高等数学实验四__定积分的近似计算
定积分的近似计算99329
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x2i f ( x)dx x2 i 2
x2 i x2 i 2
pi ( x)d
x
最后得到
ba 6n
(
y2i2
4 y2i1
y2i
).
b
n
f ( x)dx
x2i f ( x)dx
a
i 1 x2 i 2
b a n
6n
( y2i2 4 y2i1 y2i ).
i 1
即
b a
f
( x)dx
ba[ 6n
y0
y2n
4(
y1
y3
y ) 2 n1
( y2 y4 y2n2 )].
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这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式. 1 dx
例 计算 0 1 x2 的近似值.
解 将区间 [0, 1]十等分，各分点上被积函数的值列
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二、抛物线法
由梯形法求定积分的近似值, 当 y f ( x)为凸曲 线时偏大, 为凹曲线时偏小. 用抛物线法可克服上 述缺点. 将积分区间[a, b] 作 2n 等分,分点为:
a x0 x1
x2n
b,
xi
ba 2n
.
相应的被积函数值记为
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y0 , y1, , y2n ( yi f ( xi ), i 0,1, , 2n), 曲线 y f ( x) 上相应的点记为
P0 , P1, , P2n ( Pi ( xi , yi ), i 0,1, , 2n).
《数学实验》实验报告——定积分的近似求解
３
2 梯形法程序如下： f=input('请输入被积函数 f(x)='); qujian=input('请输入积分区间[a,b]='); n=input('请输入子区间个数 n='); s=0; for i=1:n-1 x=qujian(1)+(qujian(2)-qujian(1))/n*i; y=eval(f); s=s+y; end x=qujian(1); y=eval(f); s=s+y/2; x=qujian(2); y=eval(f); s=s+y/2; disp('定积分的近似值是:'); s=s*(qujian(2)-qujian(1))/n
《数学实验》实验报告
班级 试验 内容 **** 学号 **** 姓名 试验 类别
自选试验
****
成绩 试验 时间 2011 年 5 月 20 日—22 日
定积分的近似求解
试验问题：
用梯形法与抛物法，通过 MATLAB,计算 x 2 dx 的近似值，取 n=10,比较结果的差异，研究
0 1
定积分的两种近似计算方法。
1 1 1 2 ph 3 6rh h(2 ph 2 6r ) h( y 0 4 y1 y 2 ) 3 3 3 。 ba n ，则上面所求的 S 等于区间 [ x0 , x2 ] 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同理可
取
以得到区间 [ xi 1 , xi 1 ] 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：
试验目的：
通过分别用梯形法与抛物线法计算定积分的近似值， 进而熟练掌握运用 MATLAB 来解决 定积分的近似求解，体会 MATLAB 的强大功能。
[整理]定积分的近似计算
![[整理]定积分的近似计算](https://img.taocdn.com/s3/m/d23ddc1703020740be1e650e52ea551810a6c967.png)
[整理]定积分的近似计算实验⼆定积分的近似计算⼀、问题背景与实验⽬的利⽤⽜顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适⽤于被积函数的原函数能⽤初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的⽅法．在定积分的很多应⽤问题中，被积函数甚⾄没有解析表达式，可能只是⼀条实验记录曲线，或者是⼀组离散的采样值，这时只能应⽤近似⽅法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可⽤．⼆、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显⽰15位有效数字．（注：由于本实验要⽐较近似解法和精确求解间的误差，需要更⾼的精度）．3．double()：若输⼊的是字符则转化为相应的ASCII码；若输⼊的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使⽤*、/、^等运算时要在其前加上⼩数点，即.*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上⾯介绍的函数fun）例：计算0sin()dx xπx=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求⼆重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以⽤inline定义，也可以通过某个函数⽂件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下⾯的Q2，通过计算，⽐较Q1 与Q2结果（或加上⼿⼯验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代⼊⽅法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在⼀个函数⽂件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf （⽂件地址，格式，写⼊的变量）：把数据写⼊指定⽂件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开⽂件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写⼊fclose(fid) %关闭⽂件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab 中的符号运算事实上是借⽤了Maple 的软件包，所以当在Matlab 中要对符号进⾏运算时，必须先把要⽤到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f 关于v 积分，积分区间由a 到b ．11．subs(f ，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x ，并计算出值．若简单地使⽤subs(f)，则将f 的所有符号变量⽤可能的数值代⼊，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每⼀个积分和都可以看作是定积分的⼀个近似值，即1()d ()nbi i a i f x x f x ?==?∑?在⼏何意义上，这是⽤⼀系列⼩矩形⾯积近似⼩曲边梯形的结果，所以把这个近似计算⽅法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有⼀定的精确度．针对不同i ?的取法，计算结果会有不同，我们以 120d 1x x +?为例（取100=n ），（1）左点法：对等分区间b x i na b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，在区间],[1i i x x -上取左端点，即取1-=i i x ?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑?0.78789399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7878939967307840.0031784ππ-=≈（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间],[1i i x x -上取右端点，即取i i x =?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78289399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7828939967307840.0031884ππ-=≈（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间1[,]i i x x -上取中点，即取12i i i x x ?-+=， 12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78540024673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785400246730784 2.653104ππ--=≈? 如果在分割的每个⼩区间上采⽤⼀次或⼆次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到⽐矩形法效果好得多的近似计算公式．下⾯介绍的梯形法和抛物线法就是这⼀指导思想的产物．2．梯形法等分区间b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，na b x -=? 相应函数值为n y y y ,,,10 （n i x f y i i ,,1,0),( ==）．曲线)(x f y =上相应的点为n P P P ,,,10 （n i y x P i i i ,,1,0),,( ==）将曲线的每⼀段弧i i P P 1-⽤过点1-i P ，i P 的弦i i P P 1-（线性函数）来代替，这使得每个],[1i i x x -上的曲边梯形成为真正的梯形，其⾯积为x y y i i ??+-21，n i ,,2,1 =．于是各个⼩梯形⾯积之和就是曲边梯形⾯积的近似值，11 11()d ()22n n b i i i i a i i y y x f x x x y y --==+?≈??=+∑∑?，即 011 ()d ()22bn n a y y b a f x x y y n --≈++++?，称此式为梯形公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 10112 0d ()122n n y y x b a y y x n --≈++++=+?0.78539399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785393996730784 5.305104ππ--=≈? 很显然，这个误差要⽐简单的矩形左点法和右点法的计算误差⼩得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当)(x f y =为凹曲线时，它就偏⼩；当)(x f y =为凸曲线时，它就偏⼤．若每段改⽤与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间],[b a 作n 2等分，分点依次为b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<=2102 ，na b x 2-=?，对应函数值为n y y y 210,,, （n i x f y i i 2,,1,0),( ==），曲线上相应点为n P P P 210,,, （n i y x P i i i 2,,1,0),,( ==）．