三十六计

三十六计，“创”为上计

程兵霞

【关键词】创造性思维直觉思维数学猜想

创造性思维是人类高级思维形式，是一种十分复杂的心智活动。它的主要特征是新颖性、独创性、突破性、真理性和价值性。

现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智和训练思维能力方面有着巨大的作用。数学教学实质上是数学思维活动的教学。在教学中如何进一步发挥数学的思维功能是数学教育科研的重要课题，已引起了社会的广泛关注。当前，“教育——学习”型的教学方法仍然是大中学校教学的主要模式，重逻辑思维轻非逻辑思维，重集中思维轻发散思维是数学教学的通病。为了发展学生的能力，特别是创造性思维能力，数学教学无疑应当有质的改进。下面就本人从教学中所体会到的几方面来谈谈对数学创造性思维能力的培养。

一、激发学生对数学问题的兴趣

教育家鲁宾斯坦指出：“形成任何一种能力都必须首先激起对某种类型活动的强烈需求并激发起对数学问题兴趣时，才有可能培养其创造性思维能力。为此，就要着力培养学生的好奇心理、求索心理和独创心理。

（1）借助数学趣题激发好奇心理。我在高一的第一堂数学课，没有讲课本知识，而是讨论一些数学趣题趣解，效果非常好。下面是我教案中的两例：例1 一位法官审理一起珍宝盗窃案，有四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁，他们的供词如下：

甲：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”

乙：“我没有作案，是丙偷的。”

丙：“在甲和乙中有一人是罪犯。”

丁：“乙说的是事实。”

经过调查，证实这四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，这四人中有1 名是罪犯，你知道谁是罪犯吗？这问题本身因其现实性就深深地吸引住了同学们。

例2 鸡兔300只，共1000只脚，问鸡兔各多少只？

对本题很多同学只会列出方程来解。我对他们做出了正确的答案给予肯定的同时，又启发同学们得出更为独特简捷的方法：如果某瞬间所有的鸡都提起一只脚，而所有的兔都提起两只脚，这时鸡兔落地的脚共500只，马上得出：兔有500-300=200只，从而鸡有300-200=100只。

（2）求索心理的培养。对学生的“寻根问底”我是给予热情的鼓励和具体的帮助的。例如：

以直线x+y=0为对称轴，点P（3，2）的对称点的坐标是（）

A）（-3，-2） B）（-2，-3） C）（2，-3） D）（-2，3）

（选自《高中毕业会考数学复习指导书》）

在分析上题时，我用了排除法和直接求点法来解决。在用直接求点法时，我没按教材中的那些常规方法来求，而是介绍了独创的方法：以已知点（3，2）的横坐标3代入对称轴方程x+y=0，则可求得对称点的纵坐标y=-x=-3. 同理，以已知点的纵坐标2代

入对称轴方程x+y=0可求得对称点的横坐标x=-y=-2. 于是选B. 同学们感到很新奇，并马上问“为什么？”于是，我就和同学们一起探讨对于更一般的情形：以直线Ax+By+C=0为对称轴，点P （x ，y ）的对称点的坐标是( )

经过一系列的推导，可得出对称点的横坐标X=2

22222)(B A AC ABy x B A +++--，纵坐标Y=222222)(B

A BC ABx y A

B +++--，从而得出上述方法实质上是k=-1的特殊情形。这样，为新奇的方法找到科学根据的同时得出了更有价值的结论：当k=+1或-1时，上述方法都适用。

（3）独创心理的培养。一方面，我有意识地对具有通法的问题启发引导学生进行多解，从而发现巧妙的解法。

例： 已知实数x,y 满足4x 2-5xy+4y 2=5,设S=x 2+y 2,则=+min max 11

S S （93

年全国高中数学联赛试题）

本题的一般解法是构造函数、方程或利用均值不等式，或通过三角换元等方法求解。但通过引导学生可得出下面简明快捷、独树一帜的解法：设θρθρsin ,cos ==y x （其

中2

22y x +=ρ）代入已知式化简整理得：θρ2sin 58102-=,所以当12sin =θ时，310max 2max ==ρS ; 当12sin -=θ时，3

10min 2min ==ρS 问题至此，已迎刃而解。可见，此法新颖别致，给人耳目一新的感觉。从而激起学生的独创心理。

另一方面，我在讲解典型题目时，常常不就题论题，讲完了事，而是通过一题多变，引导学生自己编题，借此培养学生的数学思维。

例：已知关于x 的方程02cos sin 2

=-+a x a x 有实根，求实数a 的取值范围。 这个题目通过变换，得到以下两个命题：一、从函数值域角度考虑，原命题等价于“求函数x

x a cos 2cos 12--=的值域”。二、从解析几何知识，曲线的交点角度考虑，令x '=-2tcosx,y '=sinx ⇒(x '+2)2+y '2=1,原方程化为y '2=-ax '

,则原命题等价于“实数a 为何值进，圆1)2(2'2'=++y x 与抛物线y '2=-ax '有公共点。”以上三个命题形式不同，实质一样。对题目等价性的变换，不但沟通知识间的相互联系，更重要是通过这种多向思维的训练，培养了学生良好的数学思维。

二、 加强数学直觉思维的训练

数学直觉思维是直觉想象和直觉判断的统一，是数学的洞察力，常可以通过跳跃性的想象和直接判断而达到对数学对象的本质内在规律的认识，具有极大的创造性。我认为，这首先得提高学生的观察能力，为此，我挑选了一系列的题目进行训练。例1：

a,b,c 是连续的三个自然数，且a 2=17689，c 2=18225，则b 2=（ ）

A ）17991

B ）18022

C ）17956

D ）17900

观察所给的数据，知 a

b 的个位数字是4，b 2的个位数是6。选C

例2 已知,,42,04222n m n n m m ≠=-=--，求n

m m n +的值。 分别求出m,n 再求

n m m n +的值，并不是好办法。若对条件的形式结构进行观察，易知m,n 是方程0422=--x x 的两根，从而可用韦达定理求解。

其次，在分析典型的题目时，有意识地安排一定的直觉阶段，给学生留下直觉思维的空间，适当推迟教学中作出结论的时机，使学生能在整体观察和细部考察的结合中发现事物的内在规律，从而作出直觉想象和判断。

例：若+∈R z y x ,,,且x 2+xy+25312=y ，16,93

12222=++=+x zx z z y .求xy+2yz+3zx 的值。

整体思考： 已知三式都具有余弦定理的形式，有关的三个角分别为1500，90 0，

1200。

直觉想象： z y

x ,3, 是已知三式中蕴含的三个三角形的两两公共边的长，而3、

4、5则是它们不相邻的三边长。

直觉判断： 构造以3、4、5为三边长的直角∆ABC ，取形内一点P ，可以使PA=x ，PB=3y

，PC= z （如图）

易知：由面积等式S ABC ∆=S PAB ∆+S PBC ∆+S PCA ∆可以求得未知代数式的值243。此解法新颖、独特、富有创造性，是直觉思维的结果。

三、 加强数学猜想的训练

大量的实践证明，数学教学中许多命题的发现、思路的形成和方法的创造，都可以由学生通过数学猜想而得到。因此，我在日常的教学中，精心安排教材，设计教法，在引导学生开展各种归纳、类比等丰富多彩的探索活动中，鼓励他们提出数学猜想和创见。

例:平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点.证明交点的个数f(n)等于)(2

12n n -. 在学习本例题时，我没直接给出结论，而是把题目改编为：平面内有n 条直线，其