数学方法篇：面积法

数学方法篇三：面积法
用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。

（一）怎样证明面积相等。

以下是常用的理论依据
1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的
4
1
7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的
4
1
8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路）
1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4.还可以利用面积解决其它问题。

【范例讲析】
一、怎样证明面积问题
1. 分解法
例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：
△DEF的面积＝2△ABC的面积。

2. 作平行线法
例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，
二、用面积法解几何问题
1. 用面积法证线段相等
例1. 已知：如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，
BE⊥AD交AD的延长线于E。

求证：CF=BE。

2. 用面积法证两角相等
例2. 如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。

求证：∠AOC=∠BOC 。

3. 用面积法证线段不等
例3. 如图，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。

求证：BD>CD。

4. 用面积法证线段的和差
例4. 已知：如图，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于
D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。

求证：PE+PF+PD=h。

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5. 用面积法证比例式或等积式
例5. 如图，AD是△ABC 的角的平分线。

求证：AB BD AC DC
＝。

6. 用面积比求线段的比
例6. 如图，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。

求证：
1
2
MD AM
＝。

【优化训练】
1. 在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：S
△ABE
＝S
△ADF
2. 在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，求证：
3. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：
222
111
a b h
+=
4. 在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且
1
3
CE
AC
=，CD和BE交于G，求△ABC和四边
形ADGE的面积比。

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴
影部分的面积为______________ （结果保留π）．
6.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为
r1和r2．
（1）求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；
（2）将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值．
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