第一章 射影平面

3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平 行 两平面 交于惟一 不平行 无穷远直线 有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面
三、拓广平面
定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
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柏拉图学院：不懂几何学的人不得入内！
第一章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
(iii) 叠合赤道上对径 点的半球面
(iv) 叠合周界上对径 点的圆盘
§ 1.1 拓广平面
Mö bius带
§ 1.1 拓广平面
五、射影基本形
1、一维基本形 (1) 点列(同一直线上点 的集合) (1)' 线束(平面上过同一 点的直线的集合)
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p)
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
§ 1.1 拓广平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
(i) 欧氏平面上的圆
(ii) 叠合对径点的圆
(iii) 欧氏平面上过原点的直 线的集合(线束模型) (iv) 欧氏平面去掉原点后， 过原点每一直线的所有点作 为拓广直线的一个点
§ 1.1 拓广平面
(3) 拓广直线的拓扑模型 (4) 拓广直线上点的分离关系 欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点) 两个相异点确定惟一一条直线(连线)
}
点与直线的关联关系
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
§ 1.1 拓广平面
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 2、拓广平面(射影仿射平面)
(1) 拓广平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
在拓广平面上，可 以证明：
I，II为同一区域
III，IV为同一区域
§ 1.1 射影平面
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 2、拓广平面(射影仿射平面)
(1) 拓广平面的封闭性(从两个方面理解) (2) 拓广平面的拓扑模型 (i) 叠合对径点的球面 (ii) 欧氏空间过原点的 直线的集合(线丛模型)
定理1.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线)
(1) 拓广直线的封闭性
欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
底
元素
束心
元素
§ 1.1 拓广平面
五、射影基本形
2、二维基本形 (2) 点场(同一平面上点 的集合) (2)' 线场(同一平面上直 线的集合)
π称为点场的底，其上的点 称为元素.
π称为线场的底，其上的直 线称为元素.
显然，一维基本形和二维基本形都是射影不变的
§ 1.1 拓广平面
五、射影基本形
3、一对重要的基本图形 三点形(不共线三点及 其两两连线构成的图形)
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
ห้องสมุดไป่ตู้
: '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
三线形(不共点三直线 及其两两交点构成的图形)
顶点：A, B, C 边：BC, CA, AB 记号：三点形ABC
边：a, b, c 顶点：b×c, c×a, a×b 记号：三线形abc
显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变
§ 1.1 射影平面
今 天 作 业
P.8, 3, 4, 5
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