多元函数积分学(上)
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
第一轮复习之多元函数积分学
f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
设 f ( x, y ) 在 D 上连续， 若在 D 内的任意子区域 D0 ， 有 ∫∫ f ( x, y )dxdy = 0 ，则 f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
D0
三、
两类曲线积分之间的联系： 1) 设 L ∩ 是分段光滑的曲线，两类曲线积分的关系为：
切不可大意失荆州！ 具体计算方法： 取 x 轴上一点 x0 ， 做平行于 YOZ 的平面 x = x0 ， 这 个 截面是以区间
[ϕ1 ( x), ϕ2 ( x)] 为底，曲线 z = f ( x, y)
ϕ2 ( x )
为曲边的曲边梯形，这个截面的面积
f ( x0 , y ) dy
AB
L∩
Qdy ∫ ( P cos α + Q cos β ) ds ∫ Pdx +=
AB
L∩
AB
cos α cos β
为曲线弧 AB 从 A 到 B 方向的切线的方
AB
∩
向余弦，P Q 是在 L ∩ 上的连续函数。 可推广到空间的情形。 2) 两类曲面积分之间的关系： 设 ∑ 为光滑的曲面，则两类曲面积分之间的关系为：
S
∫∫ Rdxdy = 0 （若 S 在垂直于 OXY 平面）
S
四、
多元积分的运算：
6
细节决定成败！
切不可大意失荆州！ 1) 曲线积分化成定积分： 根据： 曲线由参数方程给出：
= ds
φ ′2 (t ) + ϕ ′2 (t )dt
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ
曲线由极坐标方程给出：
= ∫ f ( x, y, z )ds
高等数学第八章多元函数积分学
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
.
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
.
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解 积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
.
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.
考研数学高数9多元函数积分学
第九讲：多元函数积分学1. 定义设()f x y ，是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域12n σσσ∆∆∆，，，，对小区域()12k k n σ∆=，，上任意取一点()k k ξη，都有()01lim nk k k d k f ξησ→=∆∑，存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而1max k k nd d ≤≤=），则称这个极限值为()f x y ，在区域D 上的二重积分，记以()Df x y d σ⎰⎰，这时就称()f x y ，在D 上可积，如果()f x y ，在D 上是有限片上的连续函数，则()f x y ，在D 上是可积的。
2. 几何意义当()f x y ，为闭区域D 上的连续函数，且()0f x y ≥，，则二重积分()Df x y d σ⎰⎰，表示以曲面()z f x y =，为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()2z f x y =，，下半曲面方程为()1z f x y =，，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()21Df x y f x y d σ-⎡⎤⎣⎦⎰⎰，， 3. 基本性质 （1）()()() DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰，，为常数（2）()()()()DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，， （3）()()()12DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，其中12D D D =。
除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()()f x y g x y x y D ≤∈，，，，，则()()DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（5）若()()m f x y M x y D ≤≤∈，，，，则 ()DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰，其中S 为区域D 的面积 （6）()()DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（7）积分中值定理，设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在(),D ξη∈，使得()()Df x y d f S σξη=⎰⎰，，我们也把()1Df x y d S σ⎰⎰，称为()f x y ，在D 上的积分平均值。
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
(整理)第六章多元函数积分1
第六章 多元函数积分学一．重积分例1：将⎰⎰=Dd y x f I σ),(用两种积分次序表为二次积分。
（1）D ：由曲线1,21,0,8222====+y y x y y x 所围； （2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤axy x ax ax D 2220:2例2：交换二次积分⎰⎰xdy y x f dxsin 020),(π的顺序。
例3：计算二次积分⎰⎰xxdy yxdx 2sin21π⎰⎰+2422sinxdy yxdx π例4：计算二次积分+⎰⎰--yxR y dx e dy e 0222⎰⎰---22222y R x RR ydx edy e例5：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
（答案：24π-）例6：计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I 2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x x 和x 轴所围成的平面区域。
（答案：352+π） 例7：设)(t f 在),0[+∞上连续，且 +=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f 求)(t f （答案：24)(t e t f π=）例8：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x ),(y x f 为D 上的连续函数，且 ---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ） 例9：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域。
（答案：2910） 例10：设D 是xoy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于)(A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x )(B ⎰⎰12D xydxdy)(C ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy 0)(D例11：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（ 其中}01{22≥≤+=y y x y x D ，），（。
多元函数积分学
多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。
与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。
在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。
一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。
重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。
在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。
而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。
重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。
同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。
二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。
它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。
在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。
因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。
极坐标变换在数学中有着广泛的应用。
例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。
三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。
在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
多元数量值函数积分学
1 0
y2
1 2
x
2
x x
y
y
dy
12 2 0
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为： 1 x=y
解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.
