弯曲变形求解方法
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课题
第六章弯曲变形
§6-1弯曲变形概论§6.2弯曲变形的求解
§6.3提高弯曲变形刚度的措施
需4课时
教学
目的
要求
了解挠度，转角的概念及挠曲线近似微分方程
掌握叠加法求梁的弯曲变形，求解梁挠曲线的挠度和转角
教学
重点
用叠加法求梁的挠度和转角
教学
难点
用叠加法求梁的挠度和转角
编写日期
年月日
教学内容与教学过程
提示与补充
一、梁的刚度条件
在工程中，梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。梁的刚度条件为
式中 ——最大挠跨比；
——许用挠跨比。许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在 ～ 之间。
[例6－2]受力情况如图9－42a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力 MPa， ，材料的弹性模量为 GPa，试校核梁的强度和刚度。
梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。
③挠曲线的方程式：
w=f(x)
④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故
⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。
⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。
二、提高梁刚度的措施
要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠度，提高刚度，可采用以下措施：
1．增大梁的抗弯刚度
增大抗弯刚度EI，可以减小最大挠度，从而提高梁的刚度，但对于同种材料（如钢材），E值相差不大，只有靠用E值较大的材料代替E值较小的材料，才能提高刚度。另一方面增大截面的惯性矩，可以提高梁的刚度，这就要选择合理的截面形状。
1、工程中弯曲变形的实例
2、研究变形的目的
3、挠曲线、挠度的概念
4、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角
5、挠曲线的曲率表示式
6、叠加法求挠度和转角
例6－1 ,例6－2 .
第六章弯曲变形
§6.1工程中的弯曲变形问题
一、工程实例
①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。
②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。
梁的挠曲线近似微分方程是在小变形，材料服从虎克定律的条件下导出的，其挠度和转角与外何载成线性关系，因此在求解变形时，也可采用叠加法。当梁同时作用几种荷载时，可以先分别求出每种简单荷载单独作用下梁的挠度或转角，然后进行叠加，即得几种荷载共同作用下的挠度或转角，这种方法称为叠加法。
各种常见简单荷载作用下梁的挠度和转角见表9－1，可备查用。
二、研究变形目的
①建立刚度条件，解决刚度问题
②建立变形协调条件，解决超静定问题
③为振动计算奠定基础。
§6.2挠曲线的微分方程
一、概念
以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。
①挠曲线：
在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。
②挠度：
二、挠曲线的曲率表示式：
①纯弯曲：
（a）
②横力弯曲：
对细长梁而言，忽略剪力Fs的影响
（b）
③高等数学中对曲率的定义及表达式
于是式（a）转化为 （c）
在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，θ也是增加的，即正增量 对应的 也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写成
2．减小梁的跨长或改变梁的支座条件
梁的跨长对梁的挠度影响很大，要降低挠度，就要设法减小梁的跨长，或在跨长不变的情况下，增加梁的支座，例如图9－43b所示。也可以在条件许可的情况下，移动支座，例如图9－43c所示。
3．改善荷载的分布情况
在许可的情况下，适当的调整梁的荷载作用方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。例如，在简支梁跨中作用有集中力F时，最大挠度为 。若将集中力改为均布荷载q，且 ，则最大挠度为 ，仅为集中力作用时的62。5％。
[例6－1]悬臂梁同时受到均布荷载q和集中荷载F的作用（图9－40），使用叠加法计算梁的最大挠度。设 为常数。
[解]由表9－1查得，悬臂梁在均布荷载作用下自由端B有最大挠度,其值为
悬臂梁在集中力F作用下自由端B有最大挠度，其值为
因此，在荷载q和P共同作用下，自由端B处有最大挠度，其值为
§6.4梁的刚度条件与提高梁刚度的措施
（d）
注意到
代入式（d）及：
（e）
此式为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f(x)是一非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是
（f）
式（e）中 ，于是式（e）可写成
（g）
此式为挠曲线的近似微分方程。
§6.3叠加法求梁的变形
[解]（1）作梁的弯矩图（图9－42b）。
由图可知： kN·m
（2）校核梁的强度。
查型号为45a工字钢知，惯性矩 cm4，抗弯截面系数 cm3。
梁内最大正应力
N/mm2=103.18MPa＜
梁满足强度要求。
（3）校核梁的刚度
用叠加法计算梁跨中的挠度为
