公理化思想的渗透(翟刚)

公理化思想的渗透、学习与落实

我们说学习数学知识的目的是让学生掌握基础的社会知识，以及客观的认识事物的本质外，还有更主要的目的，那就是培养学生的公理化思想。

一提公理化思想最容易想到就是几何知识的学习的目的，其实我们说培养公理化思想是学习数学知识的整体要求及目的。

客观事物的存在都具有其各自的存在条件和规律，生物是如此，事物也是如此，例如，我们所学习的数学知识在没学习之前本身就已经存在了，并且还有很多的问题没有解决，换句话说就是数学知识本身的规律性以及知识之间的逻辑关系是客观存在的，我们只是在学习相应的知识时把它揭示出来而已。那么这种知识的存在性的认识，实际上就是我们提出的学习公理化思想的根本原因。

在代数中体会公理化思想一直都是很困难的，原因不外乎大家认为代数有自身的规律，不像几何那样逻辑关系清晰、明确，而代数知识只是概念、法则、公式、运算律等等，所以不需要渗透公理化思想。其实不然，我们举一个最简单的例子说明学习公理化思想的重要性。我们知识代数中离不开算，数要算，式要算、方程与函数也离不开算，那么就这个问题我们研究和思考：“怎么算”的问题，就会发现公理化思想的影子在其中的重要作用。

例如，7与11；5

7-6

11

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23497

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问题，提出几个问题：它们能算吗？为什么能算？根据什么算？对这几个问题的理解就可以折射出公理化思想的意义。从最简单的问题入手想就更容易一些，例如，7与11。要考虑这个问题就需要回到问题的起点，即7和11是什么，它们之间有什么关系看问题。首先7与11都是自然数，或者说它们是同类数，并且它们共同的存在都是1作为单位量而形成的，那么算的问题之所以可以实现就是因为它们具有相同的单位量，那么单位量实际上就是数系的基本条件。如果我们从公理化的角度看问题，那么这种单位量的存在和应用实际就是体现公理化思想的起点，也就是说由于存在了这种基本量的现象才可能确立这个数系，因此我们说这就是公理化应用的起点的范例。类似的代数式中之所以能算，是因为它们有“同类项或者公因式”，那么实际上这种同类项和公因式不就是单位量吗？

单位量的存在恰好印证了公理化思想的存在和意义。客观事物的存在都是因为其存在着由一生二，由二生三，进而生成事物的全部，或者说生成万物，那么一就是事物的起点和事物演变的起点，同样的数学也反映了这种基本规律，这是因为数学是反映客观事物本质的轨规律的基本形式，因此数学也就具有了客观事物的基本规律。这种规律实际上就是我们所说的公理化思想的体现。

现在我们再回过头来看几何问题，就可以发现与我们提及的代数问题具有基本类似的问题。任何几何问题的存在其实都是因为首先存在着一个最基本的图形而产生的，最初一个点，当存在两个点时就形成了相对位置问题，同时形成了直线，又由此产生了两条直线的相对

位置问题以及它们可形成什么问题的情况，进而产生了所谓的几何知识以及几何问题，而在这个过程中形成了公理、定理及公理体系。如果我们从这个角度看几何与代数知识中的公理化思想，就可以得到它们都存在着公理体系。简言之，它们共同存在着：一个概念的确定以及需要研究它的范围、两个量之间的关系与联系、运算等基本问题。正因为存在着相似的现象，可以说它们具有基本一致的本质属性，即公理化现象，所以我们在教学中要渗透这种思想，并在解决数学问题中运用这种思想，帮助学生确立这种思想。

现在由于我们时常把“思想”挂在嘴上，用在对一些不十分明白的问题上，因此忽视了对其本意的理解和认识。思想就其本意是指：意念，或者说“构思”。我们在这里所说的公理化思想，实际上是一种成体系的意念，或者说构思。对于任何一个数学知识而言，它的存在都是有条件的，都是有使用范围的，都处在整个体系中的某个位置上的，所以它能解决的问题就有所限制。当我们使用这个数学知识时就需要考虑是否在使用的范围之内，是否符合使用的条件，更为重要的是在选择解决问题的方法时，要判断能否适应这个知识的使用。当确定可以说会用这个知识后，就需要考虑使用这个知识的基本程序或者说过程，先用什么，再用什么，最后用什么等，而使用的每一步都需要满足在知识体系内的内在的逻辑关系，当问题解决了，还需要判断结果的正确性。在这个整体过程中所反映出得过程、步奏，其实就是一种构思的过程和使用这个构思的过程，也就是我们所说的公理化思想应用的过程。

对于教师而言实际上需要在每节课上都需要考虑怎么体现这种公理化思想以及如何落实这种思想。而对于这种思想的认识和理解而言，不是把它挂在嘴上老说的，是需要教师运用这种思想设计我们的教学过程，把这种认识渗透到学生的认知结构中去。从一个知识的引入开始，要让学生体会学习这个知识的必要性；在研究这个知识的过程中要体会这个知识成立的条件以及适用的范围；更为重要的是要体会研究这个知识的方法是什么，是怎么研究的；通过对知识的描述的理解，体会这个知识能解决什么问题，是怎样解决的；最后还需要体会怎么判断使用这个知识是否正确。完成了这个所有的过程实际上就实现了体会公理化思想的过程。