第九章结构的矩阵分析

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外文翻译--结构分析的矩阵方法

南京理工大学毕业设计(论文)外文资料翻译学院（系）：机械工程学院专姓学业：名：号：机械工程及自动化徐峰010*******外文出处：(用外文写)Theory of structuresPublisher:McGraw Hill 附件： 1.外文资料翻译译文；2.外文原文。

指导教师评语：翻译内容符合毕业设计内容的要求，翻译工作量较大，翻译基本正确、符合科技外语的翻译习惯和用法，较好的完成了翻译工作。

签名：年月日附件1：外文资料翻译译文结构分析的矩阵方法1. 力法和应变方法在前述的章节已经介绍解决静不定系统的各种各样的方法。

它们可分为两大类。

例如，在分析拱门和框架结构时，分析步骤如下。

首先，所有的冗余的约束被对应的冗余的力（或力矩）取代，这些力的大小可通过基于应变能的最小势能原理解得。

类似的过程也被用于解静不定桁架的分析，这些方法统称为力法。

在连续梁和框架分析中，另一种不同的方法曾被使用。

在这个情况下，我们首先计算了结点的旋转的角度(变形)而冗余力是后来才求的。

在连续梁的分析中使用了的3角度方程代表另一种方法。

这样的方法称为应变方法。

我们用一个例子来说明这两种方法之间的区别，如图10.1的平面静不定桁架，一力P 分解为Px和PY，作用在的5根悬于刚性基础的等截面杆交点A处。

因为杆数量大于A 点平衡方程的数目，很明显这是一个静不定问题。

一般来说，如果绞点A由n根杆铰接而成，那么冗余的杆将是(n-2)。

因此，为了根据力法解出对应的冗余的力X1，X2,X3，……Xn-2，我们根据这些力的作用，通过最小势能原理获得应变能表达式，进而获得所需的方程：эU/эX1=0эU/эX2=0 ……(a)其中每个方程都包含所有冗余力，因此随着杆数目的增加，方程（a）的求解将变得越来越麻烦。

解决相同的问题，Navier 建议使用的移置方法。

在图10.1的系统中，如果知道在力P 作用下A点的各自的水平位移u、垂直位移v，那么系统变形将完全确定下来。

202110715710矩阵和行列式初步(格致中学讲义)

第九章矩阵和行列式初步格致中学第一课时 9.1 矩阵的概念（1）[教学目标]1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题；2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念；3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念；4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。

[教学重点]1、与矩阵有关的概念；2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。

[教学难点]学习矩阵的目的。

[教学过程]一、情境设置、引入：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫⎪⎝⎭；引例2：2008我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；引例3：将方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。

二、概念讲解：1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j（j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。

《结构力学》第9章矩阵位移法.

3.结点位移整体编码
对结构整体建立坐标系oxyz，则每个结点都有确定的位置坐标。
下标I表示结点编号，上标T表示矩阵转置。
结构力学
对结构所有的结点位移，统一用矢量Δ表示，称为结构整体位移，简称结构位移或整体位移。Δ中各分量的顺序首先是结点编号，然后是每个点本身的x,y,z顺序，即
对应结点载荷用矢量F表示，它的排序与位移排序相同
整体坐标系下单元杆端力与杆端位移间的关系—刚度方程：简写为其中Ke称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
结构力学
9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵
上式称为结构的整体刚度方程，其中K称为结构的整体刚度矩阵。
总体刚度矩阵是一个方阵，其阶数与结构结点位移分量总数相同。它的分量是由单元刚度矩阵的系数叠加构成的。叠加规律是：单元刚度矩阵的元素，按照它所处的局部行和列号，对应单元的定位向量，在总刚度矩阵中落到新的行和列上。总刚度矩阵的特点： (1)刚度矩阵的系数是物理量，由结构本身的长度、截面尺寸、材料性质、连接方式等决定，与载荷、变形等量无关。 (2)总刚度系数kij表示结构沿第j个整体结点位移方向产生单位位移Δj=1，其他所有结点位移等于0时，在第i结点位移方向所需要施加的力(与传统位移法相同)。
结构力学
9.5 非结点荷载的等效化
计算步骤： 1. 在局部坐标系下计算单元的等效载荷 2. 将固端力转换到结构(整体)坐标系 3. 等效结点载荷FP
结构力学
9.6 计算步骤和算例
矩阵位移法的基本步骤如下：
(1)整理原始数据，对结点位移进行整体编码，得到单元定位向量等。直接的结点载荷按它对应的结点位移编码，直接计入整体结点载荷向量 F中。 (2)单元分析，先形成局部坐标系中的单元刚度矩阵，用式(9-10)。再形成整体坐标系中的单元刚度矩阵Ke，用式(9-24)。 (3)整体分析，依定位向量，将单元刚度矩阵“对号入座”集成总刚度矩阵K。

