)4(),,(----++=z y x z y x f设)1(2)2(2)4(),,(---++=z y x z y x q根据上述柯西不等式和已知条件，有81])1()2()4][()2(21[)]1(2)2(2)4[(2222222=-+-++-++≤---++z y x z y x即9)1(2)2(2)4(9≤---++≤-z y x当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-+-++=--=-=+9)1()2()4(212214222z y x k z y x 时，等号成立. 解当1,4,3,1-==-==z y x k 时，),,(z y x q 取得最大值9；当3,0,5,1==-=-=z y x k 时，),,(z y x q 取得最小值9-.所以),,(z y x f 的最大值为7，最小值为11-.2.3 梯度法定义2.1[18] 设2R D ⊂为开集，D y x ⊂),(00为定点. 如果函数),(y x f z =在),(00y x 点可偏导，则称向量)),(),,((0000y x f y x f y x 为f 在点),(00y x 的梯度，记为j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=采用梯度法求解目标函数),,,(21n x x x f y =在约束条件0),,,(21=n k x x x ϕ限制下的条件极值，其中n m m k ≤=,,,2,1 .首先，应求出目标函数),,,(21n x x x f 的梯度向量),,,(21nx f x f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= 假设m m ϕλϕλϕλϕ+++= 2111是m 个约束条件相交部分的方程，这样就可以把多个条件转化为一个条件. 曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的法向量是),,,(21nx x x n ∂∂∂∂∂∂=→ϕϕϕ 其中im m i i i x x x x ∂∂++∂∂+∂∂=∂∂ϕλϕλϕλϕ2211再设曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的切平面的切向量是),,,(21n p p p p =→则02211=∂∂++∂∂+∂∂=⋅→→nn x p x p x p n p ϕϕϕ 然后令0132====-n p p p ，得n m mnmm nn p x x x x x x p 112211122111∂∂++∂∂+∂∂∂∂++∂∂+∂∂-=ϕλϕλϕλϕλϕλϕλ 从而得到一个向量),,0,(1n n n p x p x ∂∂∂∂-ϕϕ 消去n p ，于是得到),,0,(1x x n ∂∂∂∂-ϕϕ 类似地，可得到另外2-n 个向量，),0,,0,,0(2x x n ∂∂∂∂-ϕϕ ，…，),,0,,0,0(1-∂∂∂∂-n n x x ϕϕ 最后，把这1-n 个向量与),,,(21nx fx f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= 作内积，就可得到如下1-n 个方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂--n n nn n n nn x x x f x f x x x f x f xx x f x f ////////////112211ϕϕϕϕϕϕ 再将上述方程与m 个约束条件联立，通过解该方程组，就可以求出稳定点.例2.5 求平面0=++c b a 与椭球面142222=++=c b a ϕ相交的椭圆的面积. 解 椭圆的面积是mn π，这里m 、n 是椭圆上的点与原点的最小与最大距离. 所以本题可转化为求222),,(c b a c b a f ++=在约束条件⎩⎨⎧=++=++140222c b a c b a下的最小值与最大值.令c b a ++=1ϕ，142222-++=c b a ϕa a f 2=∂∂，b b f 2=∂∂，c c f 2=∂∂ 11=∂∂a ϕ，11=∂∂b ϕ，11=∂∂c ϕa a 22=∂∂ϕ，b b 22=∂∂ϕ，c c82=∂∂ϕ代入方程组可以得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=++⋅+⋅+=⋅+⋅+=01408222822222221212121c b a c b a cbc b cac a λλλλλλλλ 解方程组得)32,62,62(),,(111-=c b a ，)32,62,62(),,(222--=c b a )0,21,21(),,(333-=c b a ，)0,21,21(),,(444-=c b a容易得出f 在前两个点的值均为31，在后两个点的值均为1，因此可知31=m ，1=n . 