公理化思想的渗透(翟刚)
形式系统中的公理化过程
形式系统中的公理化过程形式系统是一种数学工具，用于推理、证明和定义数学理论。
在形式系统中，公理化过程是一种重要的方法，用于建立系统的基本原理和规则。
公理化过程通过引入公理和定义来确立形式系统的基础，从而使得推理和证明过程更加严谨和可靠。
公理是形式系统中的基本命题或假设，它们被认为是不需要证明的真理。
公理的选择对于形式系统的性质和能力具有重要影响。
在公理化过程中，选择恰当的公理是关键的一步。
公理应该具有简洁性、独立性和自洽性。
简洁性意味着公理应该尽可能简单明了，不引入不必要的复杂性。
独立性则要求公理之间应该相互独立，没有一个公理可以由其他公理推导出来。
自洽性要求公理之间不应该产生矛盾或冲突。
在公理化过程中，定义的引入也是一个重要的步骤。
定义可以将一个概念或符号与其他已知的概念或符号建立联系，从而使得形式系统的表达更加清晰和准确。
定义的选择应该具有唯一性和一致性。
唯一性要求定义应该明确地确定一个概念或符号的含义，避免歧义和模糊性。
一致性要求定义之间不应该产生冲突或矛盾。
公理化过程的一个重要应用是数学推理和证明。
在形式系统中，通过应用公理和定义，可以推导出新的命题和结论。
推导过程遵循一定的规则和推理规则，如假言推理、析取引入、否定引入等。
这些推理规则是形式系统中的基本推理手段，通过它们可以将已知的命题和结论扩展到更广泛的领域。
公理化过程还可以用于定义和描述数学理论。
通过引入公理和定义，可以建立数学理论的基础和框架。
例如，欧几里得几何学通过引入一些基本公理，如点、直线和平面的定义，建立了几何学的公理化体系。
在这个体系中，通过推导和证明可以得到各种几何定理和结论。
除了数学领域，公理化过程还在其他科学领域中得到广泛应用。
在物理学中，公理化过程被用于建立物理定律和理论的基础。
在计算机科学中，公理化过程被用于定义和描述计算机语言和算法。
在逻辑学中，公理化过程被用于推理和证明的形式化描述。
总之，公理化过程是形式系统中的重要方法，用于建立系统的基本原理和规则。
数理逻辑的基本公理化和形式系统
数理逻辑的基本公理化和形式系统数理逻辑是研究推理和论证的科学，它通过建立形式系统和公理化推导来研究命题的真值和推理的规则。
本文将探讨数理逻辑的基本公理化和形式系统。
一、公理化方法的引入公理化方法是数理逻辑的核心思想之一。
公理化方法的基本思想是通过一组公理来描述命题的性质和推理的规则，从而建立一个形式系统。
这个形式系统由符号和推导规则组成，通过这些规则可以从公理推导出定理。
二、形式系统的构建形式系统是数理逻辑的基础，它由符号、公式和推导规则组成。
符号是形式系统中的基本元素，可以是命题符号、逻辑连接词和量词等。
公式是由符号按照一定规则组合而成的表达式，用来表示命题的真值。
推导规则则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
三、数理逻辑的基本公理数理逻辑的基本公理是构建形式系统的基础，它们是不需要证明的前提，用来描述命题的性质和推理的规则。
基本公理一般包括恒真式、恒假式和等价式等。
恒真式是指在任何情况下都为真的命题，如“P∨¬P”，表示“P或非P”。
恒假式是指在任何情况下都为假的命题，如“P∧¬P”，表示“P且非P”。
等价式是指两个命题在任何情况下都具有相同的真值，如“P→Q≡¬P∨Q”，表示“如果P成立，则Q成立”。
四、形式系统的推导规则形式系统的推导规则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
常见的推导规则包括假言推理、析取三段论和消解等。
假言推理是指从一个条件命题和它的前提出发，推导出结论的过程，如“如果P成立，则Q成立；P成立，因此Q成立”。
析取三段论是指从两个条件命题的析取式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“P∨Q；¬P，因此Q”。
消解是指从两个条件命题的否定式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“¬P∨¬Q；P，因此¬Q”。
五、数理逻辑的应用数理逻辑在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
挖掘本质，建立化学学科思维
课程教育研究
Course Education Research
2018 年第 22 期
挖掘本质袁建立化学学科思维
邵小静
渊河南省许昌高级中学 河南 许昌 461000冤
揖摘要铱以中学化学习题实例袁概括总结一线教师对中学生化学思维培养以及思维进阶的提高方法遥
揖关键词铱本质 化学思维 学习进阶
揖基金项目铱2016 年度河南省基础教育教学研究项目 JCJYB16071003叶促进高一新生化学思维进阶的教学策略研究曳遥
个重要任务遥 一尧野守恒冶建立化学思维 守恒思想贯穿整个高中化学学习袁电荷守恒尧物料守恒及
质子守恒的应用也是学生学习的难题袁写不出来往往是没有抓 住核心知识不会充分利用守恒思想遥
