2007年数一真题试题+答案

2007 年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题： 1～ 10 小题 , 每小题 4 分, 共 40 分, 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项符合
题目要求 , 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上．
．．．
(1) 当 x 0 时 , 与 x 等价的无穷小量是 ( )
(A)
1 e x
.
(B)
ln
1
x . (C)
1
x
1. (D)
1 cos x .
1
x
答案： (B) .
(2) 曲线 y
1 ln(1 e x ) 渐近线的条数为 ( )
0 x
1.
2
3
(A) . (B)
(C)
.
(D)
.
答案： (D) .
(3) 如图 , 连续函数 y
f ( x) 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为
1 的上、下半圆周 , 在区
2,0 ,
0,2 上的图形分别是直径为
x
f (t)dt , 则下列结论正确
间
2 的上、下半圆周 , 设 F ( x)
的是( )
(A) F (3)
3 F( 2).
(B)
F (3)
5
F(2) .
4
4
(C) F( 3)
3
F(2).
(D)
F( 3)
5
F ( 2) .
4
4
答案： (C) .
(4) 设函数 f ( x) 在 x
0 处连续 , 则下列命题错误 的是 ( )
．．
(A) 若 lim
x 0
(C) 若 lim
x 0
答案： (D) .
(5) 设函数 f ( x) 确的是(
) f ( x) 存在 , 则 f (0) 0 .
(B)
若 lim f ( x)
f ( x)
存在 , 则 f (0)
0 .
x
x 0
x
f ( x)
存在 , 则 f (0) 存在 .
(D)
若 lim f (x)
f ( x)
存在 , 则 f (0) 存在 .
x
x 0
x
在 (0, ) 上具有二阶导数 , 且 f ( x)
0 , 令 u n f (n) (n 1,2, ) , 则下列结论正
(A)
若 u 1 u 2 , 则 u n 必收敛 .
(B) 若 u 1 u 2 , 则 u n 必发散 . (C) 若 u
u , 则 u 必收敛 .
(D)
若 u
u , 则 u
必发散 .
1
2
n
1
2
n
答案： (D) .
(6) 设曲线 L : f ( x, y)
1( f ( x, y) 具有一阶连续偏导数 ), 过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的
点 N , 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧 , 则下列积分小于零 的是 ( )
．．．
(A)
f (x, y)dx . (B)
f ( x, y)dy .
(C)
f (x, y)ds .
(D)
f x (x, y)dx f y (x, y) dy .
答案： (B) .
(7) 设向量组
1,2,
3
线性无关 , 则下列向量组线性相关 的是( )
．．．． (A)
(C)
1
2 ,
2
3,
3
1 . (B) 1
2 ,
2
3 ,
3
1 .
1
2 2 ,
2
2
3 ,
3
2 1 .
(D)
1
2 2 ,
2
2
3 ,
3
2 1 .
答案： (A) .
2
1 1 1 0 0
(8) 设矩阵 A1
2 1 , B 0 1 0 ,则 A 与B ( ) 1
1
2
0 0 0
(A) 合同, 且相似 .
(C) 不合同 , 但相似 . (B) 合同 , 但不相似 . (D)
既不合同 , 也不相似 .
答案： (B) .
(9) 某人向同一目标独立重复射击 , 每次射击命中目标的概率为
p(0
p 1) , 则此人第 4 次射击恰
好第 2 次命中目标的概率为
( )
(A)
3 p(1 p) 2 . (B)
6 p(1 p)2 .
(C)3p 2 (1
p)2 .
(D)
6p 2 (1 p)2 .
答案： (C) .
(10) 设随机变量 ( X ,Y) 服从二维正态分布 ,且 X 与Y 不相关 , f X ( x), f Y ( y) 分别表示 X , Y 的概率
密度,则在Y
y 条件下 , X 的条件概率密度 f X Y ( x y) 为 ( )
(A)
f X ( x) . (B)
f Y ( y) .
(C)
f X ( x) f Y ( y) . (D)
f X
( x)
.
f Y ( y)
答案： (A) .
二、填空题： 11～ 16 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 , 请将答案写在答题纸 指定位置上 .
．．． 2
1 1 .
(11)
x 3e x
dx
1
答案： e .
2
(12)设 f (u, v) 为二元可微函数,z f ( x y , y x ), 则z.
z x
答案：f1 ( x y , y x ) yx y1f2 (x y , y x ) y x ln y
x
.
(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y.答案：非齐次线性微分方程的通解为y C1e x C2e3 x2e2 x.
(14)设曲面: x y z1,则( x y )dS.
答案：( x y )dS
1
4
4
3
. y dS3
33
0 1 00
(15)设距阵 A00 1 0,则A3的秩为.
000 1
000 0
答案： r A3 1.
(16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1
的概率为. 2
3
答案：.
三、解答题：17～ 24 小题 , 共 86 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、
．．．
证明过程或演算步骤.
(17)( 本题满分 11 分)
求函数 f (x, y) x22y2x2 y2, 在区域 D (x, y) x2y24, y0 上的最大值和最小值.答案：函数在 D 上的最大值为 f (0, 2) 8 ,最小值为 f (0,0)0 .
(18) (本题满分10分)
计算曲面积分 I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy, 其中为曲面 z 1 x2 y2(0 z 1)的上侧.
4
答案：I.