所以求得的椭圆面积为3ππ=mn .2.4 三角函数法三角函数法，即是用三角函数或三角函数式代替原函数解析式中的变量，进而借助三角函数求出极值的一种方法.在作代换时，应从函数解析式中变量的允许值与解题的需要去考虑，选择最恰当的三角函数或三角函数式去替换.例2.6 已知实数x 、y 满足方程9922=+y x ，求函数y x y xy x y x f 393),(22++++=的最大值.解 设t x cos 3=，t y sin =，其中t 为参数且π20≤≤t ，代入),(y x f 的表达式中，得t t t t t t t f sin 3cos 3sin 9cos sin 9cos 9)(22++++=即t t t t t t t f sin cos 9)sin (cos 3)sin (cos 9)(2-+++=因为]1)sin [(cos 29sin cos 92-+=t t t t所以有29)sin (cos 29)sin (cos 3)sin (cos 9)(22++-+++=t t t t t t t f即29)sin (cos 3)sin (cos 29)(2++++=t t t t t f 又由于2)4sin(2sin cos ≤+=+πt t t所以232272923)2(29)(2+=+⨯+⨯≤t f 即y x y xy x y x f 393),(22++++=的最大值为23227+.2.5 对称函数法定义2.2[19] n 元函数),,,(21n x x x f u =，若存在),(n j n i j i ≤≤≠，使),,,,,,(),,,,,,(11n i j n j i x x x x f x x x x f =则称函数),,,(21n x x x f u =是关于自变量i x 与j x 的对称函数.定义 2.3[19] 若对任意的),(n j n i j i ≤≤≠，n 元函数),,,(21n x x x f u =都是关于自变量i x 与j x 的对称函数，则称函数),,,(21n x x x f u =是关于自变量n x x x ,,,21 的对称函数(简称对称函数).在求解多元函数的条件极值时，只要所求的目标函数),,,(21n x x x f u =与其约束函数),,,(21n x x x ϕ都是对称函数，则可通过解方程组⎩⎨⎧====n n x x x x x x 21210),,,(ϕ 求出可能的极值点，从而求出极值.例2.7 求函数)(2yz xz xy f ++=在条件xyz =ϕ下的最小值.解 很明显能够看出约束条件xyz =ϕ是对称函数，而目标函数)(2yz xz xy f ++=仅是关于x 、y 对称，令z g 2=，那么目标函数与约束条件分别为yg xg xy f ++=，xyg =ϕ2f 与ϕ2均是对称函数，则可解方程组⎩⎨⎧===g y x xygϕ2 得32ϕ===g y x223ϕ=z 即当x 、y 、z 分别为32ϕ、32ϕ、223ϕ时，函数f 取到最小值为32256ϕ.2.6 数形结合法数形结合法是借助于函数图像的性质解决实际问题的一种方法，因此，我们可以依据所求目标函数的几何意义，如点到直线的距离、圆的直径等性质来求得目标函数的极值.例2.8 求22y x +在922=++y xy x 下的最值. 解 设n m x +=，n m y -=，则932222=+=++n m y xy x故13)3(2222=+n m 由于)(22222n m y x +=+所表示的是坐标原点到椭圆上点的距离平方的2倍，所以最小值为短轴长平 图 2-1 转化图 方的2倍6，最大值为长轴长平方的2倍18.m2.7 比较法在给出了几种求条件极值的方法后，能够选择最恰当的方法解决问题是关键，下面我们将依次用朗格朗日乘数法、均值不等式法、梯度法、三角函数法求解例 2.8，以说明这一问题.解法一 拉格朗日乘数法设拉格朗日函数)9(),,(2222-++++=y xy x y x y x G λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=++=∂∂=++=∂∂090)2(20)2(222y xy x G x y y yG y x x x G λλλ 解得22y x =，当y x =时，3±==y x ，此时22y x +取到最小值6；当yx -=时，3=-=y x 或3==-y x ，此时22y x +取到最大值18.解法二 均值不等式法(1) 当0>x ，0>y 时，有222y x xy +≤，当且仅当y x =时，等号成立. 所以有 9290222222-+++≤-++=y x y x y xy x 即9)(2322≥+y x ，所以622≥+y x ，当取到最小值6时，3==y x . (2) 当0>x ，0<y 时，设m y -=，此问题则可转化为求在条件922=+-m xm x 下22y x +的最值，因为222m x xm +≤，所以有 2222222222m x m m x x m xm x +=++-≥+- 所以18)(22222=+-=+m xm x m x ，即最大值是18，此时3=x ，3-=y .