吴百诗版大学物理上册电子课件

❖确定转动惯量的三个要素: (1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L 3
z ML
J铁 J木
O
dx
x
Xi’an Jaotong University
J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 02 2 ( 0 )
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 ω,
z v 任意点都绕同一轴作圆周
运动, 且 ， 都相同
v rM an rM 2
a
dv dt
rM
rM •M
Oθ
刚体
Xi’an Jaotong University
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
I
角坐标 f (t) (运动学方程) P
角速度 d f '(t)
dt
角加速度


d
dt

d2
dt 2

f "(t)
II
Xi’an Jaotong University
当 c
0 t


0

0
t

1
2
t2
与质点的匀加速直 线运动公式相似
dl m
R
O
R dr
m
r
O
J 与转轴的位置有关
z
z
ML
M
L
O
dx x
O dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
J L/2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
平行轴定理
J z' J z ML2
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量
J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴
5.第2.2k刚个体质绕元定F轴k 转 动fk 微 分mk方ak程 切线方向 Fk fk mk ak

rk
Fk
fk
在上式两边同乘以 r k Fk rk fk rk mkak rk mk rk rk
对所有质元求和
Fk r k fk r k ( mk rk 2 )
J m R2dm 2πR R2dl
0
0
R2 2πR dl 2πR3 m mR2
0
2πR
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm ds m 2πrdr 2mr dr
πR2
R2
J

m r 2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr

m 2
R2
Xi’an Jaotong University
Xi’an Jaotong University
2.力对点的力矩

MO

r
F
Mo
F
大小 MO rF sin
指向由右螺旋法则确定
力对定轴力矩的矢量形式
MZ

r
F
O . r
z
F//
r
F
（力对轴的力矩只有两个指向）

A
F
Xi’an Jaotong University
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律 M J
）
与牛顿第二定律比较：M F, J m, a
Xi’an Jaotong University
5.2.3 转动惯量
定义 J mk rk 2 质量不连续分布
k
r
J r 2dm 质量连续分布
V
讨论
(1) 合力矩的功
A 2 Md (2
1
1
i
Mi )d
i
2 1
M i d

i
Ai
(2) 力矩的功就是力的功。
(3) 内力矩作功之和为零。
5.3.3 转动动能定理 —— 合力矩功的效果
dA

Md

(J
d )d
dt

Jd

d(1 2
Δmk 的动能为
Ek

1 2
Δmkv
k
2

1 2
Δmk
rk
2
2
z
O rk
vk
P
• Δmk
刚体的总动能
E

Ek

1
2
Δmk
rk
2
2

1 2
Δmk rk 2
2

1 2
J 2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动
惯量与其角速度平方乘积的一半
Xi’an Jaotong University
J2 )

dEk
对于一有限过程
A
2 dA
1
2 1
d(1 2
J2 )

1 2
J22

1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量, 等于在该过
程中作用在刚体上所有外力所作功的总和. 这就是绕定
轴转动刚体的——动能定理
Xi’an Jaotong University
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
5.2.1 力矩 ❖力 改变质点的运动状态 ❖力矩 改变刚体的转动状态
1. 力 F 对z 轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
M z (F ) Fr sin
Fh
Fτr
(力不在垂直于轴的平面内)
质点获得加速度
刚体获得角加速度
z F//

F
h r
A
F F Fn
M z (F ) Fr sin Fh Fτr
m 求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力） v0
系统的机械能守恒

r0
质点的动量矩守恒
v
R
OM
1 2
mv 0 2

GMm r0

1 2
mv
2

GMm R
mv0r0sin(π ) mvR
v
v0r0sin
R

4v0sin
1/ 2
sin

1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
5.3.2 力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
•根据功的定义
dA