例 1院NaHCO3 溶液中质子守恒的书写遥 揖传统思路铱先写出电荷守恒 C(H+)+C(Na+)=C(HCO3-)+ 2C(CO32-)+C(OH-) 物料守恒渊原子守恒冤C(Na+)=C(HCO3-)+C(CO32-)+C(H2CO3) 两式相减得 C(H+)+C(H2CO3)=C(CO32-)+C(OH-)质子守 恒遥 揖守恒思路铱质子守恒的本质是溶液中水电离的 H+和 OH相等遥 即 C渊H+冤水=C渊OH-冤水 对 于 NaHCO3袁 加 入 水 中 后 影 响 水 的 电 离 平 衡 的 是
H2S 榆HS-+OH-要要要>S2-+H2O袁H2O 释放一个 OH-并被 HS-
结合成为 S2-
则 C渊OH-冤水=[OH-]+2/3[S2-]袁C渊H+冤水=1/3[HS-]+2/3[H2S] +2/3[H2S]+[H+]
电大数学思想方法考试题库(全)
《数学思想与方法》——————————填空题————————1古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得（《几何原本》）3、《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分）6、（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是（在一定条件下，看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）10、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
11、强抽象就是指通过（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征（一组邻边相等）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比是指（由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法）常称这种方法为类比法，也称类比推理、15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）16、猜想具有两个显著特点：（具有一定的科学性、具有一定的推测性）17、三段论是演绎推理的主要形式，三段论由（大前提、小前提、结论）三部份组成。
18、化归方法是指（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题的答的一种方法）19、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）20、在计算机时代，（计算方法）已经成为与理论方法，实验方法并列的第三种科学方法。
翟刚讲义(二)
我们就综合题问题中的与几何有关，并且又与代数的知识结合的问题，谈一些看法．我们在讲综合问题的分类时就发现综合问题都与几何图形相关，原因是由于几何变换造成的，从另一个角度讲代数知识的减少对综合问题的形成也带来了很的影响．但是，从考试的角度看，有一些代数问题还需要我们关注一些． 已知方程 ． ① （1）k 取何值时，方程①有实数根； （2）当方程①有两个相等的实数根时， 求 的整数根．（a 为正整数） 首先要理解的是，代数问题研究中要解决好代数知识应用时，应该关注代数知识使用的前提条件．例如，方程的知识在应用中都有明确的“专属名词”，即根据代数方程满足的条件有明确的名称．在本例中只说“方程”以及“有实根”，说明其不确定性，因此，要根据“一次”或“二次”的条件．分别求解．因此，通过此例说明对题目的分析应抓住：条件、关键词、对应知识、可能的方法．对于第二个问题，即方程整数根问题，需要知道解决问题的基本方法． 把k 值代入第二个方程，可以得到例如，正方形ABCD 的边长为2，以点C 为圆心，以2为半径作弧BD ，点E 是 上的一个动点，过点E 的切线PG 交AB 、AD 于点P 、G ，求PG 的最小值．分析：在本题中，要求的切线长是未知量，同时，PA 、AG 也都是未知量，所以问题的求解就存在很大的困难． 这时就需要考虑用什么知识求解．从图形中我们不难发现，未知线段在一个直角三角形中，而这个三角形可以利用勾股定理，同时， PA 、AG 所在的三角形有可以提供新的关系，即都与正方形的边有关．AB CDEPG032)1(2=+++-k kx x k 0)4(2=+-+a y k a y 24(6)30y a y k --++=222(6)40.(6)4.a a a m a --=--= BD我们假设PG=x ,则由△APG 的周长可知, AP+AG+x =4. 即 消去AG,得前面举的两个例子说明了，综合问题从其定义讲应该是本学科或跨学科的知识由可以沟通关系的知识作为媒介形成数学问题．第一讲中的几何变换知识应用而形成综合问题，就是利用了几何变换与特殊四边形或三角形之间的关系沟通关系的．代数综合问题，可以理解为跨分类知识而形成的问题，例如方程与代数式、方程与函数、函数与代数式等．