【免费下载】数值分析 第三次上机

4.求f(x)=sin x 在[0,π/2]上的最佳一次逼近多项式。

解：设P 1(x)=a 0+a 1x 是f(x) 的最佳一次逼近多项式，则P 1(x)在[0,π/2]上有三个交错点， 满足0<=x 1

由于 [f(x)- P 1(x)]’’=(cos x-a 1)’= -sin x 在[0,π/2]上小于0，定号， 故(cos x-a 1)’在[0,π/2]上单调递减，且仅有一个驻点。

故f(x)- P 1(x)在[0,π/2]上只有一个偏差点x 2，满足[f(x)- P 1(x)]’|x=x2 =cos x 2-a 1=0 (1)。 另外两个偏差点x 1=0 ，x 3=π/2 .

于是sin 0-a 0 =sin π/2-a 0-π/2a 1 (2)， sin x 2 –a 0-a 1x 2= -( sin 0-a 0) (3) 由（1）（2）（3）式得：a 1=2/π x 2=arccos 2/π=0.88 a 0=-1.18 所以P 1= -1.18+2/π x 。

6.求f(x)=2x 4+3x 3-x 2+1在[-1,1]上的三次最佳一致逼近多项式。解：设f(x)的三次最佳一致逼近多项式为P 3(x)，

由切比雪夫多项式的极性可得1/2[f(x)- P 3(x)]=1/8T 4(x)=1/8(8x 4-8x 2+1)

所以P 3(x)=f(x)-1/4(8x 4-8x 2+1)= 2x 4+3x 3-x 2+1-2x 4+2x 2-1/4 =3x 3+x 2+3/4

9.求函数f(x)在指定区间上关于Φ(x)=span{1,x}的最佳平方逼近多项式。(3)f(x)=cosπx, x ∈[0,1]；(4)f(x)=ln x, x ∈[1,2].

解：(3)在[0,1]上，经计算得 d 0= =0 ，d 1== -2/π2

⎰1

)(f dx x ⎰

1

)(x dx x f 得到法方程组为a 0+1/2a 1=0 ，1/2a 0+1/3a 1= -2/π2

由上面两式解得 a 0=12/π2 ，a 1= -24/π2

所以f(x)=cosπx 在[0,1]上的最佳平方逼近多项式为 S 1*=12/π2 -24/π2 x 。

(4) 在[1,2]上，经计算得d 0== 2ln2-1 ，d 1= = 2ln2-3/4

⎰2

1

)(f dx x ⎰

2

1

)(x dx x f 得到法方程组为 a 0+1/2a 1=2ln2-1 ，1/2a 0+1/3a 1= 2ln2-3/4 由上面两式得 a 0= -4ln2+1/2，a 1= 12ln2-3

所以f(x)=ln x 在[1，2]上的最佳平方逼近多项式为 S 1*= -4ln2+1/2 +(12ln2-3) x 。