例3.计算y2d,其中D是由yx与抛物线xy22围成.
D
y2 2 x y, D
1 y 2.
D
2y
dy
y2dx
1 y22
例5 求曲线
和 x2y2 a2
解 在极坐面标积系.下
x2y2a2 ra,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )
ra 2cos2,
根据对称性有 D4D1
所围成的图形的
ra 2cos2
D1
ra
得交点
所求面积
4 dxdy
D1
4
6d
a
2cos2
rdr
0a
a2(
3 ).
A
(a
的曲边梯形，此截面面积为
x且平行yoz面的平
面截曲顶柱体所得
Ax y2xf x,ydy. y1x
截面面积为 任取x [a,b]，过点
b b y2x
Axdx fx,ydydx, a a y1x
abyy12xxf x,ydydx.
f x, yd
D
f x, yd
D
应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体 体积”的方法，得到 这个体积的值，就是二重积分 的值。 因此，二重积分
,
)
3
6
由r a 2cos2 dxdy
r a
D
D
就是柱体的体积, 但此时二重积分
f x, yd 的值
多元函数微分学(1)
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
9
二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
10
题型 1 求二元函数的极限
解题思路 (1) 利用多元初等函数的连续性求二元
函数的极限 (如例 1); 如例 (2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为 求一元函数极限的问题 (如例 2); 如例 (3) 利用夹逼定理求二元函数的极限 (如例 3); 如例 (4) 判定二元函数的极限不存在 (如例 4). 如例
多元函数微分学
21
例 5 设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 − z = ϕ( x + y + z) 所确定的函数, 所确定的函数 其中 ϕ 具有二阶导数且 ϕ′ ≠ −1 , (1) 求 dz ;
∂u 1 ∂z ∂z ( − ), 求 (2) 记 u( x, y) = . ∂x x − y ∂x ∂y
第八章
多元函数微分学
1
多元函数微分学】 【多元函数微分学】习题课 一、主要内容 二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
2
一、主要内容
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
3
1、区域 、 (1) 邻域
U ( P0 , δ ) = { P | PP0 | < δ }
= {( x , y ) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ }.
F ( x , y , u, v ) = 0 (1)F ( x , y ) = 0; (2)F ( x , y , z ) = 0; (3) . G ( x , y , u, v ) = 0
第十一章多元函数积分学
第十一章 多元函数积分学一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分.重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要 1．二重积分设二元函数),(y x f z =是定义在有界闭区域D 上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dy x f σd ),(称为函数),(y x f z =在闭区域D 上的二重积分，其中),(y x f 称为被积函数，σd ),(y x f 称为被积表达式，D 称为积分区域，σd 称为面积元素，y x 与称为积分变量.2．二重积分的几何意义 在区域D 上当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3． 二重积分的性质 (1)可加性[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性 设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质） 设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D :)()(21x y x ϕϕ≤≤,b x a ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=x y y x f x x b a d d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D : )()(21y x y ψψ≤≤,d y c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f . 5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径.如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L Ld d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d .6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式 设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义 设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+B Ay Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P Ld d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有⎰=+0d d y Q x P L.②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+Lx Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B ; ② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,xx 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的 起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点.二 、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解 画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+=7249 .分析 本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x由此得⎰⎰Dy x y x d d 2=⎰⎰1dd 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x =y yx x xd d 212121⎰⎰+y y x x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x=⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x =7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解 画出积分区域D 的图形， 观察被积函数，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x =σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x xy x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110xx y x x=4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(10⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解 积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形， 改变为先对y 积分后对x 积分， 此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I =x y x f y yd ),(d 01⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 221⎰⎰- .小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2． 在极坐标系下二重积分的计算例4 计算⎰⎰σDxyd arctan，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域D 的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 θ=xyarctan，于是 ⎰⎰σDx yd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π22θ=6432π. 例 5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解 把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r 2x故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a r r r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一 首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为y P ∂∂=xy 2-=xQ∂∂ ， 所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径. 得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二 用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π2d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段. 解 显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式，加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L x xy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Ax x y y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x，y p ∂∂= 1cos e -y x ，xQ ∂∂= y x cos e . 因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OABO L xx y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =y x y Px Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BOxx y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Ax xy y x y y 0d )1cos e (d )sin e(=⎰-a y y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---Lxxy y x y y d )1cos e (d )sin e (=--22a （a a -sin ）. 小结 计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1） 若在单连通域内x Q ∂∂=yP∂∂时，曲线积分与路径无关。
精品文档-高等数学(上册)(张涛-第9章
第9章 多元函数积分学
f (x, y)d 等于这些曲顶柱体体积的代数和.这就是二重
D
积分的几何意义. 9.1.2 二重积分的性质
二重积分与定积分有着类似的性质，列举如下： 设函数f(x，y)、g(x，y)在闭区域D上的二重积分存在， 则 性质9-1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外
b
b 2(x)
V A(x)d x f (x, y)d yd x
这个体积也就是所a 求的二重积a分的积1(x分) 值，从 而有等式
b 2(x)
f (x, y)d f (x, y)d yd x
D
a 1( x)
第9章 多元函数积分学
上式右端的积分就称为先对y、后对x的二次积分.也就是说, 先把x看成常数，把二元函数z=f(x，y)只作为y的一元函数， 对y计算从φ1(x)到φ2(x)的定积分；然后再把计算结果对x计 算从a到b的定积分. 因此，把这个先对y、后对x的二次积分 也常记为
图9-5
第9章 多元函数积分学
注意 Y—型区域的特点为：穿过D内部且平行于x轴的直 线与D的边界相交不多于两点.
