第一章 射影平面
射影平面
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
给平行线添加交点！
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.2 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1.2 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
定理1.16 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线)
(1) 拓广直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
射影平面
射影平面３．1 中心投影与无穷远元素 知识点解析 中心投影定义． 影消点、影消线的概念影消点没有中心投影；影消线也没有投影． 无穷远点、无穷远直线的概念．仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念．平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点．在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．解题指导（习题选解） 练习３－１１． 证明：中心投影一般不保持共线三点的简比． 证明反证法．假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比．４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平行直线？解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行．同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行．５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．证明同第１题．（略）． ３．２图形的射影性质 知识点解析透视对应、中心透视的概念透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '．中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '．定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质． 同素性和结合性都是射影不变性质；平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变． 如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们 的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交于l 的直线．利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可 以用来证明一些几何问题． 解题指导（习题选解） 练习３－２１． 求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点．２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线．证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2l '，则P 点对应无穷远点． 由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1l '和2l '的交点，即无穷远点，也就）（图1是1l '∥2l '． ３．设OX ，OY ，OZ 为三条定直线，A ，B 为二定点，其连线过O ，点R 为OZ 上的动点，且直线RA ，RB 分别交OX ，OY 于点P ，Q ，求证：PQ 通过AB 上一定点．分析这个题目是要证明PQ 的连线通过AB 上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图所示，则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．于是有2121//R R P P2121//R R Q Q所以2121//Q Q P P即四边形2211P Q Q P 为平行四边形，11Q P ∥22Q P ．则11Q P 通过∞M ，由中心射影保持结合性不变可知，PQ 通过AB 上一定点． ４．在一个平面内的影消线上取定两点A ，B ，C 为该平面内的任意一点，求证∠ACB 投影后是一个常量．分析如图所示，平面α上的 ∠ACB 经射影后，在β平面 上射影成∠B C A '''． 因为A ，B 为影消线上两点，OMY2R 1P 1R BAZ2Q 1Q 2P X ）图题（第32R 1R ZY X2P 1P ∞B ∞A ∞M ∞O 2Q 1Q所以OA ∥β，且OA ∥A C ''，OB ∥β，且OB ∥B C ''，所以∠B C A '''＝∠ACB ． 而∠ACB 为定角．由于∠ACB 经投影后，不论C 取在平面上任何位置，其射影成的角∠B C A '''永远等于定角∠ACB ，所以为定值．注意：由于射影中心O 和影消线AB 所成平面一定平行于平面β，所以，利用有关立体几何的平面与平面平行的定理，就可以证明此题．３．3笛沙格定理 知识点解析三点形、三线形概念定理3.1（笛沙格定理） 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条线上．定理3.２ 如果两个三点形对应边的交点在一条线上，则对应顶点的连线交于一点（共点）．解题指导（习题选解） 练习３－３１．三角形ABC 的顶点A ，B ，C 分别在共点的三直线α，β，γ上移动．证明：AB 和BC 分别通过定点P 与Q 时，CA 也通过PQ 上的一个定点．证明如图所示．设三角形C B A ''' 是满足条件的另一个三角形，在三角形ABC 和C B A '''中，由于对应点的连线l ，m ，n 共点O ，由笛沙格定理可知，对应边的交点P ，Q ，R 共线，即AC 与C A ''的交点R 必在直线PQ 上，于是R 为定点．２．若三角形ABC 的二顶点B 与C 分别在定直线α与β上移动，三边AB 、BC 、C A题图）（第1ABB 'P ClA 'C 'OQRn m分别通过共线的定点P ，Q ，R ，求证顶点A证明根据图形(见第２题图)可知，Λ),,,(21ΛB B B),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR 是自对应元素，所以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线．