现把区间],[20x x 上的曲线段)(x f y =⽤通过三点),(000y x P ，),(111y x P ，),(222y x P 的抛物线)(12x p x x y =++=γβα来近似代替，然后求函数)(1x p 从0x 到2x 的定积分：20 1 ()d x x p x x =?20 2 ()d x x x x x αβγ++=?)()(2)(30220223032x x x x x x -+-+-γβα]4)(2)()()[(62022022202002γβαγβαγβα++++++++++-=x x x x x x x x x x 由于2201x x x +=，代⼊上式整理后得 20 1 ()d x x p x x ?)](4)()[(612122202002γβαγβαγβα++++++++-=x x x x x x x x )4(621002y y y x x ++-=)4(6210y y y na b ++-= 同样也有 42 2 ()d x x p x x ?)4(6432y y y na b ++-=……222 ()d n n x n x p x x -?)4(621222n n n y y y na b ++-=-- 将这n 个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： 222 22212 11()d ()d (4)6i i n n b x i i i i a x i i b a f x x p x x y y y n ---==-≈=++∑∑?，即021******* ()d [4()2()]6b n n n a b a f x x y y y y y y y y n---≈++++++++? 这就是抛物线法公式，也称为⾟⼘⽣（Simpson ）公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 102132124222 0d [4()2()]16n n n x b a y y y y y y y y x n ---≈+++++++++?=0.78539816339745，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 160.785398163397454 2.827104ππ--=≈?4. 直接应⽤Matlab 命令计算结果（1）数值计算 120d .1x x +? ⽅法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)⽅法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）⽅法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算 2 12 0 1d d x x y y -+?? ⽅法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）⽅法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法⼆重数值积分）四、⾃⼰动⼿1．实现实验内容中的例⼦，即分别采⽤矩形法、梯形法、抛物线法计算 12 0d 1x x +?，取258=n ，并⽐较三种⽅法的精确程度．2．分别⽤梯形法与抛物线法，计算 2 1d x x，取120=n ．并尝试直接使⽤函数trapz()、quad()进⾏计算求解，⽐较结果的差异．3．试计算定积分 0sin d x x x+∞?．（注意：可以运⽤trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将 120d 1x x +?的近似计算结果与Matlab 中各命令的计算结果相⽐较，试猜测Matlab 中的数值积分命令最可能采⽤了哪⼀种近似计算⽅法？并找出其他例⼦⽀持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出⼀些理论上的⼩结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），⽤某种近似计算⽅法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m 的程序设计⽅法，尝试⽤函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．五、附录附录1：矩形法（左点法、右点法、中点法）（fulu1.m ）format longn=100;a=0;b=1;inum1=0;inum2=0;inum3=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点fxj=subs(fx,'x',xj); %左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %右点值fxij=subs(fx,'x',(xi+xj)/2); %中点值inum1=inum1+fxj*(b-a)/n;inum2=inum2+fxi*(b-a)/n;inum3=inum3+fxij*(b-a)/n;endinum1inum2inum3integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum1 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum1-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum2 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum2-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum3 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum3-integrate)/integrate))附录2：梯形法（fulu2.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录2sum：梯形法（fulu2sum.m），利⽤求和函数，避免for 循环format long n=100;a=0;b=1;syms x fxfx=1/(1+x^2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %所有左点的数组xi=a+i*(b-a)/n; %所有右点的数组fxj=subs(fx,'x',xj); %所有左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %所有右点值f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; %梯形⾯积inum=sum(f) %加和梯形⾯积求解integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录3：抛物线法（fulu3.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点xk=(xi+xj)/2; %中点fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',...。
概率统计定积分近似计算实验报告
概率统计定积分近似计算实验报告
实验五、定积分的近似计算实验序号：5
日期：xxx 年 5 月 15 日班级
学号
姓名
实验名称定积分的近似计算
问题的背景和目的：
加深对大数定律的理解，学会用 o Monte Carlo 方法近
似计算定积分的值．掌握利用随机投点法和平均值法近似计算定积分的方法．：
实验内容：
（随机投点法）
估计定积分11011xeJ dxe．(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).随机投点法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 2n 个服从(0，1)上均匀分布的随机数，
1 2 1 2, , , ; , , ,n nx x x y y y ； (2) 统计 ( )i iy
f x 的次数 k ； (3) 用kn来估计1J ．
（平均值法）
估计定积分1101.1xeJ dxe(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).平均值法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 n 个服从 (0,1) 区间上的均匀分布的随机数1 2, , ,nx x x ； (2) 计算 ( )if x ； (3) 用
11( )niif xn来估计1J ．（4）自己从《数学分析》教材中找一个“积不出来”的定积分，利用上述方法近似计算积分。
实验所用软件及版本：
Excel 2003 实验过程：
实验结果总结：
教师评语与成绩：
挺有创意的！
范文自然，朴实。
很受用的一篇范文，谢谢分享！。
定积分的近似运算
（1）y=x^2
矩形法inum1 =0.328350000000000 inum2 = 0.338350000000000
inum3 =0.333325000000000
integrate =1/3 integrate = 0.333333333333333
the relative error between inum1 and real-value is about: 0.01495
the relative error between inum2 and real-value is about: 0.01505
the relative error between inum3 and real-value is about: 2.5e-05
梯形法inum =0.333350000000000 integrate =1/3
the relative error between inum1 and real-value is about: 0.0199
the relative error between inum2 and real-value is about: 0.0201
the relative error between inum3 and real-value is about: 5e-05
fx1=subs(fx,x,x1);
fx2=subs(fx,x,x2);
si=(fx0+4*fx1+fx2)*(b-a)/(6*n);
inum=inum+si;
end
inum
integrate=int(fx,0,1);
integrate=double(integrate)
定积分近似计算方法
