圆周角第2课时直径所对的圆周角的性质拓展提升(有答案)

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2020最新九年级数学上册第3章 3.5 圆周角第2课时圆周角定理的推论2同步练习 (新版)浙教版

第2课时圆周角定理的推论2知识点圆周角定理的推论2在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的________相等；相等的圆周角所对的________也相等．1．如图3－5－6，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，则∠ADC的度数为( )图3－5－6A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图3－5－7，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD ＝________°.图3－5－7类型运用圆周角定理的推论2进行计算或证明例1 [教材补充例题] 如图3－5－8所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证：∠BAE＝∠DAC.图3－5－8例2 [教材例2针对练] 如图3－5－9所示，在⊙O中，直径AB＝10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．图3－5－9【归纳总结】圆周角定理的推论2的转化思想(1)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角之间的转化；(2)根据同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等将圆周角相等转化为弧相等或弦相等．对于推论2，把“在同圆或等圆中”这一条件去掉后，“同弧或等弧所对的圆周角相等”成立吗？“相等的圆周角所对的弧也相等”成立吗？详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] B 3．[答案] D4．[解析] D 在⊙O 中，要求相等的圆周角的对数，只需找出相等的弧．先找同弧所对的圆周角，再找等弧所对的圆周角，可知∠ABD＝∠CBD ＝∠ACD＝∠DAC ，∠BAC ＝∠BDC ＝∠BCA＝∠BDA，∠BAD ＝∠BCD，由以上可知相等的圆周角有13对．5．[解析] C ∵∠ACB＝90°，∠A ＝56°，∴∠B ＝34°.在⊙O 中，∵CE ︵＝CD ︵，∴∠COE ＝2∠B＝68°，∴∠F ＝112°.故选C.6．[解析] D 连结OB ，OA ，OP ，由垂径定理的逆定理可知OB⊥AP；运用圆周角定理及其推论可知△OAB 为等边三角形，再运用勾股定理可求出PA 的长为5 3.故选D.7．[答案] 65° 8．[答案] 45[解析] ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°. 又∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD ＝45°， ∴∠ABD ＝∠ACD＝45°. 9．[答案] 25[解析] ∵AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上的点，∴∠ACB ＝90°.∵∠CAB ＝40°，∴∠CBA ＝50°.∵AD ︵＝CD ︵，∴∠CBD ＝∠DBA＝12∠CBA＝25°，∴∠CAD ＝∠CBD＝25°.10．[全品导学号：63422258][答案] 40[解析] 由圆周角定理得∠ADC＝∠ABC＝12∠AOC＝12×130°＝65°，∴∠PDE ＝∠PBE＝115°，∴∠P ＝360°－∠PDE－∠PBE－∠DEB＝360°－115°×2－90°＝40°.11．[解析] (1)由OD⊥AC，OD 为半径，根据垂径定理，即可得CD ︵＝AD ︵，又由“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可证得BD 平分∠ABC；(2)首先由OB ＝OD ，易求得∠AOD 的度数，又由OD⊥AC 于点E ，可求得∠A 的度数，然后由AB 是⊙O 的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB＝90°，继而可证得BC ＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD 为⊙O 的半径， ∴CD ︵＝AD ︵，∴∠CBD ＝∠ABD， ∴BD 平分∠ABC.(2)∵OB＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB＝30°， ∴∠AOD ＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°. 又∵OD⊥AC 于点E ，∴∠OEA ＝90°， ∴∠A ＝30°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴在Rt △ACB 中，BC ＝12AB.∵OD ＝12AB ，∴BC ＝OD.[点评] 本题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12．证明：连结AD ，BC.在△CPB 和△APD 中， ∠CPB ＝∠APD，CP ＝AP ，∠C ＝∠A， ∴△CPB ≌△APD(ASA)，∴PB ＝PD. 13．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又∵CE⊥AB，∴∠CEB ＝90°， ∴∠BCE ＝∠A.又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB＝∠A， ∴∠DBC ＝∠BCE ， ∴CF ＝BF. (2)524514．[全品导学号：63422260]解：(1)∵BC＝DC ， ∴∠CDB ＝∠CBD＝39°.∵∠BAC ＝∠CDB＝39°，∠CAD ＝∠CBD＝39°， ∴∠BAD ＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°. (2)证明：∵EC＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE，而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD. ∵∠BAE ＝∠CBD，∴∠1＝∠2. [素养提升]证明：如图，过点C 作直径CF ，连结AF ，BF.∵OE ⊥BC ，∴E 为BC 的中点． ∵CF 为⊙O 的直径， ∴∠FBC ＝90°，即BF⊥BC.∵点O 为圆心，∴OF ＝OC ，∴OE ＝12BF.∵CF 为⊙O 的直径， ∴∠CAF ＝90°，即FA⊥AC.又∵AC⊥BD，∴FA ∥BD ， ∴∠FAB ＝∠ABD， ∴BF ︵＝AD ︵，∴BF ＝AD ， ∴OE ＝12AD.。