第九章矩阵特征值和特征向量的计算

从而：
容易验证：
9.2 幂法的加速与降阶
考虑A－λ0I，因它与A之间特征值有关系：μi=λｉ－λ0,且特征向量不变，则：
因为此时：
假定最大特征值λ1和最大特征向量V1已求出，并令A(1)=A，现构造：
9.3 反幂法
反幂法用来求A的按模最小的特征值。思想是A与A-1的特征值互为倒数，用幂法求A-1的最大特征值。
或写为：
一般的计算公式：
处理对称矩阵，下列正交化方法更为有效：
平行迭代法也可用来求按模最小的p个特征值和特征向量：
9.5 QR算法 1、基本步骤：
令A=A1，对A1进行正交分解：
QR算法产生了一个矩阵序列{Ak}，它有两个基本性质：（1）、矩阵序列{Ak}中的每一个矩阵都与A相似：
（2）、若令Hk= Rk Rk-1…. R1则有：
2、QR算法的收敛性问题：
2、定理9.1：假设
2、QR算法举例：求下面矩阵特征值
现用QR算法求解其特征值，首先令A1=A,用Schmidt正交化方法分解：
把A代替A重复上面过程，计算11次得：
9.6 Jacobi算法
其中，D是对角矩阵，它的对角元素是矩阵A的特征值，Jacobi方法实质上是找一个正交矩阵V，使A正交化。设：
（2）、置k=1，μ=0 （3）、求xr=> λ，| xr |= （4）、计算 Y=X/ λ X=AY
max xi
1 i n
（5）、若| λ－ μ|< ε，输出λ，X,停机，否则转步骤6 （6）、若k<N，k+1=>k，，μ=0， λ=>μ，转步骤3；否则输出失败信息
4、例2：用幂法求矩阵
解：取初始向量Y(0)=(1,1,1)T，用前面公式

第九章_矩阵法(结构力学)

因此它的逆矩阵不存在
从力学上的理解是，根据单元刚度方程 F
由
F e F e e
e
k
e
e
e
有一组力的解答(唯一的)，即正问题。如果 F

e
不是一组平衡力系则无解；若是一
18
组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。
3、特殊单元
以连续梁为例：
(e) (e)
M2 Fx 2 Fy 2
(1) u1 v ( 2) 1 1 (e) ( 3) ( 4) u2 ( 5) v2 2 ( 6)
e
(1) (2)

e (3) k = (4)
(5) (6)
0
EA l 0 0
2EI l
0 -6EI l2
只与杆件本身性质有关而与外荷载无关
0 0
-12EI -6EI l3 l2 6EI l2 2EI l
4EI l
17
2、单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
k ij —代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。
第九章
1
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；
基本体系——一组单跨超静定梁；
基本方程——平衡条件。
位移法思路：先化整为零，再集零为整
结构杆件结构
两种方法：平衡方程法和典型方程法
2
矩阵代数复习
1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。

结构力学教学第九章矩阵

F
(e) ix
EA ( e ) u jx =− L
i
x
F jx = −
j
(e )
(e)
EA ( e ) u jx L
θ
(e ) y F iy = 0
(e )
Mj =0
(e )
F jy = 0
uj
(e )
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
2 单元分析——杆端力与杆端位移的关系
Mi = −
F
(e) ix
(e)
P2 x P2 M
P3 x
(2)
P1 x
(1)
P1M
x
y
P1 y
P2 y
θ
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
1 矩阵位移法的基本思想
(1) F jy
(1) F jx
(1) F jM
（1）
(1) Fix
F1(1) y
(1) M1
(1) FiM
(1) P1 x = Fix
F1(1) x
P1 x
P1M
P1 y
Fix F iy FiM F jx F jy F jM
(e)
k11 k21 k31 = k41 k51 k61
k12 k22 k32 k42 k52 k62
k13 k23 k33 k43 k53 k63
F ix =
(e )
EA ( e ) u ix L
i
x
F jx = −
j
(e)
(e )
EA ( e ) uix L
θ
(e) y F iy = 0
(e )