定积分近似计算方法定积分的近似计算方法摘要本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词插值型积分龙贝格积分高斯积分误差分析近似计算1引言在计算定积分的值()b aI f x dx =时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baI f x dx F b F a ==-?.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2bx ae dx ?,2sin ba x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替()f x ,且()b a x dx ??的值容易求的.这样就把计算复杂的()ba f x dx ?转化为求简单的积分值()bax dx ??.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数()(0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式()()()nn i i i x f x l x ?==∑,其中 011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=----,将插值公式(1)1()()()()(1)!n n n f f x x x n ξ?ω++=++.其中1012()()()()()n n x x x x x x x L x x ω+=----,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得(1)()()()(1)!n bb bn n aa af f x dx x dx x dx n ξ?ω++=++?(1)(1)0()()()()(1)!n nb biiin aai f f x l x dx x dx n ξω++==++∑??(1)(1)0()()()()(1)!n nbbi i n aai f f x b l x dx x dxn ξω++==++∑??若记 (),(0,1,2,bi ia A l x dx i =….. )n (1)(1)1()[]()(1)!n bn af R f x dxn ξω++=+?, (2)则有()()[]nbi i ai f x dx A f x R f ==+∑?(3)称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数10012bb aa x x xb b aA dx dx x x a b ---===--??,01102bb aa x x x ab a A dx dx x x b a ---===--?.从而的求积公式()[()()]2bab a f x dx f a f b -≈+?. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.2梯形公式截断误差: 3*()[](),12b a R f f ξ-''=- *[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中1(1)2bab adx b a x b a -=-=+=-?. 精确成立.2.1.2 辛普森求积公式1辛普森求积公式当选取节点为012,,2a bx a x x b +===时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===+----??,0211002()()()()2()()()3()()22bb aa x x x x x a xb b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===++----?.0122021()()()()2()()6()()22b b a a a bx a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +-----===++----?? .从而求积公式()[()4()()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++?. （6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.2抛物线求积公式误差估计定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:5(4)**()[](),[,]2880b a R f f a b ξξ--=∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4()f x x =时,式(6)不能精确成立.2.1.3 牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b ah i n-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:10(1)(1)(1)()!(1)(1)!ni n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==--?10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!n nb a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-? (8)则 ()()n i i A b a C =- (9) 于是差值求积公式为:()0()()()[]nbn i i ai f x dx b a C f x R f ==-+∑?(10)称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()n iC 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为(1)()[]()()()(1)!n b b bn aaaf R f f x dx x dx x dxn ξ?ω+=-=+牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成(2)*1()[]()((2)!n bn a f R f x dx n n ξω++=+?为偶数）(1)*1()[]()(1)!n bn a f R f x dx n ξω++=+? (n 为奇数） (11) 其中*[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超过n 次多项式,均有(1)()0n fx +≡,因而[]0R f ≡,即0()()nbi i ai f x dx A f x ==∑?精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.2.1.4复化梯形求积公式将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b ah n-=),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得11111()()[(()()]2ii nnbx i i i i ax i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑?11[()()]2ni i i hf x f x +=+=∑11[()2()()]2n i n i hf a f x f b T -=++=∑ (12)称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()2()()()12i n b a R f h f η-''=-(13) 2.1.5复化辛普森求积公式在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得11102()[()4()()]6n bi i ai i hf x dx f x f x f x -++==++∑?（14）111012[()4()2((6)]6n n i i i i hf a f x f x f --+===+++∑∑记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)式中,21+i x为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2121+=+.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为∑-=-=-=10)4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈故 ),(),()2(180)(R )4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k kx x -上用科茨求积公式得到复化求积公式:412()[7()7()32()45mbk ak hf x dx f a f b f x -≈++∑?14241411112()32()14()mmm k k k N k k k f xf x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)其中 4b a b a h n m--==, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)2()[,](),()945n b a R f C h f a b ηη-=-<. 2.1.7 变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:2"11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-<<再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则2222()()()122k b a b a I T f a b nηη--''=-<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .24kkI T I T -≈-于是 222211()()341n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为2()3n n T T - (19)2.2 龙贝格求积公式龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为23n nT T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~T .222141()333n n n n nT T T T T T =+-=- 2221(2)21n n T T =-- (20)式(20)左端1n =时记122121141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()] 62b a a b f a f f b -+=++恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:11[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑121()112[()2()()2()]4n n n k k k k hT f a f x f b f x --===+++∑∑代入式(20)的左端得11111[()2()()2()32n nk k k k h f a f x f b f x -==+++--∑∑ 11[()2()()]2n k k h f a f x f b -++∑11111[()4()2()()]62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑n S =从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式2441n nn T T S -=- (21)类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式22242161151541n n n n n S S C S S -=-=- (22)可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过243431n nn C C R -=- (23)构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.2.3高斯求积公式由定理()()()baf x F b F a =-?知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式11()()ni i i f x A f x -==∑?(24)对任意积分区间[,]a b ,通过变 22ba t ab x ++-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时11()()222bab a b a a bf x dx f t dt ---+=+?此时,求积公式写为0()()222n bii ai b a a b b af x dx A f t =-+-=+∑?