第2课时圆周角定理推论2和圆内接四边形的性质

第2课时圆周角定理推论2和圆内接四边形的性质出小II标1•在实际操作中探索圆的性质，进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明；2•掌握圆内接四边形的有关概念及性质；3•在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和完全归纳的方法.HUM学自学指导阅读课本P53~55，完成下列问题.知识探究1.直径所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦是直径.2•四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.自学反馈1.如图，在O O的内接四边形ABCD中，若/ BAD=110。

，则/ BCD等于（C ）A.110°B.90°C.70°2•如图所示，AB是O O的直径，弦DC与AB相交于点E，若/ ACD=50 °，则/ DAB= 40°活动1小组讨论例1如图，BD是O O的直径，/ CBD = 30°,则/ A的度数为（C ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°例2如图所示，点C在以AB为直径的O O上，AB = 10cm,/ A = 30°,则BC的长为___________ 5.例3如图所示，已知△ ABC的顶点在O O上，AD是厶ABC的高，AE是O O的直径，求证：/ BAE =Z CAD.V证明：连接BE ,： AE 是O O 的直径,•••/ ABE = 90°•••/ BAE + Z E = 90° .•/ AD 是厶ABC 的高，•••/ ADC = 90°,• / CAD + Z C = 90° .A B =A B ,•••/ E=Z C.•••/ BAE + Z E = 90°,/ CAD + Z C = 90°,•••/ BAE = / CAD .迢鶯悲k 涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.例4如图，点A ，B ，C ，D 在O O 上，点O 在/ D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则/ OAD +/ OCD = 60 度.活动2跟踪训练1.如图，O O 的直径 AB=4，点C 在O O 上,/ ABC=30 °，贝U AC 的长是（ D ）A . 1B . YC . . ：；D . 24.如图，在O O 的内接四边形 ABCD 中，/ BCD=110 °，则/ BOD=__140 ________ 度.2.如图，AB 是O O 的直径，C 是O O 上一点，且/ A=45B . BC=AC C . BC v AC ，则下列结论中正确的是（D . BC > AC的长为 433.如图，AB 是O O 的直径，点 OD 丄BC 于点D ，贝UOD5•如图，AB是O O的直径，点D在O O上，/ AOD=130,BC / OD交O O于C,求Z A的度数.解：•••/ AOD=130°, •••/ BOD=50 ° .•/ BC// OD,•••/ B= / BOD =50 °.•/ AB是O O的直径，•••/ ACB=90 ° .•••/ A=90° -Z B=406如图，O O的内接四边形ABCD中，AD // BC, AD=BC .试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.解：四边形ABCD为矩形. 理由：••• AD // BC, AD=BC , •四边形ABCD为平行四边形.•Z B= Z D.•••四边形ABCD内接于O O ,•Z B+ Z D=180 °.•Z B= Z D=90 °.•四边形ABCD为矩形.活动3课堂小结1•这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上2•教师强调：①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径;②圆内接四边形定义及性质；③关于圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形•玛堂训练教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分。

24.1.4圆周角(第二课时)

