高考数学讲义数列.05用数学归纳法证明数列

2014年高考解决方案用数学归纳法证明数列

数学归纳法证明数列

内容

层次要求

数列

数列的概念与表示 B 理解数列的概念，掌握数列的表示． 等差数列与等比数列的概念

B 理解等差数列的概念． 理解等比数列的概念．

等差与等比数列的通项与前n 项和公式 C 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式． 掌握等差数列的一些性质． 数列求和 C 掌握非等差、等比数列的几种求法 求数列的通项

C

掌握非等差、等比数列通项的几种求法．

数学归纳法

数学归纳法是一种证明与正整数n 有关的数学命题的重要方法．其证题步骤为： （1）设0()P n （0n N ∈）成立；

（2）假设()P k （0k n ≥）成立，可推出(1)P k +成立 则()P n 对一切自然数0n n ≥，n N ∈时都成立．

在解决数列综合性问题中，有时运用归纳、猜想与证明将非常有效．其一般步骤是：首先利用所给的递推式求出数列的前几项123a a a L ，，，然后猜想出满足递推式的一个通项公式n a ，最后用数学归纳法证明猜想是正确的．

题型详解

【例1】 已知：数列{}n a 前n 项和为n S ，n n a S n +=，数列{}n b 中11b a =，11n n n b a a ++=-，

（1）写出数列{}n a 的前四项；

（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并加以证明； （3）求数列{}n b 的通项公式．

考纲要求

知识讲解

【例2】 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一个根是1n S -，123n =L ，，

（1）求12a a ，

； （2）求{}n a 的通项公式．

【例3】 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n ∈N ，点,n S n n ⎛⎫

⎪⎝⎭

都在函数()2n a f x x x =+的图象上．

求123a a a ，，的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；

【例4】 设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何

N n *

∈，都有

1223111

111n n n n a a a a a a a a +++++=L ．

【例5】 在单调递增数列}{n a 中，21=a ，不等式n a n )1(+n na 2≥对任意*n ∈N 都成立．

（Ⅰ）求2a 的取值范围；

（Ⅱ）判断数列}{n a 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设11(11)(1)(1)2

2n n b =+++

L ，)211(6n

n c -=，求证：对任意的*

n ∈N ，012

≥--n n n a c b ．

【例6】 设数列{}122,3,3,34444n a L ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1

-1-1k k k k k

644474448L 个

（），，（）,即当

1122

k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,1

1k n a k -=（-）,记12n n S a a a =++L ()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}

l P 1n n n S a n N n l +

=∈≤≤是的整数倍，，且

(1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.