材料力学总复习(2013)

σ max ⎫ σ x + σ y ⎛σ −σ y ⎞ 2 ± ⎜ x ⎟ +τ x ⎬= 2 2 ⎠ σ min ⎭ ⎝
tan2α 0 = − 2τ x σ x −σ y
2
τ max ⎫ ⎛σ x −σ y ⎞ 2 ⎟ +τ x ⎬=± ⎜ 2 ⎠ τ min ⎭ ⎝
tan2α1 =
2014/1/1
组合变形
Baidu Nhomakorabea
塑性材料：
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ], σ r4 = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
2014/1/1 2014/1/1
组合变形
斜弯曲： 弯拉(压）组合分析：
组合变形
□ 应力一般公式
σ=
M yz Iy + Mzy Iz
□ 最大应力位置
□ 中性轴方程
σ=
2014/1/1
长度系数 (杆端约束)
杆件几何 长度
大柔度杆
λ0 =
a −σs b
临界应力总图
2014/1/1
压杆稳定
压杆稳定计算 z 安全系数法
习题 图示结构，已知杆AB和AC为实心圆截面钢杆，
解决三类问题: (1)稳定性校核 σ cr ≥ [nw ] σ (2)确定承载力 (强度与稳定) (3)截面设计 (试算法)
σ max ≤ [σ ]
组合变形
偏心压缩： 弯扭组合： 危险截面－截面A
组合变形
危险点－ a 与 b M Mn σ M = M τ Mn = W n = 2W W p 应力状态 单向＋纯剪切 应力状态－单向＋纯剪切 外力向形心简化 → 压弯组合
σN = −
F A M y = Fe z M z = Fe y
2014/1/1
材料力学总复习
考试时间: 2014-1-16 13:30-15:30 考试地点: B201, B203, B214 注意: 带好计算器, 钢笔, 铅笔, 尺子
变形体静力学
(14- 22章)
材料力学 变形体动力学
(23章)
2014/1/1
2014/1/1
变形体静力学（14-22章）
研究对象
－转角方程
圆形截面
I p = ∫ ρ 2 dA = I z + I y I p = 2 I z
A
挠度与转角的关系 θ = dy 挠度与转角的关系: dx 挠曲线微分方程:
y ′′
2 ⎡ ⎣1 + y′ ⎤ ⎦ 3/2
Iz =
Ip 2
=
πd4
64
Wz =
πd4 2
64 d
=
πd3
32
=±
M (x ) EI
z 注意单位换算: 1 rad / m =
180 o ( )/m π
解决三类问题
z 内力图中控制截面 (极值处,载荷变化处,梁端截 面等)的数值必须标明.内力单位需注明.
2014/1/1
2014/1/1
弯曲内力
q、Fs和M三者 三者的微分关系： 的微分关系： q(x)
d Fs ( x ) = q (x ) dx dM ( x ) = Fs ( x ) dx
强度条件（塑性材料, 圆截面）
2 2 σ r3 = σ M + 4τ Mn ≤ [σ ] 2 2 σ r4 = σ M + 3τ Mn ≤ [σ ]
σM = −
M yz Mz y − Iy Iz
危险点处－单向应力
2014/1/1
F Fe z Fe y σ =− − z − y A Iy Iz
σ
+ max
Wz 为抗弯截面模量
2014/1/1 2014/1/1
近似: y′′ = −
M (x) EI
积分法和叠加法
2
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
应力状态: 通过受力构件内一点反映该点所有截面上的 应力变化情况，称为一点的应力状态. 研究方法: 环绕研究点切取微元体. 研究目的: 为构件的强度分析，提供更广泛的理论基础 分析方法:
变形体静力学 习题: (1)所谓______,是材料或构件抵抗破坏的能力;
构件(一维)
可能的变形
所谓______,是构件抵抗变形的能力. 剪切 扭转 弯曲
组合变形
轴向拉压 拉杆
承 载 能 力
2014/1/1
(2)构件的承载力包括___,___和___三个方面. (3)低碳钢在拉伸过程中,依次表现为 ______,_______,_______,_______,四个阶段.