若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.2.3.1 高斯求积公式的余项(2)2()[]()()()(22)!n nbb k k aa k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑?? 其中01()()()...(),[,]n x x x x x x x a b ωη=---∈,且不依赖于x .2.3.2 复化高斯求积公式复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n 个等长小区间1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分()baf t dt ?的近似值m G ,即11111111()()[]222ii mmbt i i i i i i at i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑1111[()]222m i h ha i h x dx-==+-+∑?101[()]222m n j j mi j h hA f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)其中mab h -=,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用3.1插值型积分的应用例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分12211I x =+?. 解 1n =时2210112[]0.4512101()2I -≈+=++2n =时22211112[4]0.463725116101()1()42I -≈++=+++4n =时2222111112[7321232]0.46363311390101()1()1()848I =++++≈++++例2 利用复化梯形求积公式计算积分 12211I dx x =+?解设211)(xx f +=,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 1 11[(()())],21,2(),.n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=? =++??-?==??=??=+=?∑列表如下:n =1的计算结果见表1-1所列 n h0x 1x 0f1f1T10.50.00.51.00.80.45n =2的表格如下 n h0x1x2x0f1f 2f 2T20.250.000.251.000.941765 0.800.460294n =4时计算结果如下表 n h 0x 1x2x3x4x40.1250.000.1250.250.3750.500f1f2f3f4f4T1.000.98461540.94117650.8767120.800.462813n = 5时计算结果如下 n h0x2x3x4x5x50.10.00.10.20.30.40.50f1f2f3f4f5f5T1.00.9900990.96153850.917430.8620690.80.463114例3 利用复化求积公式120x e dx ?,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？解由式（14）知322()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n--''''=-=- 有1(),(),2x xf x e f x e b a ''==-=,当]21,0[∈x 时,在12|()|f x e ''≤,所以122|[]|96n eR f n≤ 由于120x e dx ?的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足4242211048,102196?≥?≤-e n n e 或取对数有 19=n .即将区间]21,0[19等分可满足给定的精度要求.例4 利用复化抛物线求积公式计算 120211I dx x =+?. 解设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.)12(,2),(),(),(,,242[31221212221111,1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m当m =1,2,3时结果如下表所示当m =1时m h(0.0)f )25.0(f )5.0(f2S1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725当m =2时mh(0.0)f(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f4S20.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653当m =3时mh(0.0)f(0.08333)f (0.16667)f (0.35)f(0.33333)f (0.14166667)f )5.0(f4S30.83331.00.99310340.9729730.9411760.90.852070.80.4636例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分1 0sin xdx x ?的近似值.解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使6441021)1(28801|],[|-?≤≤M m S f R n ,只需.4642880 102M m ?≥令10sin ()cos xf x txdt x==?, 则1()0sin ()()(cos )k kk k k d xd fx tx dt dx xdx ==?1cos().2k t tx kdt π=+?dt ktx t x f k k |)2cos(|max )(|max 10)(π+≤?11.1k t d t t≤=+?)10(≤≤x (4)1max |()| 5.f x ≤所以只要,9.13831288010264=??≥-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T3.2 龙贝格积分公式应用例6 用龙贝格算法计算积分1241I dx x=+?的近似值,要求误差小于510-. 解 .3,0,14)(2==+=b a x x f 步骤如下:2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([211=+=f f T )2(计算,1.3)]21([21,516)21(12=+==f T T f 由此得 301333334121=-=T T S . (3)算出），（43),41(f f 从而,3013118)]43()41([412124=++=f f T T,14157.334242=-=T T S.30142121516121=-=S S C (4)计算),87(),85(),83(),81(f f f f 从而得到: 13899.3)]87()85()83()81([812148=++++=f f f f T T ,,14159.334482=-=T T S,14059.31516242=-=S S C .1458.36364121=-=C C R(5)再计算),1615(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161(f f f f f f f f 从而得到: 14094.316=T30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C 51210||-≤-R R , 所以12043.14159.1dx x ≈+?3.3高斯求积公式的应用例7 用两点复化高斯求积公式计算10,x I e dx =?要求允许误差.106-=ε解在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(mab h e x f x -== =++--=∑=)22(2201j jj b a x a b f A a b G.87189637800.1][21)32121()32121(=++-eem =2时, h =21, ]4121)21([4120202j i j j x i f A G +?-=∑∑==.57182571650.1)(41341333413341333413=+++=++--eeee m =3时, h =31. .37182769352.1]631)21([6130203=+?-=∑∑==j i j j x i f A G .101027.71 ||||56323--3.4 几种方法的比较分析例8 计算积分211ln 2dx x =?，精确到0.001.(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有320()2f x x''<=<(如果1<2),所以按<="" bdsfid="825" p="">照公式0)2(S =+-dx b a x ba . 0<2<="" bdsfid="830" p="" r="">112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R -<10-,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有12325272921321521721921.051.151.251.351.551.651.751.851.95x x x x x x x x x =========5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172 152132927252321=========y y y y y y y y y 和6.9284 69284.0109284.6=(2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n<<在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.16001||-?<<n r="" ,纵坐标是<="" p="" bdsfid="853">。
07-定积分的近似计算课件
y0
2
y1
y1 y2 2
yn1 2
yn
ba n
y0
2
yn
y1
y2
y
n1
．
y
y f (x)
梯形法
Oa
bx
例
利用梯形法( n 10 )计算
14 0 1 x2
d
x．
解 记 x i ， y 4 (i 0,1, 2,,10) ，
i 10
i 1 xi2
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
例
利用矩形法( n 10 )计算
14 0 1 x2
d
x．
解 记 x i ， y 4 (i 0,1, 2,,10) ，
i 10
i 1 xi2
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 4.0000 3.9604 3.8462 3.6697 3.4483 3.2 2.9412 2.6846 2.4390 2.2099 2.0000
3.1416．
左矩形法 0 1 x2 14
d x 3.0400 0 1 x2 14
0 1 x2 d x 3.1400
14
d x 3.1416 0 1 x2
1 4 d x 3.14159265 0 1 x2
小结 1. 矩形法； 2. 梯形法； 3. 抛物线法(辛普森法)．
b a
f
(x)d
x
b a 3n
[( y0
yn )
2(
y2 y4
y) n2
4( y1 y3 yn1 )] ．
高等数学期末复习：6.4f 定积分的近似计算
b a
f
(
x)dx
b a[( 3n
y0
yn ) 2( y2
y4
yn2 )
4( y1 y3 yn1 )].