(3) 当0<x ，0<y 时，设m x -=，n y -=，问题转化为(1)进行求解.(4) 0<x ，0>y 时，问题转化为(2)进行求解.解法三 梯度法令22y xy x ++=ϕ，22y x f +=x xf 2=∂∂，y y f 2=∂∂ y x x+=∂∂2ϕ，x y y +=∂∂2ϕ 代入方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=9)2()2(2222y xy x x y y x y x λλ解得22y x =，以下同拉格朗日乘数法.解法四 三角函数法设t a x cos =，t a y sin =，则有9)2sin 211(222=+=++t a y xy x t a y x 2sin 2119222+==+ 所以当12sin =t 时，即3±==y x 时，22y x +取到最小值6；当12sin -=t 时，即3=-=y x ，3==-y x 时，22y x +取到最大值18.通过对该题的分析，我们发现采用拉格朗日乘数法、均值不等式法与梯度法解题时，其过程都比较复杂，而用三角函数法与数形结合法可以很快速的求出结果，所以说每一种方法都不是万能的，都有属于自己的适用条件.拉格朗日乘数法是求解条件极值的一种通用方法，同时也是众多方法中最常用的一种方法，特别是在遇到约束条件比较多的问题时，采用拉格朗日乘数法更为方便.除了拉格朗日乘数法与梯度法，其它几种为初等数学的方法，在运用的过程中技巧性比较强，同时也存在一定的局限性. 但是掌握好初等数学的几种方法，对于求解条件极值问题有时会更加方便，所以在求解条件极值问题时，要根据题目的特点选择最优的解决方法，从而达到快速解决问题的目的.第3章 条件极值的应用条件极值在科学研究、工程设计、经济管理、工农业生产等领域都有广泛的应用，下面着重介绍条件极值在物理、不等式证明、渠道设计、生产销售方面的应用.3.1 在物理学中的应用条件极值问题在物理学中有很大的作用，以光的折射定律的证明为例.例 3.1 假设定点M 和N 在以平面分开的两种不同的光介质中，从M 点射出的一条光线通过折射到达N 点，光在两种介质中的传播速度为u 与v ，问怎样使传播的时间最短？解 设M 点与平面的距离为m ，N 点与平面的距离为n ，如下图所示令l AB =，光线从M 射到O 点需要的时间是au m cos ， 同理，从N 到O 点的时间是βcos v n ，且BO AO l +=， 所以可以得到l n m =+βαtan tan ，可将问题转化为关于α，β的一个函数βαβαcos cos ),(v n u m g += 在约束条件l n m =+βαtan tan 下的最小值. 图 3-1 光的折射图 构建拉格朗日函数)tan tan (cos cos ),,(l n m v n u m G -+++=βαλβαλβα， 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂0tan tan 0cos cos sin 0cos cos sin 2222l n m G n v n G m u m G βαλβλβββαλααα 解得vu βαλsin sin -=-= βαA O M B N所以光线入射角和折射角需要满足条件：vu =βαsin sin 时，光线的传播时间为最短. 此公式即为光的折射定律.3.2 在不等式证明中的应用对于不等式的证明，有时采用常规的方法，其证明过程很复杂，而且不容易推导出结果. 但在证明过程中，如果能利用条件极值的知识，找到适当的目标函数与约束条件，利用最优化的原理去证明不等式，则可使问题变得简单易证.例3.2 3216333=++c b a ，其中0>a ，0>b ，0>c ，证明：8222≤++c b a . 证明 本题可转化为求函数222),,(c b a c b a g ++=在约束条件3216333=++c b a 下的最大值问题，可采用拉格朗日乘数法进行求解.首先，构造辅助函数：)3216(),,(333222-+++++=c b a c b a c b a G λ 令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂03216032032032333222c b a G c c c G b b b G a a a G λλλλ 解得唯一的稳定点38000===c b a ，因为222),,(c b a c b a g ++=在约束条件下有最大值，所以8)38(32222=≤++c b a ，因此不等式成立. 3.3 在渠道设计中的应用在渠道设计中，对水力最佳断面的研究是很重要的. 水力最佳断面为渠道过水断面面积、糙率、底坡确定时，通过流量最大的断面；或是渠道的底坡、流量、糙率确定时，过水断面面积最小的断面[19].