(19)( 本题满分 11 分)
设函数 f ( x) , g (x) 在a, b 上连续,在(a, b)内二阶可导且存在相等的最大值, 又f ( a)＝g (a) , f (b) ＝ g(b) ,证明：存在(a,b), 使得 f ''( )g ''( ).
证明：设(x) f (x) g( x) ,由题设 f ( x), g ( x) 存在相等的最大值, 设x1(a,b) ,x2(a, b)使 f ( x1 ) max f ( x) g( x2 ) max g( x) .
[ a .b][ a.b ]
若
x1x2,即f ( x)与g( x)在同一点取得最大值, 此时 , 取x1,有f ( )g ( ) ；
若 x1x2,不妨设 x1x2,则( x1 ) f (x1) g (x1) 0 ,(x2 ) f (x2 ) g( x2 ) 0 ,且( x) 在a,b 上连续,则由零点定理得存在(a, b), 使得( ) 0 ,即 f ( ) g( ) ；
由题设 f (a) ＝ g (a) , f (b) ＝ g (b) ,则(a) 0(b) ,结合( ) 0 ,且(x) 在a, b 上连续 , 在(a, b)内二阶可导 , 应用两次使用罗尔定理知：
存在1(a, ), 2 ( , b),使得( 1)＝0, ( 2)0.
在[ 1,2 ] 再由罗尔定理,存在( 1, 2)，使( )0 .即 f ( ) g ( ) .
(20)( 本题满分 10 分)
设幂级数a n x n在 (,)内收敛,其和函数 y(x) 满足 y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.
n 0
(I) 证明a n22a n , n1,2, .
n1
(II)求 y( x) 的表达式.
答案： (I)证明：对 y ax n n , 求一阶和二阶导数, 得y na n x n 1, y n(n 1)a n x n 2 ,
n 0n 1n 2
代入 y2xy 4 y 0 ,得n( n 1)a n x n 22x na n x n 1 4 a n x n0 .
n 2n 1n 0
即(n 1)(n 2) a n 2 x n2na n x n4a n x n0 .
n 0n 1n 0
于是
2a 2 4a 0 0
0, n 1,2,
,
从而
a
n 2
2
a n , n 1,2, .
1)a
2a
n 1 (n
n 2 n
(II) y
xe x 2
.
(21) ( 本题满分 11 分 )
x 1 x 2 x 3 0
设线性方程组
x 1 2x 2 ax 3
0 (1) 与 方程 x 1
2x 2 x 3
a 1 (2) 有公共解 , 求 a 得
x 1
4x 2 a 2 x 3 0
值及所有公共解 .
1 1 1 0
答案：当 a 1 时, ( A b)
0 1 0 0 , 所以方程组的通解为 k (1,0, 1)T , k 为任意常数 , 此即为
0 0 0 0
0 0 0
方程组 (1) 与 (2) 的公共解 .
1 1
1 0
当 a
2 时 , ( A b)
1 1 0 , 此时方程组有唯一解
(0,1, 1)T , 此即为方程组 (1) 与
1 1
0 0
0 0
(2) 的公共解 .
(22) ( 本题满分
11 分)
设 3 阶实对称矩阵
A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1, 1,1)
T
是 A 的属于
1 的一个
特征向量 .记 B
A 5 4 A 3 E ,其中 E 为3 阶单位矩阵 .
(I)
验证 1 是矩阵 B 的特征向量 , 并求 B 的全部特征值与特征向量； (II)
求矩阵 B .
答案：
(I) 由 A 1
1 , 可得 A k
1
A k 1 ( A 1
)
A k 1 1
1 , k 是正整数 , 则
B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 1
4A 3
1
E 1
1
4
1
1
2 1 ,
于是 1 是矩阵 B 的属于特征值
12
特征向量 .
所以 B 的所有的特征向量为：对应于
1
2 的全体特征向量为 k 1
1 ,
其中
k 1 是非零任意常
1k , k
200011 (II)BP010P 110 1 .
001110 (23) (本题满分11 分 )
设二维随机变量( X ,Y) 的概率密度为 f ( x, y)2x y,0 x 1,0 y 1, 0,其他 ,
(I)求PX 2Y；
(II)求 Z X Y 的概率密度f Z(z).答案：
11
1 5 x7
(I)P X2Y dx x
x y)dy2 ) dx.
2 (2( x
00824
2z z2 ,0z1,
(II) f Z (z)z24z4,1z2,
0,其他 .
(24) (本题满分11 分)
1,0 x,
2
设总体 X 的概率密度为 f (x; )1,x 1, 其中参数 (01) 未
2(1)
0,其他
知,
X1, X 2 ,... X n是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.
(I)求参数的矩估计量；
(II)判断 4X 2
2的无偏估计量 , 并说明理由 .是否为
答案：
(I)
1
2X；
2
2
2是否成立即可 .
(II) 只须验证E(4 X )
E(4X ) 4E(X ) 4(DX (EX )2
) 4( 1
DX (EX )2) ,
2
2
n
E(X )
1 1 , E(X 2
)
1
(1
2 2),
4 2 6
D(X) E(X 2) (EX )2
5 12 1 2 ,
代入得 E(4 X
)
5 3n 3n 1
48
12 ,所以4X 不是
2
的无偏估计量 .
3n 1 2 2
2
2
12n 3n
3n。