异面直线所成的角教案

异面直线所成角

教案设计

●所用教材说明：

“异面直线所成角”是人教版高中数学必修2中第二章“点，直线，平面之间的位置关系”2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系中最后一小节内容（46页至47页部分）。它是立体几何教学的起始阶段，引导学生去积极探索，逐步建构立几的知识体系，异面直线所成角的大小是一种重要的定量计算。本节内容运用类比的方法，平行变换思想，化归的思想，这些是高考中所要重点考察的内容和数学思想。

本课是在学生初步了解空间两条直线的三种位置关系的基础上进一步研究两异面直线的相关性质。

●教学要求：

掌握异面直线所成角的定义和求法

学会用平移法求异面直线所成角

●教学目标：

▲知识掌握目标：认识两条异面直线所成角的概念；并通过讨论使学生掌握求两条异面直线所成角的方法

▲能力培养目标：培养学生观察，分析，抽象，概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决问题的能力

▲创新培养目标:培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识

▲德育目标:通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对空间立体美的感受，激发学生对美好事物的追求

●教学重难点：

重点是异面直线所成角的定义

难点是异面直线所成角的求法

●教学方法：师生共同讨论法

教学中联系平面图形的知识，联想两相

交直线的度量关系——角，利用类比方法引入异面直线所成的角，利用化归思想，通过平移，化空间问题为平面问题。

●教学过程：

本节课以“课程引入—建构数学—数学运用—总结提高”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索，讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好的理解数学知识的意义。

而且按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序引导学生从生活实例入手，从分析定义开始，循序渐进地进行探究，有利于学生进行思考。对学生来说，空间角转化成平面角有一定难度，因此教学中对此进行了重点引导，点拨。

●教师讲解：

在平面几何中我们知道，对于两条相交直线，可以用它们交角大小来确定其相互的位置关系；对于两条平行线，可以用它们之

间的距离来确定它们之间位置关系。对于不在同一平面内的两条异面直线，它们既不相交又不平行，那么如何来确定它们之间的位置关系呢？这是今天要学习的内容。

如何寻找出一个合适的几何量来刻划两条异面直线之间的倾斜程度呢？让学生阅读课本46至47页“异面直线所成的角”的相关部分，在阅读的过程中思考这样一个问题:如何过直线a外一点o作直线a的平行线?

在理解异面直线所成角的定义时，要注意三点：

1．过直线a外一点o，可这样来作a 的平行线：先作出由o和a所决定的平面，然后在这个平面内用平面几何中学过的方法就可过o作出a的平行线。这个作法为定义异面直线所成角作好了准备。

2．异面直线a,b所成角的定义是：已知两条异面直线a,b经过空间任一点o作直线a′∥a,b′∥b则a′和b′所成的锐角（或直角）作为异面直线a,b所成的角。

对这个定义不但要理解它的具体内容，

还要懂得这种定义的合理性。由平行线等角定理知道，不论o点在哪里,a′和b′所成的锐角（或直角）总相等。a′和b′所成锐角（或直角）的大小，完全取决于两异面直线a和b的相互位置，所以用a′和b′所成角的大小作为异面直线a，b所成角是合理的。又a′和b′所成的角有四个（两对对顶角），其中有两个锐角（或直角），另两个是钝角（或直角），到底取哪一个角作为两条异面直线a,b所成的角呢？我们规定把a′,b′交成的锐角（或直角）作为异面直线a，b所成的角。

从定义的讲解中我们可一般地归纳出两条异面直线所成角的一般方法：第一步是根据异面直线所成角的定义，作出两条异面直线所成角;在两条异面直线的一条上选取具有某些特殊性质的点，再过这点作出另一条异面直线的平行线，所成锐角便是所求的角。第二步是使作出的两条异面直线所成角成为一个三角形的一个内角。第三步解这个三角形。

●知识运用：

例题：

直三棱柱ABC－A1B1C 角ACB＝900,D1，F1分

别是A1B1与A1C1的中点。若BC＝CA＝

CC1，求BD1 与AF1这两条异面直线所成的角。

A

A

1

C

B

B

1

C

1

F

1

D

1

例一

学生参与讨论，教师同步分析精讲方法与思路

方法渗透：

A B

C

D E F 例二

A 为正三角形BCD 所在平

面外一点，且AB=AC=AD=BC=a ，E 、F 分

别是棱AD 、BC 的中点，连结

AF 、CE ，如图所示，求异面

直线AF 、CE 所成角的余弦

值。

点拨思路，给出答案供学生参考

●反思小结：

这节课主要介绍了刻划两条异面直线倾斜程度的几何量——异面直线所成角。对于这个几何量要正确理解它的意义和掌握它的求法，让学生学会运用类比推理的数学思想方法解决立体几何问题，感悟将空间问题转化为平面问题是处理立体几何问题的重要思想，这样就能确定两条异面直线间的位置关系，而确定这两条异面直线间的位置关系，不论在立体图形研究和计算中还是在实际问题的研究中都会遇到。