2014-2015(1)微积分(上)期末试卷A答案

北京师范大学珠海分校
2014-2015学年第一学期期末考试试卷
A (参考答案)
开课单位：_应用数学学院—课程名称:_微积分(上)(3学分)_ 任课教师： ________ 考试类型：—闭卷—考试时间：_12「分钟
学院 _________ 姓名 _____________ 学号 _______________ 班级 _________
题号
-一-
-二二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
、填空题：(共5小题，每空3分，共30分) (1) 函数y=arctanx 的定义域是 (,),其微分dy=
1 x 2
(2) 函数f(x)在点X o 处连续，必须同时满足的条件是：1、f(x)在点X o 有定义,
试
卷装订线
(5)已知f
若 f(u) (共5小题，每题3 分, ) 、单选题： (1)下列正确的是(B A lim
1 B lim
x
x ， x
xsi n 1 1
x
C lim xsin 1
X 0
x 1 , D lim x
xsin 」0。

x
(2) f(x)在x o 点可微与 f (x)在x o 点可导是(C
)的
A 相等 ，
B 相关，
C 等价 无关。

⑷ 若函数f(x)在[a,b]_上连续 _、在(a,b )_内可导 则至少有一点
(a ,b )使得：f(b) f(a) f'( )(b a)
2
(u )可导；y=x f(lnx),
的一个原函数是e u ,则
共 15 分)
解：y x arccosx+x(arccosx) =arccosx
x
1 x2
2'
y'
1 1
X0 (、1 X2[1 1 X2]) X 0
i_________ 2
(2)已知y x、，a2x2—
2 2 a
2 2
1二 2 x a 1
解：Q y 、a x 一2 c
2 2 a2 x2
2 2
1 —
2 x a
一' a x
2
1 . ~~
2 2
2「L 2、十"X
(3) 若f(X。

)0，f (x。

)0 ,贝U下列结论正确的是(A
X0是f (X)的极大值点(X o, f (X o))是f(X)的拐点,
C X0是f (x)的间断点X0是f (X)的极小值点。

(4)若在区间I上，f (X)
A单调减的凹弧，
C单调减的凸弧，
0, f
B
D
(X)
,则曲线y=f(x)在I上是(D
单调增的凹弧，
单调增的凸弧
(5)设f (x)a x, g(x) a(a
In a
0,a 1)则
A g(X)是f (X)的不定积分,g(x)是f (x)的导函数，
C g(X)是f (X)的一个原函数 f (X)是g(X)的一个原函数
三、计算题：(共9小题，每题5分,
(1)已知y xarccosx,求: y
共45分) (要求写出计算过程)
1
1 解：Qd -
-2dx 2'
x
x
1 x
1,1
e 一 1 一 2dx e x d e x
C
3'
x
x
(7)
计算：求 Ldx .
4 x
)dx
x
1
1 ,
1 2 x —ln 2 x —l 2 x C —l c 2'
4
4
4 2 x
1 d(
2 x) 1 d(2 x)
4
2 x 4 2 x
2
'
(3)设(sinx)x (cosx)y ，求：
dx
解：等式两边取对数得, 等式两边对x 求导得, 整理解得： y'
xlnsinx =yln cosx
.. cosx ,,
lnsin x x -------- y'ln cosx
si nx
x xcotx y ta nx In cosx dy ln sin dx 2'
sin x y cosx (4)求极限:
(xcosx si nx)(e x lim
3 x 0 x sin x
1)
解：Qx 0
sinx : x;e 1 : x
原式=0。

(xcosx si nx)x
x 叫
xcosx sin x 1'
2'
lim (cosx
xsinx) cosx
3x 2
sinx
1 lim ------ - x 0
3x
3
2'
(1 仝)2
\x
dx 2x Tx 2
X —d
x
2' 1 1
(x 2 2x 2
3
x 2
)dx 2 x
2x 5
C
3'
1'
解:
解:
(8) 计算：e x cosxdx
解： e x cosxdx cosxde x e x cosx e x( sin x)dx
x x x x x
e cosx sin xde e cosx e sinx e cosxdx---2
（9）计算：出
x
3
解：令 x 3sect(0 t —)，则:t= arccos—dx 3sect tantdt，——1 '
2 x
所以，当 x 3 时，
3tan t 3sect tan tdt 3 (sec2t 1)dt 3sect
.x29
厂2 3 ,
3(tant t) C x 9 3arccos「C ；----------- 2 '
x
当x 3时，同理可得:
'Cdx 二3arccos 3 c，综合起来，有:
x x
□dx3arccos3 C ；
X X
四、应用题：（10分）（要求写出计算过程）
设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q（条）与其成本C的关系为
C(Q) 1000 6Q 0.003Q2(0.0l Q)3(元),
现每条手巾的定价为6元，求使利润最大的销量.
解：利润函数为
L(Q) 6Q- C(Q) 1000 0.003Q2(0.01Q)3-一2
求导L (Q) 0.006Q 0.03(0.01Q)2-------- 2 '，
令L(Q) 0，因Q 0，故得唯一驻点为Q 2000 -------- 2 '，
此时，L (2000) 0.006 0.03 (0.01)2 2Q Q 20000.006 0 ----- 2
因此使利润最大的销量为 2000条。

----------- 2 '。