结构矩阵分析原理与程序设计教学设计

结构矩阵分析原理与程序设计教学设计Part 1 简介结构矩阵分析法是一种结构分析的方法，它首先将结构拟成矩阵的形式，再通过进行矩阵运算实现对结构的分析。

这种方法既可以对结构的稳定性进行分析，也可以对结构的振动特性进行分析。

此文档将介绍结构矩阵分析原理以及如何将其运用到程序设计教学设计中，帮助学习者更好地理解该方法及其应用。

Part 2 原理介绍2.1 矩阵分析在数学中，矩阵是数字的一个矩形数组，它数值的每个位置都表示矩阵中与该位置相对应的实体属性或关系。

矩阵分析是研究矩阵基本性质的数学分支，通过矩阵的运算及相关算法，实现对结构的分析。

2.2 结构矩阵结构矩阵是用来描述结构中元素之间运动和力的关系的矩阵。

在结构中，节点和元素都可以表示为矩阵。

如果节点之间存在支承，在结构矩阵中则会有对应的值表示。

同样，如果元素之间存在刚度或压力，也会在结构矩阵中有对应的值表示。

2.3 结构稳定性分析使用结构矩阵分析法进行结构稳定性分析，需要通过求解结构的特征方程来获取结构的一些基本性质参数，如共振频率、振动模态等。

2.4 结构振动特性分析使用结构矩阵分析法进行结构振动特性分析，需要通过约束条件等来确定结构的初始位移状态，然后对结构矩阵进行特征值分解，同时还需要对得到的特征模态进行归一化，以获取结构的振动状态。

Part 3 程序设计教学设计3.1 设计目标和目的本教学设计旨在通过将结构矩阵分析原理运用到程序设计中，帮助学习者更好地理解该方法的原理以及实现方式。

本教学设计主要面向计算机科学专业的学生，旨在使其更好地学习程序设计基础知识。

3.2 设计过程•步骤1：介绍结构矩阵分析法的基本原理。

•步骤2：引导学习者设计结构矩阵分析程序，包括矩阵的输入、运算和输出。

•步骤3：引导学习者通过程序实现结构稳定性分析，包括计算结构的特征值、共振频率和振动模态等。

•步骤4：引导学习者通过程序实现结构振动特性分析，包括计算结构的初始位移状态、特征值分解和归一化处理。

结构矩阵分析原理及课程设计

结构矩阵分析原理及课程设计指导教师刘军姓名栗风杰班级建工2010-04学号 201033482.8试填写计算如图3所示刚架的的原始数据，并打印出结果。

已知各杆27100.3m kN E ⨯=；横梁：412104.0,35.0m I m A ==；立柱：422201.0,24.0m I m A ==。

1输入数据4,3,0,2,5,2,2 1,0.0,4.0 2,6.0,4.0 3,0.0,0.0 4,6.0,0.01,1,3,7.2E6,3.0E5 2,1,2,1.05E7,1.2E6 3,2,4,7.2E6,3.0E5 1,2,20.0,0.0,0.0 2,3,10.0,0.0,0.01,1,1,2.0,0.0,15.0,0.0 2,2,2,0.0,6.0,-10.0,-10.0 1,8,0.0 2,9,0.0 3,10,0.0 4,11,0.0 5,12,0.01742输出数据Plane Frame Structural Analysisi********************************* Input Data = = = = =Structural Control Data-------------------------nn ne nf nd ndf npj npe n4 3 0 25 2 2 12Nodal Coordinates--------------------Node x y1 0 42 6 43 0 04 6 0Element Information---------------------Ele.No jl jr ea ei al1 1 3 7200000 300000 42 1 2 10500000 1200000 63 24 7200000 300000 4 Nodal Load----------------i mj xd yd md1 2 20 0 02 3 10 0 0Element load------------------i mf int aq bq q1 q21 1 12 0 15 02 2 2 0 6 -10 -10Boundary Conditions-------------------------i ibd bd1 8 02 9 03 10 04 11 05 12 .0174Output Data============================Nodal Displacement-----------------------------Node No. u v fai1 3.9649E-2 1.0069E-4 -8.8279E-42 3.9634E-2 -1.3402E-4 2.0172E-33 4.1725E-2 1.8124E-18 -1.0121E-184 4.5000E-19 -2.4124E-18 1.7400E-2Element No.&member-end force:==============================Ele No. n(l) q(l) m(l) n(r) q(r) m(r)---------------------------------------------1 -181.2364 -25.0000 -23.7093 181.2364 10.0000 93.70932 25.0000 -181.2364 23.7093 -25.0000 241.2364 1243.70933 241.2364 45.0000 -1243.7093 -241.2364 -45.0000 1063.70933.绘制内力图2.9试完成图4所示结构原始数据的填写，打印出结果，并绘内力图。

