中级微观经济学例题讲解

3. U (q1 , q2 ) (q1 gq2 ) 2
U 2 MU q1 2(q1 gq2 ) gq2 2q1 ( gq2 ) q1 U 2 MU q2 2(q1 gq2 ) gq1 2q2 ( gq1 ) q2 MRSq1 ,q2 MU q1 MU q2 2q1 ( gq2 ) q2 2 2q2 ( gq1 ) q1
*

因此间接效用函数是：
I V ( p1 , p2 , I ) min(q , q ) q p1 0.2 p 2
* 1 * 2 * 1

调换效用和支出的角色，获得支出函数：
E( p1 , p2 ,U ) ( p1 0.2 p 2 )U

为了获得补偿（希克斯）需求函数，我们从间接效用函数 中解出I（其实就是上一步中的支出函数），然后替换进 马歇尔需求函数，得到：
(I )(PY ) /(PX ) 2 IP Y / P q1
2 X
q1 故一次齐次
故，零次齐次。

4.
q1 X IP Y / PX (I )(PY ) /(PX ) IP Y / PX
2
( IP Y / PX ) q1 故，一次齐次的。

p1 0.2 p2 1 q1 V ; q 2 V V 5 p1 p2 5
P37（3）假设一个消费者的效用函数为 U (q1, q2 ) q1 q2 下列那个效用函数同样表示了这个消费者的偏好？ 提示：同一个偏好可以由多种效用函数表示，只要 这些效用函数不改变参与人对经济状态的排序即可 。 答案：a. U (q1, q2 ) 10 q1q2



P38（5）计算下列效用函数的边际商品替代率和 边际效用，边际商品替代率递减是否等价于边际 效用递减？ 1. U (q , q ) ln q ln q

1.
I q1 p1 p2
I I q1 p1 p2 p1 p2
故零次齐次。

2.
0.3 0.2 q1 X I 0.5 PX P Y 0.2 (I ) 0.5 (PX ) 0.3 (P ) Y 0.3 0.2 I 0.5 PX P Y
3.
2 q1 X IP / P Y X
故无法获得内点解，效 用最大化时q1 0, q2 10 U max (q1 , q2 ) (q1 2)q2 20

有的时候，我 们无法获得内 点，消费者的 偏好可能使得 他们仅仅在选 择消费一种商 品的时候才获 得最大化的效 用。

P78（3）下列哪个需求函数是对于P1、P2和I不 是零次齐次？ q1 I /( p1 p2 )
1 2 1 2
U 1 U 1 MU q1 , MU q2 q1 q1 q2 q2 MRSq1 ,q2 MU q1 MU q2 q2 q1

2. U ( q1 , q2 )
q1q2
q2 U 1 MU q1 q2 q1 2 q1q2 2 q1 q1 U 1 MU q2 q1 q2 2 q1q2 2 q2 MRSq1 ,q2 MU q1 MU q2 q2 q1

P79（6）如果一个消费者的财富量为W，他对于咖啡（q1 ）和冰激凌（q2）的效用函数为
U (q1 , q2 ) min(q1 ,5q2 )





咖啡的价格为p1，冰激凌的价格为p2。求 （1）两种商品的马歇尔需求函数； （2）间接效用函数； （3）支出函数； （4）两种商品的希克斯需求函数； （5）以第一种商品为例，验证斯卢茨基方程。

P78（4）假设某种商品的需求函数是q=5I/8p ，I表示消费者的收入，p表示该商品的价格， 求出替代效应。 提示：利用斯卢茨基方程方程
q1 q1 q1 q1 p1 p1 U 常数 I

总效应=替代效应+收入效应
5I q 8p q 5 I q 5 2, p 8 p I 8 p q q q 5I 5I 5 15I q 2 p U 常数 p I 8p 8p 8p 64P 2 替代效应恒为负。
2

P52（8）某消费者的效用函数


来自百度文库
U (q1 , q2 ) (q1 2)q2 假设商品1和2的价格分别等于P1=6，P2=1，消费 者的收入为10元，求消费者效用最大化消费组合 。 提示：消费者效用最大化消费组合必须满足商品 的边际效用之比等于价格之比。
效用函数：U (q1 , q2 ) (q1 2)q2

解：由于消费函数是固定比例消费函数，故消费者消费咖 啡和冰激凌的比例恒定为：

根据题意可知，预算线方程为：
q1 5或者q1 5q2 q2
I p1q1 p2 q2

根据消费者效用最大化原则，将上式代入预算线方程得到 马歇尔需求函数为：
I I * q1 ; q2 p1 0.2 p2 5 p1 p2

预算线方程： 6q1 q2 10 解： MU q1 q2 , MU q2 q1 2 MRSq1 ,q2 MU q1 MU q2 MU q1 MU q2 q2 10 6q1 q1 2 q1 2
p1 10 6q1 6 12q1 2 p2 q1 2 1
0.3 0.2 q1 X I 0.5 PX PY 2 q1 X IP / P Y X
q1 X IP Y / PX

提示：零次齐次的含义是，所有价格和收入的 任意同比例变化不改变商品1的需求数量。 eq1 , p1 eq1 , p2 eq1 ,I 0

定义：存在λ>0，若 f (x) f ( x) 成立，则方程 k ( x) 是零次齐次的。若 f (x) f则称方程是 k 次齐次的。