按照X—型区域的计算方法，可得公式
d 2(y)
f (x, y)d f (x, y)d xd y
c 1( y)
D
d
2 ( y)
d y f (x, y)d x
b
2 ( x)
f (x, y)d d x f (x, y)d y
a
1( x)
这就是化二重D积分为先对y、后对x的二次积分的公式.
在上述讨论中，我们假定f(x，y)≥0，可以证明，公式
的成立并不受此限制.
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重积分测验题一、选择题（每小题4分） 1、设⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=DDDdxdy y x I dxdy y x Idxdy y x I )(,)(,)ln(3221，其中D 是由直线1,21,0,0=+=+==y x y x y x 所围成的区域，则321,,I I I 的大小顺序为_________. A 、123I I I << B 、321I I I << C 、231I I I << D 、213I I I << 2、设⎰⎰=121sin ydx x dy I ，则I 等于___________.A 、)1cos 1(21- B 、1cos 1- C 、1sin 1+ D 、积不出来 3、设,),(),(1010⎰⎰⎰⎰-=xDdy y x f dx dxdy y x f 则改变其积分次序后应为_________.A 、⎰⎰-110),(dx y x f dy xB 、⎰⎰-xdx y x f dy 101),( C 、⎰⎰11),(dx y x f dy D 、⎰⎰-ydx y x f dy 101),(4、设0,:22221≥≤++Ωz R z y x 及0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x 则___. A 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xdv xdv B 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214ydv ydvC 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214zdv zdv D 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xyzdvxyzdv5、Ω是由曲面1,0,,22===+=z y x y y x z 在第一卦限所围成的区域，),,(z y x f 在Ω上连续，则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=__________.A 、⎰⎰⎰+-111222),,(y x y ydz z y x f dx dy B 、⎰⎰⎰+-11220222),,(y x x xdz z y x f dy dxC 、⎰⎰⎰+-1122222),,(y x y ydz z y x f dx dy D 、⎰⎰⎰+11022),,(y x ydz z y x f dx dy二、填空题（每小题4分） 1、由二重积分的几何意义得到=⎰⎰≤+14322y x d σ2、二重积分⎰⎰Dxydxdy 的值为__________,其中.10,0:2≤≤≤≤x x y D3、设区域D 是122≤+y x 与x y x 222≤+的公共部分，试写出⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标系下的累次积分__________________________. 4、设,0,4:22≥≤+y y x D 则二重积分=⎰⎰dxdy y xD)sin(23_______________.5、交换积分次序=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy ___________________三、计算题（每小题9分）1、计算二重积分⎰⎰+Ddxdyy x)(22，其中D 是由曲线2x y =与直线x y =所围成的区域。
2、⎰⎰--Ddxdy y x )4(22，其中4:22≤+y x D 。
3、计算二重积分⎰⎰-1102xydye dx 。
4、dy y x x dx x⎰⎰+-022101。
5、计算dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中0,:2222≥≤++Ωz R z y x 。
6、求曲面z y x =+22，4:22=+y x D 及xoy 平面所围成的立体体积。
四、证明题（本题6分）设),(y x f 是连续函数，证明：⎰⎰⎰---=ax a m yx a m a dx x f e x a dx x f e dy)(0)(0)()()(其中m a ,为常数，且.0>a第二部分一、选择题（每小题3分，共15分）1．设区域D 是221x y +≤在第一，四象限部分，(,)f x y 在D 上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ B ）（A ）1101(,)dx f x y dy -⎰⎰；（B ）110(,)dy f x y dx -⎰；（C ）12(,)dx f x y dy ⎰；（D ）1202(,)d f r rdr ππθθ-⎰⎰。
2．累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰又可写成（ C ）形式。
（A ）11(,)dx f x y dy ⎰⎰；（B ）1(,)dy f x y dx ⎰；（C ）1(,)dx f x y dy ⎰；（D ）1(,)dy f x y dx ⎰。
3．若已知2(sin )1dx xf y dy ππ=⎰⎰，则20(cos )f x dx π=⎰（ D ）（A ）2π；（B ）2π；（C ）24π；（D ）24π。
4．设(,)f x y 是所给积分区域上的连续函数，则下列（ B ）等式成立。