线性代数第9章位似变换与伸缩变换

本章主要介绍一种特殊的线性变换：位似变换，主要阐述其标准矩阵通过矩阵乘法作用在向量上实现变换.
紧接着介绍位似变换的一种更一般的形式：伸缩变换，它可以改变图形的形状和比例，常用于图像编辑、地理信息系统、医学图像处理等领域.
主要通过数学表达和几何解释介绍了位似变换和伸缩变换的概念和实现方式，包括它们的标准矩阵表示和几何意义并得到一般性的结论。最后提到了一个有用的推论，即如果变换前后的坐标之间的关系是一次式，那么这个变换一定是线性变换.
图9- 4 伸缩变换可能会改变原图形的形状
第二节伸缩变换及其矩阵表示
实际生活中，常常使用这样的变换。在地理信息系统（GIS）中，伸缩变换用于调整地图的比例尺。通过伸缩变换，可以将地图的大小调整到适合特定的显示尺寸，让使用者能够更清晰地观察地图上的细节或将其与其他地图进行比较. 在生产过程中可能需要将零件的尺寸放大或缩小以满足特定的要求。此外，伸缩变换也可以用于调整产品的比例，进行模型测试或设计优化. 伸缩变换还可用于调整医学图像的比例尺，使医生能够更准确地测量和分析病变区域的大小。此外，伸缩变换还可以用于医学图像的增强和重建，以提供更清晰的图像. 在地震学和地质学中，伸缩变换可用于处理地震数据和地质数据，以研究地球内部的结构和特征。通过对地震波形数据进行伸缩变换，可以更准确地分析地球内部的地质结构和地震活动.
另外在第三小节展现了伸缩变换在数据处理中的作用.
第一节位似变换及其矩阵表示
先考虑将某张图片“扩大”3倍，将图像的每个维度（宽度和高度）都增加到原始尺寸的3倍，见图9-2，这是通过缩放操作来实现的.
图9- 2 将原图形“扩大”3倍
第一节位似变换及其矩阵表示
观察图9-1可以发现除了落在坐标原点的顶点坐标未发生改变外，其余所有的坐标均变原坐标的3倍.

第九章矩阵位移法

的。 ( )
1
2
3
12、在矩阵位移法中整体分析的实质是结点平衡。 ( ) 13、已知图示刚架各杆 EI=常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其编号正确。（）
1 ( 0,0,0 )
2( 0,1,2 )
4 (0,0,0 )
3 ( 0,1,3)
14、单元刚度方程所表示的是_______两组物理量之间的关系。
Δ1
EI
l
Δ2
Δ3
EI
l
34、图示结构结点 2 的等效荷载列阵{P}等于{__________}T。
20kNxθyFra bibliotek1 4m
30kN 2
10kN/m
3
3m
3m
158
D：[3 2 4 0 0 1]T。
3
6
2
5
2
4
7
11
3
22、已知某单元定位向量为[0 3 5 6 7 8]T，则单元刚度系数 k36 应叠加到整
155
体刚度矩阵的_______中去。
A. k36 ； B. k56 ； C. k03 ； D. k58 。
23、图示结构整体刚度矩阵[K]中元素 k22 等于（）
5、结构的刚度方程[F] {∆}={P}表示结构全部节点的位移条件。（） 6、整体坐标系中的杆端力，即是杆端力 N、Q 和 M。（） 7、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。 ( )
8、结构刚度矩阵是对称矩阵，即有 kij = k ji ，这可由位移互等定理得到证明。
() 9、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 ( ) 10、单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。（） 11、图示结构，按矩阵位移法求解时，将结点 1 和 3 的转角作为未知量是不可以