代数与几何综合问题就明确了，即以几何元素为未知量或者以代数知识形成几何关系，进而形成综合问题．本类问题的解决问题的基本方向就是认定背景、认定知识、确定方法．例如， 在梯形 ABCD 中，BC ∥AD ，∠A= 90° ，AB=2 ，BC=3 ，AD=4 ，E 为AD 的中点，F 为CD 的中点，P 为BC 上的动点( 不与 B 、C 重合〕 设 BP=x ，四边形PEFC 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．本题是一个以几何形式给出的函数问题．我们知道，几何研究的是不变量问题，而代数问题研究的是不变的关系问题，同处在一道题中，因此要明确怎么形成联系的．在本题中几何图形提供了一个由两个三角形构成的四边形，其中一个△EFC 的面积不变,另一个△PEC 的面积变化．所以只要确定了这两个三角形面积的大小或如何表示问题就可以解决了，只是还需要关注自变量的取值．在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ． （1）求证：；（2）一点从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时一点从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点也随之停止运动．如图2， 平分 ，交BD 于点，过 作 ，垂足为 ，请猜想， 与 、AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；222AP AG x+=22(4)840.8160.0.AP x AP x x x x +-+-=∆=+-≥>12EF AC AB+=11BA C ∠11A F 1F 1111F E A C ⊥1E 11EF 1112A C（3）在（2）的条件下，当 ， 时，求BD 的长．可证再例如，已知如图，矩形OABC 的长OA=，宽OC=1 ，将△ACO 沿AC 翻折得△APC ，（1）填空：∠PCB=（ ），P 点坐标为（ ）； （2）若P ，A 两点在抛物线 上，求其解析式，并说明点C 是否在抛物线上 ．（3）设（2）中的抛物线上，在CP 这段的抛物线（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在求出这个最大值及此时M 点的坐标； 若不存在，请说明理由。
论公理化体系
论公理化体系公理化思想就是任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果。
随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的，18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地提出数学的公理化方法。
恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。
公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用。
公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展。
第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明。
因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑。
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
反华势力对中国进行网络舆情渗透的主要形式刘纲
反华势力对中国进行网络舆情渗透的主要形式刘纲发布时间：2021-09-07T08:36:49.639Z 来源：《中国科技人才》2021年第17期作者：刘纲[导读] 进入新世纪以来，随着媒体环境的不断变化和新兴社交媒体的出现，反华势力利用各种媒体进行网络舆情渗透的现象经常发生。
乌鲁木齐市公安局沙依巴克区分局新疆 830000摘要：进入新世纪以来，随着媒体环境的不断变化和新兴社交媒体的出现，反华势力利用各种媒体进行网络舆情渗透的现象经常发生。
反华势力进行网络舆情渗透的主要途径有：“培养异见分子”，利用自媒体渗透；利用流媒体渗透；利用手机 APP 应用传播负面信息；开发破解防火墙软件，诱使国内网民接受相关信息。
反华势力进行网络舆情渗透的主要形式有：借个别群体性事件和部分腐败案件进行反华炒作；借突发事件造谣生事，破坏稳定；歪曲事实真相，攻击国家领导人；在言论上“形左实右”，居心不良；在意识形态上借“公民社会”的理念攻击中国“民主”“人权”。
必须严格管控反华势力的公众账号，注重重大舆情和敏感舆情的信息公开工作，针锋相对地揭露其意识形态渗透的真相，构建当代我国主流意识形态的新理念。
关键词：反华势力；意识形态；舆情渗透引言西方反华舆论是西方发达国家以企图达到对我国进行“西化”“分化”、抹煞社会主义建设成就为目的而制定、主导、散布、传播的各种对中国不利和不实的言论。
