15届高二理科数学上期半期考试试卷
2015-2016年陕西省西安中学高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)(实验班)
2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p49．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．210．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：B．2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵，∴，即sinC===，则C=60°或120°，故选：A．3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b＞0易知，又∵ab﹣b2=b（a﹣b）＞0∴∴，故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣【解答】解：由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜t min．t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，不妨取b=3，则a=5，c=7．∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故选：D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4﹣a n=d＞0，∴命题p1：数【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n﹣na n=（n+1）d+a n，不+1一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞+10，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．9．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），则|BC|==，则△ABC的面积S==，故选：B．10．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q=6所以{a n}的通项公式：为a n=6n到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：B．11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【解答】解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：B．12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．【解答】解：．故选：D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．【解答】解：，变形得：＞0，可化为：或，解得：x＞﹣3或x＜﹣8，则原不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=6或3．【解答】解：根据正弦定理得∴sinC===∵C∈（0，π）∴∠C=60°或120°①当∠C=60°，∠A=90°，∵a2=b2+c2∴a===6②当∠C=120°，∠A=30°，又∵∠B=30°∴△ABC是等腰三角形，∴a=3综上所示：a的值是6或3．故答案为6或3．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．【解答】解：当n=1时，；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n+2）﹣（3n﹣1+2）=2×3n﹣1．综上可知：a n=，故答案为：a n=，16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，对应方程的根为x1=a，x2=1﹣a…（2分）（1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（6分）（2）当时，a=1﹣a得x∈R且；…（10分）（3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…（14分）综合得：（1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）当时，原不等式的解集为；（3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…（16分）18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=2，a4=16，∴公比q3=8，∴q=2∴该等比数列的通项公式a n=2n；（2）设等差数列{b n}的公差为d，则2d=4，∴d=2，∵b2=a2=4，∴b1=2，∴数列{b n}的前n项和S n=2n+=n2+n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解答】解：由题意知，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°．在△ABD中，由正弦定理得：，∴又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°．在△DBC中．由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=∴CD=30（km）救援船到达时间为t=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？【解答】解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a=（2x﹣10）•=（x﹣5）（y﹣6）=3030﹣6x﹣，（其中6≤x≤500）；（2）占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+）≤3030﹣2=3030﹣2×300=2430；当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，Smax=2430．即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．【解答】解：（I）∵﹣1，S n，a n成等差数列，+1∴2S n=a n+1﹣1①当n≥2时，2S n=a n﹣1②．﹣1①﹣②得：2a n=a n+1﹣a n，∴=3．当n=1时，由①得2S1=2a1=a2﹣1，又a1=1，∴a2=3，故=3．∴{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1…（7分）（II）∵f（x）=log3x，∴f（a n）=log3a n==n﹣1，b n===（﹣），∴T n=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（+﹣﹣）=﹣…（9分）比较T n与﹣的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）2（n+2）（n+3）﹣312=2（n2+5n+6﹣156）=2（n2+5n﹣150）=2（n+15）（n﹣10），∵n∈N*，∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T n＜﹣；当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T n=﹣；当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T n＞﹣．…（14分）。
2015-2016学年辽宁省高二(上)数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年辽宁省高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤02．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（）A．2 B．2（﹣）C．2D．2（+）3．在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．35．在正项等比数列{a n}中成等差数列，则等于（）A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．96．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．47．下列命题错误的个数（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．A．0 B．1 C．2 D．38．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=09．在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S17＞0，S18＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．11．已知f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014的值为（）A．0 B．2014 C．﹣2014 D．2014×201512．椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足≤e≤，则椭圆长轴的取值范围是（）A．[，1]B．[，2]C．[，]D．[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀x∈[0，3]，a≥﹣x2+2x﹣，命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的范围为．14．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．15．将数列{a n}按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列．若a1=1，a3=4，a5=3，则d=；第n行的和T n=．16．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0，若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（1）求与双曲线﹣=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．19．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为．（1）求{a n}的通项公式（2）设C n=，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．21．已知数列{a n}满足a1=，﹣=0，n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设b n=﹣1，数列{bn}的前n项之和为S n，求证：S n＜．22．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．2．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（）A．2 B．2（﹣）C．2D．2（+）【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．【解答】解：椭圆2x2+3y2=6可化为，∴c==1，∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3．在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．9【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设公比为q，可得=9，=27，两式相除可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3a6===9，①a2a4a5===27，②可得a2=3故选B【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．4．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】=tan60°=⇒4b2=3c2⇒4（c2﹣a2）=3c2⇒c2=4a2⇒=4⇒e=2．【解答】解：如图，∵=tan60°，∴=，∴4b2=3c2，∴4（c2﹣a2）=3c2，∴c2=4a2，∴=4，∴e=2．故选B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．5．在正项等比数列{a n}中成等差数列，则等于（）A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．9【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过设数列{a n}的公比为q（q＞0），利用a3=3a1+2a2计算可知q=3，通过=计算即得结论．【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q＞0），依题意，a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，整理得：q2﹣2q﹣3=0，解得：q=3或q=﹣1（舍），∴==q2=9，故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2﹣y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，∴•=故选C【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．7．下列命题错误的个数（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据大角对大边，正弦定理可得结论；②根据原命题和逆否命题为等价命题，可相互转化；③在否定中，且的否定应为或．【解答】解：①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是在三角形ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，故逆命题为真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则非p：x=2且y=3，非q：x+y=5，显然非p⇒非q，∴q⇒p，则p是q的必要不充分条件，故正确；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a≠=或b≠0”故错误．