常见的几个函数不等式及其应用
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结1. 引言不等式是数学中重要的概念之一，它在数学建模、优化理论、概率论等领域中有着广泛的应用。
基本不等式是解决不等式问题的基础，掌握常用的解题方法对于学习和应用不等式理论至关重要。
本文将系统总结基本不等式题型及常用方法，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
2. 一元一次不等式2.1 一元一次线性不等式2.1.1 基本性质：线性函数图像特点、函数值与符号关系在解决一元一次线性函数时，我们首先需要了解线性函数图像的特点。
对于形如ax+b>0或ax+b<0的线性函数，我们可以通过求解对应方程ax+b=0得到临界点x=-b/a，并以此为界将数轴分为两个区间。
在每个区间内，我们可以通过选取任意一个测试点来判断该区间内函数值与符号之间的关系。
2.1.2 解法：图像法、代数法对于一元一次线性不等式，我们可以通过图像法和代数法来解决问题。
图像法是通过绘制线性函数的图像，通过观察函数在不同区间的变化来确定不等式的解集。
代数法则是通过代数运算，将不等式转化为等价的形式，从而得到解集。
例如，对于ax+b>0形式的线性不等式，我们可以将其转化为ax>-b，并根据a的正负性讨论出解集。
2.2 一元一次绝对值不等式绝对值函数是一个常见的非线性函数，在解决绝对值不等式时我们需要特别注意其特点和解题方法。
对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以将其转化为一个或多个线性不等式，并根据这些线性不等式得到最终的解集。
2.3 一元二次根号型不等式二次根号型函数在数学中也有着重要地位，在解决二次根号型函数时我们需要掌握特定方法。
例如，在求解形如√(ax^2+bx+c)>0或√(ax^2+bx+c)<0 的二次根号型函数时，可以通过求出二次方程ax^2+bx+c=0 的两个实数根，并根据根的位置和函数的凹凸性来确定函数值与符号之间的关系。
常用不等式公式考研
常用不等式公式考研不等式是数学中最重要的基础概念之一，它对考研中数学的学习和理解至关重要。
本文将介绍考研中常见的不等式公式及其应用，为考研数学的学习提供参考。
首先，让我们介绍一下考研数学中最常用的不等式公式。
一、凸函数不等式凸函数不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：如果f(x)的导数 >= 0，则f(x)的函数值是单调递增的。
因此，凸函数不等式可以用来证明某个函数的单调性，也可以用来判断某个函数是可以单调递增的。
此外，凸函数不等式常常被用来证明函数的连续性、反函数的存在性、函数的最小值或最大值存在性等。
二、二次不等式二次不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：当两个不同的根底数相乘时，当两个数的符号一致时，则乘积的结果大于0，而当两个数的符号不一致时，则乘积的结果小于0。
通过利用这种不等式，我们可以证明函数的最小值或最大值的具体值，也可以判断函数是否有最小值或最大值，以及函数是否是单调函数。
三、非负不等式非负不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：当某个函数是非负函数，则函数的值只能是非负数，即当函数的值>=0时，函数的值才是有效的。
非负不等式通常用来证明函数的连续性，以及判断函数的有效性、函数的最大值或最小值的具体值。
四、微积分不等式微积分不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：当函数的导数>=0时，那么函数的值也是单调的，即函数的值是单调递增的；反之，如果函数的导数<=0，那么函数的值是单调递减的。
因此，微积分不等式可以用来证明函数的单调性，以及判断函数的有效性、函数的最大值或最小值的具体值等。
以上就是考研数学中常用的不等式公式，以及它们的应用。
理解不等式的基本性质，可以帮助我们更好地分析问题，为考研数学的学习提供积极的指导。
高一数学函数不等式知识点
高一数学函数不等式知识点在高一数学课程中，函数不等式是一个重要的知识点。
函数不等式主要涉及到函数的不等关系及其在数轴上的图像表示。
以下是关于高一数学函数不等式的一些基本知识点：一、函数的不等关系函数的不等关系是指函数值之间的大小关系。
在数学中，有几种常见的不等关系，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
二、一次函数不等式一次函数不等式是指函数中只包含一次项的不等式。
对于一个一次函数f(x) = ax + b，可以利用其函数图像以及不等式的性质来求解不等式。
三、二次函数不等式二次函数不等式是指函数中含有二次项（x²）的不等式。
对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过求解二次方程来确定函数的零点，并利用零点将函数的图像分为不同的区间进行讨论。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指函数中含有绝对值符号（|x|）的不等式。
对于一个绝对值不等式|f(x)| < a（或> a），可以通过拆分成两个不等式进行求解，包括当f(x) > 0或f(x) < 0时的情况。
五、函数不等式的解集表示当求解函数不等式时，我们通常需要表示其解集。
解集可以通过数轴上的图像表示，或使用区间表示。
在数轴上，解集可以用开区间、闭区间、半开半闭区间等形式表示。
六、函数不等式的解法对于不同类型的函数不等式，我们可以采用不同的解法。
常用的解法包括代入法、分析法、图像法等。
通过选择合适的解法，能够更快速地求解函数不等式问题。
总结：高一数学函数不等式是数学课程中的一个重要知识点，涉及到函数的不等关系、一次函数不等式、二次函数不等式、绝对值不等式等内容。
通过掌握函数不等式的基本知识，我们能够更好地理解和解决相关的数学问题。
在实际应用中，函数不等式也经常被用于解决各种实际问题，对培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的作用。
重要不等式使用条件
重要不等式使用条件一、引言在数学中，不等式是一种比较两个数或者变量关系的数学表达式。
不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义。
在数学中，有许多重要的不等式被广泛应用于各个领域，如数论、代数、几何和概率论等。