主要手段包括：传播虚假信息，对国内社会热点和敏感新闻进行炒作；攻击我国政治制度，歪曲我国领导人形象；不遗余力地美化、渲染西方文明和制度，对我国人民进行舆论渗透和文化入侵；在意识形态、思想文化领域制造事端等。
西方反华舆论在新中国成立后一直存在，并随着中国的发展进步愈演愈烈。
1、网络舆论风暴公式新媒体的发展大大提高了信息的传播效率和交换速度，网友的态度和意见以文字、图片、视频、语音等各种形式通过各类新媒体网络平台进行呈现。
当某一焦点议题或新闻事件触动了网友的普遍性感知时，极容易形成群体性情绪，在短时间内线上评论、转发、点赞等与线下行为互动形成舆论风暴。
希尔伯特公理化
希尔伯特公理化引言希尔伯特公理化是数学中一个重要的概念，它是由德国数学家大卫·希尔伯特于20世纪初提出的。
希尔伯特公理化的目标是通过一组基本的公理来构建整个数学体系，从而使得数学的推理过程更加严谨和准确。
本文将介绍希尔伯特公理化的概念、原则以及其在数学中的应用。
希尔伯特公理化的概念希尔伯特公理化是指使用一组基本公理来定义并推导整个数学体系的方法。
这些公理被认为是不需要证明的基本事实，它们作为数学推理过程中不可否定的真实性质存在。
在希尔伯特公理化中，一个数学体系被定义为一个集合S和一组运算（如加法、乘法等）以及一些满足特定条件的规则。
这些规则就是基本公理，它们用于定义运算和集合之间的关系，并对它们进行推导和证明。
希尔伯特公理化原则希尔伯特公理化遵循以下几个原则：1.完备性：希尔伯特公理化的目标是构建一个完备的数学体系，即能够推导出所有真实的数学命题。
为了达到这个目标，必须选择足够多的基本公理，并确保它们能够覆盖数学中所有的概念和定理。
2.独立性：希尔伯特公理化中的基本公理应该是相互独立的，即不能从其他公理中推导出来。
这样可以确保整个数学体系的稳定性和准确性。
3.一致性：希尔伯特公理化中的基本公理应该是一致的，即不会产生矛盾或冲突。
如果存在矛盾或冲突，那么整个数学体系就会失去可靠性和可信度。
希尔伯特公理化在数学中的应用希尔伯特公理化在数学中有广泛的应用，它为各个分支领域提供了一个统一且严格的推导框架。
以下是希尔伯特公理化在几个典型分支领域中的应用示例：1. 数学逻辑在数学逻辑中，希尔伯特公理化提供了一个形式系统来定义命题、逻辑连接词和推理规则。
通过定义基本公理和推导规则，可以进行严格的逻辑推理，从而证明或推导出各种数学命题。
2. 集合论在集合论中，希尔伯特公理化用于定义集合、集合间的关系以及集合运算。
通过一组基本公理，可以推导出各种集合的性质和定理，从而建立起一个完备且一致的集合论体系。
3. 数学分析在数学分析中，希尔伯特公理化提供了一组基本公理来定义实数、函数和极限等概念。
有关公理化思想
公理化思想与欧几里德所谓公理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本命题）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。
所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造。
如所共知，希尔伯特1899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作。
该书问世后的二、三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大。
希尔伯特的几何公理系统实际是在前人的一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改。
直到1930年出第七版时，还作了最后修改。
这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程可以是包含一些发展阶段的。
谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下三点：（1）这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按照逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便。
（2）公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促进和推动新理论的创立。
（3）数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。
例如，20世纪四十年代波兰的巴拿赫（Banach）曾完成了理论力学的公理化；物理学家还把相对论表述为公理化形式，等等。
公理化方法的历史发展，大致可分成三个阶段：一是公理方法的产生阶段，大约在公元前三世纪，希腊的哲学家和逻辑学家亚里斯多德（Aristotle）总结了古代积累起来的逻辑知识，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，由此推导出别的所有三段论（共分了十九个格式）。