３．设A ，B ，C ，D 为平面上的 四点，R CD AB =⨯（AB 与CD 的交点 为R ），P AD BC =⨯，Q BD AC =⨯． 试证：BC 与QR 的交点1A ，CA 与RP 的 交点1B ，AB 与PQ 的交点1C 在同一直线上．证明如图所示．在三角形ABC 和PQR 中，对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ，由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C 共线．３．４齐次坐标 知识点解析 一维齐次坐标),(21x x ，其中1x ，2x 满足x x x =21)0(2≠x 二维齐次坐标),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32)0(3≠x ，),(y x 是欧氏平面内的笛氏坐标．)0,,(21x x （1x ，2x 不同时为0）是一个无穷远点的齐次坐标．A题图）（第21题图）（第3),,(321x x x )0(3≠x 是一个有穷远点的齐次坐标．)0,0,0(不表示一个点的齐次坐标．)0,,1(k 为一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标．直线方程欧氏坐标系下直线方程为)0(02221321≠+=++a a a y a x a其中),(y x 是直线上点的非齐次坐标．点),(y x 的齐次坐标为),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32． 直线的齐次方程为)0(022********≠+=++a a x a x a x a过原点的直线的齐次方程为)0(022212211≠+=+a a x a x a无穷远直线的齐次方程为03=x无穷远直线无非齐次方程． 齐次线坐标 直线的齐次方程为0332211=++x u x u x u321,,u u u 叫做直线的齐次线坐标，记为],,[321u u u ．]0,0,1[是y 轴的齐次线坐标． ]0,1,0[是x 轴的齐次线坐标． ]1,0,0[是无穷远直线的齐次线坐标．定理3.3一点),,(321x x x X =在一直线],,[321u u u u =上的充分必要条件为0332211=++x u x u x u直线0332211=++x u x u x u 的非齐次坐标为31u u u =，32u uv =． 所有不通过原点的直线方程都可以写成01=++vy ux两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的方程为0321321321=b b b a a a x x x即0)()()(312213311312332=-+-+-x b a b a x b a b a x b a b a两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的坐标为),,(122131132332b a b a b a b a b a b a ---解题指导（习题选解） 练习３－４１．试求出下面各点的齐次坐标． （１）)0,0(，)0,1(，)1,0(，)35,2(． （２）以43为方向的无穷远点。
[高等教育]射影平面
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4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 2.1 射影平面
三、射影平面
定义1.24 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 2.1 射影平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
§ 2.1 射影平面
(3) 射影直线上点的分离关系
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 2.1 射影平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.23 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
高等几何讲义(第1章)
y M
M0
e2
e1 x 称为直线 的点向式方程． O u 0 时，可变形为：y kx b；其中，k v/u 称 为直线的方向数； u 0 时，成为：x x0，约定其方向数为 ． 上述分析表明，直线方程总形如：Ax By C 0 (A，B不同时为0)，称为直线的一般式方程．
简称为平移．记为Ta． 取直角标架[O; i, j ]， 设M( x, y)，M/( x/, y/)， a {a1, a2}，则 Ta 的
y
a j M/ M i x
坐标表达式为：
x/ x a1 Ta ： / y y a2
(1.2)
O
§1 变换与变换群
例3．旋转变换 对平面上固定点O和有向定角， 使原象点 M 与象点 M / 满足
内
容
欧氏几何 仿射几何 射影几何
本 教 材 基 本 框 架
第一章：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿 射坐标及仿射坐标变换 重点讨论共点性与共线性 第二章：射影平面的定义，射影坐标， 射 交比，调和共轭，对偶原理 影 几 第三章：射影变换，包括透视、一维射 何 影变换、直射、对射、配极 第四章：配极与二次曲线、一维射影变 换与二次曲线、二次曲线的射影分类 第五章：用射影几何理论建立其子几何－－ 仿射几何、欧氏几何
x/ x Mox： / y y
(1.4)
j O i
M
M/
x
§1 变换与变换群 例5．平行射影 二平面、 / 交于直线 ，向量 与 M 二平面都不平行．对于 D B 上任意点M，过M作平行 于 的直线，交 /于M/， C E 则将 M 映成 M/ 的点对应 称为平面 到平面 / 的 A / / 平行射影， C M / D 向量 为投射方向． 性质： / B/ E / A 1．将直线变成直线； / 2．保持平行性和平行线段之比； 3．对应点连线平行，直线 上的点不变．
SS射影平面.ppt
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为
的连线,记做AB. AB BA.
若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合
称为平面.此平面称为P和l的连面,记作Pl或者lP.
四
即: 平面Pl lP PL | L在集合l上
条
公
I'.两个不同平面 , 恰好在一条直线上,此直线称为 理
二者的交线,记为 .