故选B．【点评】考查了命题的等价关系和或命题的否定，正弦定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．8．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题9．在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵a1=3，a n+1=a n+ln（1+）=a n+ln，∴a2=a1+ln2，a3=a2+ln，a4=a3+ln，…，a n=a n﹣1+ln，累加可得：a n=3+ln2+ln+ln+…+ln=3+lnn，故选：A【点评】数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S17＞0，S18＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可知＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，即可得出答案．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，∴＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴中最大的项为故选D【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．11．已知f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014的值为（）A．0 B．2014 C．﹣2014 D．2014×2015【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推出n为奇数时，a n+a n+1=2，即a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2013+a2014=2，由此能求出a1+a2+…+a2014．【解答】解：∵f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），n为奇数时，a n=f（n）+f（n+1）=n2﹣（n+1）2=﹣2n﹣1，a n+1=f（n+1）+f（n+2）=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3，∴a n+a n+1=2，∴a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2013+a2014=2，∴a1+a2+…+a2014=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2013+a2014）=1007×2=2014．故选：B．【点评】本题考查数列中前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n的奇偶性的合理运用．12．椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足≤e≤，则椭圆长轴的取值范围是（）A．[，1]B．[，2]C．[，]D．[，]【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△＞0．由OP⊥OQ，可得=0，把根与系数的关系可得：a2+b2=2a2b2．由椭圆的离心率e满足≤e≤，化为，即可得出．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△=4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．x1+x2=，x1x2=．∵OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）=2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴2×﹣+1=0．化为a2+b2=2a2b2．∴b2=．∵椭圆的离心率e满足≤e≤，∴，∴，∴≤1﹣≤，化为5≤4a2≤6．解得：≤2a≤．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是[，]．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀x∈[0，3]，a≥﹣x2+2x﹣，命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的范围为[，4]．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质分别求出关于命题p，q的a的范围，从而求出a的范围．【解答】解：设f（x）=﹣x2+2x﹣，（0≤x≤3），则f（x）=﹣（x﹣1）2+，又0≤x≤3，∴当x=1时，f（x）max=f（1）=，由已知得：命题P：a≥，由命题q：△=16﹣4a≥0，即a≤4，又命题“p∧q”是真命题，∴a≥且a≤4成立，即≤a≤4，故答案为：[，4]．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．14．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列前n项和的特点，设出两数列的前n项和分别为S n=kn（3n﹣1），T n=kn （2n+3）（k≠0），由关系式：n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1求出它们的通项公式，再求出的值即可．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足=，∴设S n=kn（3n﹣1），T n=kn（2n+3）（k≠0），则当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6kn﹣4k，当n=1时也满足，则a n=6kn﹣4k；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=4kn+k，当n=1时也满足，则b n=4kn+k，∴=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，求出等差数列{a n}，{b n}的通项是解题的关键，是中档题．15．将数列{a n}按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列．若a1=1，a3=4，a5=3，则d=1；第n行的和T n=n•22n﹣1﹣n．【考点】归纳推理．【专题】综合题；推理和证明．【分析】依题意，可求得d=1，又a3=a2q=（a1+d）q，可求得q=2；记第n行第1个数为A，易求A=n；据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，而第n行共有（2n﹣1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，于是可求得第n行各数的和T n．【解答】解：依题意得a5=a1+2d，∴3=1+2d，∴d=1．又∵a3=a2q=（a1+d）q，q=2，∴d，q的值分别为1，2；记第n行第1个数为A，则A=a1+（n﹣1）d=n，又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，∴第n行共有（2n﹣1）个数，∴第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，因此其总数的和T n==n•22n﹣1﹣n．故答案为：1，n•22n﹣1﹣n；【点评】本题考查数列的求和，突出考查归纳推理，考查方程思想与运算推理能力，判断出每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列是关键．16．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是[，1）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设准线与x轴的交点为Q，连结PF2，根据平面几何的知识可得|PF2|=|F1F2|=2c且|PF2|≥|QF2|，由此建立关于a、c的不等关系，化简整理得到关于离心率e的一元二次不等式，解之即可得到椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：设准线与x轴的交点为Q，连结PF2，∵PF1的中垂线过点F2，∴|F1F2|=|PF2|，可得|PF2|=2c，∵|QF2|=﹣c，且|PF2|≥|QF2|，∴2c≥﹣c，两边都除以a得2•≥﹣，即2e≥﹣e，整理得3e2≥1，解得e，结合椭圆的离心率e∈（0，1），得≤e＜1．故答案为：[，1）．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆离心率的范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、线段的垂直平分线性质和不等式的解法等知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0，若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别解出关于p，q的x的范围，根据¬p是q的必要不充分条件，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：命题P：A=（a，3a），命题q：B=[2，3]，∵¬p是q的必要不充分条件，∴q是￢p的充分不必要条件，∴a≥3或0＜a≤．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．18．（1）求与双曲线﹣=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），利用待定系数法能求出双曲线方程．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，圆心C（3，0），半径r=2，由此利用点到直线距离公式能求出双曲线方程．【解答】解：（1）∵双曲线与双曲线﹣=1有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），∵双曲线过点（，2），∴+=1，∴λ=4或λ=﹣14．（舍）∴所求双曲线方程为．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，即一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0可转化为（x﹣3）2+y2=4，∴圆心C（3，0），半径r=2，∴c2=9，∴=2，解得a2=5，b2=4，∴双曲线方程为．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法和点到直线距离公式的合理运用．19．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为．（1）求{a n}的通项公式（2）设C n=，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）数列{a n}的前项和为S n=n（n+2），由此能求出{a n}的通项公式．（2）由C n==，利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项的“均倒数”为，∴根据题意得数列{a n}的前项和为：S n=n（n+2），当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+2）﹣（n﹣1）（n﹣2）=2n+1，n=1时，a1=S1=3适合上式，∴a n=2n+1．（2）由（1）得C n==，∴，①3S n=，②②﹣①，得：2S n=3+=3+=，∴S n=2﹣．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．已知数列{a n}满足a1=，﹣=0，n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设b n=﹣1，数列{bn}的前n项之和为S n，求证：S n＜．【考点】数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后代入即可得到答案；（2）由（1）中的等差数列求出数列{a n}的通项公式，代入b n=﹣1并整理，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和后得答案．【解答】证明：（1）由﹣=0，得=，∴，即，∴．则=．∴数列{}是以﹣1为公差的等差数列；（2）由数列{}是以﹣1为公差的等差数列，且，∴，则．b n=﹣1=．S n=b1+b2+…+b n===．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．。
2015年高二上学期理科数学期中试题和答案
2015年高二上学期期中考试数学（理）试卷一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为A ．21B ．21- C ．2 D ．2-2.椭圆2211625x y +=的焦点坐标为 A ．(3,0)± B ．(0,4)± C ．(4,0)± D ．(0,3)±3．直线方程为cos sin 20x y αα⋅+⋅+=，(,)2παπ∈，则直线的倾斜角为A ．πα-B ．2πα- C ．α D ．32πα-4．过两直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是 A ．280x y +-= B ．280x y --= C ．280x y ++= D ．280x y -+=5．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π6.已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±7．已知圆25)1()2(:22=-+-y x C ，过点M （－2，4）的圆C 的切线1l 与直线a y ax l 23:2++＝０平行，则1l 与2l 间的距离是 （ ）A ．58 B ．52 C ．528 D ．5128.如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是A ．2B ．3C ．23 D ．269．原点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为A ．)+∞B ．[3)++∞C ．7[,)4-+∞D ．7[,)4+∞（第8题图）10．双曲线具有光学性质“从双曲线的一个焦点发出的光线被双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一焦点”，由此可得如下结论，过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右之上的点P 处的切线平分∠F 1PF 2，现过原点O 作的平行线交F 1P 于点M ，则|MP|的长度为 （ ） A ．aB ．bCD ．与P 点位置有关二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．在极坐标系中A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________。
