备战2019高考数学苏教版1-1提素能高效演练讲义：第2章 圆锥曲线与方程章末复习 Word版含答案

章末复习

学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法

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1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

定义

平面内与两个定点F 1，

F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹

平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹

平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹

标准方程 x 2

a 2＋y 2

b

2＝1或y 2

a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)

x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)

y 2＝2px 或y 2＝－2px 或x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)

关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2

图形

封闭图形

无限延展，但有渐近线y ＝±b a x 或y ＝±a b

x

无限延展，没有渐近线

变量范围

|x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b

|x |≥a 或|y |≥a

x ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0

对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴

一条对称轴

顶点 四个

两个 一个 离心率 e ＝c

a ，且0

a ，且e >1 e ＝1 决定形状的因素 e 决定扁平程度

e 决定开口大小

2p 决定开口大小

2.求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ).

(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 3.离心率

(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c

a ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，

这是基本且常用的方法.

(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.

(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 4.焦点三角形 (1)椭圆的焦点三角形

设P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2

为焦点三角形(如图).

①焦点三角形的面积为S ＝b 2tan α

2.

②焦点三角形的周长为L ＝2a ＋2c . (2)双曲线的焦点三角形 焦点三角形的面积为S ＝b 2

tan α2

.

5.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，主要是直线与椭圆的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求定值、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，利用“设而

不求法”以及“点差法”等.

1.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为

3

2

.( √ ) 2.抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( × ) 3.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为

3

2

，则它的长半轴长为2.( × ) 4.双曲线x 2

10－t －y 2

2＋t

＝1(－2

类型一 圆锥曲线的定义及应用

例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的左、右两个焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2

＝1与C 1的一

个交点，则△PF 1F 2的面积为________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 圆锥曲线定义的运用 答案

2

解析 由椭圆C 1与双曲线C 2的标准方程可知， 两曲线的焦点相同.

不妨设P 点在双曲线C 2的右支上.

由椭圆和双曲线的定义，可得⎩⎪⎨⎪⎧

PF 1＋PF 2＝26，

PF 1－PF 2＝23，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

PF 1＝6＋3，

PF 2＝6－3，

又F 1F 2＝2

6－2＝4，

由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 2

2

2·PF 1·PF 2

＝(6＋3)2＋(6－3)2－162(6＋3)(6－3)

＝1

3，

∴sin ∠F 1PF 2＝

1－cos 2∠F 1PF 2＝

22

3

， ∴12

PF F S ＝1

2PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝ 2.

反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.

跟踪训练1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2

＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它

们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是____________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 圆锥曲线定义的运用 答案 直角三角形

解析 设P 为双曲线右支上的一点. 对椭圆x 2m ＋y 2

＝1(m >1)，c 2＝m －1，

PF 1＋PF 2＝2m ；

对双曲线x 2n －y 2

＝1，c 2＝n ＋1，

PF 1－PF 2＝2n .

∴PF 1＝m ＋n ，PF 2＝m －n ，

F 1F 22＝(2c )2

＝2(m ＋n ).

而PF 21＋PF 22＝2(m ＋n )＝(2c )2＝F 1F 22，

∴△F 1PF 2是直角三角形.

类型二 圆锥曲线的性质及其应用

例2 (1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1，C 1与C 2

的离心率之积为

3

2

，则C 2的渐近线的斜率为______________. (2)已知抛物线y 2

＝4x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2

＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若

△F AB 为直角三角形，则该双曲线的离心率为________. 考点 圆锥曲线的几何性质 题点 圆锥曲线的离心率问题