2014/1/1
仅用于 工字型 截面
计算中注意 单位换算
弯曲应力
z 与弯曲应力计算有关的截面几何性质 矩形截面
弯曲变形
挠度: 横截面形心在垂直于梁轴方向的位移.
y = f (x) －挠曲线方程
3 3 2
Iz =
bh bh 2 bh Wz = = 12 12 h 6
转角: 横截面的角位移
θ = θ ( x)
2014/1/1
A点位移图
2014/1/1
5
2014/1/1
习题
矩形截面(30mm×5mm)低碳钢拉伸试件如图所示。试件 两端开有圆孔，孔内插有销钉，载荷通过销钉传递至 试件。试件和销钉材料相同，其抗拉强度σb=400MPa 许用应力[σ]＝160MPa [τ]＝100MPa [σc]=320MPa 在试验中为了确保试件在端部不被破坏，试设计试件 端部的尺寸 端部的尺寸a、b和销钉的直径 b和销钉的直径d 。 解: (1)破坏载荷:
相当应力σ i = ?
σ x −σ y 2τ x
α1 = α 0 ±
π
4
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
广义虎克定律:
1 ε x = [σ x − μ (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − μ (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z − μ (σ x + σ y )] E
σj =
F ≤ [σ ] Aj
2014/1/1
2014/1/1
1
2014/1/1
扭转
外力偶矩T: 内力扭矩Mn: 应力及 强度条件 变形及 刚度条件
弯曲内力
z 剪力FS 及弯矩M: 截面法, 注意正负号规定. Fs(+) Fs(+) Fs(–) Fs(–)
{T }N⋅m = 9549
Mnρ ,τ max Ip
2
τ (y ) =
I zb
τ max ≤ [τ ]
仅用于矩 形和工字 型截面
z σ 与τ 联合作用 联合作用强度条件 强度条件: :
M(x) Fs(x)
2014/1/1
A dx M(x)+d M(x)
注意： q 向上为正 x 向右为正
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ] σ r4 = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
平面应力状态分析 强度理论
图解法和数解法 斜截面定义：方位用α表示；应力为 σα , τα 符号规定： n 正应力－拉应力为正; 切应力τ －使微体沿 3 旋转者为正 o 方位角 α － 以 x 轴为始边、4 者为正
σα =
仅在微元体四个侧面作用应力 －平面应力状态
2014/1/1
σx +σ y
2 σ x −σ y
位于离中性轴 最远点a与b 处
外载荷 内力 应力 强度
2014/1/1
Myz Iy
+
Mz y =0 Iz
内力－FN，Mmax M y F σ N = N σ M = max Iz A
F M y σ = σ N + σ M = N + max A Iz
σ max =
FN M max + A Wz
危险点处－单向应力
(2)变形计算:
FN 1l1 F l , Δl2 = N 2 2 EA1 EA2 (3)位移计算: A点变形后到达A3点. Δl1 =
A点受力图
则A点在垂直方向的位移为线段AA5.