九年级数学上册第24章圆
24.1.4 圆周角（第二课时）
人掌握的知识就是一个圆，圆外是未知世界．掌握的知识越多圆越大，你所接触的未知越多－－－困惑越多．学得知识越多越觉得自己无知．
1.复习回顾
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
求证：AD 的延长线平分∠CDE．
A DE
O
F
B
C
4．利用性质解决问题
2、拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高．求证：∠CED=∠ABC．
C D
E
A
B
5．布置作业
（1）如下图左，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，∠ABD =30°，则∠BCD 的度数为多少？
（2）如下图右，在⊙O 中，AB 为直径，直线 l 与 ⊙O 交于点 C、D，BE⊥l 于点 E，连接 BD、BC．
同弧或等弧所对的圆周角相等．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周
角所对的弦是A 直径.
AD
C
O
O
A
O
B
B
B C
C
2.例题讲解
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，
ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD
C
∵ AB 是⊙O 的直径，
求证：∠CBE =∠ABD．
D C
A
O
B
A
O
B
D
CE l
下课!
课堂作业：课本家庭作业：练习册
3.问题探究
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这样的多边形叫做圆内接多边形。

圆周角同步提升训练(附答案) 2021-2022学年苏科版九年级数学上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步能力提升训练（附答案）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°2．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°3．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°4．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°7．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm8．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q ＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤9．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．10．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝°．11．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为．13．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．14．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB于点D，连接ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连接CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．15．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD＝8，CM＝2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE＝BE．16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．17．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．（1）如CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC＝∠AGD．18．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．19．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）若OE＝4，求AC的长．参考答案1．解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故选：C．2．解：连接OC，如图所示，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝100°，∵∠1+∠BOC＝360°，∴∠1＝260°，∵∠A＝∠1，∴∠A＝130°．故选：D．3．解：∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°﹣60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣95°﹣50°＝35°故选：D．4．解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝∠BOD＝50°，∵∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°．故选：C．5．解：连接BD，如图，∵点D是的中点，即弧CD＝弧AD，∴∠ABD＝∠CBD，而∠ABC＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°．故选：C．6．解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．故选：B．7．解：连接EC，由圆周角定理得，∠E＝∠B，∠ACE＝90°，∵∠B＝∠EAC，∴∠E＝∠EAC，∴CE＝CA，∴AC＝AE＝5（cm），故选：B．8．解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF ∵∠PNM＝∠QNM，MN⊥AB，∴∠1＝∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角，∴∠1＝∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN＝EN，同理NQ＝NF，∵点N是MW的中点，MN•NW＝MN2＝PN•NF＝EN•NQ＝PN•QN（故⑤正确），∴MN：NQ＝PN：MN，∵∠PNM＝∠QNM，∴△NPM∽△NMQ，∴∠Q＝∠PMN（故③正确）．故选：B．9．解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．当GH为直径时，E点与O点重合，∴AC也是直径，AC＝14．∵∠ABC是直径上的圆周角，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝30°，∴AB＝AC＝7．∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF＝AB＝3.5，∴GE+FH＝GH﹣EF＝14﹣3.5＝10.5．故答案为：10.5．10．解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故答案为：215．11．解：∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A+∠E＝85°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°，∵∠BCD＝∠F+∠CBF，∴∠F＝125°﹣85°＝40°．故答案为40°．12．解：∵∠CBE＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝＝65°，故答案为：65°13．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝2，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．14．（1）证明：△BDE是等腰直角三角形．∵AE是⊙O的直径∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°．∵CA＝CB，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形．（2）过点F作FG⊥AC于点G，则△AFG是等腰直角三角形，且AG＝FG．∵OA＝OC，∴∠EAC＝∠FCG．∵BE＝CE＝3，∴AC＝BC＝2CE＝6，∴tan∠FCG＝tan∠EAC＝．∴CG＝2FG＝2AG．∴FG＝AG＝2，∴AF＝2．15．（1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB＝8，∴MB＝4设⊙O的半径为r，∵CM＝2，∴OM＝r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ACF+∠FCB＝90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF＝90°∴∠FCB＝∠CAF（3分）∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C是的中点，∴∠CAF＝∠CBD．∴∠FCB＝∠DBC．∴CE＝BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴＝．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C是的中点，∴＝．∴＝．∴∠FCB＝∠DBC．∴CE＝BE．16．（1）证明：如图．∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD＝×4＝2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．17．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得R＝5．（2）证明：连接AD，∵弦CD⊥AB∴＝，∴∠ADC＝∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD．18．解：（1）连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．又CD＝2，∴BD＝2．∴CE＝．（2）∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC＝2∠CBE．理由如下：由（1），得AD⊥BC．又AB＝AC，∴∠1＝∠2．又∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE．（3）相同．理由如下：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC，又AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角，∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE．19．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．20．（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠OAC＝2∠OAD．∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠OAC，∴AC∥OD．（2）解：作OF⊥AC于点F，如图所示：则AF＝AC，∵AC∥OD，∴∠DOE＝∠OAF．在△DOE和△OAF中，，∴△DOE≌△OAF（AAS），∴OE＝AF＝AC，∴AC＝2OE＝8．。