高二上期半期考试理科数学试题卷(附答案)
俯视图侧视图正视图高二上期半期考试数学试题卷（理科）数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1) 4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。
其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1- B.1 C.21- D.2BC6.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝ D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )A.对于命题p：x R∃∈，使得210x x++<. 则⌝p：x R∀∈，均有210x x++≥.B.“1=x”是“0232=+-xx”的充分不必要条件.C.命题“若12=x, 则1=x”的否命题为：“若12≠x,则1≠x”.D.命题“若5≠+yx，则32≠≠yx或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( )A.面ABD⊥面BCDB.面ABD⊥面ACDC.面ABC⊥面ACDD.面ABC⊥面BCD(图2) (图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PA B⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为d. 若1||22=-dMC, 则动点M在面PAB内的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12e=,右焦点为F（c, 0），方程20ax bx c+-=的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)的位置( )A.必在圆222x y+=内 B.必在圆222x y+=上C.必在圆222x y+=外 D.以上三种情形都有可能俯视图侧视图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为________12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], 则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y Ca b a b-=>>2。
2015-2016年陕西省西安中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)(实验班)
2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p49．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．210．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：B．2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵，∴，即sinC===，则C=60°或120°，故选：A．3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b＞0易知，又∵ab﹣b2=b（a﹣b）＞0∴∴，故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣【解答】解：由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜t min．t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，不妨取b=3，则a=5，c=7．∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故选：D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4﹣a n=d＞0，∴命题p1：数【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n﹣na n=（n+1）d+a n，不+1一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+10，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．9．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），则|BC|==，则△ABC的面积S==，故选：B．10．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q=6所以{a n}的通项公式：为a n=6n到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：B．11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【解答】解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：B．12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．【解答】解：．故选：D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．【解答】解：，变形得：＞0，可化为：或，解得：x＞﹣3或x＜﹣8，则原不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=6或3．【解答】解：根据正弦定理得∴sinC===∵C∈（0，π）∴∠C=60°或120°①当∠C=60°，∠A=90°，∵a2=b2+c2∴a===6②当∠C=120°，∠A=30°，又∵∠B=30°∴△ABC是等腰三角形，∴a=3综上所示：a的值是6或3．故答案为6或3．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．【解答】解：当n=1时，；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n+2）﹣（3n﹣1+2）=2×3n﹣1．综上可知：a n=，故答案为：a n=，16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，对应方程的根为x1=a，x2=1﹣a…（2分）（1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（6分）（2）当时，a=1﹣a得x∈R且；…（10分）（3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…（14分）综合得：（1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）当时，原不等式的解集为；（3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…（16分）18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=2，a4=16，∴公比q3=8，∴q=2∴该等比数列的通项公式a n=2n；（2）设等差数列{b n}的公差为d，则2d=4，∴d=2，∵b2=a2=4，∴b1=2，∴数列{b n}的前n项和S n=2n+=n2+n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解答】解：由题意知，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°．在△ABD中，由正弦定理得：，∴又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°．在△DBC中．由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=∴CD=30（km）救援船到达时间为t=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？【解答】解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a=（2x﹣10）•=（x﹣5）（y﹣6）=3030﹣6x﹣，（其中6≤x≤500）；（2）占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+）≤3030﹣2=3030﹣2×300=2430；当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，Smax=2430．即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．【解答】解：（I）∵﹣1，S n，a n成等差数列，+1∴2S n=a n+1﹣1①当n≥2时，2S n=a n﹣1②．﹣1①﹣②得：2a n=a n+1﹣a n，∴=3．当n=1时，由①得2S1=2a1=a2﹣1，又a1=1，∴a2=3，故=3．∴{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1…（7分）（II）∵f（x）=log3x，∴f（a n）=log3a n==n﹣1，b n===（﹣），∴T n=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（+﹣﹣）=﹣…（9分）比较T n与﹣的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）2（n+2）（n+3）﹣312=2（n2+5n+6﹣156）=2（n2+5n﹣150）=2（n+15）（n﹣10），∵n∈N*，∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T n＜﹣；当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T n=﹣；当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T n＞﹣．…（14分）。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版
18
12
C． 1 6
D
．1
3
1 O 图1 A x x
8. 已知可导函数 f ( x) (x ? R ) 满足 f ￠( x) > f (x) ，则当 a 0 时， f ( a) 和 ea f (0) 大小关系
为
A. f (a) < ea f (0)
B.
f (a) > ea f (0)
C. f (a) = ea f (0)
பைடு நூலகம்
．- 3
A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 y
7．如图 1，在矩形 OABC 内：记抛物线 y x2 1
C
2 与直线 y x 1 围成的区域为 M （图中阴影部分） ．
y x2 1
y x1 B
则区域 M面积与矩形 OABC 面积之比为
A． 1
B
．1
1
x2
设双曲线 C：
y2
1（a>0，b>0）的一个焦点坐标为 （ 3 ，0），离心率 e
3，
a2 b2
A、 B 是双曲线上的两点， AB的中点 M（1， 2） .
（ 1）求双曲线 C的方程；
（ 2）求直线 AB方程；
（ 3）如果线段 AB的垂直平分线与双曲线交于 C、 D两点，那么 A、 B、 C、 D四点是否
共圆？为什么？
20．（本小题满分 14 分）
设函数 f (x) 1 x3 1 a x2 ax a(a 0) .
3
2
（ 1）若函数 f (x) 在区间（ -2 ， 0）内恰有两个零点，求
a 的取值范围；
（ 2）当 a=1 时，求函数 f ( x) 在区间 [ t ， t +3] 上的最大值 .
15学年上学期高二期初考试数学(理)(附答案) (1)
长春市十一高中2014-2015学年度高二上学期期初考试数 学 试 题（理）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。
第一部分（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )．A ．0B ．2C ．3D ．4 2．已知命题：p ∧q 为真，则下列命题是真命题的是( )A ．(p ⌝)∧(q ⌝)B ．(p ⌝)∨(q ⌝)C ．p ∨(q ⌝)D ．(p ⌝)∧q 3．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )． A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝15．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．36．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )． A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点， 且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝18．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )． A.52 B.33 C.12 D.139．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且21PF PF ⊥，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．710．已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b-=的离心率，则12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定 11．若双曲线的中心为原点，F (3,0)是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于P ，Q 两点，且PQ 的中点为M (－12，－15)，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B. x 25－y 24＝1 C.x 26－y 23＝1D. x 24－y 25＝112．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0第二部分（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 14．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．15．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________．16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．(本小题满分12分)已知434:2≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知0c >，设p ：函数x y c =在R 上单调递减，q ：不等式21x x c +->的解集为R ，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 真命题，求c 的取值范围。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷解析