因此可以认为，亚里士多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。
亚里士多德的思想方法深深地影响了公元前三世纪的希腊数学家欧几里得，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》。
公理化系统学习指导
公理化系统学习指导１几何公理法的产生和形成几何公理法是随着几何学的发展而产生和形成的．这一过程大体上可以表示如下：几何起源加工整理中希腊人的工作（公理法萌芽）欧几里得《几何原本》（古典公理法）对《几何原本》的第五公设问题公理进行改造和补充希尔伯特的《几何基础》非欧几何的产生（近代公理法）初等几何学成为系统的科学体系，大体上是经历了如下的过程：起源积累加工整理系统的科学经验的方法理性的方法经验几何学推理几何学公理化几何学公理法的产生是历史的必然．恩格斯对这一过程曾作过精辟的论述：“经验自然科学积累了如此庞大数量的实证的知识材料，以至在每一个研究领域中有系统地和依据材料的内在联系把这些材料加以整理的必要，就简直成为无可避免的．建立各个知识领域互相间的正确联系，也同样成为无可避免的．因此，自然科学便走进了理论的领域．而在这里经验的方法就不中用了，在这里只有理论的思维才能有所帮助．”他说出了科学发展的过程；从庞大的零散知识材料发展成为系统的科学体系的必要性和必然性；以及应采用的方法．几何学的公理方法就是在理论思维过程中逐步形成的有效方法之一．《几何原本》是一部不朽的经典著作．欧几里得前期的工作为欧几里得的《几何原本》作了大量的准备工作，在内容、理论和方法上提供了素材，这一阶段虽然经历了较长的时期，但集中体现在希腊人的工作上．欧几里得本人的工作是在前人工作的基础上写出了《几何原本》一书，它集前人工作的大成，为几何学公理法奠定了初步的基础．欧几里得以后的工作可以分成两条主线，它们主要是围绕着欧几里得《几何原本》进行的，直到希尔伯特所著的《几何基础》的出现为止．第一条主线主要是通过对第五公设的试证，找出了许多与第五公设等价的命题，明确了第五公设的重要地位，丰富和严格了几何的论证方法等．特别重要的是导致非欧几何的出现，从而证明了第五公设的独立性，进一步显示了公理方法的重要作用和意义．这些都毫无疑问地对公理法的形成起了深化、补充和推动作用．而第二条主线则直接导致近代公理法的最后形成．希尔伯特对公理法的重要贡献是：一方面在他所著的《几何基础》里给欧几里得几何确立了一套完整的公理系统，并按其作用自然地划分成五组，同时示范性地用这套公理系统演绎出欧氏几何学的基本内容，使欧氏几何学的逻辑结构严密而且清楚．另一方面，提出选择公理系统时应考虑的三个基本问题，即公理系统的相容性（即无矛盾性）、独立性和完备性，并给出证明相容性和独立性的一些方法等．总而言之，不论是直接发展还是间接的推动，几何学和其它科学一样，是由生产实践的需要而产生和发展起来的．２．公理法的构造和原理概括地说，几何学的公理化方法是从少数原始概念和公理出发，遵循逻辑原则建立几何学演绎体系的方法．用以导出其它几何原理的不再加以证明的基本原理称为公理，用以解释其它概念而本身不再加以定义的概念称为基本概念（原始概念），它们的性质只由公理来制约，除了这些公理和不加定义的基本概念以外，其它的定理和概念都必须由这些公理和基本概念逻辑地推导得出，这种方法就是所谓的公理法．公理法的结构由下列四部分构成：（１）原始概念的列举；（２）定义的叙述；（３）公理的叙述；（４）定理的叙述和证明．公理法的四个部分是有机地结合在一起的，缺一不可，其中公理的列举是核心．公理是作为几何论证基础而不加证明的命题，是几何学作为出发点建立一种几何体系的少数规定，它规定了最基本的几何元素之间的一些基本性质，成为证明其它几何性质（定理）的依据．公理不是主观臆造的，是有客观基础的，公理来源于实践，是客观世界空间形式和几何关系的客观反映，又在实践中进行检验和验证，从而不断丰富起来．作为几何学基础的全部公理成为该几何学的公理系统，它决定了几何学的性质，用不同的公理系统可以建立不同的几何学．希尔伯特提出了研究公理系统的三个基本问题，即公理系统的相容性（即无矛盾性）、独立性和完备性，任何公理系统都必须满足相容性．3．公理体系的相容性、独立性和完备性公理系统的基本问题，即公理系统的相容性、独立性和完备性．是希尔伯特在他的著作《几何基础》里提出的．事实上，这是一个很重要的问题．任何一个公理系统都要满足无矛盾性，否则用它建立的几何体系将是一个有矛盾的体系，这样的公理系统是没有任何价值的．然而，用模型方法证明的无矛盾性是有条件的、相对的，例如，用笛卡儿模型来证明欧氏公理系统的无矛盾是归结为实数的算术运算的无矛盾．即只要实数的算术运算无矛盾，则欧几里得几何就是无矛盾的系统．又如，用卡莱可莱因模型来证明罗巴切夫斯基几何公理系统的无矛盾是归结为欧氏几何的无矛盾，即如果欧氏几何无矛盾，则罗氏几何就是无矛盾的．我们不能说欧氏几何的无矛盾性已经完全解决了，它只是被化成了更基本的问题，即化成了实数运算的无矛盾问题，因为实数的算术运算几乎是整个数学的基础，这实质上牵涉到了整个数学的根据问题．