(4)
小结
求定积分近似值的方法： 矩形法、梯形法、抛物线法 注意：对于以上三种方法当 n 取得越大时近 似程度就越好．
y0 y1 y2
(i 0,1,2,n) o a x0 x1
yn yn1
x xn1 xn b
因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,
故 可 将 这 些 曲 线 上 的 点M i
互相衔接的分成 n 2
组,
{M0 , M1, M2 },{M2 , M3 , M4 },,{Mn2 , Mn1, Mn }.
常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法．
6.4.1 矩形法公式
用分点 a x0 , x1,, xn b 将区间[a,b] n 等分，
取小区间左端点的函数值 yi (i 0,1,, n)作为
窄矩形的高，如图
y
则有
y f (x)
b
n
f ( x)dx
a
yi1x
i 1
ba n
n i 1
yi1
(1)
6.4 定积分的近似计算
问题的提出
计算定积分的方法：
(1) 求原函数； (2) 利用牛顿－莱布尼茨公式得结果．
问题： (1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；
(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或 表格给出的；
(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原 函数很困难．
解决办法：建立定积分的近似计算方法． 思路： ab f (x)dx ( f (x) 0) 在 数 值 上 表 示 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 只 要 近 似 地 算出 相 应 的 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 就 得 到 所 给 定 积分 的 近 似 值 ．
定积分的近似计算.
x2 n
x2 n 2
b
相加即得：
a
f ( x )dx
i 1 n
x2 i 2
f ( x )dx
ba ( y2i 2 4 y2i 1 y2i ) i 1 6n
14
数学软件与数学实验
抛物线法
整理后可得：
b
a
b a f ( x)dx [ y0 y2n 4( y1 y3 y2n1 ) 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令：
x1 x2 xn
则 S
b a
b
a
h ba n n n n yi 1 yi yi 1 yi f ( x )dx Si xi h 2 2 i 1 i 1 i 1
==>
yn y0 f ( x)dx h y1 yn1 2 2
dx y0 y1 0 1 x 2 h 2
1
0.78539399673078
yn yn1 2
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
11
数学软件与数学实验
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
数学软件与数学实验
专题 定积分的近似计算
数学软件与数学实验
专题 定积分的近似计算
问题背景和实验目的
定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的几种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法；蒙特卡洛随机投点法和蒙特卡洛样 本均值法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。
数学分析10.6定积分的近似计算
第十章 定积分的应用 6 定积分的近似计算根据定积分的定义，每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值， 如⎰ba f(x )dx=i n 1i i x △)f(x ∑=(或i n1i 1-i x △)f(x ∑=). 这种用一系列小矩形面积来近似表示曲边梯形面积的方法称为矩形法.只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度.一、梯形法将积分区间[a,b]作n 等分，分别依次为a=x 0<x 1<x 2<…<x n <b, △x i =na-b . 相应的被积函数记为y 0,y 1,y 2,…,y n (y i =f(x i ), i=0,1,2,…,n)， 并记曲线y=f(x)上相应的点为P 0,P 1,P 2,…,P n (P i (x i ,y i ), i=0,1,2,…,n).将曲线上每一段弧⌒P i-1P i 用弦i 1-i P P 来替代，使得每个小区间[x i-1,x i ]上的曲边梯形换成了真正的梯形，其面积为：2y y i1-i +△x i , i=0,1,2,…,n. 于是，各小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即⎰baf(x )dx=i n1i i 1-i x △2y y ∑=+，亦即⎰b a f(x )dx=n a -b (2y 0+y 1+y 2+…+y n-1+2y n ). 此近似式称为定积分的梯形法公式.二、抛物线法将积分区间[a,b]作n 等分，分别依次为a=x 0<x 1<x 2<…<x 2n <b, △x i =2na-b . 相应的被积函数记为y 0,y 1,y 2,…,y 2n (y i =f(x i ), i=0,1,2,…,2n)， 曲线y=f(x)上相应的点为P 0,P 1,P 2,…,P 2n (P i (x i ,y i ), i=0,1,2,…,n).现把区间[x 0,x 2]上的曲线y=f(x)用通过三点P 0(x 0,y 0), P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2) 的抛物线p 1(x)= α1x 2+β1x+γ1来近似替代，便有⎰2x x f(x)dx ≈⎰20x x 1(x)p dx=⎰+2x x 1121)γ+x βx (αdx=3α1(x 23-x 03)+2β1(x 22-x 02)+γ1(x 2-x 0) =6x -x 02[(α1x 02+β1x 0+γ1)+(α1x 22+β1x 2+γ1)+α1(x 0+x 2)2+2β1(x 0+x 2)+4γ1] =6x -x 02(y 0+y 2+4y 1)=n6a-b (y 0+4y 1+y 2). 同样的，在[x 2i-2,x 2i ]上，用p i (x)= αi x 2+βi x+γi 来近似替代曲线y=f(x)， 可得⎰2i 2-2i x x f(x)dx ≈⎰2i2-2i x x i (x)p dx=n6a-b (y 2i-2+4y 2i-1+y 2i ). 按i=1,2,…,n 把这些近似式相加，得：⎰ba f(x )dx=∑⎰=n1i x x 2i2-2i f(x )dx ≈∑=++n1i 2i 1-2i 2-2i )y y 4y (n 6a -b ，即 ⎰baf(x )dx ≈n6a-b [y 0+y 2n +4(y 1+y 3+…+y 2n-1)+2(y 2+y 4+…+y 2n-2)]. 这就是抛物线法公式，也称为辛普森公式.例：分别用三种求定积分近似值的方法求⎰+12x1dx，并与准确值比较. 解：将区间[0,1]十等分，各分点上被积函数的值如下表(取七位小数)：1)用矩形法公式计算，得：⎰+102x 1dx ≈101(y 0+y 1+…+y 9)=0.8099；或⎰+12x 1dx ≈101(y 1+y 2+…+y 10)=0.7600. 2)用梯形法公式计算，得：⎰+102x 1dx ≈101(2y 0+y 1+y 2+…+y 9+2y 10)=0.7850. 3)用抛物线法公式计算，得⎰+102x 1dx ≈n 6a-b [y 0+y 10+4(y 1+y 3+…+y 9)+2(y 2+y 4+…+y 8)]=0.7853982.4)通过牛顿—莱布尼茨公式求原函数得准确值为：⎰+102x 1dx =arctan1=4π=0.78539816… 可见，抛物线法得到的结果最接近准确值.习题1、分别用梯形法和抛物线法近似计算⎰21xdx(将积分区间十等分). 