高二上学期期中考(理科)数学试题命题： 审题：一、选择题(每小题5分,共60分)1.命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．200,11x R x ∃∈+≤ C ．200,11x R x ∃∈+< D ．200,11x R x ∃∈+≥2.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.R x,则“|x 2|1-<”是“220x x +->”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题，则( ) A.命题p 、q 均为假命题B.命题p 、q 均为真命题C.命题p 、q 中至少有一个是真命题D.命题p 、q 中至多有一个是真命题5.椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．86. 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件7.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）Ａ．310 Ｂ．15 Ｃ．110 Ｄ．112 8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为y ＝±33x, 若顶点到渐近线的距离为1, 则双曲线的方程为（ ）A.143422=-y xB. 144322=-y xC. 14422=-y x D.134422=-y x9.某程序框图如右图所示，若输出的57S =，则判断框内为( ) A ．5?k > B ． 6?k > C ．4?k > D ．7?k > 10.在区间]2,0[上随机地取一个数x ,则事件“1)21(log 121≤+≤-x ”发生的概率为 A.32 B. 43 C.31 D.41 11. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O: x 2＋y 2＝4没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为 ( ) A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个12.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:C y 8x =的焦点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) A.12 B.6 C.9 D.3二、填空题(每小题5分,共20分)13.如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ；第9题图14. 已知命题p:存在0],2,1[2≥-∈a x x 使得,命题q:指数函数xa y )(log 2=是R 上的增函数,若命题“p 且q”是真命题,则实数a 的取值范围是_______.15. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ；16.已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点，若12F MF ∠为钝角，则0y 的取值范围是 ；三、解答题(共6题,共70分)17．（本题满分10分）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x∈A，命题q ：x∈B，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本题满分12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19．（本题满分12分）(1)已知关于x 的二次函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f(x)在区间和上分别取一个数,记为a,b,求方程+=1表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率.20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值．21．（本题满分12分）如图，已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为C 的标准方程．22．（本题满分12分）己知⊙O：x 2+y 2=6，P 为⊙O 上动点，过P 作PM⊥x 轴于M ，N 为PM 上一点，且2PM NM =．（1）求点N 的轨迹C 的方程；（2）若A(2，1)，B(3，0)，过B 的直线与曲线C 相交于D 、E 两点，则k AD +k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．Gy xBOAEFD高二上学期期中考试理科数学试题参考答案一、选择题(每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBADADAA.CBBD二、填空题(每小题5分,共20分) 13.____950_ 14.____ (2,4]___ 15._ ____ 16. 33(⋃17．满分10分解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.………………………4分化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}………………6分∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，………………8分解得m ≥34，或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.………………………10分18.满分12分19 .满分12分(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx＋1在区间,b∈,画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,………………………10分阴影部分的面积为,故所求的概率P==.………………………12分20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值． 20.：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px …………1分联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，……………3分所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，………5分所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . ……………6分(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，……………7分从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；……8分 设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．……………9分 又y 23＝8x 3，即2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，……………11分 解得λ＝0，或λ＝2. ………………………………12分21. （1）∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把（—c,0）代入圆F 的方程， 得224c a =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………2分 （2）在方程()222x c y a -+=中，令22220x y a c b ==-=得，可知点B 为椭圆的上顶点．由（1）知12c a =，得222,3a c b a c c ==-=，所以()03B c ，. 在圆F 的方程中，令0y =，可得点D 的坐标为()3,0c ，则点()3,0A c -． (4)分于是可得直线AB 的斜率33AB c k ==，而直线FB 的斜率33FB ck ==.………………………7分 1AB FD k k ⋅=-，∴直线AB 与圆F 相切．………………………8分（3）DF 是BDG ∆的中线，22BDG BFD S S DF OB c ∆∆∴==⋅==，22c ∴=，从而得28a =，26b =，∴椭圆C 的标准方程为22186x y +=．………………………12分22. 解：(1)设()y x N ,,()00,y x P ,则()0,0x M ,()00,PM y =,()0,NM x x y =--由2PM NM =,得()⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yy x x 22000,⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y xx 200 ……………………3分由于点P 在圆6:22=+y x O 上,则有()6222=+y x ,即13622=+y x . ∴点N 的轨迹C 的方程为13622=+y x ………………………4分(2) 设()11,y x D ,()22,y x E ,过点B 的直线DE 的方程为()3-=x k y ,由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=136322y x x k y 消去y 得: ()061812122222=-+-+k x k x k ,其中0>∆ 12618,121222212221+-=+=+∴k k x x k k x x ;………………………6分()()213213212122112211-+-+-+-=--+--=+∴x k kx x k kx x y x y k k AE AD ()()()4212415221212121++-++++-=x x x x k x x k x kx()4121221261812412121512618222222222++⋅-+-+++⋅+-+-⋅=k kk k k k k k k k k 2224422-=-+-=k k AE AD k k +∴是定值2-.………………………12分。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷1
高二上学期期中考试试卷数学（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题(本大题共10道小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．在ABC ∆中，一定成立的等式是 （ ） A ．B b A a sin sin = B ．B b A a cos cos = C ．A b B a sin sin = D. A b B a cos cos =2．若0>>b a ，0<<d c ，则一定有 （ ） A ．c bd a > B ．c b d a < C ． d b c a > D ．db c a < 3．在等差数列}{n a 中，首项81=a ，公差2-=d ，则数列}{n a 的前n 项和取最大值时n 的值为 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．4或5 4.不等式211≤+-x x 的解集为( ) A. }3|{-≥x x B. }13|{-≠-≥x x x 且 C. }31|{-≤-≥x x x 或 D. }31|{-≤->x x x 或5．如图所示，表示满足不等式0)22)((≥-+-y x y x 的点),(y x 所在的平面区域为( )A BC D 6．有下列三个命题：①“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若b a ≥，则22b a ≥”的逆否命题； ③“若3≤x ，则062>--x x ”的否命题其中真命题的个数是 ( )A.3B.2C.1D.0 7．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m )1,3(-=,n )sin ,(cos A A =,若m ⊥n ，且C c A b B a sin cos cos =+，则A ，B 的大小分别为( )A.3π,6πB.32π, 6π C. 6π,3π D. 3π,3π8.已知点A )3,2(-和B )2,1(，直线013=-+y ax 与线段AB 相交，则a 的取值范围是( )A.)31,31(-B.]31,31[-C.),31()31,(+∞--∞D.),31[]31,(+∞--∞9．在ABC ∆中，若C b B c cos cos =且A C B 222cos 1cos cos +=+，则三角形的形状为 （ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ． 等边三角形 10．已知正项等差数列}{n a 中的相邻三项依次为a ，ab ，b 2，则b a 84+的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.) 11．已知数列}{n a 的通项公式n a n n )1(-=，其前n 项和n S 为_________． 12．对任意R x ∈，求不等式012>++kx kx 恒成立的充要条件是____________．13．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+≥+-310302x y x y x ，则22y x +的最小值为_______________．14．江岸边有一炮台高30m ，江中有两艘船，由炮台顶部测得这两艘船的俯角分别为045和060，而且这两艘船与炮台底面的连线成030角，则这两艘船相距____________m ．