北师大版初三数学下册《3.4.2圆周角和直径的关系》习题课件(附答案)

∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B， ∵∠B＝∠F， ∴∠1＝∠F；
(2)解： ∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2 5, ∴AB＝2AE＝4 5, 在Rt△ABC中，AC＝AB•sin B＝4， ∴BC＝
AB2 AC 2 8.
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x， ∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，
故存在符合条件的P点，∠BOP的度数为60°或30°.
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章圆
第2课时圆周角和直径的关系
1
利用直径和圆周角的关系证明边的关系(构造法)
2 利用直径与圆周角的关系求边和角 3 利用直径与圆周角的关系证明线段的位置关系
(设元替代法)
4 利用圆周角探究存在性问题
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB交OD于点F. (1)求证：OD⊥BE； 5 5 (2)若DE＝，AB＝，求AE的长． 2 2
(1)证明：如图，连接AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°. ∵AB＝AC， ∴DC＝DB. ∵OA＝OB，∴OD∥AC.
∴∠OFB＝∠AEB＝90°，
∴OD⊥BE.
(2)解：设AE＝x，∵OD⊥BE，∴FE＝FB，BD＝ED. 5 . ∴BD＝ED＝ 2 1 1 5 1 ∵OF＝ AE＝ x，∴DF＝OD－OF＝－ x. 2 2 4 2
2
12.【中考•温州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC 边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD 的延长线于点F，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F； 5 (2)若sin B＝，EF＝ 2 5 ，求CD的长． 5

圆周角_第二课时- 课件

知识回顾问题探究课堂小结
探究二：圆的内接多边形
重点、难点知识★▲
活动2 探索圆的内接四边形四个角之间的关系。
∠A和∠C是四边形ABCD的一组对角，也是⊙O的圆周角，它们在⊙O中所对的分别是哪两条弧？
这两条弧有什么关系？从而∠A和∠C具有怎样的数量关系？ ∠B和∠D也具有这样的关系吗？
这两条弧的度数之和为360°，从而∠A和∠C之和等于360°的一半，也就是180°，∠B和∠D之和也为180°。
1 2
OA，根据含30°的
直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据
三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周
角定理计算∠APB的度数。
知识回顾问题探究课堂小结
探究三例题分析
活动2 提升型例题
【解题过程】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图， ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
1 ∴∠AOB=90°，∴∠ADB= 2 ∠AOB=45°， ∴∠AEB=180°﹣∠ADB=135°。 ∴此弦所对的圆周角等于45°或135°。
知识回顾问题探究课堂小结
探究三例题分析
活动3 探究型例题
例5.已知弦AB、CD相交于E，»AC 的度数为90°，B»D 的度数为30°，则∠AEC=_6__0_°___。
∴弦AB所对的圆周角的度数为： 1 ∠AOB=20°或180°﹣20°=160°。 2
【思路点拨】由⊙O的弦AB所对的圆心角为40°，根据圆周角定理与圆的内接四边形的性质，即可求得弦AB 所对的圆周角的度数。
知识回顾问题探究课堂小结
探究三例题分析
活动2 提升型例题
练习4：在⊙O中，若弦AB长2 2 cm，弦心距为 2 cm，则此弦所对的圆周角等于______。

直径所对的圆周角为90度(拓展)