E.一条直线上至少有三个不同的点.
E'.一条直线上至少有三个不同的平面.
约定：大写的英文字母如A，B，C表示点.小写的英文
字母如a，b，c表示线.希腊字母如，， 表示平面.
定理1:射影空间中至少有一条直线,三个点和三个平面.
定理2:如果A, B,C不在同一条直线上,则它们是互不 同的,AB, BC,CA,并且都在平面A(BC)上,且A(BC) ( AB)C.
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来. 完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
注:对平面，性质I'是有例外的。
射影平面：设 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在 中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， 四
I'两个不同的线恰好在一个点上,
条
E每一条直线上至少有三个不同的点, 公
E '在每一个点上至少有三条直线.
2射影平面
条直线的方程,所以 π上的任何直线在齐次坐标下都由方程 2 2 a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0, (a1 + a 2 ≠ 0) (1.3) 给出,并且任何一个这样的方程都对应着π上的一条直 线。 我们把无穷远点的几何轨迹称为无穷远直线,根据 无穷远点的齐次坐标的特点，无穷远直线可由方程 x3 = 0 (1.4) 来表示。
如果点 M ∈ π 0使OM // π 1 , 则M的象为π1中与OM 平行的直线l‘上添加的无穷远点;直线{M ∈ π 0 OM // π 1 } 上添加的无穷远点的象为直线 M ∈ π 0使OM // π 1 , 上的无 穷远点，如图6.2。 由于射影平面上的直线方程(1.5)是三元一次齐次 方程,所以 a1 x1 + a 2 x2 + a3 x3 = 0 与 b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0 表示同一直线当且仅当存在非零实数λ，使 ( a1 , a 2 , a3 ) = λ (b1 , b2 , b3 ). 于是我们可以用直线方程的 系数( a1 , a2 , a3 ) 来表示直线,把( a1 , a2 , a3 ) 称为直线的齐 次坐标。
对于射影直线而言,如果它的方程为(1.5),则无穷远 点[ a 2 , a1 ,0] 在此射影直线上,且是此射影直线上的唯一 的无穷远点。实际上( a 2 ) : a1 表示仿射坐标中的直线 a1 x + a 2 y + a3 = 0 的方向,因而直观上,射影直线就是欧 氏平面上的直线添加上此直线的方向所得到的。 如果中心投影在两个射影平面 π 0 和π 1上进行,就能 使中心投影成为一个双射τ : π 0 → π 1 ，其中投影中心 如果点P ∈ π 0 , 使 OP与π 1 交于点P‘,则 O π 0 ∪ π 1。 τ(P)=P’;如果点 N ∈ π 1使ON // π 0 , 则N的原象为π 0 中 与ON平行的直线l上添加的无穷远点;
第一章 射影平面
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
: '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
课件作者：南京师大数科院周兴和
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点) 两个相异点确定惟一一条直线(连线)
}
点与直线的关联关系
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平 行 两平面 交于惟一 不平行 无穷远直线 有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面
三、拓广平面
定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。
二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。
射影几何三大入门定理
射影几何三大入门定理1. 定理一：射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。
在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。
首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。
1.1 射影平面的定义在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。
射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件：•任意两条直线有且只有一个交点；•任意两个不同的点确定一条直线。
1.2 定理一的表述定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质：•任意两个不同的直线交于唯一一点；•任意两个不同的点确定唯一一条直线。
1.3 定理一的证明第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。