在建立公理系统时，一般总是希望表达某系统的公理数量是最少的，这自然就引出了公理的独立性问题．然而在一个公理系统中使每条公理都具有独立性是一个比较复杂的问题．希尔伯特也仅是讨论了一些最令人关心的公理的独立性问题．一个公理系统很难说每一条公理都是独立的，本书所建立的公理系统也是这样，其中顺序公理和运动公理有的就不独立，但这并不破坏整个体系的建立．欧氏平行公理的独立性是一个十分重要的问题，它说明欧氏平行公理决不能由其余公理导出．证明欧氏平行公理的独立性，是把欧氏平行公理加以否定加到绝对几何公理系统中去，如果构成的新公理系统无矛盾，则欧氏平行公理就关于绝对公理系统是独立的．例如，罗氏几何的公理系统就是这样的一个系统，因为它是一个无矛盾的系统，所以欧氏平行公理是独立的．历史上出现的试证第五公设问题，经历了两千多年，许多学者都企图用《几何原本》的其余公里（实际上就是绝对几何公理系统）证明第五公设，结果都告失败，其根本原因是不懂得第五公设的独立性，它不可能由其余公理导出．第五公设问题最终导致非欧几何的出现，而这一发明又证明了第五公设的独立性．公理系统的完备性只涉及到少数的公理系统，如欧氏几何和罗氏几何的公理系统，大部分公理系统并不具有完备性，如绝对几何、拓扑空间等公理系统．这种不完备的系统更具有重要意义，因为以它为基础可以派生出许多新的空间．证明公理系统的完备性是证明它的所有模型都同构，通俗地说，如果同一公理系统可以作不同的解释，即具有不同的模型，而这些模型里，对用原始概念或定义过的概念来陈述的任何命题，也必相应地作种种解释，而对任一命题的解释真则同真，假则同假，成一一对应，则这一公理系统就是完备的．反之，如果对某个命题的不同解释有真有假，则公理系统就不完备．例如，绝对几何公理系统，因为所有的欧氏几何和罗氏几何的模型也都是绝对几何模型，但对于“三角形内角和”命题来说，有的是“二直角”，有的是“小于二直角”，即有真有假，因此这样的公理系统是不完备的．４．射影几何射影变换群的几何是射影几何学，它研究的对象是射影变换群中所有变换下的不变性质和不变量（即射影性质）．射影群的基本不变量是一直线上四点的交比．至于边长、角、面积、单比等都不是不变量，因而不是射影几何研究的对象．结合关系是射影变换下的基本不变性质，因此三点形还变成三点形，所有的三点形是射影等价的．完全四点形还变成完全四点形，所有完全四点形是射影等价的等等．在射影平面上，一切非退化的二次曲线都是长圆，根本没有双曲线和抛物线之分．平行、垂直、平分等性质也不是射影变换下的不变性质．平面上一维基本形间的射影对应、透视对应和基本性质都是射影几何研究的对象．对偶的原则是射影几何中重要的内容，是射影性质的具体表现，利用这一原则简化了许多手续并扩大了几何事实．从公理系统上看，射影几何与欧氏几何有很大的区别．射影几何的公理体系不只一组，当然各组彼此是等价的．在承认欧氏几何公理体系满足相容性的前提下，可以证明射影几何公理体系是相容的．射影几何及其子几何的比较。
定积分的公理化定义
定积分的公理化定义
赵广生;安幼山
【期刊名称】《北京农学院学报》
【年(卷),期】1997(000)001
【摘要】本文给出了定积分的一个公理化形式的定义，并讨论了其在微积分学教学中的应用。
【总页数】1页(P69)
【作者】赵广生;安幼山
【作者单位】北京农学院基础部;北京农学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
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希尔伯特公理化
希尔伯特公理化一、前言希尔伯特公理化是数学基础理论中的一种重要方法，它在数学基础研究中起着至关重要的作用。
本文将从以下几个方面对希尔伯特公理化进行详细介绍：定义、历史背景、意义、具体步骤、优缺点及应用。
二、定义希尔伯特公理化是指将某个数学领域的基本概念和基本命题通过一系列公理化的方法来表述和证明的过程。
这种方法可以使得该领域的推导更加简单明了，同时也能够确保推导的正确性。
三、历史背景19世纪末20世纪初，欧洲的数学家们开始对数学基础进行深入研究，并试图建立一个完备而严谨的数学体系。
然而，在这个过程中，他们发现了一些悖论，例如罗素悖论等。
这些悖论引起了人们对于数学基础问题的深刻思考，并促使人们探索更为严谨和完备的数学体系。
在这样的背景下，德国著名数学家希尔伯特提出了公理化方法。
他认为，数学应该建立在一些基本的公理之上，这些公理应该是不矛盾的、自洽的，并能够涵盖该领域内所有的基本概念和命题。
通过这种方法，人们可以建立一个完备而严谨的数学体系。
四、意义希尔伯特公理化方法具有以下几个重要意义：1.确保数学推导的正确性通过公理化方法，可以确保数学推导的正确性。
因为公理是不需要证明的基本命题，它们是被认为是真实和正确的。
因此，如果一个定理可以从这些公理中推导出来，那么它就是正确的。
2.简化数学推导过程通过公理化方法，可以将复杂且抽象的数学概念转化为简单而易于处理的形式。
这样一来，在推导过程中就可以避免出现繁琐复杂的运算，从而使得整个推导过程更加简单明了。