本文将介绍一些常见的重要不等式及其使用条件。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解析几何中的一个基本定理，它描述了内积的性质。
该不等式可以用来证明其他重要定理，如三角形不等式和均值不等式。
不等式表述对于实数集合上的内积空间V中的向量a和b，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：|⟨a,b⟩|≤∥a∥∥b∥其中⟨a,b⟩表示向量a和b的内积，∥a∥表示向量a的模。
使用条件柯西-施瓦茨不等式成立的条件是向量空间V上定义了内积，并且满足以下性质：1.正定性：对于任意非零向量a，有⟨a,a⟩>0。
2.齐次性：对于任意标量k和向量a，有⟨k⋅a,b⟩=k⋅⟨a,b⟩。
3.加法性：对于任意向量a、b和c，有⟨a+b,c⟩=⟨a,c⟩+⟨b,c⟩。
满足以上条件的内积空间可以是实数集合上的内积空间或复数集合上的内积空间。
三、三角形不等式三角形不等式是几何学中一个基本的定理，它描述了三角形中边长之间的关系。
该不等式在计算几何学、概率论和信息论等领域得到广泛应用。
不等式表述对于任意三角形的边长a、b和c，三角形不等式可以表示为：|a−b|<c<a+b使用条件三角形不等式成立的条件是边长a、b和c满足以下条件：1.非负性：边长必须大于等于零，即a,b,c≥0。
2.两边之和大于第三边：任意两边之和必须大于第三条边，即a+b>c,a+c>b,b+c>a。
满足以上条件的三个边长可以构成一个有效的三角形。
四、均值不等式均值不等式是数论中的一个重要定理，它描述了一组数的平均值与其他函数之间的关系。
该不等式在概率论、统计学和经济学中得到广泛应用。
不等式表述对于一组实数x1,x2,…,x n，其中n≥2，均值不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1⋅x2⋅…⋅x n n使用条件均值不等式成立的条件是实数x1,x2,…,x n满足以下条件：1.非负性：所有实数必须大于等于零，即x i≥0。
常用函数不等式
常用函数不等式在数学中，函数不等式是我们经常会用到的概念。
它们可以帮助我们更加深入地理解数学中的关系，进而推导问题的答案。
本文将就常用函数不等式进行讨论。
一、AM-GM不等式AM-GM不等式，即算术平均数不小于几何平均数，可以表示为：$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$其中 $n$ 个数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 的算术平均值不小于它们的几何平均值。
这个不等式的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题。
例如，当我们需要在给定的一组数中寻找它们的平均值时，我们就可以使用这个不等式。
另外，当我们需要证明某些不等式时，也可以用这个不等式作为基础。
二、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式是一个用于线性代数的不等式，可以表示为：$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$其中 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$ 是实数。
Cauchy-Schwarz不等式在Linbox等线性代数库中有着广泛的应用。
在实际问题中，它可以帮助我们更好地理解矩阵和向量的关系。
例如，在机器学习中，数据点可以表示为向量，而许多算法都是基于矩阵运算的。
因此，这个不等式也应用得非常广泛。
三、Chebyshev不等式Chebyshev不等式是一个由俄罗斯数学家Pafnuty Chebyshev发现的不等式，可以表示为：$\frac{1}{n}(a_1 + a_2 + ... + a_n)\cdot (b_1 + b_2 + ... + b_n) \geq\frac{1}{n}(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)$其中 $a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n$，$b_1 \geq b_2 \geq ... \geq b_n$。
初等函数基本不等式
初等函数基本不等式以《初等函数基本不等式》为标题，写一篇3000字的中文文章初等函数基本不等式是数学中的基本不等式，涵盖了初等函数及其基本性质，对于许多研究和应用都有着非常重要的意义。
在本文中，我们将重点介绍初等函数基本不等式的形式、历史发展以及在各种应用领域中的表现。
首先，我们介绍初等函数基本不等式的形式。
它是一个比较常见的数学不等式，可以简写为f(x) g(x)或f(x) g(x)，又称为初等不等式。
它可以用来描述数学对象之间的关系，并为其它定理推导提供了依据。
它的实际形式可以是以下几种：1.和不等式：f(x) =aixiaiyi2.分不等式：f(x) =f(x) dxg(x) dx3.量不等式：f(x) = ||f|| ||g||4.函数不等式：f(x) g(x)，其中f(x)是凸函数初等函数基本不等式的发展历史可以追溯到古希腊的数学思想，此时此刻，不等式已经成为数学领域中一种基本概念。
古希腊数学家凯撒若连乌斯（Caesar Eureelius）曾将不等式应用到特殊几何体，他也是初等函数基本不等式的创始人之一。
17世纪，英国数学家约翰汉普顿（John Hampton）将不等式应用到差分方程组中，成为初等函数的第一位开拓者。
随后，法国数学家弗朗西斯得拉克（Francois de Laplace）和英国数学家大卫拉森（David Ranson）也先后推出了自己的初等函数基本不等式理论。
初等函数基本不等式有着丰富的应用范围，主要表现在以下几个方面：1. 优化问题：初等函数基本不等式可以用来解决优化问题，如最小值与最大值求解，极限求解等。
2.数不变性：初等函数基本不等式可以保证函数的不变性，即函数的变化不会影响其他变量的变化。
3.微分方程的解法：初等函数基本不等式可以用于求解偏微分方程，特别是热传导方程的求解。
4.分几何中的应用：初等函数基本不等式在微分几何中也有着重要的作用，它可以用来研究几何图像与函数之间的关系。
几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则122.nn n a a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.nnni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥n i ini i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a1211。