第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义.ppt

X PY
2020-6-7
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11
3、定义：若矩阵P非奇异（可逆，非退化），
则称变量的线性变换X PY是非奇异的（可逆的，非退化的）
注： X PY 是非奇异的矩阵P可逆
P 0
2020-6-7
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12
4、分析： f ( x1, x2,..., xn ) X AX
非奇异X PY
bij yi y j .
i2 j2
2020-6-7
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22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3 L c2n yn
z3 c32 y2 c33 y3 L c3n LLLLLLLLLL
zn cn2 y2 cn3 y3 L cnn
j2
j2
n
nn
a11( a111a1 j x j )2
aij xi x j
j2
i2 j2
配方法
n
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2 a111( a1 j x j )2
aij xi x j
j2
j2
i2 j2
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
2020-6-7
正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.
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8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
f ( x1, x2 ) ( x1, x2 )

矩阵式组织结构分析

矩阵式组织结构分析矩阵式矩阵式矩阵式矩阵式组织结构模式及其应用(一)矩阵式的组织形式为解决职能式组织结构与项目式组织结构的不足，发挥它们的长处，人们设计出了介于职能式与项目式组织结构之间的一种项目管理组织模式，即矩阵式组织。

矩阵式项目组织结构中，参加项目的人员由各职能部门负责人安排，而这些人员的工作在项目工作期间，项目工作内容上服从项目团队的安排，人员不独立于职能部门之外，是一种暂时的，半松散的组织形式，项目团队成员之间的沟通不需通过其职能部门领导，项目经理往往直接向公司领导汇报工作。

根据项目团队中的情况，矩阵式项目组织结构又可分成弱矩阵式结构、强矩阵式结构和平衡矩阵式结构三种形式。

1.弱矩阵式项目管理组织结构一般是指在项目团队中没有一个明确的项目经理，只有一个协调员负责协调工作。

团队各成员之间按照各自职能部门所对应的任务，相互协调进行工作。

实际上在这种模式下，相当多的项目经理职能由职能部门负责人分担了。

2.强矩阵式项目管理组织结构这种模式下的主要特点是，有一个专职的项目经理负责项目的管理与运行工作，项目经理往往来自于公司的专门项目管理部门。

项目经理在与上级沟通往往通过其所在的项目管理部门负责人进行。

3.平衡矩阵式项目管理组织结构这种组织结构形式是介于强矩阵式项目管理组织结构与弱矩阵式项目管理组织结构二者之间的一种形式。

主要特点是项目经理是由一职能部门中的团队成员担任，其工作除项目的管理工作外，还可能负责本部门承担的相应的项目中的任务。

此时的项目经理与上级沟通时不得不在其职能部门的负责人与公司领导之间做出平衡与调整。

(二)矩阵式组织结构的优点很明显，矩阵式项目组织结构具备了职能式组织结构和部分项目式组织结构的优点:(1)团队的工作目标与任务比较明确，有专人负责项目的工作。

(2)团队成员无后顾之忧。

项目工作结束时，不必为将来的工作分心。

(3)各职能部门可根据自己部门的资源与任务情况来调整、安排资源力量，提高资源利用率。

矩阵分析课件

初等变换及其性质
初等行变换
01
对矩阵进行某行乘以非零常数、交换两行、某行加上另一行的
若干倍的操作。
初等列变换
02
对矩阵进行某列乘以非零常数、交换两列、某列加上另一列的
若干倍的操作。
初等变换的性质
03
不改变矩阵的秩，且任意多次初等变换可用一个初等变换表示
。
矩阵等价性判断方法
1 2
矩阵等价的定义
若两个矩阵经过有限次初等变换可以相互转化，则称这两个矩阵等价。
对角化条件及判别方法
对角化条件
n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
计算A的特征多项式，求出全部特征值。对于每个特征值，求解(A-λE)x=0得到对应的特征向量。如果所有特征向量线性无关，则A可对角化。
应用案例：动力学系统稳定性分析
01
系统稳定性定义
动力学系统的稳定性是指系统在受到微小扰动后，能否恢复到原来的平
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分运算
常见矩阵函数类型及性质介绍
指数函数
矩阵指数函数具有类似于标量指数函数的性质，如可微性、可积性等。
三角函数
矩阵三角函数与标量三角函数有类似的性质，如周期性、奇偶性等。
ABCD
对数函数
矩阵对数函数在某些条件下可以定义为矩阵指数函数的反函数，具有一些独特的性质。
标准型转化过程
通过正交变换或配方法，可以将二次型转化为标准型，即$f = lambda_1y_1^2 + lambda_2y_2^2 + ... + lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$为特征值。
正定、负定和半正定矩阵判别方法