例 3.3 如图所示，h 表示水的深度，a 表示底的宽度，b 表示边坡系数，A 表示湿周，S 表示过水断面的面积，G 表示流量，R 表示水力半径，i 表示糙率，d 表示底坡.分析 明渠均匀流的公式为21322132)(d A S i S d R i S G ==，由上述公式可知，渠道的底坡d 、过水断面的面积S 、糙率i 确定时，在使过水断面的湿周A 为最小值时，渠道通过的流量G 为最大. 过水断面的面积h bh a S )(+=，梯形的断面湿周212b h a A ++=.解 此问题即是求212b h a A ++=在条件h bh a S )(+=下取最小值时a 、h 、b 所要满足的条件.根据h bh a S )(+=得出，bh h S a -=，代入212b h a A ++=中，有212b h bh h S A ++-= 要保证A 取到最小值，则有 图 3-2 最佳断面示意图012)(122222=++-+-=++--=b b hh bh a b b h S dh dA 整理可得宽深比为b b ha 2122-+= 同时有02322>=hS dh A d 因此渠道水力的最佳断面的宽深比即是满足断面最小湿周的条件，宽深比为b b ha 2122-+=3.4 在生产销售中的应用生产与销售是厂商常讨论的问题，销售价格的上涨，虽然能够增加单品上的利润，但同时可使消费者的购买欲望大大降低，造成销量减少，最终致使厂家的产量减少. 在生产过程中，单品的生产成本是随着产量的增加而降低的，所以，在生产销售中成本、销售量、售价是相互关联的，因此选择合理的销售方案对获得最大利润是至关重要的. 下面就利用条件极值理论设计生产销售中的最优方案.3.4.1 生产成本最小化方案例 3.4 设某地某家工厂一件商品的生产函数是21214K L P =，及相应地成本函数是K L K Q L Q D K L 82+=+=，若产量64=P 时，请设计使成本最低的投入组合以及最低成本是多少？解 本题属于在使成本最低的情况下，如何投入两种生产要素的问题，即成本函数作为目标函数，生产函数作为约束条件的条件极值问题.首先，构造拉格朗日函数)464(82),,(2121K L K L K L G -++=λλ 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂=-=∂∂--0464028022212121212121K L G K L K G K L L G λλλ 解得32=L ，8=K ，因为所求的稳定点是唯一的，且根据本题的实际意义，可以得出此稳定点即为极值点.因此，当32=L ，8=K 时，可使成本最低，最低成本为12888322=⨯+⨯=D .3.4.2 利润最大化方案例 3.5 某家工厂想在两个不同的市场销售同种产品，已知两个市场对产品的需求可用以下两个函数表示11218P C -=，2212P C -=，并且生产该产品的成本函数可表示为52+=P D ，其中1P 与2P 表示产品在两个市场的需求量，1C 与2C 表示两种商品的价格，且销售总量为21P P P +=.(1) 如果企业实行销售价格有差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的售价与销量.(2) 如果实行销售价格无差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的统一售价与销量.并比较两种策略中哪个能使利润最大.解 (1) 根据题意，利润D P C P C G -+=2211整理得521016222121---+=P P P P G令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂021*******11P P G P P G 解得唯一的稳定点为)5,4(，又由于4212-=∂∂P G ，2222-=∂∂P G ，0212=∂∂∂P P G ，由此可知08)(2222122212<-=∂∂⋅∂∂-∂∂∂P G P G P P G ，且04212<-=∂∂P G ，所以)5,4(为极大值点，此时两种商品的价格101=C ，72=C ，最大利润52)5,4(=G .(2) 实行无差别价格策略，即21C C =，则有6221=-P P .于是构造拉格朗日函数)62(521016),,(2122212121--+---+==P P P P P P P P Q λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=--=∂∂=+-=∂∂062021002416212211P P Q P P Q P P Q λλλ 得51=P ，42=P ，2=λ，由于)5,4(是唯一的可能极值点，由问题的实际意义，最大值一定存在，)5,4(即为所求的最大值点，此时821==C C ，总利润达到最大，且利润最大值为49)4,5(=G .综上所述，该企业实行有差别价格策略利润最大.