15．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且211-=a ，n n n S S a -=+121，则=n S _________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）已知不等式0232<-+x ax 的解集为}1|{b x x x ><或． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式0)(2>--+bc x ac b ax ．17．（本小题满分12分）某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x 元）为8050≤<x 时，每天售出的件数为25)40(10-=x P ，销售价格每件定为多少时能使每天获得的利润最多？最多利润是多少？18．（本小题满分12分）ABC ∆在内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值．19.（本小题满分12分）数列}{n a 中，31=a ，递推公式为211+=+n n a a ． （Ⅰ）求证数列}1{-n a 为等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设12+=n n nn a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分13分）本公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？21．（本小题满分14分）设数列}{n a 中0>n a ，其前n 项和为n S 且12+=n n a S ；数列{}n b 的前n 项为n T ，且123+=n n T ．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若求数列}{2nnb a 的前n 项和n M ；（Ⅲ）若λ≥n M 恒成立，求实数λ的取值范围． 高二数学期中考试试卷答案（理）1 C解析：由正弦定理可得A b B a sin sin =． 2 B解析：由0<<d c ，01>cd 可得011<<c d ，所以011>->-cd ，又0>>b a ，所以c b d a ->-，即cbd a <． 3 D解析：0102)2)(1(8≥+-=--+=n n a n ，则5≤n ，所以5,4=n ． 4 D 解析：由211≤+-x x 得01221≤+---x x x ，013≥++x x ，所以31-≤->x x 或． 5 B解析：0)22)((≥-+-y x y x ，即⎩⎨⎧≥-+≥-0220y x y x 或⎩⎨⎧≤-+≤-0220y x y x ，故选B ．6 C解析：①的逆命题为“x ，y 互为相反数，则0=+y x ”，正确； ②的逆否命题为“若22b a <，则b a <”，错误；③的否命题“若3>x ，则062≤--x x ”，错误．故选C ． 7 A 解析：由m⊥n可得A A sin cos 3=，则3tan =A ，3π=A ．又由C c A b B a sin cos cos =+得C B A B A 2sin sin cos cos sin =+，1sin =C ，2π=C ，所以6π=B ，故选A ．8 D解析：0)123)(136(≤-+-+-a a ，0)13)(13(≥+-a a ，所以31-≤a 或31≥a ，故选D ． 9 A解析：由C b B c cos cos =得0sin cos cos sin =-B C B C ，即0)sin(=-B C ，所以B C =．由A C B 222cos 1cos cos +=+得A C B 222cos 1)cos 1()cos 1(-=-+-，即A CB 222sin sin sin =+，222a c b =+，所以2π=A ，所以ABC ∆为等腰直角三角形．10 C 解析：因为abb a 22=+，所以1211=+ba 161628288)84)(211(84=+≥++=++=+baa b b a b a b a ，当且仅当22==b a 时取等号．11 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=为奇数为偶数n n n n a n 212解析：n 为偶数时，2)1()43()21(nn n S n =+--+++-++-= ， n 为奇数时，21)1(211)1()54()32(1+-=-⨯-+-=--++-+-+-=n n n n S n ． 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=为奇数为偶数n n n na n 212．12 40<≤k解析：不等式012>++kx kx 恒成立的充要条件是函数1)(2++=kx kx x f 的图象恒在x 轴上方，所以0=k 时，01>，R x ∈．0≠k 时，⎩⎨⎧<-=∆>0402k k k ，解得40<<k ．所以40<≤k ． 1329 解析：如图最小值为29)23(2=． 1430解析：由题意可得30=BC ，310=BD ，030=∠CBD ，所以300233103023009002=⨯⨯⨯-+=CD ，310=CD m. 15 11+-n 解析：由nn n S S a -=+121得21)1)((n n n n S S S S =--+，整理得n n n n S S S S -=++11，所以1111-=-+n n S S ，所以}1{n S 是以211-=S 为首项，1-为公差的等差数列，所以1)1()1(21--=-⨯-+-=n n S n，11+-=n S n ． 16 解析：（Ⅰ）因为不等式0232<-+x ax 的解集为}1|{b x x x ><或 所以0232=-+x ax 的根为b ,1.1=x 时，023=-+a ，1-=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2所以0232=-+-x x ，所以0232=+-x x ，0)2)(1(=--x x ， 所以2,1=x ，所以2=b综上知2,1=-=b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 （Ⅱ）不等式为02)2(2>-++-c x c x ，即02)2(2<++-c x c x ．．．．．．．．．．．．．．．．．6 0)2)((<--x c x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 2>c 时，不等式的解集为}2|{c x x <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 2=c 时，0)2(2<-x ，不等式的解集为φ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 2<c 时，不等式的解集为}2|{<<x c x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1217 解析：设每天获得的利润为y 元，因为销售价格每件x 元，则每件的利润为50-x 元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．225)40()50(10)50(--=⨯-=x x P x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 令50-=x t ，因为8050≤<x ，所以300≤<t ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 50+=t x于是得25)10(10+=t ty （300≤<t ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 2500202010201001010020105525=+≤++=++=tt t t ty ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 当且仅当10=t ，即60=x 时，2500max =y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 答：销售价格每件定为60元时每天获得的利润最多，最多利润为2500元．．．．．．．．．．12 18 解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得B C C B A sin sin cos sin sin +=．．．．．．．．．．．．．．1 又)(C B A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 所以C B C B B C C B sin cos cos sin sin sin cos sin +=+ 即C B B C sin cos sin sin =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 因为),0(π∈c ，所以0sin ≠C ， 所以B B cos sin =，4π=B ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6（Ⅱ）ABC ∆的面积ac B ac S 42sin 21==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 由已知及余弦定理得4cos 2422πac c a -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8又ac c a 222≥+，故224-≤ac ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10当且仅当c a =时，等号成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 因此ABC ∆面积的最大值为12+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 19 解析：（Ⅰ）由211+=+n n a a 可得121-=+n n a a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2122111=--=--+n n n n a a a a ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3所以}1{-n a 是以211=-a 为首项，2为公比的等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4n n a 21=-，12+=n n a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6（Ⅱ）)12)(12(2211++==++n nnn n n n a a b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9所以++-+++-+++-=)121121()121121()12131(43322n T ……)121121(1+-+++n n121311+-=+n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 20 解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1由题意得3005002009000000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，， 即3005290000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3目标函数为30002000z x y =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7把3000z x =2-，在y 轴上的截距为2000z，随z 变化的一族平行直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 由图中可知，当直线200023z x y +-=经过可行域上的M 点时，截距2000z最大，即z 最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，∴点M 的坐标为(100200)，． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 1211211+-+=+n n n b lmax 30002000700000z x y ∴=+=（元）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 21 解析：（Ⅰ）1=n 时，1211+=a a ，得11=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 由12+=n n a S 得2)1(4+=n n a S ① 又211)1(4+=++n n a S ②②-①得n n n n n a a a a a 22412211-+-=+++，0))(2(11=+--++n n n n a a a a因为01>++n n a a ，所以21=-+n n a a ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 所以12-=n a n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．31=n 时，2511==T b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2≥n 时1113)33(21---=-=-=n n n n n n T T b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5所以⎪⎩⎪⎨⎧≥==-231251n n b n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6（Ⅱ）=n b 2123-n ，所以122312--=n n n n b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 +++=53353331n M (1231)2--n n ++=53333191n M (121)2312332+--+-n n n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 两式相减得+++=5332323198n M (121231)232+---+n n n12122123345812531291131323231++-⋅+-=---⨯-+=n n n n n12332583215-⋅+-=n n n M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 （Ⅲ）03323264)31384572(321)35)1(8358(321121212121>⋅+=--+⨯=++-+=-+++-+n n n n n n n n n n n M M ．所以}{n M 为递增数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 所以3196323321332151==⨯-=≥M M n ． 所以31)(min =n M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 因为λ≥n M 恒成立，所以31≤λ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14。
