第二讲万有引力定律

第二讲 万有引力定律

万有引力定律与天体问题是物理学的重要内容，是高考年年必考的内容之一。突破学习难点，形成解决问题能力的关键就是要建立天体作匀速圆周运动的理想模型。通过模型所遵循的规律去熟悉各个物理量之间的联系，进而又会加深对天体问题的理解，同时也就将繁多的公式做了归纳总结。 （一）开普勒定律

第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等

第三定律：行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比，即k T

r =23

，k 是与行星无关的

常量

当我们把行星的运动简化为圆运动时，根据万有引力提供向心力可知：

向万F F =

r T m r GMm 22

2

4π= 2

234πGM T r k =⇐

K 为一常量，只与中心星体有关。 巧用开普勒定律解题

根据开普勒第三定律 ，卫星绕中心星体有: 2

3

T r ∝ 。两颗卫星绕同一中心星体时，两星体的关系:

这样可以通过一颗已知星求解未知星的各个参量。 想一想：你能估算月地距离吗？

如果不用万有引力定律，用开普勒第三定律，可以先找到一颗已知星。知道绕地行星的半径和周期，就可求的月地距离。 （二）万有引力定律

1.定律的表述：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。 公式：2

r Mm G

F =其中G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2

(万有引力恒量） 2.适用条件：

（1）适用于可视为质点的两物体间的引力计算 （2）适用于两质量均匀分布的球体间的引力计算 （三） 万有引力定律在天体问题中的应用 注意两个基本情景

地面上随地球自转的物体的运动情景。请注意：轨迹圆的圆心和半径

物体受万有引力和地面的支持力，两力的合力提供向心力。方向指向地轴的一点。 空中绕地球运动的卫星的运动情景

卫星直接由万有引力提供向心力。 1.明确几个加速度

(1).物体随地球自转的加速度

2a r r ω=∝

（ϕ为纬度角）

（式中r 为物体到地轴的距离）

（2).卫星绕地球运动的加速度

（式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离）

（3）.关于重力加速度 g

①明确万有引力与重力的关系

从合成的角度看:物体受到的万有引力和支持力的合力提供绕地轴转动的向心力

从分解的角度看:

万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力即重力，与支持力平衡

可见，除了在地球的两极处，地球表面的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力，方向也不一定指向地心。

想一想：赤道上物体的向心加速度有多大？（ 0.034m/s2）

由于地球自转引起的向心加速度很小，所以大量的近似计算中忽略了地球自转的影响，认为地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即

②重力加速度g的变化

随纬度增大而增大随高度增大而减小

应用：

1.可求天体表面的加速度，并用于比较不同星体表面的加速度

2.可求空中某点的重力加速度

3.重要的黄金替代式：

2.研究天体问题的基本思路：

（1）把天体的运动近似地看成匀速圆周运动，运动所需的向心力由万有引力来提供，即：

（2）地面（或某星球表面）的物体：

1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km 。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径6400km ，地球表面重力加速度为g 。这个小行星表面的重力加速度为（ ） A. 400g B. g 4001 C. 20g D. 20

g 分析指导

3

43R M

πρ=

R g R

G g ∝==

3

4ρπ 正确选项：B

火星的质量和半径分别约为地球的101和2

1

，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为（ ）

A ．0.2g

B ．0.4g

C ．2.5g

D ．5g

分析指导：

2R

GM

g =

正确选项：B

据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N 的人在这个行星表面的重量将变为960N ，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为 ( )

A.0.5

B. 2

C. 3.2

D. 4 分析:

由题意可以得到 g '=1.6g

由

R '=2R

正确选项：B

3.求天体的质量和密度 （1）求天体质量的方法： 对环绕卫星

对星球表面物体：

（2）天体平均密度:

如果是近地卫星：

已知地球半径为R ，月球半径为r ，地球与月球之间的距离(两球中心之间的距离)为L 。月球绕地球公转的周期为T 1，地球自转的周期为T 2，地球绕太阳公转周期为T 3，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G ，由以上条件可知 ( ) A.地球的质量为m 地=

2

3

324GT L π B.月球的质量为m 月=

2

1

324GT L π

C.地球的密度为ρ= 213GT π

D.月球运动的加速度为a=2

1

24T L

π 注意区分：天体半径、卫星环绕半径、天体间距离；自转周期与公转周期 正确选项：D

2007年3月两会期间，中国绕月探测工程总指挥栾恩杰指出：中国第一颗人造月球卫星已研制完成，有望在年内探测38万公里以外的月球。如果在这次探测工程中要测量月球的质量，则需要知道的物理量有（卫星围绕月球的运动可以看作匀速圆周运动，已知万有引力常量）： （ ）

A.卫星的质量和月球的半径

B.卫星绕月球运动的周期和卫星绕月球运动的半径

C.月球的半径和卫星绕月球运动的周期

D.卫星的质量、月球的半径和卫星绕月球运动的周期 分析：借环绕卫星求中心星体质量 正确选项：B

近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为（k 为某个常数）：（ ）

A. ρ＝kT

B. ρ＝k/T

C. ρ＝kT 2

D. ρ＝k/T 2

分析：借环绕卫星求天体质量并借近地卫星求天体密度

如果是近地卫星：