我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。
根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。
由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。
假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。
但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。
这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。
第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。
我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。
根据射影平面的定义，任意两条直线有且只有一个交点，所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。
假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交，并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。
射影平面六讲一一第一讲
以下我們將 ξ1 和 ξ2 固定, 而令 ξ0 變 化。 以 (ξ0, ξ1, ξ2) 為齊次座標的點 P 的非齊 次座標為 (ξ1/ξ0, ξ2/ξ0)。 設 P0 為以 (ξ1, ξ2) 為非齊次座標的點。 連接原點和 P0 成一直線 l。 對一切 ξ0, P 點始終在直線 l 上。 當 ξ0 取負值, 且其絕對值很大時, P 很接近原點, 但和 P0 在原點的異側。 當 ξ0 取負值時, P 仍維持和 P0 在原點的異側, 而且隨 |ξ0| 變 小而漸行漸遠。 當它變成 0 時, 點 P 沒有定 義。 當它變成正數時, 它又有定義了, 成為和 P0 在原點同側的 l 上的一點。 ξ0 取很小的 正值 時, P 離原點很遠。 當 ξ0 增加到 1 時, P 便和 P0 重合。 當 ξ0 增加超過 1 時, P 點逐漸靠近原點。 這些想法提示我們在直線 l 上增加一點, 以(0, ξ1, ξ2) 為其齊次座標。
現在設想 l 為 G 上的一定線, Q 為 G 上 l 外之一定點, P 為在 l 上的一動點。 當 P 不斷向前移動 (即與 Poncelet 在窗之異側向 遠離窗之方向移動) 時, σP 從直線 j 的下方 向上移動。 當 P 漸行漸遠之時, 直線 QP 漸 漸接近於平行的位置, 而點 σP 也漸漸從直 線 j 的下方接近於j。 若令 P 向後移動, 則 σP 從直線 j 的上方向下移動。 當 P 漸行漸 遠之時, 直線 QP 和點 σP 的狀況也和上文 所述的相當類似。 這種考慮使 Poncelet 想到 在平面上添加一些 無限遠點 (points at infinity), 作為平行線的交點, 便可把平行線的 觀念統合在不平行線的觀念以內。 添加無限 遠點後, 歐氏平面便變成了 射影平面 (projective plane)。 以下我們不用 Poncelet 的
射影平面
定义 如果将通常的点与无穷远点不加区别，通常的直线与 无穷远直线不加区别，则仿射直线就叫射影直线，仿射平面 就叫射影平面。在射影直线上，通常的点和拓广点都叫点。
通常直线：两点确定直线上的一条线段。
射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
射影直线与射影平面
2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分通常平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分通常平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
若两个三点形对应边的交点共线, 则称 这对对应三点形具有透视轴, 透视轴也 称为Desargues 线.
Desargues透视定理
2、Desargues透视定理
定理 (Desargues透视定理及其逆) 对于两个对应三点形, 存在 Desargues点存在Desargues线.
或者叙述如下：
迪沙格定理 如果两个三点形对应 顶点的连线交于一点，则对应边的 交点共线。
Desargues透视定理
（2）三点形 ABC 和 A'B'C' 共面 如图，设这个平面是 。
Desargues透视定理
此时，过 O 作一条异面直线 l ，然后在 l 上任取两点 S 和 S' 。
考虑三点形 SBC 和 S'B'C' ，则这两个三点形异面（否则，如 果它们共面，则这个平面必须是 ，于是 S, S' 就在 上，这 与 l 为异面直线矛盾）。
射影平面.