2015届高二(上)期中考试数学(理)试题
黄冈中学2015届高二（上）期中考试数学（理）试题命题：胡华川 审题：汤彩仙 校对： 袁进本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1．下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据B ．一组数据不可能有两个众数C ．一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动程度越大 2．下列关于随机抽样的说法不正确．．．的是（ ） A ．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B ．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C ．有2008个零件，先用随机数表法剔除8个，再用系统抽样方法抽取抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为1/2000D ．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样3．从一批产品中取出三件产品，设{A =三件产品全是正品}，{B =三件产品全是次品}，{C =三件产品不全是次品}，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．A 与B 互斥且为对立事件 B ．B 与C 为对立事件 C ．A 与C 存在着包含关系 D ．A 与C 不是互斥事件 4．某产品的广告费用与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．61．5万元 B ． 62．5万元 C ． 63．5万元 D ． 65．0万元5．给出的四个程序框图，其中满足WHILE 语句结构的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．3(,]24ππB ．3[,)24ππC ． 3(,)34ππD ． 3(,)24ππ①②③④7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，A ．A 5B ．BFC ．165D ．B 98．张三和李四打算期中考试完后去旅游，约定第二天8点到9点之间在某处见面，并约定先到者等候后到者20分钟或者时间到了9点整即可离去，则两人能够见面的概率是（ ）A ．49B ．59C ．79D ．699．已知直线:10l ax by ++=，圆22:220M x y ax by +--=，则直线l 和圆M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）10．已知a b ≠且2sin cos 10a a θθ+-=、2sin cos 10b b θθ+-=，则连接2(,)a a 、2(,)b b 两点的直线与单位圆221xy +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11．若数据组128,,,k k k 的平均数为3，方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k +++ 的平均数为_____，方差为_____．12．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果每次走出一个同学，则第2位走出的是男同学的概率是________．13．如图给出的是计算11112462014++++ 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是________．14．已知532()231f x x x x x =-+-+，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为________．．15．在平面直角坐标系中， ABC ∆的三个顶点(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段AO 上（异于端点）．设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E F 、． 一同学已正确算出直线OF 的方程：1111()(0x y c b p a-+-=． 请你写出直线OE 的方程：（ ）011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x ． 三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16．（本小题12分）已知直线1l ：60x my ++=，2l ：(2)320m x y m -++=， 求当m 为何值时，1l 与 2l ： （I ）平行； （Ⅱ）相交； （Ⅲ） 垂直．17．（本小题12分）下列程序的输出结果构成了数列{}n a 的前10项．试根据该程序给出的数列关系，（I ）求数列的第3项3a 和第4项4a ；（Ⅱ）写出该数列的递推公式，并求出其通项公式n a ；18．（本小题12分）圆M 的圆心在直线x y 2-= 上，且与直线1=+y x 相切于点)1,2(-A , （I ）试求圆M 的方程；（Ⅱ）从点(3,1)P 发出的光线经直线y x =反射后可以照在圆M 上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围． 19．（本小题12分）某校高一的一个班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（Ⅲ）试用此频率分布直方图估计这组数据的众数和平均数．20．（本小题13分））已知函数22()24,,f x x ax b a b R=-+∈．（Ⅰ）若a从集合{}3,4,5中任取一个元素，b从集合{}1,2,3中任取一个元素，求方程()0f x=有两个不相等实根的概率；（Ⅱ）若a从区间[]0,2中任取一个数，b从区间[]0,3中任取一个数，求方程()0f x=没有实根的概率．21．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:(1)1C x y++=，圆222:(3)(4)1C x y-+-=．（Ⅰ）若过点1(1,0)C-的直线l被圆2C截得的弦长为65，求直线l的方程；（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆3C：22(+1)9x y+=上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆1C的两条切线,PE PF，切点为,E F，求四边形1PEC F的面积的取值范围；（Ⅲ）若动圆C同时平分圆1C的周长、圆2C的周长，如图所示，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．期中考试数学（理）参考答案1．答案：D 解析：一组数据的平均数介于这组数据中的最大数据与最小数据之间，所以A 错；众数是一组数据中出现最多的数据，所以可以不止一个，B 错；若一组数据的个数有偶数个，则其中中位数是中间两个数的平均值，所以不一定是这组数据中的某个数据，C 错；一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，D 对．2．【答案】C 解析： C 选项中每个零件入选的概率应该12008。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷+
B. 90 °
C. 60 °
7. 已知 O(0，0， 0)， A(-4 ， 6， -1)， B(4， 3， 2)，则下列各向量中是平面 量的是 ( )
A. (0，1， 6)
B. (-1， 2，-1)
C. (-15，4， 36)
D. 30° AOB 的一个法向
D. (15，4， -36)
8. 若平面 α与 β的法向量分别是
D. 30 °
12. 在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a， b. 若 2asinB=b，则角 A 等于 ( )
D.
A.
B.
C.
二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 )
13. 已知点 A(2，3)， B(-3， -2)．若直线 l 过点 P(1，1)且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ____________．
(1)求证： AE⊥ 平面 BCE； (2)求证： AE∥平面 BFD ；
19. 如图，边长为 2 的等边 △ PCD 所在的平面垂直 于矩形 ABCD 所在的平面， BC =2 ， M 为 BC 的 中点． (1)证明： AM ⊥ PM ； (2)求异面直线 PM 与 BD 所成的角
A 20. 如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P， PA⊥ 平面 ABCD ， PA=AD=2 ，AB=1， E、F 分别是 AB，PC 的中点． 求直线 EF 与平面 ABCD 所成角
D. {0,1}
2. 已知等差数列 {an}中， S10=120，那么 a 2+a9 等于 ( )
A. 12
B. 24
C. 36
3.下列四个结论： (1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； (2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行； (3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行； (4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行． 其中正确的个数为 ( )
【精品】2015学年湖北省黄冈中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2014-2015学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）下列说法中正确的是（）A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平C．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x+9x3+5x5+3x6在当x=﹣1时的值时要用到6次加法和15次乘法D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半2．（5分）2014年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（）A．84 B．85 C．86 D．87.53．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．35 B．25 C．15 D．74．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（）A．B．C．3 D．7．（5分）设，求a2+a4+…+a2n的值（）A．3n B．3n﹣2 C．D．8．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N 分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为．12．（5分）由数字0，1，2，3，4组成的没有重复数字且比2000大的四位数的个数为（用数字作答）．13．（5分）在（1+x2）（1﹣2x）6的展开式中，x5的系数为．14．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为．15．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若a n=2005，则n=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间[14，16）内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．18．（12分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求n；（2）求展开式中的所有有理项；（3）求C n1+9C n2+81C n3+…+9n﹣1C n n的值．19．（12分）阅读如图的程序框图，解答以下问题：（1）如果输入的N=3，那么输出的S为多少？（2）对于输入的任何正整数N，都有对应S输出．证明：S＜2．20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21．（14分）如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）下列说法中正确的是（）A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平C．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x+9x3+5x5+3x6在当x=﹣1时的值时要用到6次加法和15次乘法D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半【解答】解：A选项，频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，故A正确；B选项，每个个体被抽到的概率相等，故B错误C选项，用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x+9x3+5x5+3x6在当x=﹣1时的值时要用到6次加法和6次乘法，故C错误；D选项，∵数据4，6，8，10分别是数据2，3，4，5的2倍，∴数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的，故D错误．故选：A．2．（5分）2014年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（）A．84 B．85 C．86 D．87.5【解答】解：由茎叶图知，这些数据的中位数为：=86．故选：C．3．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．35 B．25 C．15 D．7【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为=15．