湖北省黄石市团城山实验学校七年级数学 第五讲 一元一次方程练习 人教新课标版

第五讲 一元一次方程

[基础知识]

一. 一元一次方程:只含有一个未知数,而且这个未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程.

二. 应用题中常见类型及关系式:

1. 行程问题: 距离 = 速度×时间;

2. 工程问题: 工作总量 = 工作效率×工作时间;

3. 浓度问题: 溶质量 = 浓度×溶液量;

4. 复制和百分率问题: 增量 = 基本量×增长率;

5. 分解与合成问题: 含量 = 含有率×体积;

6. 质量问题: 质量 = 密度×体积;

7. 作功问题: 功 = 功率×时间;

[例题精析]

例1. 解方程 ()()783223-=-+-x x b x a

解: 0783223=+--+-x b bx a ax

()732823-+=-+b a x b a

1. 当,0823时≠-+b a 8

23732-+-+=b a b a x 是方程唯一的解. 2. 当有时即时,823,0823=+=-+b a b a

()()1723732+-=--++=-+a b a b b a b a

(1) 当⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=+0

7320823,12,01823b a b a b a a b b a 时即时 一切实数都是方程的解. (2) 当时⎩⎨

⎧≠+-=+01823a b b a , 方程无解.

例2. 解方程()1213+=--+x x x

解: 先求使绝对值为零的x 值,它们是,13=-=x x 或它们将x 轴分成三个区间:

1. 当3.2213,3-=+=-+---≤x x x x x 时是方程的解.

2. 当22.2213,13=+=+-+≤<-x x x x 时,一切满足13≤<-x 的实数都是方

程的解.

3. 当11,2213,1>=+=+-+>x x x x x x 与时条件矛盾,所以方程无解.

综上所述:满足-3≤x ≤1的一切实数x 都是方程的解.

例3. 一个人在河中划船,在标有A 游标处遗失了携带的救生圈,他继续逆流划行了20分钟后,发现救生圈失落,于是倒转船头寻找,结果在B 处找到,如果AB 的距离2千米,那么河水的速度是多少?

解: 设船速y 米/分,河水速度为x 米/分.

依题意: ()x x y x y 200020200020=+++- x

x y y 2000200040=++

x x y y 5050=++ ()050≠=y y yx

50=x

所以,水流速度是50米/分.

例4. 某人沿着电车路旁行走,留心到每隔6分钟,有一辆电车从他身后开到前面去,每隔两分钟,一辆电车由他对面开过来.若该的电车的速度始终是均匀的,问每隔几分钟电车起点站开出一辆电车?

解1: 设每隔x 分钟从电车站开过一辆电车,则人走6分钟,追来的电车比人晚x 分钟,追来的电车走()x -6分钟,人走了2分钟,迎面开来的电车走了()2-x 分钟,人行速度与电车的速度比为:2

266-=-x x 3=x

所以,每隔3分钟从电车起点站发一辆电车.

解2:设每x 分钟从电车站发一辆车,又设电车速度为1v ,人行速度为2v ,则有: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+)2()(6)1()(212

1121xv v v xv v v (1) -- (2) 21122,048v v v v =⇒=-⇒,代入(1)得3=x .

所以,每隔3分钟发一辆电车.

例5, 一个工人加工一批零件,限期完成,若每小时做10个,就可以超过任务3个,若每小时加工11 个,就可以提前1小时完成,他的任务是加工多少个零件?限多少小时?

解:设他的任务是加工x 个零件,则有

111

103+=+x x 77=x 810377=+ 所以,他的任务是加工77个零件,限制8小时.

例6. 甲,乙两台打麦机,甲机工作效率是乙机的2倍,先用甲机打完麦子的5

3,然后用乙机全部打完,所需的时间比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11天,问分别用一台机器打完全部麦子各需多少天?

解1: 分析, 如以时间为基准找等量关系,可用 “全量=部分量之和”或其推论. 设甲打完全部麦子用x 天,

则乙打完全部麦子用x 2天.

设全部工作量为1, 则甲打完全部麦子的53所用的时间为x 5

3.乙打其余的麦子所用的时间为x 2)5

31(⋅-,而甲,乙两台机器同时打完全部麦子所用的时间为x x 2111

+,所以有: x

x x x 2111112)531(53+=-⋅-+ 解得15=x (天),即甲机打完全部麦子需用15天,乙机需用302=x (天).

解2: 如以甲,乙两机工作效率为基准找等量关系,可设x 为甲机打完全部麦子所需要天数,则乙打完全部麦子所需天数为x 2.

x 1是甲机的工作效率,x 21为乙机工作的效率,x

x x 23211=+是甲,乙两机同时工作的效率.如果再能把到两机同时工作的效率表示出来,那么方程也就列出来了.

依照题意知,甲,乙两机同时工作打完全部麦子所用的时间为

115

453112152

153-+=-+x x x

x 所以甲,乙共同工作的效率为115

4531-+x x 由此可列方程为115

453123-+=x x x ,解得15=x (天), 即甲机打完全部麦子需15天,乙机打完全部麦子用302=x 天.

例7. 甲容器中有纯酒精11 千克,乙容器中有水15千克.先将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精溶于水中,第二次将乙容器中一部分溶液倒入甲容器,这样甲容器中纯酒精含量为62.5%,乙容器中纯酒精含量为25%.问第二次从乙容器倒入甲容器的溶液多少千克?

解:分析 要求出第二次从乙容器倒入甲容器有多少千克,只须求出第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精数即可.

设第一次由甲容器倒入乙容器x 千克酒精,第二次由乙容器倒入甲容器y 千克溶液.由已知得: %2515=+x

x 5=x (千克)

同时甲容器情况,得: %5.6211%2511=+-⨯+-y x y x 于是有: y y 5.21524+=+

6=y (千克)

所以,第二次从乙容器中倒入甲容器6千克溶液.

例8. 从两个重量分别为m 千克和n 千克.且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块.把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者含铜百分数相同,问切下的重量是多少千克?

解:设切下x 千克,又设重m 千克的铜合金中含铜百分数为1q ,重n 千克的铜合金含铜百分数为2q ,依题意有: m

q x m xq n q x n xq 2121)()(-+=-+ 解得: n m mn x +=

(千克) 即切下的重量为n

m mn +千克. 例9. 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等.起初每辆汽车乘22个人,结果剩下一个人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有乘客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32个人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?

解: 设起初有汽车m 辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘的旅客为n 名.

由于32,2≤≥n m ,依题意有:

)1(122-=+m n m

1

23221122-+=-+=m n m n