2
从直径所对的圆周角为 90 度来看圆锥曲线中的相似性质
学大覃进波
520naths
( a 2 b 2 ) m 2 2a 3 m a 4 a 2 b 2 DE DF 、、、、、、、、、、、、、、、、、 (iii ) a 2 b 2t 2
又因为直线 l 过点 (
直径所对的圆周角为90度拓展直径对应的圆周角圆周角圆周角定理圆周角和圆心角的关系圆心角与圆周角的关系圆心角和圆周角同弧所对的圆周角相等圆周角ppt圆周角练习题
从直径所对的圆周角为 90 度来看圆锥曲线中的相似性质
学大覃进波
520naths
从直径所对的圆周角为直角来看圆锥曲线中的相似性质
学大教育呼分万达高数覃进波邮编：010022
a(a 2 b 2 ) ， a 2 b2
此时，直线 n 过定点 (
a(a 2 b 2 ) , 0) ，点在双曲线左顶点的左侧； a 2 b2
a(a 2 b 2 ) 当 a b 时，关于 m 的方程的解为 m ， b2 a 2
此时，直线 n 过定点 (
a(a 2 b 2 ) , 0) ，点在双曲线左顶点的右侧. b2 a 2
通过以上的论证故有如下命题成立：命题 1.1：中心在坐标原点且焦点在 x 轴上的椭圆与 x 轴的负半轴交于点 D , E、F 为椭圆上异于点 D 的任意两点，若: EDF 90 ,则 EF 所在的直线必过定点 (
a(b 2 a 2 ) , 0) . a 2 b2
a(b 2 a 2 ) , 0) 的直线 m (斜率不为零 )与椭圆相交于 E、F 两点，D 为椭圆的左顶点，EDF 拓展一：过点 ( 2 a b2

九年级数学上册第2章对称图形—圆2.4圆周角第2课时直径所对的圆周角练习苏科版(2021年整理)

2018年秋九年级数学上册第2章对称图形—圆2.4 圆周角第2课时直径所对的圆周角练习（新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第2章对称图形—圆2.4 圆周角第2课时直径所对的圆周角练习（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2．4 圆周角第2课时直径所对的圆周角知|识|目｜标在理解圆周角定理的基础上，通过思考，探索得出90°的圆周角和直径的关系，并能用这个关系进行计算和说理．目标应用90°的圆周角和直径的关系进行计算或说理例1 教材补充例题如图2－4－5,BD是⊙O的直径，∠A＝60°,则∠DBC的度数是( )图2－4－5A．30° B．45° C．60° D．25°例2 教材练习第3题变式如图2－4－6，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6，∠ABC ＝∠DAC，求AC的长．图2－4－6例3 教材补充例题如图2－4－7，A，B,E，C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠BAE，AE是⊙O的直径吗？为什么？图2－4－7【归纳总结】（1）遇到圆周角是90°,一般情况下联想到其所对的弦是直径，构造直角三角形；（2）利用直径所对的圆周角是直角可以解决角(两锐角之和为90°)、边（勾股定理）等问题．知识点90°的圆周角和直径的关系直径所对的________是直角，________的圆周角所对的弦是直径．［点拨] (1）只有直径所对的圆周角才是直角，非直径的弦所对的圆周角一定不是直角；（2）90°的角必须是圆周角，不是90°的圆周角所对的弦一定不是直径．1．“直径所对的角是直角”这种说法正确吗?2．“90°的角所对的弦是直径"这种说法正确吗？详解详析【目标突破】例1［解析］A∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠D＝∠A＝60°，∴∠DBC＝90°－∠D＝30°.故选A。