3.统一不同分支领域由于不同分支领域之间存在共性和联系，因此，在建立数学体系时应当尽可能地利用这些共性和联系。
通过公理化方法，不同分支领域之间可以使用相同或类似的基本概念和基本命题，从而使得整个数学体系更加统一。
五、具体步骤希尔伯特公理化的具体步骤如下：1.确定基本概念首先，需要确定该领域内的基本概念。
这些概念应该是直观而简单的，例如点、直线、平面等。
这些概念是不需要证明的，它们是被认为是真实和正确的。
浅谈数学公理化方法_俞文虎
A 图（1）
A
B
图（2）
事实上，原命题是虚假命题。现构造一个反例说明：如
图（2）
中，在
ABCD
中 ，AB=AC=1 ，∠BAC=90 ° ，CD=
兴趣，物理也就不再是一门令许多学生望而生畏的学科了。 总之，课堂教学即教师在课堂上针对学生学习而使用
验，这是正常现象，也是我们老师应该估计到的。但是我们更 的教学方法,也就是孔子说的“因材施教”,教师在不同课堂
应该注意到他们积累的经验可能是不完整的，或者是不正确 以及对待不同学生而采取不同的课堂教学模式会取得更好
研究议题。中学几何教材（平面几何和立体几何）的公理体 系基本上雷同于欧几里得公理体系，只不过从教学的角度
（下转第 113 页） 101
2 0 1 0. 1 2 （ 下 旬 刊）
理工
想象。针对这种情况，在教学方法上我们尽量采用直观演 从中发现学生的问题所在，帮助学生及时加以调整，从而形
示、启发诱导，让学生多动手、多观察、多思考、多活动、多做 成正确的概念。有些老师不太注重实验课的教学，上实验课
的，甚至可能会形成带有负面作用的“前科学概念”。
的效果。
我们老师应在尊重学生已有经验的基础上深入下去，
编辑 黄严磊
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工程物理或 生物的系统
观察或实验
公理化方法推动自然科学与社会科学发展述评
公理化方法推动自然科学与社会科学发展述评
杨吉会;吕杰
【期刊名称】《沈阳农业大学学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2014(016)001
【摘要】公理化方法是人类认识和改造客观世界的方法论,现代自然科学与人文社会科学的发展带有公理化的特征,恰当的理解和运用公理化方法,是解决改革与发展过程中所面临的各种复杂问题的重要途径.公理化方法是从拟研究的理论中提取一些基本概念和命题,作为最原始的公理,然后按照逻辑规则演绎出一系列其他相关的概念和命题,进而形成科学理论的公理系统或公理体系.公理化方法起源于古希腊,该方法在自然科学与人文社会科学领域中得到了广泛应用,在认识和改造客观世界中发挥了重要作用.
【总页数】5页(P23-27)
【作者】杨吉会;吕杰
【作者单位】沈阳农业大学理学院,辽宁沈阳110161;沈阳农业大学经济管理学院,辽宁沈阳110161;沈阳农业大学经济管理学院,辽宁沈阳110161
【正文语种】中文
【中图分类】C94
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5.自然科学与社会科学:历史方法的必要性 [J], 王赟
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近代物理学和认识论
近代物理学和认识论
武谷三男
【期刊名称】《自然辩证法通讯》
【年(卷),期】1965()2
【摘要】近代物理学提出的有关物理学原理的问题,可以说现在仍然是哲学上最重要、最困难的问题之一。
这一问题是哲学、逻辑学的试金石,而且这一问题的解决必然能够丰富新认识论、逻辑学和方法论的内容。
许多哲学家都曾经探讨过这一问题,也就是因为这个缘故。
然而遗憾的是,几乎所有的哲学家,包括世界上第一流专家在内。
【总页数】7页(P51-57)
【关键词】逻辑学;量子力学;近代物理学;认识论;逻辑结构;物理学原理;基本问题;偶然性;物理学家;哲学家
【作者】武谷三男
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】N031
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关于状态变权公理体系的注记
关于状态变权公理体系的注记
崔红梅;谷云东;孙魁明;李洪兴
【期刊名称】《北京师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2004(40)1
【摘要】研究了状态变权的公理化定义问题 .在对现有状态变权定义中的各公理化条件进行分析的基础上 ,给出一种新的状态变权公理体系 ,并研究了它的构造及其与原定义的关系 .给出若干新的在数据处理等领域有重要应用的状态变权函数 .【总页数】7页(P1-7)
【关键词】综合决策;变权;状态变权;数据处理
【作者】崔红梅;谷云东;孙魁明;李洪兴
【作者单位】北京师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O159
