第十三讲 幂函数与函数零点(教师版)

存在唯一的 c (a, b) ，使 f (c) 0 .
【典题精讲】 一．幂函数的概念与图象
【例 1】(1)下面的函数中是幂函数的是（ C ）
1
① y x2 2 ； ② y x2 ；
3
③ y 2x3 ； ④ y x4 ；
1
⑤ y x3 1．
A．①⑤
B．①②③
C．②④
D．②③⑤
1
3
【答案】形如 y x 的函数为幂函数，所以 y x 2 ， y x 4 为幂函数．
【答案】1 (2)已知幂函数 y xm2 2m3 （ m Z ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，且关于原点对称， 求 m 的值．
【答案】 0,2
(3)幂函数
y
1 p2 p 3
x2
2
( p Z ) 为偶函数，且 f (1) f (4) ，则实数 p ________．
【答案】1
三．函数的零点及零点存在性定理
yx
y x2
y x3
1
y x2
y x1
图 象
定
义
R
R
R
[0,)
(,0) (0,)
域
值
域
R
[0,)
R
[0,)
(,0) (0,)
奇
偶
奇函数
性
偶函数
奇函数
在 (,0]
单 在 (,) 上 上单调递减， 在 (,) 上
调
性
单调递增
在 (0,)
单调递增
上单调递增
非奇非 偶函数
在 [0,)
上单调递增
奇函数
(2)已知 f1(x) ax ， f2 (x) xa ， f3 (x) loga x ，（ a 0 且 a 1），在同一坐标系中画
出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是（ B ）
A
B
C
D
【变式】(1)若幂函数 y (m2 3m 3)xm2 m2 的图象不经过原点，则实数 m 的值为
m
m
而减小,求满足 (a 1) 3 (3 2a) 3 的 a 的取值范围
【答案】 a 1 或 2 a 3
3
2
变式：若把“关于 y 轴对称”改为“关于原点对称”结果？
【变式】(1)已知幂函数 y xm3 (m N * ) 的图像关于 y 轴对称，且在 (0,) 上单调递减， 则 m ________．
5．零点存在性定理
如果函数 y f (x) 在区间[a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f (a) f (b) 0 ， 那么，函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在 c (a, b) ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也 就是方程 f (x) 0 的根．
【例 3】下列各种说法中正确的个数有（ ）
①函数 y f (x) 满足 f (a) f (b) 0 ,则函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内只有一个零点;
②函数 y f (x) 满足 f (a) f (b) 0 ,则函数 y f (x) 在区间[a, b] 内有零点;
③函数 y f (x) 满足 f (a) f (b) 0 ,则函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内没有零点;
注意以下几点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．
③由函数 y f (x) 在闭区间 a,b 上有零点不一定能推出 f (a) f (b) 0 ，如图所示．所以 f (a) f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间 a,b 上有零点的充分不必要条件．
2
④如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数 f x 在区间a,b 上 是一个单调函数，那么当 f (a) f (b) 0 时，函数 f x 在区间 (a,b) 内有唯一的零点，即
________．
m2 3m 3 1 【答案】1 或 2 由 m2 m 2 0 ，解得 m 1或 2 .经检验 m 1或 2 都适合.
(2)当 {1, 1 ,1,3} 时，幂函数 y xa 的图象不能经过第_____象限. 2
【答案】二、四
二．幂函数的性质应用
【例 2】(1)下列函数中既是偶函数又是 ( ,0 ) 上的增函数的是（ C ）
4
A． y x 3
3
B． y x 2
C． y x 2
1
D． y x 4
(2)幂函数 y m2 m 1 xm22m1 在 x 0, 时为减函数，则 m ________．
【答案】 2
3
(3)已知幂函数 y x3m9 (m N ) 的图象关于 y 轴对称且在 (0,) 上函数值随 x 的增大
第十三讲 幂函数与函数零点
【知识要点】
1．幂函数定义：形如 y x ( R) 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数．
1
2．幂函数 y x ， y x2 ， y x3 ， y x 2 ， y x1 的图象比较
3．幂函数的图象与性质
1
(1)幂函数 y x ， y x2 ， y x3 ， y x 2 ， y x1 的性质．
递减，且以两坐标轴为渐近线

1
4．方程的根与函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数 y f (x)(x D) ，把使 f (x) 0 的实数 x 叫做函数 y f (x)(x D) 的零点． (2)函数零点的意义：函数 y f (x) 的零点就是方程 f (x) 0 实数根，亦即函数 y f (x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程 f (x) 0 有实数根 函数 y f (x) 的图象与 x 轴有 交点 函数 y f (x) 有零点．
(3)函数的零点与方程根的关系
函数 F x f x g x 的零点就是方程 f x g x 的根，即函数 y f x 的图象 与函数 y g x 的图象交点的横坐标．
(4)三个等价关系(三者相互转化)
提醒：函数的零点不是点，是方程 f (x) 0 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函 数值等于零．函数的零点也就是函数 y f (x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标．
在 (,0)
上单调递减，
在 (0,)
上单调递减
定 (1,1), (0,0)
(1,1), (0,0)
(1,1), (0,0)
(1,1), (0,0)
(1,1)
点
(2)幂函数 y x ( R) 在第一象限的特征
的范围
过定点
单调性
0
1 0 1
(1,1), (0,0)
下凸递增 上凸递增
0
(1,1)