考点11 导数与函数的单调性-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

考点十一： 导数与函数的单调性

【考纲要求】

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】

利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】

（一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()

y f x =的导函数

()

y f x '=的图像如图所示，则函数

()

y f x =的图像可能

是（ ）.

y

x

O

【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数

()

f x 的导函数为

()

f x '，若

()

f x 为偶函数，且在

()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为

（ ）

A. B. C. D.

【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数

()2sin 20142x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ）

A. B. C. D.

（二）用导数求不含参数的单调区间 例2.【2017全国2卷（文）】设函数()()21e x

f x x =-.

（1）讨论

()

f x 的单调性.

【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数

2()e

2x

x f x x -=

+的单调性，

并证明当0x >时，(2)e 20;x

x x -++>

（三）用导数求含参函数的单调区间 例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e x x f x a a x

=+--.

（1）讨论

()

f x 的单调性；

【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数

()()2ln 21f x x ax a x

=+++．

（1）讨论

()

f x 的单调性；

【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数

2()(2)e (1)x f x x a x =-+-.

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数

()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数

()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.

（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间.

【数学思想】

分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

2.分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；

⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

【处理导数与单调性问题注意点】

解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.

【典例试题演练】

1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数

()

y f x

=

在区间I上是增函数，而函数

()

f x

y

x

=

在区间I上是

减函数，那么称函数

()

y f x

=

是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数

()2

13

22

f x x x

=-+

是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )

A. [)

1,+∞

B.

3

⎡

⎣ C.

[]0,1

D.

3

⎡

⎣

2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数

()252ln

f x x x x

=-+

，则函数

()

f x

的单调递

增区间是__________．

3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】

已知函数

()

()

222

x

x a x a

f x

e

+-+-

=

，0

a≤（e为自然对数的底数）.