（A ）(,)(,)bddbaccadx f x y dy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰；（B ）(,)(,)bddbaccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰；（C ）()()()()(,)(,)b x x b ax x adx f x y dy dy f x y dx φφϕϕ=⎰⎰⎰⎰（D ）()()()()(,)(,)b x b y ax ay dx f x y dy dy f x y dx φφϕϕ=⎰⎰⎰⎰。
5．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则（C ）（A ）124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（B ）124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
二、计算题（每小题6分，共30分）1．计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是以(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，。
解：Dxdxdy ⎰⎰12231222010122333(3)222x x x x xdx dy xdx dy x dx x x dx -=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2．计算(||||)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为：||||1x y +≤。
解：1(||||)2||8DDD x y d x d xd σσσ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1:01,01D x y x ≤≤≤≤-）111488(1)3xxdx dy x x dx -==-=⎰⎰⎰。
3．计算D，其中D ：222(01)x y a a +≤<≤。
解：用极坐标2220000a Dd πθππ===⎰⎰⎰⎰22200(arcsin 1)a a a ππ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰。
4．将三次积分1111(,,)dx f x y z dz -⎰⎰化为柱面坐标系下的三次积分。
解：21001(cos ,sin ,)rd rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰。
三、计算222()x my nz dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中2222:,,x y z a m n Ω++≤为常数。
解：以原点为中心的区域，由对称性有所以222()x my nz dxdydz Ω++⎰⎰⎰222x dxdydz m y dxdydz n z dxdydz ΩΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、（8分）计算由圆柱22x y ax +=所围成的柱体被球面2222x y z a ++=所截的立体的表面积。
解：由对称性知，整个表面积是上半部分的表面积的2倍。
22[]A A A A ==+上上侧上顶而上顶的方程为z有z z x y ∂∂==∂∂其中D 为圆柱在xOy 上投影22x y ax +≤，所以cos 222222022[[1|sin |]2sin (2)a a d a d a ad a πππθππθθθπθθπ--==-=-=-⎰⎰⎰；又上后侧A 上后侧的方程为y =0y y x z∂∂==∂∂，由对称性，有3222aaadx a ===⎰⎰。
所以2222[2(2)]2A a a a ππ=+-=。
五、（8分）证明：由,,()x a x b y f x ===以及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的立体对x 轴的转动惯量（密度为1μ=）为4()2bx aI f x dx π=⎰，其中()f x 为连续的正值函数。
()f x ，设cos ,sin y r z r θθ==，则曲面的柱坐标方程为()r f x =。
4412()()42bba a f x dx f x dx ππ==⎰⎰。
六、（8分）在底半径为R ，高为H 的圆锥体上，拼加一个同半径共底的半球，要使得整个立体的重心落在球心上，求R 和H 的关系（设立体的密度为μ）。
解：建立坐标系原点在球心，它们共同的底为xOy 面。
由对称性，立体重心落在z 轴上，其中1zdvz z dv MdvμΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
半球迷方程为zz H ，则在柱坐标系下22220(3)012RHr HRR zdv d rdr R H ππθ-Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而H =。
七、（8分）曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分，求这两部分的体积比。
解：位于抛物面内侧部分的球体记作1V ，其体积为2233001137[2]2[2]6d a r rdr ar r dr a a a πθππ==-+=⎰，则位于抛物面外侧的球体的体积3321427(2)36V a V a ππ=⋅-=，所以12:37:27V V =。
八、（8分）湖泊体积及平均水深的估算。
椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似。
假定湖面的边界为椭圆22221x y a b+=，若湖的最大水深为max h ，则椭球正弦曲面由下列函数给出：其中22221x y a b+≤，现要求湖水的总体积V 及平均水深。
解：设D ：22221x y a b+≤是湖面的椭圆区域，湖水的总体积为由于被积函数与区域D 的特征相同，适合于推广的极坐标来计算，作代换平均湖水深度为max max 2|(,)|4[1]42[1]Df x y dxdyabh h h Sab ππππ-===-⎰⎰。