例3.6 某地一家电冰箱厂要根据下面的数据确定某种电冰箱的价格.(1) 根据对市场的调查，当地对这种电冰箱的年需求量是400万台；(2) 在去年该厂一共销售40万台，每台的售价是3000元；(3) 只生产一台电冰箱时的成本是3000元，但是在生产1万台以上时，成本降为每台1500元.解 根据题意可建立如下函数：设这种电冰箱的总销量是x ，销售价格是a ，生产每台的成本是b ，那么利润可表示为x b a x a b g )(),,(-=依据市场的相关分析，销售量和销售价格存在如下关系ra Qe x -=，0>Q ，0>r其中Q 表示市场的最大需求量，r 价格系数，从公式中可以看出，销售量随着销售价格。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题是数学中有关条件变量的局部最大值和最小值的问题。
它也称为最佳化问题，是研究优化问题的基础。
主要的研究内容是寻求满足所给出条件的极值，即在给定的条件下，函数的极值或局部极值。
条件极值问题由极值，限制变量和条件组成，因此也称为有约束的极值问题。
极值是指所求的最大值或最小值，限制变量是指限制条件影响的变量，条件是指检验最大值或最小值是否为最优解的条件。
条件可以约束极值，也可以检验极值是否为最优解，即检验条件是否有效。
条件极值问题的解法一般分为三步：1、明确极值（函数的最大值或最小值）；2、数学约束（限制变量和条件）；3、求解极值（按照条件计算最优解）。
在明确极值时要先考虑函数的定义域和值域，并确定函数的正、负局部极值点；而在求解极值时可以用微分法、迭代法、最优化法和随机搜索等方法。
在条件极值问题中，处理限制变量和条件也很重要，可以用函数单调性、区间分析、多重极值和表达式的变换等方法。
单调性对于判断局部极值是否是全局最优解很有用，它是指在一定区间内，当函数增加时，其值也随之增加；当函数减少时，其值也随之减少。
区间分析是指在极值点之间画出函数的几何图像，通过几何图像判断极值点的极性。
而多重极值和表达式的变换能够限制变量或条件，有助于求解问题。
条件极值问题在许多实际问题中有所应用，比如在经济学和财务学中，用来确定生产技术的最佳资源配置方式；在社会科学中，可以用来研究社会经济系统的优化配置；在计算机科学中，可以用来优化算法和数据结构；在数学中，可以用来研究函数的最优解等等。
条件极值问题是一个有效的工具，可以求解复杂的优化问题。
它的优点在于可以有效地求解函数的最优解，并且条件和约束可以用数学关系式来表示，这样可以得到更准确的解。
综上所述，条件极值问题是一个重要的数学研究主题，也是优化研究的基础，有着广泛的应用领域。
条件极值(精)
(2)
也就是说, (2) 式是函数 L( x , y , ) 在其极值点处所 通过引入辅助函数 L( x , y , ), 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
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(B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
(5) (6) (7) (8) (9)
对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x, y, z 后相加, 得到
2( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z ) 2 ( x 2 y 2 z 2 x y yz zx ) 0,
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借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得
x2 y2 z2 ;
2 2 z x y , x y z 1. 约束条件:
还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.
定义 设目标函数为
y f ( x1 , x2 , , xn ), ( x1 , x2 , , xn ) D R n ;
约束条件为如下一组方程:
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Lx 2 z y yz 0, Ly 2 z x xz 0, Lz 2( x y ) x y 0, L x yz V 0.
为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得
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2 xz x y x yz , 2 yz x y x yz , 2 z ( x y ) x yz .
最后得到
2 2( 1 3 ) x2 y2 z2 (2 4
3.