解：将区间[1,2]十等分，各分点上被积函数的值如下表(取七位小数)：1)用梯形法公式计算，得：⎰21x dx ≈101(2y0+y 1+y 2+…+y 9+2y 10)=0.69377.2)用抛物线法公式计算，得⎰21x dx ≈n6a-b [y 0+y 10+4(y 1+y 3+…+y 9)+2(y 2+y 4+…+y 10)]=0.693150.注：通过牛顿—莱布尼茨公式求原函数得准确值为：⎰21xdx=ln2=0.693147…2、用抛物线法近似计算⎰π0xsinxdx(分别将积分区间二等分、四等分、六等分). 解：当n=2时，⎰π0x sinx dx ≈12π[1+4(π22+3π22)+2·π2]≈1.852211；当n=4时，⎰π0x sinx dx ≈24π[1+4(π8sin 8π+3π8sin 83π+5π8sin 85π+7π8sin 87π) +2(π22+π2+3π22)]≈1.851937； 当n=6时，⎰π0x sinx dx ≈36π[1+4(π12sin 12π+π22+5π12sin 125π+7π12sin127π +3π22+11π12sin 1211π)+2(π3+2π33+π2+4π33+5π3)]≈1.851940； 注：xsinx的原函数不是初等函数，所以不能直接通过牛顿—莱布尼茨公式求定积分.3、下图为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积. 解：河道的截面面积为： S ≈308[4(0.50+1.30+2.00+1.20+0.55)+ 2(0.85+1.65+1.7 5+0.85)]=8.64(m 2).4、下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温：(1)按积分平均⎰baf(t)a -b 1dt 求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近似法分别计算；(2)若按算术平均∑=121i 1-i C 121或∑=121i i C 121求得平均气温，那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系？简述理由. 解：(1)设平均气温为T ，n=12, a=0, b=24. 矩形法：T ≈121(C 0+C 1+…+C 11)≈28.71或T ≈121(C 1+C 2+…+C 12)≈28.64. 梯形法：T ≈121(2C 0+C 1+C 2+…+C 11+2C 12)=28.675.抛物线法：T ≈361[C 0+C 12+4(C 1+C 3+…+C 11)+2(C 2+C 4+…+C 10)]≈28.67. (2)∵∑=121i 1-i C 121=121(C 0+C 1+…+C 11)；∑=121i i C 121=121(C 1+C 2+…+C 12).∴运用矩形法积分平均的两种形式分别与它们相对应，即为近似值.而梯法积分平均则以C 0和C 12的平均值代替∑=121i 1-i C 121中的C 0或∑=121i iC 121中的C 12，所以也是它们的近似值.。
第七讲-定积分的近似计算
quad 举例
例：用 quad 计算定积分：
dx 0 1 x 2
1
解：
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1)
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10) 函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！
dblquad
i 1
n
通常我们取
x1 x2 xn
h ba n
点 i [ xi 1, xi ] 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 xi 1 ，右端点
xi 和中点 ( xi 1 xi ) / 2 。
中点法
左点法
右点法
左点法、右点法和中点法
步长
xi h (b a) / n xi a ih, i 1,2, n
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为： y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有
x2
x0
f ( x)dx p1 ( x)dx x ( x2 x )dx
x2
0
x2
x0
x x x
3 2
x2
x2 x0 (y0 4y1 y2 ) 6 ba (y0 4 y1 y2 ) 6n
i 1 n
x2 i 2
f ( x )dx
ba ( y2i 2 4 y2i 1 y2i ) i 1 6n
抛物线法
整理后可得：
baຫໍສະໝຸດ b a f ( x)dx [ y0 y2n 4( y1 y3 y2n1 ) 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
《定积分的近似计算》课件
03
梯形法与矩形法
梯形法的基本思想
01
梯形法是一种基于几何直观的 定积分近似计算方法。
02
基本思想是将积分区间[a, b]分 成若干个小区间，每个小区间 的长度记为Δx。
03
在每个小区间上，取一个梯形 作为该小区间的近似面积，然 后将所有梯形面积相加，得到 定积分的近似值。
矩形法的基本思想
矩形法也是一种基于几何直 观的定积分近似计算方法。
在积分区间上变化的，与被积函数有关。
02
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式的推导
1 2
背景
牛顿和莱布尼兹时代，微积分的基础尚未完善， 许多概念需要进一步明确。
推导过程
基于无穷小量的思想，通过连续函数的性质和极 限理论，逐步推导出牛顿-莱布尼兹公式。
3
关键步骤
利用定积分的定义，将积分转化为求和的形式， 再利用极限的性质，得到积分的近似值。
、[b, c]和[c, d]，有 ∫abf(x)dx+∫bcdf(x)dx=∫adf(x)dx；积分 的可加性是指对于任意两个区间[a, b]和[b, c]，有∫abf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx。
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义是函数曲线与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的几何意义可以通过微元法来理解。微元法是将积分区间分成许多小的区间，每 个小区间上取一个点，做函数在这些点的值的矩形，这个矩形的面积就是微元。所有微 元的面积的和就是定积分的值。这个值也就是函数曲线与x轴所夹的面积。这个面积是
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梯形法和矩形法的区别 在于对每个小区间上的 近似形状选择不同，梯 形法选择梯形作为近似 形状，而矩形法选择矩 形作为近似形状。
【笔记】定积分的近似计算
【笔记】定积分的近似计算⽬标：加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想⽅法，了解定积分近似计算的矩形法、梯形法与抛物线法，会⽤MATLAB 语⾔编写求定积分近似值的程序，会⽤MALAB中的命令求定积分。
预备知识在许多实际问题中，常常需要计算定积分的值。
根据微分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只需要找到被积函数的⼀个原函数F(x)，就可以⽤⽜顿-莱布尼茨公式求出定积分值。
但在⼯程技术与科学实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使可求出，计算也可能相当复杂。
特别地，当被积函数是图形或表格时，更不能⽤⽜顿-莱布尼茨公式计算。
因此必须寻求定积分的近似计算⽅法。
⼤多数实际问题的积分需要⽤数值积分⽅法求出近似结果。
数值积分原则上可以⽤于计算各种被积函数的定积分，⽆论被积函数是解析形式还是数表形式，其基本原理都是⽤多项式函数近似代替被积函数，⽤对多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。
由于所选多项式的不同，可以有许多种数值积分⽅法，下⾯介绍最常⽤的⼏种差值型数值积分⽅法。