F

dr

Fcosds
F rd
Md
（力矩做功的微分形式）
对一有限过程
A 2 Md 若 M = C 1

d

O
r' dr F
r .
P
A M (2 1)
Xi’an Jaotong University
第5章 刚体力学基础 动量矩
本章内容： 5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的概念
在力作用下, 大小和形状都保持不变的物体称为刚体。
特殊的质点系，形状和—体—积理不想变化化模 型在, 力作用下,组成物体的所有质点间的距离 始终保持不变
B B1 B2 B3
A3
r A A1 A2
A
Bn An
y
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动 可归结为质点运动
Xi’an Jaotong University
2. 刚体绕定轴的转动 体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动
_____ 刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量
5.1.2 刚体的平动和定轴转动
1. 刚体的平动
A
刚体运动时, 若在刚体内
所作的任一条直线都始
终保持和自身平行
B
A
A B
B
Xi’an Jaotong University
平动的特点:
z
rB rA AB
rA rB vA vB
aA aB
O
x
MrB
LZi Δmviri Δmri2
且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩 具有相同的方向
OO • rr•i • vvi mi
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
L J Z
Z
(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
Xi’an Jaotong University
例一根长为 l , 质量为 m 的均匀细直棒, 可绕轴 O 在竖 直平面内转动, 初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
解 M 1 mglcos
2
由动能定理
O•
m

l
•C
x
A


0
Md


0
l mgcosd
2
mg
lmg sin 0 1 J2 0
2
2
J 1 ml 2 3
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
解
LA d1mv
A d1
m
v
LB d1mv LC 0
d2 B
d3 C
各动量矩方向如何？
Xi’an Jaotong University
2. 质点的动量矩定 理
r F Mo
v mv 0
dLo

d
r mv r d(mv) dr mv

21.8
rad/s 2
T
mg
Xi’an Jaotong University
例 一定滑轮的质量为 m ,半径为 r ,不能伸长的轻绳两边
分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上,绳与滑轮间无相 对滑动。（设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。

ຫໍສະໝຸດ Baidu
解 以m1 , m2 , m 为研究对象,受力分析
z' z M
L
C
L ⇒ 两轴间垂直距离
Xi’an Jaotong University
5.2.4 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘, 在绳端施以 F=98 N 的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2, 飞轮 与转轴间的摩擦不计, (见图)
求 (1)飞轮的角加速度
dt dt
Mo

dLo dt
dt dt Modt dLo(质点动量矩定理的微分形式)
t2
t1
Mo
dt

Lo 2

Lo1
(质点动量矩定理的积分形式)
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
说明 冲量矩是质点动量矩变化的原因 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
物体 m1： m1g T1 m1a1
T2 m
r
T1
物体 m2：T2 m2g m2a2
T2
T1
滑轮
m：T1r T2
a1 a2
r
a
J
r
1 2
mr
2
m2 m2 g
m1 m1g
m1 m2 g

m1

m2

1 2
m
r


0


t



v
v01

3GM 2 Rv 0 2
1/ 2
Xi’an Jaotong University
5.4.2 刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理和动量矩
守恒定律 1. 刚体定轴转动的动量矩
z
质点对 Z 轴的动量矩… LZ mvr mr2
刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端, 试计算飞轮的角加速度
rO
解 (1) Fr J Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
TF
(2) mg T ma T 'r J a r
T' T
mgr
J mr 2
两者区别

98 0.2 0.5 10 0.22

L mvrsin m Δr rsin 2m ΔS
Δt
Δt
ΔS
•
M
Δrr

•M
Xi’an Jaotong University
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 半径为 R 的行星.
当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时, 以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器. 要使该仪器恰好掠过行星表面
Xi’an Jaotong University
3. 质点 动量矩守恒定律


若 Mo 0，则 Lo 常矢量 ──质点动量矩守恒
讨论

(1) 守恒条件
Mo
0
F 0 F过O点
mv2
(2) 有心力的动量矩守恒。
O•
M
r
•
应用举例：
行星运动的开普勒第二定律
mv1
行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
LO
r O
P 惯性参照系
特例：质点作圆周运动 Lo rp mrv
质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点
的选择)有关
Xi’an Jaotong University
例 一质点m, 速度为v, 如图所示, A、B、C 分别为三个
参考点, 此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3
m1 m2
m1 m2
gt
1m 2
r
Xi’an Jaotong University
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
5.3.1 绕定轴转动刚体的动能
vΔr11m,,vr12,2Δ,,m2,,,vrkk,,,Δm,,vkr,NN , ΔmN
2 3gsin
l
(3gsin )1/2
l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
Xi’an Jaotong University
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.4.1 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律
1. 质点的动量矩(对O点)
LO

r
P

r
mv
其大小
S
LO rpsin mrvsin