苏科版数学九年级上册 5.3 圆周角(两课时,含答案)-

5.3 圆周角（1）第5课目标与方法1．了解圆周角的概念，理解圆周角定理的证明．2．会运用圆周角定理进行简单的计算与证明．3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，•通过转化为解决一般性问题的方法，渗透分类的思想．基础与巩固1．已知:如图1，∠BOC=100°，∠BAC等于（）．A．100° B．130° C．50° D．80°(1) (2) (3) (4)2．如图2，△ABC的顶点都在⊙O上，若∠BOC=120°，则∠BAC等于（）．A．60° B．90° C．120° D．150°3．如图3，AB、AC是⊙O的弦，延长CA到点D，使AD=AB，若∠D=20°，则∠BOC等于（ •）．A．20° B．40° C．80° D．120°4．如图4，AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，D为AC的中点，∠DAC=_____°．5．已知⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=60°，该弦所对的圆周角大小为______°．6．已知:如图，△ABC的顶点都在⊙O上，点P在⊙O上，且∠APC=∠CPB=60°，求证:△ABC是等边三角形．拓展与延伸7．如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，点E在DA延长线上，且BAD的度数为130°，求∠BAE的度数． 8．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证:∠ACB=2∠BAC．C妙趣角:一字之差人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别．在数学中，这样的例子比比皆是．下面两句话，先请你找出其中微小的区别，然后再比较解决问题的结果:（1）在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？（2）在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周有是多少度？答案:1．C 2．C 3．C 4．29 5．30或1506．∵∠APC=∠ABC，∠CPB=•∠CAB，•又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠CAB=60°．∴∠BAC=180°-∠ABC-∠CAB=60•°．•∴AB=BC=CA．∴△ABC是等边三角形7．∵BAD的度数为130°，∴BCD的度数为360°-•130°=230°．∴∠BAD=12×230°=115°．∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=180°-115•°=65°8．∵∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，∴∠BOC=2∠BAC．又∵∠AOB=2∠BOC，•∴∠BOC=12∠AOB．∴∠ACB=∠BOC=2∠BAC．妙趣角（1）60°；（2）60°或120°．5.3圆周角（2）第6课目标与方法1．熟练应用圆周角定理及其推论解决有关的计算和证明的问题．2．在应用圆周角定理及其推论进行有关的计算和证明的过程中，•进一步培养观察、分析和解决问题的能力．基础与巩固1．在⊙O中，圆心角AOB=56°，弦AB所对的圆周角等于（）．A．28° B．112° C．28°或152° D．124°或56°2．在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB相交于点D，若AC=4cm，BC=3cm，则CD=_______cm，O到AB的距离为______cm．3．如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，BD是直径，则∠BDC=______°，∠ACD=_______°，若CD=6cm，则△ABC的面积为_______cm2．4．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，求证:点D•是AB的中点．5．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，∠BAC=30°，OD⊥AB，与AC相交于点D，OD=5cm，求弦AC的长．B拓展与延伸6．如图，AB、AC是⊙O中相等的两弦，延长CA到点D，使AD=AC，连接DB•并延长交⊙O于点E，连接CE．求证:CE是⊙O的直径．7．已知:如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AB，DB交⊙O于点C．求证:2BO2=BC·BD．8．已知:如图，AD是△ABC的边BC上的高，以AD为直径作圆，与AB、AC•分别相交于点E、F，求证:AE·AB=AF·AC．智力操如图，是否都能求证出PA·PB=PC·PD？答案:1．C 2．2.4，1．2 3．60，30，4．连接OD，可得OD⊥AB，在⊙O中，根据垂径定理，得AD=DB 5．连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在△AOD中，∠BAC=30°，OD⊥AB，OD=5（cm）．∴AD=10（cm），cm）．∵cm），又∵∠A=∠A，∠AOD=•∠C=90°，∴△ADO∽△ABC．∴AO AD AC AB=．∴AC=5310AO ABAD==15（cm）．∴AC=15（cm）6．连接BC，由AB=AC=AD，得∠CBD=90°，所以∠CBE=90°，CE是⊙O的直径．7．由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，由∠B=∠B，∠ACB=∠DOB=90°，得△ABC∽△DBO，∴AB BCBD BO=．∴AB·BO=BC·BD．又∵AB=2BO，∴2BO·BO=BC·BD．∴2B O2=BC·BD8．连接DE、DF，得DE⊥AB，DF⊥AC，可证△ADE•∽△ABD，∴AE ADAD AB=．∴AD2=AE·AB．同理可得A D2=AF·AC．∴AE·AB=AF·AC智力操连接AC、DB，•证△PAC∽△PDB可得．连接BC、DA，可证△DBC∽△PDA可得．。

圆周角(3种题型)-2023年新九年级数学暑假精品课(苏科版)(解析版)

圆周角（3种题型）1.理解并掌握圆周角相关概念2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．1、顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。