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公理化思想的渗透、学习与落实
我们说学习数学知识的目的是让学生掌握基础的社会知识，以及客观的认识事物的本质外，还有更主要的目的，那就是培养学生的公理化思想。
一提公理化思想最容易想到就是几何知识的学习的目的，其实我们说培养公理化思想是学习数学知识的整体要求及目的。
客观事物的存在都具有其各自的存在条件和规律，生物是如此，事物也是如此，例如，我们所学习的数学知识在没学习之前本身就已经存在了，并且还有很多的问题没有解决，换句话说就是数学知识本身的规律性以及知识之间的逻辑关系是客观存在的，我们只是在学习相应的知识时把它揭示出来而已。
那么这种知识的存在性的认识，实际上就是我们提出的学习公理化思想的根本原因。
在代数中体会公理化思想一直都是很困难的，原因不外乎大家认为代数有自身的规律，不像几何那样逻辑关系清晰、明确，而代数知识只是概念、法则、公式、运算律等等，所以不需要渗透公理化思想。
其实不然，我们举一个最简单的例子说明学习公理化思想的重要性。
我们知识代数中离不开算，数要算，式要算、方程与函数也离不开算，那么就这个问题我们研究和思考：“怎么算”的问题，就会发现公理化思想的影子在其中的重要作用。
例如，7与11；5
7-6
11
；22
23497
x x x x
-++-；
2
2123
2(2)
x x
x x x x x
+
+--
--
；
问题，提出几个问题：它们能算吗？为什么能算？根据什么算？对这几个问题的理解就可以折射出公理化思想的意义。
从最简单的问题入手想就更容易一些，例如，7与11。
要考虑这个问题就需要回到问题的起点，即7和11是什么，它们之间有什么关系看问题。
首先7与11都是自然数，或者说它们是同类数，并且它们共同的存在都是1作为单位量而形成的，那么算的问题之所以可以实现就是因为它们具有相同的单位量，那么单位量实际上就是数系的基本条件。
如果我们从公理化的角度看问题，那么这种单位量的存在和应用实际就是体现公理化思想的起点，也就是说由于存在了这种基本量的现象才可能确立这个数系，因此我们说这就是公理化应用的起点的范例。
类似的代数式中之所以能算，是因为它们有“同类项或者公因式”，那么实际上这种同类项和公因式不就是单位量吗？
单位量的存在恰好印证了公理化思想的存在和意义。
客观事物的存在都是因为其存在着由一生二，由二生三，进而生成事物的全部，或者说生成万物，那么一就是事物的起点和事物演变的起点，同样的数学也反映了这种基本规律，这是因为数学是反映客观事物本质的轨规律的基本形式，因此数学也就具有了客观事物的基本规律。
这种规律实际上就是我们所说的公理化思想的体现。
现在我们再回过头来看几何问题，就可以发现与我们提及的代数问题具有基本类似的问题。
任何几何问题的存在其实都是因为首先存在着一个最基本的图形而产生的，最初一个点，当存在两个点时就形成了相对位置问题，同时形成了直线，又由此产生了两条直线的相对
位置问题以及它们可形成什么问题的情况，进而产生了所谓的几何知识以及几何问题，而在这个过程中形成了公理、定理及公理体系。
如果我们从这个角度看几何与代数知识中的公理化思想，就可以得到它们都存在着公理体系。
简言之，它们共同存在着：一个概念的确定以及需要研究它的范围、两个量之间的关系与联系、运算等基本问题。
正因为存在着相似的现象，可以说它们具有基本一致的本质属性，即公理化现象，所以我们在教学中要渗透这种思想，并在解决数学问题中运用这种思想，帮助学生确立这种思想。
现在由于我们时常把“思想”挂在嘴上，用在对一些不十分明白的问题上，因此忽视了对其本意的理解和认识。
思想就其本意是指：意念，或者说“构思”。
我们在这里所说的公理化思想，实际上是一种成体系的意念，或者说构思。
对于任何一个数学知识而言，它的存在都是有条件的，都是有使用范围的，都处在整个体系中的某个位置上的，所以它能解决的问题就有所限制。
当我们使用这个数学知识时就需要考虑是否在使用的范围之内，是否符合使用的条件，更为重要的是在选择解决问题的方法时，要判断能否适应这个知识的使用。
当确定可以说会用这个知识后，就需要考虑使用这个知识的基本程序或者说过程，先用什么，再用什么，最后用什么等，而使用的每一步都需要满足在知识体系内的内在的逻辑关系，当问题解决了，还需要判断结果的正确性。
在这个整体过程中所反映出得过程、步奏，其实就是一种构思的过程和使用这个构思的过程，也就是我们所说的公理化思想应用的过程。
对于教师而言实际上需要在每节课上都需要考虑怎么体现这种公理化思想以及如何落实这种思想。
而对于这种思想的认识和理解而言，不是把它挂在嘴上老说的，是需要教师运用这种思想设计我们的教学过程，把这种认识渗透到学生的认知结构中去。
从一个知识的引入开始，要让学生体会学习这个知识的必要性；在研究这个知识的过程中要体会这个知识成立的条件以及适用的范围；更为重要的是要体会研究这个知识的方法是什么，是怎么研究的；通过对知识的描述的理解，体会这个知识能解决什么问题，是怎样解决的；最后还需要体会怎么判断使用这个知识是否正确。
完成了这个所有的过程实际上就实现了体会公理化思想的过程。