等号成立当且仅当n b b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明） 二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
函数不等式知识点归纳总结
函数不等式知识点归纳总结函数不等式是解决数学问题中常见的一种形式，它涉及到函数的不等关系及其解集。
本文将对函数不等式的概念、解法和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用函数不等式。
一、函数不等式的概念函数不等式是指含有函数的不等式关系，其中函数可以是一元函数或多元函数。
函数不等式可以包含一个或多个变量，并且其解集通常是一个或多个实数区间。
解函数不等式的主要目标是确定变量的取值范围，以满足不等式关系。
二、一元函数不等式的解法解一元函数不等式的方法主要包括图像法、代数法和符号法。
图像法借助函数的图像找到不等式的解集；代数法借助代数运算和推导解出不等式的解集；符号法则通过符号变换和符号性质推导解出不等式的解集。
2.1 图像法图像法是通过函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制函数的图像，并观察函数图像的凹凸性、单调性和零点等信息。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
2.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用一元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
2.3 符号法符号法是通过符号变换和符号性质来解不等式的方法。
不等式中的符号可根据不等式的性质进行变换，并利用符号性质推导出不等式的解集。
常见的符号性质包括非负性、相反性、单调性和倍数性等。
三、多元函数不等式的解法解多元函数不等式的方法主要包括图像法和代数法。
其中，图像法借助多元函数的图像确定不等式的解集；代数法则通过代数运算和推导解出不等式的解集。
3.1 图像法图像法是通过多元函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制多元函数的图像，并观察函数图像的变化趋势。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
3.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用多元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
四、函数不等式的应用函数不等式在数学和实际问题中有着广泛的应用。
常用的积分不等式
常用的积分不等式积分不等式是数学中常用的工具之一，它可以帮助我们对函数的性质进行研究和估计。
在本文中，我们将介绍几个常用的积分不等式，并说明它们的应用。
1. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的重要工具，也可以应用到积分中。
它表明在一个区间上的函数值的平均值与函数值超过平均值的部分之间存在一种关系。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积且有界，则对于任意实数M，有以下不等式成立：∫[a,b] |f(x)|dx ≤ M(b-a)这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的绝对值的积分有界，那么函数在这个区间上的平均值也是有界的。
2. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是用来估计一个非负随机变量的期望值的上界的不等式。
同样地，它也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积且非负，则对于任意实数M，有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)dx ≤ M∫[a,b] f(x) dx这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的积分有界，那么函数在这个区间上的值也是有界的。
3. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的重要不等式，也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ (∫[a,b] f(x)^2dx)^0.5 (∫[a,b] g(x)^2dx)^0.5这个不等式告诉我们，如果两个函数在一个区间上的积分有界，那么两个函数的乘积在这个区间上的积分也是有界的。
4. 杨辉不等式杨辉不等式是数论中的一种不等式，它也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，则有以下不等式成立：(∫[a,b] f(x)dx)^2 ≤ (∫[a,b] 1dx)(∫[a,b] f(x)^2dx)这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的积分有界，那么函数的平方在这个区间上的积分也是有界的。
下取整函数满足的不等式
下取整函数满足的不等式取整函数是数学中常见的一种函数，它将一个实数映射到最接近它的整数。
这种函数在计算机科学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
不等式是数学中常见的表示关系的方式，通过不等式可以描述两个数之间的大小关系。
本文将介绍取整函数满足的一些常见不等式，并探讨它们在实际问题中的应用。
我们来看一下最常见的取整函数——向下取整函数。
对于任意实数x，向下取整函数将x映射到不大于x的最大整数。
即，如果x是一个整数，则向下取整函数的值等于x；如果x是一个小数，则向下取整函数的值等于小于x的最大整数。
向下取整函数可以表示为f(x) = ⌊x⌋，其中⌊x⌋表示不大于x的最大整数。
根据向下取整函数的定义，我们可以得到以下不等式：1. ⌊x⌋ ≤ x，即向下取整函数的值不大于x。
2. ⌊x⌋ ≤ ⌊y⌋，当x ≤ y时，向下取整函数的值满足这一不等式。