mm
=18.5mm
＜ =0.002
梁满足刚度要求。此梁安全。
第六章弯曲变形
§6-1弯曲变形概论§6.2弯曲变形的求解
§6.3提高弯曲变形刚度的措施
需4课时
教学
目的
要求
了解挠度，转角的概念及挠曲线近似微分方程
掌握叠加法求梁的弯曲变形，求解梁挠曲线的挠度和转角
教学
重点
用叠加法求梁的挠度和转角
教学
难点
用叠加法求梁的挠度和转角
编写日期
年月日
教学内容与教学过程
提示与补充
一、梁的刚度条件
在工程中，梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。梁的刚度条件为
式中 ——最大挠跨比；
——许用挠跨比。许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在 ～ 之间。
[例6－2]受力情况如图9－42a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力 MPa， ，材料的弹性模量为 GPa，试校核梁的强度和刚度。
梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。
③挠曲线的方程式：
w=f(x)
④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故
⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。
⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。
二、提高梁刚度的措施
要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠度，提高刚度，可采用以下措施：
1．增大梁的抗弯刚度
增大抗弯刚度EI，可以减小最大挠度，从而提高梁的刚度，但对于同种材料（如钢材），E值相差不大，只有靠用E值较大的材料代替E值较小的材料，才能提高刚度。另一方面增大截面的惯性矩，可以提高梁的刚度，这就要选择合理的截面形状。
1、工程中弯曲变形的实例
2、研究变形的目的
3、挠曲线、挠度的概念
4、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角
5、挠曲线的曲率表示式
6、叠加法求挠度和转角
例6－1 ,例6－2 .
第六章弯曲变形
§6.1工程中的弯曲变形问题
一、工程实例
①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。
②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。
梁的挠曲线近似微分方程是在小变形，材料服从虎克定律的条件下导出的，其挠度和转角与外何载成线性关系，因此在求解变形时，也可采用叠加法。当梁同时作用几种荷载时，可以先分别求出每种简单荷载单独作用下梁的挠度或转角，然后进行叠加，即得几种荷载共同作用下的挠度或转角，这种方法称为叠加法。
各种常见简单荷载作用下梁的挠度和转角见表9－1，可备查用。
二、研究变形目的
①建立刚度条件，解决刚度问题
②建立变形协调条件，解决超静定问题
③为振动计算奠定基础。
§6.2挠曲线的微分方程
一、概念
以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。
①挠曲线：
在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。
②挠度：
二、挠曲线的曲率表示式：
①纯弯曲：
（a）
②横力弯曲：
对细长梁而言，忽略剪力Fs的影响
（b）
③高等数学中对曲率的定义及表达式
于是式（a）转化为 （c）
在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，θ也是增加的，即正增量 对应的 也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写成
2．减小梁的跨长或改变梁的支座条件
梁的跨长对梁的挠度影响很大，要降低挠度，就要设法减小梁的跨长，或在跨长不变的情况下，增加梁的支座，例如图9－43b所示。也可以在条件许可的情况下，移动支座，例如图9－43c所示。
3．改善荷载的分布情况
在许可的情况下，适当的调整梁的荷载作用方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。例如，在简支梁跨中作用有集中力F时，最大挠度为 。若将集中力改为均布荷载q，且 ，则最大挠度为 ，仅为集中力作用时的62。5％。
[例6－1]悬臂梁同时受到均布荷载q和集中荷载F的作用（图9－40），使用叠加法计算梁的最大挠度。设 为常数。
[解]由表9－1查得，悬臂梁在均布荷载作用下自由端B有最大挠度,其值为
悬臂梁在集中力F作用下自由端B有最大挠度，其值为
因此，在荷载q和P共同作用下，自由端B处有最大挠度，其值为
§6.4梁的刚度条件与提高梁刚度的措施
（d）
注意到
代入式（d）及：
（e）
此式为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f(x)是一非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是
（f）
式（e）中 ，于是式（e）可写成
（g）
此式为挠曲线的近似微分方程。
§6.3叠加法求梁的变形
[解]（1）作梁的弯矩图（图9－42b）。
由图可知： kN·m
（2）校核梁的强度。
查型号为45a工字钢知，惯性矩 cm4，抗弯截面系数 cm3。
梁内最大正应力
N/mm2=103.18MPa＜
梁满足强度要求。
（3）校核梁的刚度
用叠加法计算梁跨中的挠度为
mm
=18.5mm
＜ =0.002
梁满足刚度要求。此梁安全。