故选：C．4．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选：D．5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（）A．B．C．3 D．【解答】解：圆O1的圆心为（1，0），半径r1=1，圆O2的圆心为（0，2），半径r2=2，故两圆的圆心距，大于半径之差而小于半径之和，故两圆相交．圆和圆两式相减得到相交弦所在直线方程x ﹣2y=0，圆心O1（1，0）到直线x﹣2y=0距离为，由垂径定理可得公共弦长为2=，故选：B．7．（5分）设，求a2+a4+…+a2n的值（）A．3n B．3n﹣2 C．D．【解答】解：令x=1，则（1+1+12）n=a0+a1+…+a2n①令x=﹣1，则（1﹣1+1）n=a0﹣a1+…+a2n②∴①+②得2（a0+a2+a4+…+a2n）=3n+1∴a0+a2+a4+…+a2n=令x=0，则a0=1，∴a2+a4+…+a2n=﹣1=故选：C．8．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，∴另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，∴几何体的体积是V=∵在侧面三角形上有a2﹣1+b2﹣1=6，∴V=，当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，故选：D．10．（5分）如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N 分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]【解答】解：设M（cosα，sinα），∵，∴，∴N（﹣sinα，cosα），∴=（﹣sinα，cosα），=（cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα），∴=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα=2sinα，∵sinα∈[﹣1，1]，∴2sinα∈[﹣2，2]，∴•的取值范围是[﹣2，2]．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为（﹣2，3，5）．【解答】解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点P（2，3，5）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为：（﹣2，3，5）．故答案为：（﹣2，3，5）．12．（5分）由数字0，1，2，3，4组成的没有重复数字且比2000大的四位数的个数为72（用数字作答）．【解答】解：当最高位为2时，其余的三位数任意取有=24个，当最高位为3或4的有=48个，根据分类计数原理可得，一共有72个．故答案为：7213．（5分）在（1+x2）（1﹣2x）6的展开式中，x5的系数为﹣352．【解答】解：根据题意，（1﹣2x）6展开式的通项为T r=C6r•（﹣2x）r=（﹣1）r C6r•2r x r，+1则（1+x2）（1﹣2x）6的展开式中出现x5的项有两种情况，第一种情况（1+x2）中出1，而（1﹣2x）6展开式中出x5项，其系数为1×（﹣1）525=﹣192，5C6第二种情况（1+x2）中出x2项，而（1﹣2x）6展开式中出x3项，其系数为=﹣160，则（1+x2）（1﹣2x）6展开式中x5的系数为﹣192﹣160=﹣352；故答案为：﹣352．14．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为60．【解答】解：执行算法语句知程序的功能是求分段函数的值，其解析式为，故解得当y的值为31时，x的值为60．故答案为：60．15．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若a n=2005，则n=65．【解答】解：∵方程x1+x2+…+x i=m使x1≥1，x i≥0（i≥2）的整数解个数为．现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为且P（1）==1，P（2）==7，P（3）==28对于四位“吉祥数”，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即个．∵2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a n=2005，从而n=65．故答案为：65三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间[14，16）内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．【解答】解：（1）根据频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人；（2）由频率分布直方图知，众数落在第三组[15，16）内，是；∵数据落在第一、二组的频率为1×0.04+1×0.08=0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率为1×0.04+1×0.08+1×0.38=0.6＞0.5，∴中位数一定落在第三组[15，16）中；设中位数是x，∴0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，解得中位数．17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．【解答】解：（1）设事件A为“方程x2﹣2ax+b2=0无实根”；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当△=4a2﹣4b2=4（a2﹣b2）＜0，即a＜b时，方程x2﹣2ax+b2=0无实根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所有的（a，b）共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中，第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2），（1，2），由于每个基本事件发生的可能性都相同，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴事件A发生的概率P（A）==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）答：方程x2﹣2ax+b2=0没有实根的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）设事件B为“方程x2﹣2ax+b2=0无实根”；﹣﹣﹣﹣（8分）如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其中构成事件B的区域为三角形OEC，即{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＜b}，由于点（a，b）落在区域内的每一点是随机的，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴事件B发生的概率P（B）===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）答：方程x2﹣2ax+b2=0没有实根的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（12分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求n；（2）求展开式中的所有有理项；（3）求C n1+9C n2+81C n3+…+9n﹣1C n n的值．【解答】解：（1）由题意可得，，解得n=10．=•（﹣2）r•，令5﹣为整数，r可取0，（2）因为通项公式为：T r+16，于是有理项为和T7=13400．（3）==．19．（12分）阅读如图的程序框图，解答以下问题：（1）如果输入的N=3，那么输出的S为多少？（2）对于输入的任何正整数N，都有对应S输出．证明：S＜2．【解答】解：（1）第一次循环得到：T=1，S=1，k=2；第二次循环得到：；，4＞3满足条件，输出（2）由题意知，而n＞2时有n!＞2n﹣1∴经验证，n=1，2也有S＜2．20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（I）证明：取AD的中点G，连结PG、GB、BD．∵PA=PD，∴PG⊥AD…（2分）∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．∴AD⊥PB．…（4分）（II）证明：取PB的中点F，连结MF，CF，∵M、F分别为PA、PB的中点，∴MF∥AB，且．∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，∴MF∥CD且MF=CD，…（6分）∴四边形CDMF是平行四边形．∴DM∥CF．∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（8分）（III）解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，又∵PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴PG⊥BG．∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G﹣xyz．设PG=a，则由题意得：，．∴．设是平面PBC的法向量，则且．∴取，得．∵M是AP的中点，∴．∴．．∴．平面PAD的法向量，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，则，…（10分）∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…（12分）21．（14分）如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）因为由可得x2﹣（1+a）x+a=0，由题意得△=（1+a）2﹣4a=（a﹣1）2=0，所以a=1，故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1=0．（Ⅱ）令y=0，得x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，求得x=1，或x=a，所以M（1，0），N（a，0）．假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而．因为NA、NB的斜率之和为，而（x 1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a==，因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，，即，得a=4．当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷
）
(A) p : x R, cos x 1 (B) p : x R, cos x 1
(C) p : x0 R,cos x0 1 (D) p : x R, cos x 1
3、设 x R , 则“ x 1 ”是“ 2x2 x 1 0 ”的（
）
2
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件
3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这
200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图
( 如下图 ) ．根据频率分
布直方图推测这 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是
。
（第 12 题图）
15、命题“ ax2 2ax 3 0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是
11、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表
( D) i 9 ？
广告费用 x（万元） 4
2
3
5
销售额 y（万元）
根据上表可得回归方程
额为（
）
49
26Βιβλιοθήκη 39 54y? b?x a?中的 b?为 9．4，据此模型预报广告费用为
6 万元时销售
(A) 63． 6 万元 (B) 65． 5 万元 (C) 67． 7 万元 (D) 72． 0 万元
的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 .
一次购物量
1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上
顾客数 ( 人 )
x
30
25
y
10
结算时间
1
1.5
2
2.5
3
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15届高二理科数学上期半期考试试卷参考答案