除了向下取整函数，还有一种常见的取整函数是向上取整函数。
对于任意实数x，向上取整函数将x映射到不小于x的最小整数。
即，如果x是一个整数，则向上取整函数的值等于x；如果x是一个小数，则向上取整函数的值等于大于x的最小整数。
向上取整函数可以表示为g(x) = ⌈x⌉，其中⌈x⌉表示不小于x的最小整数。
根据向上取整函数的定义，我们可以得到以下不等式：1. x ≤ ⌈x⌉，即向上取整函数的值不小于x。
2. ⌈x⌉ ≤ ⌈y⌉，当x ≤ y时，向上取整函数的值满足这一不等式。
除了向下取整函数和向上取整函数，还有一种常见的取整函数是四舍五入函数。
对于任意实数x，四舍五入函数将x映射到最接近x 的整数。
即，如果x的小数部分小于0.5，则四舍五入函数的值等于不大于x的最大整数；如果x的小数部分大于等于0.5，则四舍五入函数的值等于不小于x的最小整数。
四舍五入函数可以表示为h(x) = round(x)。
根据四舍五入函数的定义，我们可以得到以下不等式：1. |x - round(x)| ≤ 0.5，即四舍五入函数的值与x之间的差的绝对值不大于0.5。
常见的几个函数不等式及其应用
常见的几个函数不等式及其应用武汉市教育科学研究院孔峰在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xx x x f +-=-+='1111)(.当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x xx x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx .综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ，②)0(11ln >≥+x x x .③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1(11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f .所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x xx ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f .所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='，而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='，由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x xx 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x .综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(2111ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ，⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
一次函数与三角函数的不等式
一次函数与三角函数的不等式一、引言在数学中，不等式是研究数之间大小关系的一种重要工具。
而函数，特别是一次函数和三角函数在不等式中的应用也是十分常见和重要的。
本文将重点探讨一次函数和三角函数在不等式中的性质和应用。
二、一次函数的不等式一次函数是指形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b为实数，且a不为零。
一次函数在不等式中的应用非常广泛，下面将以一元一次不等式为例来介绍一次函数在不等式中的性质和求解方法。
1. 线性不等式的基本性质对于一次不等式ax + b > c，其中a、b和c为实数，我们可以通过一系列方法来判断其解集，如图像法、代入法等。
此外，我们可以根据a的正负性质来判断不等式的解集，例如当a > 0时，不等式解集为[x > (c - b) / a]，当a < 0时，不等式解集为[x < (c - b) / a]。
2. 一次不等式的求解方法（1）当一次不等式中含有绝对值时，我们可以通过绝对值的性质将其转化为两个简单的一次不等式，再求解。
（2）当一次不等式中含有分式时，我们可以通过清除分母的方法将其转化为一个不含分式的一次不等式，再求解。
三、三角函数的不等式三角函数是指以角为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
下面将介绍三角函数在不等式中的应用。
1. 正弦函数和余弦函数的不等式正弦函数和余弦函数的值域均为闭区间[-1, 1]，因此它们在不等式中的应用较为灵活。
常见的正弦函数和余弦函数不等式有形如sinx > a和cosx < b等。
我们可以根据函数图像来判断此类不等式的解集，如sinx > a表示x在区间[arcsin(a) + 2kπ, π - arcsin(a) + 2kπ]时成立。
2. 正切函数的不等式正切函数的值域为实数集R，因此在不等式中的应用需要特别注意。
常见的正切函数不等式有形如tanx > a的情况。
三角函数的不等式与应用解析
三角函数的不等式与应用解析三角函数是数学中一类重要的特殊函数，其在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的不等式及其在实际问题中的应用解析。
一、三角函数的不等式1. 正弦函数的不等式正弦函数sin(x)的定义域为实数集合，其值域范围在[-1, 1]之间。
在解决正弦函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当sin(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ, 2kπ + π/2) 和(2kπ + 3π/2, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
- 当sin(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ + π/2, 2kπ + π) 和(2kπ + 3π/2, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
2. 余弦函数的不等式余弦函数cos(x)的定义域也是实数集合，其值域范围同样在[-1, 1]之间。