3 )2
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条件极值问题
条件极值问题条件极值问题是指最优化问题的一种特殊形式，其中，一般原函数极值的求解，包括最大值和最小值，改变了一定的条件，使最优解函数发生变化。
条件极值问题因不满足极值条件而成为一个更有挑战性的问题，它更加考验人们对极值问题的理解与解决能力。
本文将对条件极值问题的基本原理、解决方法和应用进行深入的分析与讨论。
首先，讨论条件极值问题基本原理。
条件极值问题可分为线性条件极值问题和非线性条件极值问题，其基本原理是从最优函数对于某些变量取极值的条件发生变化。
线性条件极值问题是应用线性矩阵理论，将极值用约束条件来描述，构造约束优化问题进行求解。
非线性条件极值问题主要采用变分法的方法，可以采用梯度下降法、牛顿法或共轭梯度法来求解。
其次，讨论条件极值问题解决方法。
对于条件极值问题，可以采用数值方法和分析方法来求解。
数值方法一般采用变分法，以及多元函数极值问题常用的梯度下降法等求解；分析方法指以条件极值问题为实际研究对象，引入各种方法，如基尔霍夫圆定理、特性方程法、拉格朗日对偶法、积分法等，建立对应的数学模型，求解问题的最优解。
最后，讨论条件极值问题的应用。
条件极值问题在工程学、经济学、社会学和生物学等不同领域都有应用，其中，经济学中，最经常使用条件极值方法的是市场平衡模型，其中建模的目标是使消费者收益与生产者收益同时达到最大；在工程学中，条件极值方法的经典应用是调控问题，如热力调控、水力调控、流体静力学中的边界值问题等；在生物学中，可以应用条件极值理论来分析竞争生态学的模型，以及研究植物中的光合作用等。
综上所述，条件极值问题是一种特殊的最优化问题，其基本原理是从最优函数发生一定条件变化，可以应用数值方法和分析方法来求解，并且在多个不同领域有着广泛的应用。
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条件极值问题
条件极值问题（ConstrainedExtremumProblem）优化分析中一个重要的问题，它涉及优化函数（通常称之为目标函数）以最大或最小值来求解约束关系（约束条件）的问题，它体现了一类技术问题的结构特点。
条件极值问题的数学模型是如下的：
最优化问题：
$min f(x_1，x_2，…，x_n)
s.t. g_1(x_1，x_2，…，x_n)le 0
g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0
vdots
g_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$
其中，f(x_1，x_2，…，x_n)是一个最小或最大等式，决定一组变量$x_1，x_2，…，x_n$的最优结果；约束条件$g_1(x_1，
x_2，…，x_n)le 0，g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0，…，
g_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$存在某种性质的约束，在确定最优值的同时，需要满足这些约束条件。
下面我们将详细介绍条件极值问题的定义及其特点，以及它的数学分析方法。
一、定义
在经济学、工程学等多学科领域，条件极值问题都是指有约束条件的最优化问题。
特别是在经营管理中，对于生产、营销、财务
以及组织等方面的活动，通常都存在许多约束条件，比如预算限制、市场限制、原料限制、生产能力限制等，这些所有限制令管理者仅能在有限的条件内进行有效决策，最终实现更大的效益最大化。
二、特点
1、有限条件。
条件极值问题的最大特点是在确定最优解的同时，要满足一系列约束条件，这些条件是有限的。
2、多变量。
条件极值问题的解有时可能需要多个变量，这就要求模型中所有变量都要满足约束条件，而且变量间可能还要相互交互作用，综合起来十分复杂。
3、抗干扰能力强。
条件极值问题的模型具有良好的抗干扰能力，即对于环境因素的变化，其解的变化不会太大，使模型具有一定的稳定性。
三、数学分析方法
条件极值问题的数学分析方法一般是求解方程组的方法，分析的过程往往由数学模型的构造、数学解法和有效的计算方法三部分组成。
（1）数学模型的构造
构造一个有效的数学模型是条件极值问题的重要环节，它不仅要表述出问题本身的内在特性，还要尽量简化问题，使其能够用有效的数学方法求解。
（2）数学解法
数学解法是条件极值问题实际求解的方法，常用的主要有梯度下降法、多维搜索法、迭代法、动态规划法等。
（3）有效的计算方法
由于条件极值问题的数学模型具有一定的复杂性，这就要求采用有效的计算方法来加快求解的过程。
为此，可以采用模拟退火、遗传算法、免疫算法、粒子群算法、混合精确数值方法等计算方法。
综上所述，条件极值问题具有有限约束条件、多变量相互交互、良好的抗干扰能力等特点，它的数学分析方法主要是模型构造、数学解法和计算方法，为经济管理和工程分析提供了一种有效的问题研究和解决方法。