成都x 中2013-2014学年度（上）期中考试试题高 二 数 学（理科）参考答案一、选择题：（每小题5分）1-5C B DC A 6-10C BCBA二、填空题：（每小题5分）12.8 13. -1 14.43π15. 2 三．解答题： 16．（1）（2）（ 每小问各6分） 17．(1)证明:如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，以AD 、DP 、DC 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0).所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.又DQ∩DC＝D ，所以PQ⊥平面DCQ. 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)∠CQD 为二面角的平面角余弦值为63. （ 每小问各6分）18．（ 每小问各6分）解析：方法1：(1)连接EC 1.在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 1∥BC 1，则∠EBC 1为异面直线AD 1与BE 所成的角．⎭⎬⎫又底面ABCD⊥侧面DCC 1D 1⎭⎪⎬⎪⎫BD ＝BC E 为CD 的中点⇒BE ⊥CD ⇒BE ⊥侧面DCC 1D 1⇒BE ⊥EC 1. 在Rt △BEC 1中，BE ＝BC 2－EC 2＝22，EC 1＝CC 12＋CE 2＝322， 所以tan ∠EBC 1＝EC 1EB＝3. (2)当DF ＝14时，EF 与BC 1所成的角为90°.由(1)知，BE ⊥侧面DCC 1D 1⇒BE ⊥EF.又DE ＝EC ＝22，CC 1＝AA 1＝2. 当DF ＝14时，因为DF CE ＝1422＝24，DE CC 1＝222＝24，所以△DEF∽△CC 1E ，所以∠DEF＋∠CEC 1＝90°，所以∠FEC 1＝90°，即FE⊥EC 1.又EB∩EC 1＝E ，所以EF⊥平面BEC 1， 所以EF⊥BC 1，即EF 与BC 1所成的角等于90°.EH FG K K EH EH ABD K ABD FG BCD K FG K BCD ABD BCD=BD K BD ∈⊂∈⊂∈∈∈ 提示：直线和相交于点；由点，平面，得平面由于平面，而，所以平面，平面平面，因此，点直线，三条直线交于同一点AB P AB ABC P ABC P P ABC Q R P Q R ααα=⊂∈∈ 证明：因为，平面，所以平面，，所以在平面与平面的交线上.同理可证，和均在这条交线上，所以，，三点共线.方法2：由BC 2＋BD 2＝DC 2可知BD⊥BC，分别以BC 、BD 、BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0，0，0)，A(－1，1，0)，D(0，1，0)，D 1 (0，1，2)，C(1，0，0)，C 1(1，0，2)，E(12，12，0)．因为AD 1→＝(1，0，2)，BE →＝(12，12，0)，所以cos 〈AD 1→，BE →〉＝125×22＝110＝1010，所以sin 〈AD 1→，BE →〉＝31010，所以tan 〈AD 1→，BE →〉＝3，即AD 1与BE 所成的角的正切值为3.设F(0，1，q)，则EF →＝ (－12，12，q)．又BC 1→＝(1，0，2)，由EF →·BC 1→＝(－12)×1＋0×12＋q·2＝0，得q ＝14，即DF ＝14时，EF ⊥BC 1.19．(1)如图,连接.E OA O O E 、、分别为1CB BC 、的中点,EO ∴是1BB C ∆的中位线,1//EO BB ∴且112EO BB =. 又111//,DA BB AA BB =,故11,2DA BB EO DA ==∴//EO 且DA EO =,∴四边形AOED 是平行四边形,即//DE OA ,又,,//DE ABC OA ABC DE ABC ⊄⊂∴平面平面平面. ……3分 (2)如图,连接CA .由题知1DE CBB ⊥平面,且由(1)知//DE OA ,1,AOCBB AO BC ∴⊥∴⊥平面, AC AB ∴==.BC 是底面圆O 的直径,CA AB ∴⊥.又1AA 是圆柱的母线,1AA ABC ∴⊥平面,11,AA CA AA AB A ∴⊥= 又,11CA AA B B ∴⊥平面,即CA 为四棱锥11C ABB A -的高.设圆柱高为h ,底面半径为r,则))112212=,33C ABB A V r h V hhr π-=⋅=圆柱, 1122223:3C ABB A hrV V r h ππ-∴==圆柱. …… 5分 (3)如图,作过C 的母线1CC ,连接11B C ,则11B C 是上底面圆1O 的直径,连接11A O ,则11//AO AO ,又111111,AO CBB C A OCBBC ⊥∴⊥平面平面,连接1CO ,则11ACO ∠为直线1CA 与平面1BB C 所成的角.111,AC AO r == , ∴在11Rt AO C ∆中,11111sin A O ACO A C∠==∴直线1CA 与平面1BB C …… 5分20．解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F,11B EC ∆ ∽△FEB,BE=21EC 1, ∴BF=21B 1C 1=21BC,从而点F 为BC 的中点. ∵G 为△ABC 的重心,∴A、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==,又GE ⊄侧面AA 1B 1B,∴GE//侧面AA 1B 1B.…… 4分(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA 1B 1B⊥底面ABC,∴B 1H⊥底面ABC.又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH=60°,BH=1,B 1H=.3 在底面ABC 内,过H 作HT⊥AF,垂足为T,连B 1T,由三垂线定理有B 1T⊥AF, 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT 中,332tan 11==∠HT HB TH B , 从而平面B 1GE与底面ABC 5分 (3)用等积可求得点B 到平面B 1GE 的距离是63. ……4分解法2:(1)∵侧面AA 1B 1B⊥底面ABC,侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,∴∠A 1AB=60°, 又AA 1=AB=2,取AB 的中点O,则AO⊥底面ABC. 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图, 则()0,1,0A -,()0,1,0B ,)C,(1A ,(10,B,1C . ∵G 为△ABC的重心,∴G ⎫⎪⎪⎭.113BE BC =,∴E, ∴113CE AB ⎛== ⎝. 又GE ⊄侧面AA 1B 1B,∴GE//侧面AA 1B 1B. (2)设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ,则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.b b -=⎪=⎪⎩可取=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ,则cos ||||θ⋅==⋅m n m n . 由于θ为锐角,所以sin θ==,进而tan θ=故平面B 1GE 与底面ABC(3) 由（2）可知平面B 1GE 的法向量为，，所以点B 到平面B 1GE 的距离：…… 4分21．(1) 三棱锥A —BCD的三视图如右图所示： …… 3分(2)解设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则由n 1⊥BC →知：n 1·BC →＝－x ＋y ＝0，同理由n 1⊥AC →知：n 1·AC →＝－x －z ＝0， 可取n 1＝(1,1，－1)， 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为n 1＝(1,0，－1).∴cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1＋0＋13×2＝63.即二面角B —AC —D 的余弦值为63.…… 5分(3)解设E(x ，y ，z)是线段AC 上一点，则x ＝z>0，y ＝1，所以DE →＝(x,1，x)，设平面BCD的一个法向量为n ＝(0,0,1)，要使ED 与平面BCD 成30°角，由图可知DE →与n 的夹角为60°，所以cos 〈DE →，n 〉＝DE →·n |DE →||n|＝cos60°＝12，所以2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，所以CE ＝2x ＝1. 故线段AC 上存在一点E ，使ED 与平面BCD 成30°角， 且当CE ＝1时，ED 与平面BCD 成30°角.…… 5分BG nd n ∙=====-n ,1,0)3BG =-。
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4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()
A.πB.π＋C.π＋D.π＋
5. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有()
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:(本大题有5个小题,每小题5分,共25分)
11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,则MN的长为.
12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2,这个球的表面积为12π,则这个正四棱柱的体积为.
其中正确命题的个数有_______个.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)
(1)如图,ABC在平面外,AB∩=P,BC∩=Q,AC∩=R,求证:P,Q,R三点共线.
(2)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点, 且EH与FG相交于点K. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
(1)过不在a、b上的任一点,可作一个平面与a、b都平行.
(2)过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都相交.
(3)过a可以并且只可以作一个平面与b平行.
(4)过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都垂直.
A.1B.2C.3D.4
10．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，
1.下列命题正确的是( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
C.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.
D.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.
2.下列命题中正确的个数是( )
成都X中2013-2014学年度（上）期中考试试题
高 二 数 学（理科）
考试说明:
（1）考试时间:120分钟,试卷满分:150分;
（2）请将选择题答案涂在答题卡上,将非选择题答在答题卡相应位置上.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
参考公式：
球的表面积公式: ;球的体积公式: .其中 表示球的半径.
一、选择题:(本大题有10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
13．执行如下图的程序框图,那么输出S的值是________.
14．已知圆台的上底半径为2cm,下底半径为4cm，圆台的高为cm,则侧面展开图所在扇形的圆心角=______.
15．下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题:
1与两条平行直线中一条平行的平面必与另一条直线平行;
2与两条平行直线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直;
17．(本题满分12分)
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.
18．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB＝，
BD＝BC＝1，AA1＝2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点．
(1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值；
(2)当DF为何值时，EF与BC1所成的角为90°？
19．（本小题满分13分）
如图,AA1、BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D、E分别是AA1、CB1的中点,
(1)角的水平放置的直观图一定是角.
(2)相等的角在直观图中仍然相等.
(3)相等的线段在直观图中仍然相等.
(4)若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.
A.1 B.2C.3D.4
3.若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是( )
A.内的所有直线都与直线a异面. B.内不存在与a平行的直线.
3与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直;
4与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行;
5与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行;
6与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直;
7与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直;
8与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行.
其中正确命题的个数是( )
A.3 B.2C.1D.0
7．如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则图中执行框内①
处和判断框中的②处应填的语句是( )
A.n=n+2,i=15B.n=n+2,i>15
C.n=n+1,i=15D.n=n+1,i>15
8．已知直角三角形ABC,其三边分为a、b、c(a>b>c).分别以三角形的a边,
则下列结论中错误的个数是( )
(1)AC⊥BE.
(2)若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.
(3)三棱锥A-BEF的体积为定值.
(4)在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.
(5)过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.
A.0 B.1C.2D.3
A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面
6．已知两个平面垂直,下列命题:
(1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意直线.
(2)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
(3)一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.
(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
b边,c边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,
其表面积和体积分别为S1,S2,S3和V1,V2,V3.则它们的关系为()
A．S1>S2>S3, V1>V2>V3B．S1>S2>S3, V1=V2=V3
C．S1<S2<S3, V1<V2<V3D．S1<S2<S3,V1=V2=V3
9．a和b是两条异面直线,下列结论正确的个数是( )