二阶常系数微分方程部分(201308)习题及解答

二阶常系数微分方程部分习题

1. 设方程x

y ay by ce '''++=的一个特解为:2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,a b c ,并求该微分方

程的通解.

2. 设微分方程322e x

y y y ¢¢¢-+=

的积分曲线与另一曲线x y ìïïïí

ï=ïïî

在1x =处有相同切线，求此积分曲线方程．

3.求方程2cos 2sin y y y x x x ¢¢¢-+=+的通解．

4．求解微分方程x y x y x y x e cos 2sin 3cos ¢¢¢-+=。

5.求微分方程34(107)34sin x y y y x e x -'''--=-+的通解。

6.求微分方程(4)22210y y y y ''''''-+-+=的通解。

7. 设函数()y y x =在(,)-¥+¥内具有二阶导数，且0,()y x x y ¢¹=是()y y x =的反函数。

(1) 试将()x x y =所满足的微分方程

232

(sin )()0d x dx

y x dy dy

++=变换为()y y x =满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件3

(0)0,(0)2

y y ¢==的解。

8．已知21x x y xe e =+，2x x y xe e -=+，23x x

x y xe e e -=+-是二阶线性非齐次方程的三个解，

求此微分方程。

10.设u f =在第一象限内有二阶连续的偏导数，且22220u u

x y

∂∂+=∂∂，1()lim

21x f x x →=-， 试求()f x 的表达式。

11. 已知2y x z xf yf

x y ⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

，其中,f g 均二次可导，如果22x a z

by x y =∂=-∂∂，试求()f y 。 （0,0a b >>）

12. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为66.010k =´）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（kg 表示千克，km/h 表示千米/小时。）

13. 已知()10ϕ=，()'10ϕ=，试确定()x ϕ使得方程()()32'

32sin 0x x ydx x x y dy ϕϕ⎡⎤⎡⎤--+=⎣⎦⎣⎦

成为全微分方程，并求上述方程满足初始条件()12

y π

=

的特解

14.求解微分方程 24

22cos 2cos (1sin cos )tan d y dy x x x x y x dx dx

+-+=的通解。

二阶常系数微分方程部分习题解答

1. 设方程x y ay by ce '''++=的一个特解为:2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,a b c ,并求该微分

方程的通解.

解:将2(1)x x y e x e =++代入x y ay by ce '''++=,并比较等式两端2,,x x x e xe e 的系数, 得方程组:4203203,2,110a b a b a b c a b ⎧++=⎪⎪

++=⇒=-==-⎨⎪

++=⎪⎩

因此方程化为:32x y y y e '''-+=-，其导出方程的通解为:212x x y c e c e =+

故方程的通解为:2221234(1)x x x x x x x y c e c e e x e c e c e xe =++++=++

2. 设微分方程322e x

y y y ¢¢¢-+=

的积分曲线与另一曲线x y ìïïïíï=ïïî

在1x =处有相同切线，求此积分曲线方程．

解 这里()2m P x =（0次多项式），1l =．因特征方程2320l l -+=有两根11l =，

22l =，故齐次方程的通解为212e e x x Y C C =+．因1l =是单根，可设非齐次方程的特解为

*x y x A e =⋅⋅，得

*()()e x y A Ax ¢=+，*()(2)e x y A Ax ¢¢=+，

代入得 (2)e (33)e 2e 2e x x x x A Ax A Ax Ax +-++=，即232A A -=，得2A =- 故*2e x y x =-，原非齐次方程的通解为：212e e 2e x x x y C C x =+-．

由1x =可得0t =，从而1y =

．按参数方程求导t t x y ¢¢=

d d y x

x y ==-，得0d 1d t y x ==-．将(1)1y =，(1)1y ¢=-代入通解表达式得13e

C =，

22

2e 2

e

C -=．故积分曲线方程为：1223e (2e 2)e 2e x x x y x --=+--． 3.求方程2cos 2sin y y y x x x ¢¢¢-+=+的通解．

解: 首先求出导出方程的通解为:12()x y c c x e =+

其次求方程的一个特解,因i ±不是特征根,所以应求形状

为:0101*()cos ()sin y A A x x B B x x =+++的特解,其中0101,,,A A B B 是待定系数. 由于101101*()cos ()sin y B x B A x A x A B x '=++-+- 110100*(2)cos (2)sin y A x B A x B x A B x ''=-+--++ 将*,*,*y y y '''代入方程,得:

111011102()cos 2()sin cos 2sin B x A B B x A x A B A x x x x --+-+--+=+

比较系数得:1110101011

10210111

0,,,202221

B A B B A A B B A A B A -=⎧⎪

-+-=⎪⇒===-=-⎨

=⎪

⎪--+=⎩ 故原方程的通解为:1211

cos (1)sin ()22

x y x x x c c x e =-+++

4．求解微分方程x y x y x y x e cos 2sin 3cos ¢¢¢-+=。

解： 令cos u y x =，则u y x y x u y x y x y x cos sin ,cos 2sin cos ¢¢¢¢¢¢¢=-=--，原方程变为

x u u e 4¢¢+=，

其通解为：x u C x C x e 121

cos2sin 25

¢=++，故原方程的通解为： x x x e y C C x x x

1

2cos2sin 21cos cos 5cos ¢=++12cos 21sin cos 5cos x

x e C C x x x =++（222C C ¢=） 5.求微分方程34(107)34sin x y y y x e x -'''--=-+的通解。 解 由特征方程2340λλ--=可得4λ=，1λ=-， 故对应的齐次方程的通解为 4012x x y C e C e -=+，

设非齐次方程的特解为*()sin cos x y A Bx xe C x D x -=+++，则

()()*22cos sin x y A Bx Ax Bx e C x D x -'

=+--+-，

()()*

2

224sin cos x

y B A Bx Ax Bx e

C x

D x -"

=--++--，