AA5 = AA6 − A5 A6 = ΔL1 / cos 450 − A3 A6 cos 450 AA AA − AA ΔL1 ΔL1 − 4 6 sin 600 = − 6 0 4 sin 600 cos 450 sin 750 cos 450 sin 75 ΔL1 ΔL2 / cos 450 − ΔL1 / cos 300 sin 600 = 1.37mm = − cos 450 sin 750 =
习题
A
∑X
A
=0,
∑Y
=0
FN1
45
°
F N2
° 30
在图示结构中，AB为刚性杆，1和2杆EA相同。试 写出求解两杆内力的方程。 解: 一次超静定结构. 求解思路: (1)受力分析—列平衡方程 (2)建立变形协调条件 (3)联立求解内力
FN 1 = 18.12kN , FN 2 = 25.62kN
A F
剪切面
F σ = N ≤ [σ ] A 强度条件
Δl = FN l ≤ [Δl ] EA
τ=
FQ AQ
≤ [τ ]
ε=
Δl l
ε' = − με
挤压
σc =
拉压超静定问题
Fc ≤ [σ c ] σ c ≈ Fc Ac δd
∗
节点变形图 净截面强度
应力、弹性模量及剪切模量的单位： 1Pa=1N/m2 , 1MPa=106Pa , 1GPa=109Pa。
2
+
σ x −σ y
2
cos2α − τ x sin2α
平面应力状态 的一般形式
2014/1/1
τα =
sin2α + τ x cos2α
平面应力状态分析 强度理论
主应力: 主平面上的正应力
用公式时注 意应力正负 号
2
平面应力状态分析 强度理论
主应力: 主平面上的正应力
σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3（按代数值排列）
压杆稳定
σ cr =
π2E ≤ σp λ2
E σp
λp = π
Fcr =
两端铰支 一固定一自由 两端固定 一固定一铰支
2014/1/1
μ= 1 μ= 2 μ = 0. 5 μ = 0. 7
π 2 EI π 2 EA = ( μl )2 λ2
σ p ≤ σ cr = a − bλ ≤ σ s
长细比
小柔度杆 中柔度杆
{P}kW {n}r / min
截面法, 注意正负号规定
τρ =
⎧ M πd 4 πd 3 ⎫ = n ≤ [τ ]⎨ I p = ,Wp = ⎬ Wp 32 16 ⎭ ⎩
M l ϕ= n , GI p
⎛ Mn ⎞ ≤ [θ ] ⎜ ⎜ GI ⎟ ⎟ ⎝ p ⎠ max
M(+)
M(+) M(–) M(–)
σ r4 =
2014/1/1 2014/1/1
(4)形状改变比能理论
1⎡ 2 2 2 ≤ [σ ] ( σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤ ⎦ 2⎣
3
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
一种常见应力状态的强度条件---单向、纯剪切联合作用
压杆 强度 刚度 稳定 强度 刚度 强度 刚度
强度 刚度
(4)材料性能的三个基本假定为:______,_____,___. 强度
2014/1/1
强度
轴向拉伸与压缩
外力 F 内力FN 应力及 变形及 刚度条件 外力合力的作用线沿杆件轴线方向 轴力(离开截面为正)-- 截面法求解 解决三类问题 剪切
剪切 联接件的实用计算
其直径分别为d1=12mm和d2=15mm，弹性模量 E=210GPa，荷载P=35kN。试求A点在垂直方向 的位移。 求解思路:静定结构 (1)受力分析 (2)变形计算 (3)位移计算
2014/1/1
σ≤
σ cr
[nw ]
或 n=
z 折减系数法
F σ = ≤ ϕ [σ ] A
2014/1/1
习题
解:(1)受力分析: 得:
≤ [σ + ] σ
− max
≤ [σ − ]
σ r3 =
2014/1/1
M 2 + M n2 ≤ [σ ] W πd3 W=
32
σ r4 =
M 2 + 0.75M n 2 ≤ [σ ] W
4
2014/1/1
压杆稳定
临界应力总图 粗短压杆-------强度破坏 理想压杆 中长压杆-------失稳破坏 细长压杆-------失稳破坏 实际压杆 ---存在’偶然偏心’ 截面几何性质 临界力 Iy , Iz 材料性 质
弯曲应力
z 弯曲正应力及强度条件 弯曲正应力及强度条件: :
⎧[σ ] My M σ max = ≤ [σ ] ⎨ t Wz Iz ⎩[σ c ]
* FQ S z
σ (y ) =
非对称截面注 意验算上下边 缘
z 弯曲切应力及强度条件:
x y
dx q(x) Fs(x)+dFs (x)
dM ( x) = q( x ) dx 2
习题
Pb = σ b A
(2)剪切强度条件: 2 Pb d1 ≥ = 19.55mm π [τ ] (3)挤压强度条件: P d 2 ≥ b = 37.5mm [σ c ]t (4)净截面强度条件: P b ≥ b + d = 115mm [σ ]t (5)端部剪切强度条件:
a≥
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
强度理论： 脆性断裂: (1)最大拉应力理论
σ r1 = σ 1 ≤ [σ ]
(2)最大伸长线应变理论
σ r 2 = σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]
塑性流动: (3)最大切应力理论
σ r 3 = σ 1 − σ 3 ≤ [σ ]
适用范围：各向同性材料，线弹性小变形范围内