在解决余弦函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当cos(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ, 2kπ + π) 和(2kπ + 2π, 2kπ + 3π/2)，其中k为整数。
- 当cos(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ + π, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
3. 正切函数的不等式正切函数tan(x)的定义域为实数集合，其值域无上下界。
在解决正切函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当tan(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (kπ, kπ + arctan(k))，其中k为整数。
- 当tan(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (kπ + arctan(k), kπ + π)，其中k为整数。
二、三角函数的应用解析三角函数在实际问题中广泛应用，下面以一些具体问题来说明其应用解析。
1. 几何问题中的应用三角函数在几何问题中有着重要的应用。
4个不等式的公式高中连一起的
4个不等式的公式高中连一起的（原创版）目录1.引言：介绍高中阶段涉及的四个常见不等式公式2.解析：详细解释四个不等式公式的含义和应用3.例题：通过具体例题演示四个不等式公式的运用4.结论：总结四个不等式公式在高中数学中的重要性和联系正文一、引言在高中数学的学习过程中，我们会接触到许多不等式相关的知识。
其中，有四个常见的不等式公式贯穿整个高中阶段，它们分别是：正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的不等式公式。
本文将对这四个不等式公式进行详细解析，并通过具体例题演示它们的应用。
二、解析1.正弦函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -1≤sinθ≤1。
2.余弦函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -1≤cosθ≤1。
3.正切函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -∞<tanθ<∞。
4.余切函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -∞<cotθ<∞。
这四个不等式公式描述了三角函数在不同角度范围内的取值情况，对于解决高中数学中的三角函数问题具有重要意义。
三、例题假设有一个角为 60°的三角形，求这个三角形的正弦值、余弦值、正切值和余切值。
解答：根据正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得出：sin60° = √3 / 2，cos60° = 1 / 2再根据正切函数和余切函数的定义，我们可以得出：tan60° = √3，cot60° = √3通过这个例题，我们可以看到四个不等式公式在实际问题中的应用。
四、结论本文对高中阶段涉及的四个常见不等式公式进行了详细解析，并通过具体例题演示了它们的应用。
这四个不等式公式在高中数学中具有重要地位，掌握它们对于解决相关问题具有重要意义。
高数里常用不等式
高数里常用不等式高等数学中常用的不等式有很多，它们在数学推导和证明中起着重要的作用。
在本文中，我们将介绍几个常见的不等式，并简要解释它们的应用。
一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是高等数学中最常用的不等式之一。
它可以用于证明两个向量的内积的绝对值不大于这两个向量的模的乘积。
具体地说，对于任意的实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，都有：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)柯西-施瓦茨不等式在向量计算、概率论、信号处理等领域都有广泛的应用。
例如，在信号处理中，可以利用柯西-施瓦茨不等式来证明信号的相关性和功率谱密度之间的关系。
二、三角函数的不等式在高等数学中，我们经常会遇到三角函数的不等式。
其中，最常见的是正弦函数和余弦函数的不等式。
对于任意的实数x，都有以下不等式成立：-1 ≤ sin(x) ≤ 1-1 ≤ cos(x) ≤ 1这些不等式在解析几何、微积分和物理学等领域经常被使用。
例如，在解析几何中，我们可以利用正弦函数和余弦函数的不等式来证明三角形的性质。
三、均值不等式均值不等式是数学分析中常用的一类不等式，它们可以用于证明一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。
常见的均值不等式有算术平均-几何平均不等式、几何平均-调和平均不等式和算术平均-调和平均不等式等。
以算术平均-几何平均不等式为例，对于任意的正数a1、a2、...、an，都有：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)这个不等式在数列极限、数论和凸函数等领域都有广泛的应用。
例如，在数列极限中，我们可以利用算术平均-几何平均不等式来证明某些数列的收敛性。
四、泰勒不等式泰勒不等式是高等数学中与泰勒级数相关的一个不等式。
它可以用于估计函数在某个点附近的误差。
二次函数的不等式与应用
二次函数的不等式与应用二次函数是一种重要的数学模型，广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
其中，二次函数的不等式是研究二次函数性质的重要工具之一。
本文将重点探讨二次函数的不等式及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的不等式1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
2. 二次函数的零点二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，求解零点可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法。
根据二次函数的零点，可以确定函数的图像与坐标轴的交点，为后续讨论不等式提供基础。