结构力学矩阵位移法

§9-2节单元刚度矩阵(局部坐标系)
一.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
1.单元两端采用局部编码1、2
1
e
2.六个杆端位移组成杆端位移列向量。
v1
1
u1
EAI L
3.六个杆端力组成杆端力列向量。
y
2
2 vu22 x
e
1
2
e
u1 v1
e
3
1
F1
e
F2
e
F x1 Fy1
单元刚度矩阵中的每个元素都代表单元
杆端单位位移引起的杆端力称之为单元
刚度系数。其中
k
表示第j个杆端单位位移
ij
引起的第i个杆端力。
⑵单元刚度矩阵为对称矩阵。 kij k ji
⑶一般单元刚度矩阵为奇异矩阵 k e 0
三、特殊单元刚度方程和刚度矩阵
⑴连续梁中的受弯杆件单元 ⑵桁架结构中杆件单元
⑴连续梁中的受弯杆件单元
忽略轴变时单元的刚度矩阵
12EI
l3 6EI
k
e
l2
12E
l3 6EI
I
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI
l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2
12EI
l3 6EI l2
6EI
e
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l
§9-3节单元刚度矩阵(整体坐标系)
一、单元坐标转换矩阵
⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析包括：
§9-1节位移法概述
矩阵力法
结构矩阵分析
一般刚度法
矩阵位移法
直接刚度法

矩阵分析在结构工程中的应用

矩阵分析在结构工程中的应用结构工程是一门涉及建筑物、桥梁、隧道等工程结构设计、分析和优化的学科。

在结构工程中，矩阵分析作为一种重要的数学工具，被广泛应用于结构力学分析、结构优化设计以及结构动力学等方面。

本文将重点探讨矩阵分析在结构工程中的应用，并介绍其优势和局限性。

一、结构力学分析中的矩阵分析1. 矩阵表示法在结构力学分析中，矩阵分析提供了一种简洁而有效的方法来描述结构物的力学行为。

通过将结构物的节点和单元定义为矩阵的元素，可以建立起结构物的刚度矩阵和载荷矩阵。

这样，结构物的受力分析就可以转化为矩阵运算的问题，极大地简化了计算过程。

2. 刚度矩阵分析刚度矩阵是结构物中各个节点之间的刚度关系，它描述了结构物在受力下的变形情况。

通过矩阵的乘法和逆运算，可以求解出结构物的节点位移和应力分布等关键参数。

刚度矩阵分析是结构工程中常用的方法之一，可以用于验证和优化结构物的设计。

3. 载荷矩阵分析载荷矩阵描述了结构物所受的外部载荷，包括重力、风力、地震力等。

通过将载荷矩阵与刚度矩阵相乘，可以求解出结构物在不同载荷下的位移和应力情况。

这对于结构的安全性评估和设计优化至关重要。

二、结构优化设计中的矩阵分析结构优化设计旨在通过改变结构物的几何形状、材料和拓扑结构等参数，以使得结构物在满足一定约束条件下实现最佳性能。

矩阵分析在结构优化设计中发挥了重要的作用。

1. 线性优化线性优化是结构优化设计中常用的方法之一。

通过建立结构物的响应方程和目标函数，得到一个线性规划问题。

利用矩阵分析方法，可以有效地求解出最佳的设计参数，实现结构的性能优化。

2. 拓扑优化拓扑优化是指通过改变结构物的内部材料分布，使结构物在满足一定约束条件下具有最佳的结构性能。

矩阵分析可以用来构建结构物的刚度矩阵和质量矩阵，并利用拓扑优化算法进行结构优化，得到最优的结构拓扑。

三、结构动力学分析中的矩阵分析在结构动力学分析中，矩阵分析可用于预测结构物在外部力作用下的振动情况和响应。