1、矩形法定积分的⼏何意义是计算曲边梯形的⾯积，如果将区间[a,b]n等分，每个⼩区间上都是⼀个⼩的曲边梯形，⽤⼀个个⼩矩形代替这些⼩曲边梯形，然后把所有⼩矩形的⾯积加起来就近似等于整个曲边梯形的⾯积，于是便求出了定积分的近似值，这就是矩形法的基本原理。
2、梯形法将积分区间[a,b]n等分，⽤线段依次连接各分点，每段都形成⼀个⼩的直⾓梯形。
如果⽤这些⼩直⾓梯形⾯积之和代替原来的⼩曲边梯形⾯积之和，就可求得定积分的近似值。
3、抛物线法在此不做说明4、相关的MATLAB命令命令：sum(a)，求数组a的和例1 调⽤命令sum求矩阵x的各列元素的累加和。
>> x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>> sum(x)ans =12 15 18命令：format long，长格式，即屏幕显⽰15位有效数字。
定积分的近似计算
fxj=subs(fx,'x',xj);%符号运算，替换
fxi=subs(fx,'x',xi);%符号运算，替换
sum=sum+(fxi+fxj)*(b-a)/(2*n);%求矩形面积
end
sum%如果没有这句话就算不出最后的积分
结果:sum =0.6932
（2）抛物线法：
fzz=subs(fx,'x',zz);
f=(fxx+4*fyy+fzz)*(b-a)/(6*n);
s=sum(f)
结果：s=0.7854
实验结果报告及实验总结：
1.实验结果报告：
(1)梯形法：结果:sum =0.6932
（2）抛物线法：结果：sum = 0.6931
（3）trapz（）法：结果：ans =0.6931
n=120;
a=1;
b=2;
sum=0;
syms x fx；
fx=1/x;
for i=1:n
xx=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);%第一点的自变量取值后面是除2*n，不是n
yy=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);%第二点的自变量取值后面是2*i-1
zz=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n);%复制后没改自变量的名字
且发现trapz()的调试结果与梯形法结果相同，故可猜测该Matlab中的数值积分命令函数trapz()采用了梯形法近似计算方法。
2.实验结果报告：
（1）使用int：结果：ans =pi/2
（2）使用函数trapz()：
结果：Maximum variable size allowed by the program is exceeded.
定积分的近似计算97786
数学实验报告实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日实验名称定积分的近似计算问题背景描述：利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．实验目的：本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。
对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。
实验原理与数学模型：1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同。
（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取。
（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。
（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。
2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式。
3．抛物线法将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．实验所用软件及版本：Matlab 7.0主要内容（要点）：1．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．2．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）3．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环。
高等数学实验四__定积分的近似计算
但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算 式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给 出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能 是非初等函数。
本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数 值积分”，即定积分的近似计算。
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3
实验四 定积分的近似计算
所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式， 利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算 定积分的近似值，并作出误差估计。
n
2
n
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实验四 定积分的近似计算
（2）设
yi
f (xi )
f (a i
ba) n
(i
0,1,, n) ，则每个小梯形的面积为：
f ( xi ) f ( xi1) b a yi yi1 b a
2
n
2
n
（3）从而梯形法的公式为：
b
a
f
( x)dx
[1 2
(
y0
y1 )
)
f
''(
xi
1
b
n
a
t
)dt
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实验四 定积分的近似计算
第 i 个小曲边梯形的面积为
Ai
ba[ 2n
f
( xi1)
f
( xi
)]
(b a)3 2n3
1
t
0
(1
t
)
f
''(
xi 1
b
n
a
t
)dt
第 i 个小梯形的面积为： yi yi1 b a
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实验四 定积分的近似计算
3、抛物线法
梯形法的近似过程是在每个小区间中用直线段来近似被积函 数段，即逐段地用线性函数来近似被积函数。
4 yn1
yn )
n
2
于是， b f ( x)dx a
2
Sn
ba 3n
[ y0
yn
i 1
4( y1
y3
yn1 )
2(
y2
y4
yn2 )]
b a [ f (a) 6k
k
f (b) 4
i 1
k 1
f ( x2i1 ) 2
i 1
f ( x2i )]
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(设 n 2k)
16
例3
用抛物线法近似计算
3 1
2 ln x
dx
，要求误差不超过
10
5
。
解：设
f
(x)
1 ln x
，可由命令
D[f[x],{x,4}]得到
f
(x)
的四阶导函数
为： f
(4) ( x)
24 x4 (ln x)5
36 x4 (ln x)4
22 x4 (ln x)3
6 x4 (ln
x)2
，显然
f
(4) ( x) 在区
ba
的长度为 n 。
（Hale Waihona Puke ）设yif (xi )
f (a i b a ) n
(i
0,1,, n) ，则每个小梯形的面积为：
f ( xi ) f ( xi1) b a yi yi1 b a
2
n
2
n
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实验四 定积分的近似计算
（2）设
yi
f (xi )
f (a i
xi
1 0
f
(
xi
1
b
n
a
t
)
b
n
adt
当 f ''( x) 在区间[a,b]上连续时，利用分部积分法可以证明：
Ai
ba[ 2n
f ( xi1)
f ( xi )]