3. 二次函数的不等式解法(1) 一元二次不等式一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
然而，由于二次函数是连续的，解集通常为一个区间或多个区间的并集。
(2) 非一元二次不等式非一元二次不等式指的是含有二元及以上变量的二次不等式。
对于非一元二次不等式，常常需要确定函数的最值、绘制函数的图像等进一步研究，以确定不等式的解集。
二、二次函数不等式的应用1. 几何问题二次函数的不等式可应用于解决几何问题，如寻找最值、确定区域等。
例如，在给定周长的情况下，如何确定矩形的长和宽，使得矩形的面积最大？这可以通过二次函数的不等式求解，并得到最优解。
2. 经济学问题二次函数的不等式也可应用于解决经济学问题，如成本、利润、产量等相关的优化问题。
例如，如何确定生产商品的数量，使得成本最小或利润最大？这可以通过建立二次函数模型并求解相关的不等式来实现。
3. 物理学问题在物理学中，许多问题可以用二次函数的不等式进行建模和求解。
例如，一个抛物线形的跳台可以用二次函数描述，通过求解相关的不等式可以确定弹跳的最大高度以及最远的水平距离。
4. 工程学问题在工程学领域，二次函数的不等式在电路设计、结构设计等方面有着广泛的应用。
求解初中数学常见的不等式
求解初中数学常见的不等式初中数学中，不等式是一个常见的考察和应用的知识点。
不等式是用来表示两个数量大小关系的一种数学工具，常出现在各种数学题型中，例如算术平均值与几何平均值的关系、等分原理、加减、积等不等式等。
在解题时，我们需要掌握各类不等式的性质和解法，下面将详细介绍几类常见的不等式及其解法。
一、一次不等式一次不等式的形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
通过将不等式移项可以得到ax > -b或ax < -b，进而得到x的取值范围。
例如：解不等式2x + 3 > 5解法如下：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1所以，不等式2x + 3 > 5的解为x > 1。
二、二次不等式二次不等式的形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
通过求解二次函数的根，可以将不等式转化为一次不等式的形式。
如果二次函数的两个根分别为α和β，则有：当a > 0时，ax² + bx + c > 0的解集为x < α或x > β；当a < 0时，ax² + bx + c > 0的解集为α < x < β。
例如：解不等式x² - 3x + 2 < 0解法如下：x² - 3x + 2 < 0(x - 1)(x - 2) < 0化简后，得到不等式的零点为x = 1和x = 2。
因为a = 1 > 0，所以解集为1 < x < 2。
所以，不等式x² - 3x + 2 < 0的解为1 < x < 2。
三、三角不等式三角不等式是由三角形的三条边两两不等关系得出的不等式，即对于任意三角形，其任意两边之和都大于第三边，即a + b > c、b + c > a和c + a > b。
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常见的几个函数不等式及其应用在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xxx x f +-=-+='1111)(. 当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ， 所以)1()1ln(->≤+x x x .令x xx x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x x x x x x x g +=+-+-+='. 当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx . 综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ， ②)0(11ln >≥+x x x . ③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1()11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f . 所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x xx ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f . 所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f . 所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='， 而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='， 由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x xx 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x . 综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩ 证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f . 故0)0()(=≤f x f . 所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(21)11ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式： （6）贝努尼不等式：当1->x 时， )0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ， ⑫ )10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭ 二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。