射影平面图形的射影性质在引进无穷远元素之后，将直线上的影消点与另一直线上的无穷远点建立点的对应. 如上图3-1所示，通过中心投影，把l 上影消点q 投影到'l 上无穷远点∞P ，将l 上无穷远点∞P 投影到'l 上影消点'q .于是中心投影建立了直线之间的一一对应，称这个中心投影为透视对应.同理可以建立平面之间的透视对应.中心投影把π上影消线l 投影到'π上无穷远直线'∞l ，同时把π上无穷远直线∞l 投影到'π上影消线'l .于是中心投影建立了平面之间的一一对应，称为平面π与'π之间的中心透视.思考题：中心投影与平行投影之间的关系如何？事实上，平行投影是特殊的中心投影，投影中心为一无穷远点.定义3.1 图形在中心投影下不变的性质(不变的量)，叫做图形的射影性质（射影不变量）.比如同素性、结合性都是射影不变性质，另外平行性质与单比不是射影性质，他们在中心投影下改变.`图3-5如果中心射影把平面π上直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，见图3-5，那么平面π上两条相交直线，若交点在影消线l 上，它们的象是π'上的两条平行线，反过来平面π'上两条平行线，它们的原象是π上两条相交于l 上的直线．利用中心射影把一直线投影成无穷远直线，可以证明一些几何问题．BAN 1NQ P l1Q 1PM 1M图3-6例1 如图3-6所示, 设B ,A 是直线l 外两点. 在直线l 上任取两点P 与Q ,AP 交BQ 于N ,BP 交AQ 于M .则MN 通过AB 上一定点.证明 设B ,A 与l 所在的平面为π,选取平面π',做到的中心射影,把B ,A 投到无穷远.设11Q ,P 是直线l 上的另外任意两点,11N ,M 是相应的交点.目的是证明MN 与11N M 相交与AB 上.设l 的象为l '，1111Q ,P ,N ,M ,Q ,P ,N ,M ''''''''是相应点的象.由于直线PM ,QN ，1111M P ,N Q 的公共交点B 投到无穷远，所以它们的象,M P ,N Q ''''1111M P ,N Q ''''是相互平行的直线.同样的道理1111N P ,M Q ,N P ,M Q ''''''''也是相互平行的直线.所以直线N M ''平行于直线11N M '',由中心射影的性质知道,原象MN 与11N M 是两条相交直线,交点在AB 上.证毕.练习3－21． 求证： 一直线与和它平行的平面交与一个无穷远点.2． 证明: 相交于影消线上的二直线,象为二平行直线.3． 设OZ ,OY ,OX 为三条定直线,B ,A 为二定点,其连线过O ,点R 为OZ 上的动点,且直线RB ,RA 分别交OY ,OX 与点Q ,P .求证:PQ 通过AB 上一定点.4． 在一平面内的影消线上取定两点B ,A .C 为该平面内的任何一点,求证:角度∠ACB 投影后是一个常量.5.证明:对任意四边形可选择中心射影,将其投影为平行四边形.。
射影平面
例6. 求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程. 解. 设内外角平分线方程为
l1 l2 12 1
2
l1 : y 1 x 0 l2 : y 2 x 0
利用上题可得
12 x (1 2 ) xy y 0
2
x2 (1 2 ) xy y 2 0
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
AO GB AH OB GO AB OH AB GO OB AO OH 所以 GO OH GB AH . GO OH OB AO GO OH . GO OH
注：同理可证，G'O=OH'.
§ 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性
一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的 交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D.
射影平面知识点总结
射影平面知识点总结射影平面是射影几何的基本概念，它是在射影空间的基础上引入的一种几何结构。
射影平面是一种具有射影性质的空间，它拥有特殊的性质和结构，因此在几何学和代数学中有着重要的应用。
本文将对射影平面的基本知识点进行介绍和总结，包括射影平面的定义、性质、构造方法以及相关定理和定律等内容。
一、射影平面的定义射影平面是指一个由点、直线和射线组成的空间结构，它是由二维实射影空间定义的。
在射影平面中，任意两条不共线的直线都有且只有一个交点，这是射影平面的基本性质之一。
另外，射影平面满足幂零定理，即任意两条相交的直线在其交点处的切线都是无穷远的。
在代数几何中，射影平面可以通过将欧几里德平面上的点扩充为射线上的点，从而得到一个射影平面。
这样的扩充是通过引入无穷远点的方式来实现的，因此射影平面上的点包括有限远的点和无穷远的点。
二、射影平面的性质1. 射影平面是紧致的。
这意味着射影平面上的任意闭曲线都可以用有限个闭曲线来覆盖。
2. 射影平面是连通的。
任意两点之间都存在一条直线。
3. 射影平面是欧几里德平面的紧致化，因此它具有相同的拓扑性质。
4. 射影平面上的直线都是闭曲线。
这意味着任意两条直线的交点都是封闭的。
5. 射影平面是一种紧致性空间，可以用带权和的方式来描述其拓扑结构。
三、射影平面的构造射影平面可以通过多种方式进行构造，其中最常见的方法包括射影坐标系的引入、齐次坐标系的应用以及仿射几何的推广等。
以下是射影平面的几种常见构造方法：1. 射影坐标系的引入。
通过引入射影坐标系，可以将欧几里德平面上的点扩充为射线上的点，从而得到一个射影平面。
2. 齐次坐标系的应用。
齐次坐标系是射影几何中常用的坐标系，它可以用于描述射影空间中的点、直线和射线等基本几何元素。
3. 仿射几何的推广。
通过将仿射几何的概念推广到射影几何中，可以得到一个射影平面的构造方法。
四、射影平面的相关定理和定律1. 帕斯卡定理。
帕斯卡定理是射影几何中的重要定理，它描述了射影平面上的六点共线的条件。
高几课件
=n n1
为 上的一个仿射变换.