(b a)3 2n3
1
t
0
(1
t
)
f
''(
xi
1
b
n
a
t
)dt
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实验四 定积分的近似计算
第 i 个小曲边梯形的面积为
Ai
ba[ 2n
f
( xi1)
f
( xi
)]
(b a)3 2n3
1
t
0
(1
t
)
f
''(
xi 1
b
n
a
t
)dt
第 i 个小梯形的面积为： yi yi1 b a
2
n
设 M2 为| f ''( x) | 在区间[a, b]上的最大值，则第 i 个小曲边梯形
与相应的梯形面积之差的绝对值估计如下：
实验四 定积分的近似计算
东南大学 数学系
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实验四 定积分的近似计算
求函数的积分
积分主要包括不定积分、定积分。在 Mathematica 中，积分主要通
过命令“Integrate”来完成，主要操作格式见下表：
函数名称
函数功能说明
Integrate[f,x]
计算不定积分 f ( x)dx
间[2,3] 上的最大值为 M4 f (4)(2) 。
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实验四 定积分的近似计算
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实验四 定积分的近似计算
从运行结果看，循环到 k 6 时因达到精度要求结束循环，并得到积 分的近似值为：1.1184263。
从例 2、例 3 可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际 情况也是相符的。
本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数 值积分”，即定积分的近似计算。
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实验四 定积分的近似计算
所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式， 利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算 定积分的近似值，并作出误差估计。
b
定积分 a f ( x)dx 在几何上表示曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及
运行求得黎曼和为：1.11842。
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6
实验四 定积分的近似计算
2、梯形法
黎曼和式进行的近似计算，是对小曲边梯形的面积用矩形面 积来近似。
如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好
的近似方法——梯形积分法。 具体方法如下：
（1）将区间[a, b]用 a x0, x1,, xn b 等分为 n 个小区间，小区间
首先，计算在区间[x0, x2] 上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。
由 于 在 区间 h, h 上 ， 以过 (h, y0 ),(0, y1),(h, y2 ) 三 点 的抛 物线 y px2 qx r 为曲边的曲边梯形面积 S 为：
S h ( px2 qx r)dx 2 h( px2 r)dx 2 ph3 2rh
a
n k1
n
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——此公式称为中点积分公式 5
实验四 定积分的近似计算
3 1
例1 计算 2 ln xdx 的黎曼和。
b f ( x)dx b a n f (a ((k 1) 0.5) b a )
a
n k1
n
输入如下命令：
上述命令是将区间[2, 3]等分为 200 段来计算的。
过基本输入模版来输入积分命令。
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实验四 定积分的近似计算
定积分的近似计算
我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那 里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。
但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算 式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给 出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能 是非初等函数。
x2] 上以抛物线为曲边的
曲边梯形的面积，设为 S1，则
S1
1 3
h(
y0
4
y1
y2
)
同理可得，区间[ x2 , x4 ],[ x4 , x6 ],,[ xn2 , xn ] 上以抛物线为曲边的曲
边梯形的面积依次为：
S2
1 3
h(
y2
4
y3
y4 )
S3
1 3
h(
y4
4
y5
y6
)
Sn
1 3
h( yn2
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19
h
0
3
y0 ph2 qh r, y1 r, y2 ph2 qh r ph2 y0 y2 2 y1
故 S
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1 3
2 ph3
6rh
1 h(2 ph2 6r) 3
1 3
h(
y0
4
y1
y2 )
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实验四 定积分的近似计算
取
h
b
n
a
，则上面所求的
S
等于区间[ x0 ,
x 轴所围成的曲边梯形的面积。 定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区 间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将 小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。
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实验四 定积分的近似计算
1、 观察黎曼和式的收敛性
n
由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式 f (i )xi 的极限， i 1
为了进一步提高精确度，可以考虑在小范围内用二次函数来近似 被积函数，这种方法称为抛物线法，也称为辛普森（Simpson）法。
具体方法如下：
（1）将区间[a, b]用 a x0, x1,, xn b 等分为 n 个小区间，小区间
ba
的长度为 n 。
各分点对应的函数值为
y0 ,
y1, y2 ,, yn ，即 yi
于是，梯形公式的绝对误差为：
n
i 1
(b a)3 12n3
M2
(b a)3 12n2
M2
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实验四 定积分的近似计算
梯形积分法公式：
b f ( x)dx b a [ f (a) f (b) n f (a i b a )]
a
n
2
i 1
n
绝对值误差为：
(b a)3 12n2
M2
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实验四 定积分的近似计算
例2
用梯形法近似计算
3 1
2 ln x
dx
，要求误差不超过
105
。
解：设
f (x)
1 ln x
，则
f ''(x)
2 x2(ln x)3
1 x2(ln x)2
，显然
f ''( x) 在区
间[2,3] 上的最大值为 M2 f ''(2) 。
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实验四 定积分的近似计算
Integrate[f,x,y]
计算不定积分 dx f (x)dy