（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值例1 （2008年湖南卷，理21）已知函数xx x x f +-+=1)1(ln )(22.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若不等式e )11(≤++αn n对任意的*∈N n 都成立，求α的最大值.解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得22)1()1(211)1ln(2)(x x x x x x x f +-+-+⋅+=')]111(21)1[ln(12xx x x +-+-++=.由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ，⑤)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x 可知：当0≥x 时，11≥+x ，有)111(21)1ln(xx x +-+≤+，0)(≤'x f ；当01≤<-x 时，110≤+<x ，有)111(21)1ln(xx x +-+≥+，0)(≥'x f .因此，当0≥x 时，)(x f 为减函数；当01≤<-x 时，)(x f 为增函数.（Ⅱ）由e )11(≤++αn n 可知，1)11ln()(≤+⋅+n n α，所以n n-+≤)11ln(1α. 记]1,0(1∈=t n，则t t 1)1ln(1-+≤α，]1,0(∈t .由不等式⑨)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ，可知12ln 11)1ln(1-≥-+t t ，12ln 1-≤∴α.所以，α的最大值为12ln 1-.（2）利用常用不等式求参数的取值范围例2 （2010年全国卷，理22）设x x f --=e 1)(.（Ⅰ）证明：1->x 时，1)(+≥x xx f ；（Ⅱ）设0≥x 时，1)(+≤ax xx f ，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）利用分析法，结合①式)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx可以证明.（Ⅱ）因为1e110+≤-<ax xx 在0≥x 时恒成立，所以01>+ax 在0≥x 时恒成立，则0≥a .另一方面，由1e110+≤-<ax xx ，得x a x x 11e e --≤.令t x =e ，由0≥x 知1≥t .)1(ln 11≥--≤∴t tt t a .由不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知)1(1)1(2ln ≥+-≥t t t t ，所以1>t 时，21)1(211ln 11=-+-->--t t t t t t t .又由导数定义可知11ln lim 1=-→t tt ，所以21ln )1(lim 1=-+→t t t t ，故21ln 11≥--t t t .综上，所求a 的取值范围为]21,0[.例3 （2014年湖南卷，理22）已知常数0>a ，22)1ln()(+-+=x xax x f .（Ⅰ）讨论)(x f 在区间),0(+∞上单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）222)2)(1()1(4)2(41)(++--=+-+='x ax a ax x ax a x f . 因为0)2)(1(2>++x ax ，所以当01≤-a ，即1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，则函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.当10<<a 时，由0)(='x f ，得a a a x )1(2-±=.则函数)(x f 在区间))1(2,0(aa a -单调递减，在),)1(2(+∞-aa a 单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，10<<a 时才可能出现两个极值点21,x x ，且021=+x x ，aa x x )1(421-=. 而22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 44)(2)4(4])(1ln[21212121221-+++++++++=x x x x x x x x a x x a2122)12ln(2--+-=a a)1121|12|(ln 2--+-=a a ，此时1121<-<-a .由不等式③)0(11ln >≥+x xx 可知：要使0)()(21>+x f x f 恒成立，必需1120<-<a ，从而121<<a .所以，所求a 的取值范围为)1,21(.（3）利用常见不等式比较大小例4 （2013年陕西卷，理21）已知函数x x f e )(=，R ∈x .(Ⅰ) 若直线1+=kx y 与)(x f 的反函数的图像相切，求实数k 的值； (Ⅱ) 设0>x ，讨论曲线)(x f y =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数；(Ⅲ) 设b a <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.解：(Ⅰ) )(x f 的反函数x x g ln )(=.设直线1+=kx y 与x x g ln )(=相切与点)ln ,(00x x ， 则⎪⎩⎪⎨⎧='=+=,1)(,1ln 0000x x g k kx x 解之得2e -=k . (Ⅱ) 由2e mx x= ，得2e xm x=.令2e )(x x g x =，则3)2(e )(x x x g x -='.当20<<x 时，0)(<'x g ；当2>x 时，0)(>'x g . 所以2=x 是极小值点.从而可知，在4e 2<m 时无交点；在4e 2=m 时有一个交点；在4e 2>m 时有两个交点.(Ⅲ) 记ab a b a f b f b f a f M ab b a ---+=---+=e e 2e e )()(2)()(，令0>=-t a b ， 则ta b M at a t a a a b b a e e 2e e e e 2e e --+=---+=++ )]2()2(e [2e )1e 2e 1(e ++-=--+=t t tt t a t ta .再令0),2()2(e )(>++-=t t t t h t ， 在2≥t 时，可知0)(>t h .在20<<t 时，可证明ttt -+<22e .事实上，令t t t -+='22，则1>'t ，且112+'-'=t t t .只需证)1(ln 1)1(2>''<+'-'t t t t .而由常见不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知上式恒成立.