1 0 :
§ 1.1 引 论
注: 仿射变换是一个双射，
1) 使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点; 2) 使平行直线变为平行直线, 相交直线变为相平行线段的比值 不变.
§ 1.1 引 论
推论1. 正交变换使得平面上一个三角形变为与其全等的 三角形. 推论2. 正交变换使得任何平面图形变为与其完全叠合的 平面图形. 推论3. 正交变换使得平行直线变为平行直线.
§ 1.1 引 论
推论4. 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系. 正交变换 将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角 坐标系O' -e'xe'y.但是有下面两种可能
§ 1.1 引 论
例 求仿射变换，使点(0, 0), (1, 1), (1, –1) 依次变成点 (2, 3), (2, 5), (3, –7).
作业 求仿射变换，使点(1, 0), (1, –1), (–3, 2) 依次变成点 ． (1, 0), (–1, 2), (–3, 2).
' 的交点P'.
上任一点P在 '上的像即为过P且平行于投射方向的直线与
B P A
C
l
投射方向
P' A' B ' C' '
§ 1.1 引 论
§ 1.1 引 论
定义7. 设, 1, 2, …, n为空间中的n+1个平面,
0 : 1 , 1 : 1 2 , ..., n : n
§ 1.1 引 论
平面欧氏几何
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3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平 行 两平面 交于惟一 不平行 无穷远直线 有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面
三、拓广平面
定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
(iii) 叠合赤道上对径 点的半球面
(iv) 叠合周界上对径 点的圆盘
§ 1.1 拓广平面
Mö bius带
§ 1.1 拓广平面
五、射影基本形
1、一维基本形 (1) 点列(同一直线上点 的集合) (1)' 线束(平面上过同一 点的直线的集合)
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p)
在拓广平面上，可 以证明：
I，II为同一区域
III，IV为同一区域
§ 1.1 射影平面
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 2、拓广平面(射影仿射平面)
(1) 拓广平面的封闭性(从两个方面理解) (2) 拓广平面的拓扑模型 (i) 叠合对径点的球面 (ii) 欧氏空间过原点的 直线的集合(线丛模型)
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
: '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
课件作者：南京师大数科院周兴和
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
The class is begin !
柏拉图学院：不懂几何学的人不得入内！
第一章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§ 1.1 拓广平面
底
元素
束心
元素
§ 1.1 拓广平面
五、射影基本形
2、二维基本形 (2) 点场(同一平面上点 的集合) (2)' 线场(同一平面上直 线的集合)
π称为点场的底，其上的点 称为元素.
π称为线场的底，其上的直 线称为元素.
显然，一维基本形和二维基本形都是射影不变的
§ 1.1 拓广平面
五、射影基本形
3、一对重要的基本图形 三点形(不共线三点及 其两两连线构成的图形)
§ 1.1 拓广平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
(i) 欧氏平面上的圆
(ii) 叠合对径点的圆
(iii) 欧氏平面上过原点的直 线的集合(线束模型) (iv) 欧氏平面去掉原点后， 过原点每一直线的所有点作 为拓广直线的一个点
§ 1.1 拓广平面
(3) 拓广直线的拓扑模型 (4) 拓广直线上点的分离关系 欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点) 两个相异点确定惟一一条直线(连线)
}
点与直线的关联关系
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
§ 1.1 拓广平面
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 2、拓广平面(射影仿射平面)
(1) 拓广平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
定理1.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线)
(1) 拓广直线的封闭性
欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
三线形(不共点三直线 及其两两交点构成的图形)
顶点：A, B, C 边：BC, CA, AB 记号：三点形ABC
边：a, b, c 顶点：b×c, c×a, a×b 记号：三线形abc
显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变
§ 1.1 射影平面
今 天 作 业
P.8, 3, 4, 5
The class is over. Goodbye!
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
ห้องสมุดไป่ตู้
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!