从而0)2()2(e )(>++-=t t t h t 在0>t 时恒成立.所以0>M ，即ab a f b f b f a f -->+)()(2)()(. （4）利用常用不等式研究存在性问题例5（2011年湖南卷，文22）设函数)(ln 1)(R ∈--=a x a xx x f .（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞.22211'()1a x ax f x x x x -+=+-=令1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a .当22≤≤-a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增． 当2-<a 时，而0>x ，有0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增．当2>a 时，0>∆，012=+-ax x 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x .故)(x f 在),0(1x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2>a ，且a x x =+21，121=x x ．因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以21212121212121ln ln 2ln ln 11)()(x x x x a x x x x a x x x x x f x f k --⋅-=--⋅-+=--= 若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2121=--x x x x .而121=x x ，所以2221ln 2x x x -=.由不等式④)1)(1(21ln >-≤x xx x 可知上式不可能成立，故不存在a ，使得a k -=2.（5）利用常用不等式证明不等式例6 （2013年全国大纲卷，理22）已知函数xx x x x f ++-+=1)1()1ln()(λ.（Ⅰ）若0≥x 时，0)(≤x f ，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列}{n a 的通项n a n 131211++++=Λ，证明：2ln 412>+-na a n n .解：（Ⅰ）由已知0)0(=f ，22)1()21()(x x x x f +--='λλ，0)0(='f . 若21<λ，则当)21(20λ-<<x 时，0)(>'x f ，所以0)(>x f .若21≥λ，则当0>x 时，0)(<'x f ，所以0)(<x f .综上，λ的最小值是21.（Ⅱ）由不等式⑩)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ，令nx 1=，有 )111(21)11ln(++<+n n n .于是)111(21ln )1ln(++<-+n n n n ，)2111(21)1ln()2ln(+++<+-+n n n n ，……)21121(21)12ln()2ln(nn n n +-<--，以上各式相加，得n n n n n n 41)21211(ln 2ln +++++<-Λn a a n n 412+-=. 所以2ln 412>+-na a n n .例7（2016全国卷Ⅰ，理21）已知函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x 有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x . 解：（Ⅰ）令t x =-1，则1+=t x .因为函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x 有两个零点， 所以21e )1()(at t t g t +-=+有两个零点，而0≠t ，所以t t t t t t a e )(e e )1(1221--+-=-=. 记t t tt m e )(e )(12---=，则1321223e 2]e )(e )2(e[)(+----+-=-++-=t tt tt t tt tt m .列表如下：所以，当0>a 时，)(t g 有两个零点，其中一个零点01>t ，另一个零点02<t .综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0>a 时，)(t g 有两个零点1t 和2t ，其中0111>-=x t ，0122<-=x t ， 即存在01>t ，02<t 使得)(e )1()(e )1(222121211121t m t t t m t t a t t =-==-=++.下面证明021<+t t .记21e )1()(t t t m t +-=，则21e )1()(t t t m t +-+=-，先证明不等式)()(t m t m >-在0>t 时恒成立. （ⅰ）当1≥t 时，0)(>-t m ，0)(<t m ，所以)()(t m t m >-.（ⅱ）当10<<t 时，要证2121e )1(e )1(t t t t t t ++-->+， 只需证t t t -+<11e 2，即ttt -+<11ln 2. 记111>=-+u t t ，只需证)1(1)1(2ln >+->u u u u 恒成立. 令1)1(2ln )(+--=u u u u F ，则0)1()1()(22≥+-='u u u u F ， 所以0)1()(=>F u F ，从而)()(t m t m >-在)1,0(∈t 时恒成立. 所以，)()(t m t m >-在0>t 时恒成立.因为)()(21t m t m a ==，02<t ，02>-t ，所以)()(22t m t m <-. 所以)()()(221t m t m t m ->=.又)(t m 在),0(+∞上单调递减，所以21t t -<，从而021<+t t ， 所以0)1()1(21<-+-x x ，故221<+x x .总之，从2006年开始，在近十年的高考数学命题中，这些常见的函数不等式在全国卷中出现的频率是最高的，其次在湖南省、湖北省、陕西省的独立命题中出现也很频繁，在山东省、天津市、辽宁省、广东省等省市的独立命题也时常出现.这些不等式是一种很好的桥梁，能够有效地将一些条件和结论联系起来，无论处理选择题与填空题，还是解决解恨答题，恰当的使用的确能起到事半功倍的效果，要引起广大教师和考生的高度重视，对导数和函数这一部分的复习起到画龙点睛的作用.。