3、圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）一．圆周角定理（共12小题）1．（2023•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．45°D．40°【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝40°，由直角三角形的性质，即可求出∠ABD 的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2023•溧阳市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（）A．36°B．40°C．46°D．65°【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠DAB＝36°，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝54°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，∴∠DAB＝∠BCD＝36°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023•金坛区一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B 的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】由三角形外角的性质求出∠C＝30°，由圆周角定理得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是掌握圆周角定理，三角形外角的性质．4．（2023•天宁区模拟）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（）A．50°B．30°C．25°D．20°【分析】先利用平行线的性质可得∠COB＝∠OBA＝40°，然后再利用圆周角定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°，∴∠COB＝∠OBA＝40°，∴∠BAC＝∠COB＝20°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为．【分析】先图形抽象出来，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答．【解答】解：连接OA、OC、DA、DC，设⊙O的直径为EF，如图：由题意可知，∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴∠ADC＝∠AOC＝40°，∵∠ABC+∠AOC＝180°，∴∠ABC＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键．6．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交⊙O于点C，D，连接BD．若∠A＝34°，∠AED ＝87°，则∠B＝°．【分析】先根据三角形的外角性质可得∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B＝53°，即可解答．【解答】解：∵∠AED是△ACE的一个外角，∠A＝34°，∠AED＝87°，∴∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，∴∠C＝∠B＝53°，故答案为：53．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．（2022秋•南京期末）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝24，则CD的长为．（2）如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB＝EF，求证CD＝GH．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理即可求出答案；（2）利用弦，弧、圆心角、弦心距之间的关系进行解答即可．【解答】解：（1）如图①，过点O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE＝AB＝12，CE＝DE，连接OA，OC，在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，在Rt△COE中，OE2＝OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，即132﹣122＝72﹣CE2，解得CE＝2，∴CD＝2CE＝4，故答案为：4；（2）如图②，过点O作OM⊥AB，ON⊥EF，垂足分别为M、N．∵AB＝EF，∴OM＝ON，∴CD＝GH．【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系是正确解答的前提．8．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A ＝45°，，则弦CD＝．【分析】连接OC，过点O作OH⊥CD，垂足为H，根据垂径定理可得CD＝2CH，再根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO＝45°，从而可得∠AOC＝90°，然后利用等腰直角三角形的性质可得OA＝OC＝2，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACD＝∠B＝75°，从而可得∠OCD＝30°，最后在Rt△OCH中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OH＝1，CH＝，从而可得CD＝2CH＝2，即可解答．【解答】解：连接OC，过点O作OH⊥CD，垂足为H，∴CD＝2CH，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝90°，∵，∴OA＝OC＝＝＝2，∵∠B＝75°，∴∠ACD＝∠B＝75°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，在Rt△OCH中，OH＝OC＝1，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2023•苏州模拟）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，直径CD平分∠ACE，∠ACE的一边CE与⊙O和直径AB分别交于点E，F，连接BE，且AC＝AF．（1）证明：BE∥CD；（2）若CF＝2，求BF的长．【分析】（1）先利用∠OCA＝∠A和∠OCA＝∠OCF得到∠A＝∠OCF，再根据圆周角定理得到∠E＝∠A，所以∠E＝∠OCF，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）先证明∠FOC＝∠OFC得到CF＝CO＝2，再证明△FCO∽△FAC，接着利用相似三角形的性质得到即2：（2+OF）＝OF：2，然后解方程求出OF，最后计算OB﹣OF即可．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∵CD平分∠ACE，∴∠OCA＝∠OCF，∴∠A＝∠OCF，∵∠E＝∠A，∴∠E＝∠OCF，∴BE∥CD；（2）解：∵∠FOC＝2∠A，∠2∠OCA，∴∠FOC＝∠ACF，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠OFC，∴∠FOC＝∠OFC，∴CF＝CO＝2，∵∠OFC＝∠CFA，∠OCF＝∠A，∴△FCO∽△FAC，∴CF：AF＝OF：CF，即2：（2+OF）＝OF：2，解得OF＝﹣1或OF＝﹣﹣1（舍去），∴BF＝OB﹣OF＝2﹣（﹣1）＝3﹣．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．10．（2022秋•太仓市期末）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝4，连接BC，以C为圆心，BC长为半径画弧与⊙O交于点D，连接AD，BD，BD与AC交于点E．（1）请直接写出图中与∠CAB相等的所有角；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由CB＝CD得到＝，然后根据圆周角定理得到∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；（2）先公交卡圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝3，再证明△CBE∽△CAB，利用相似比可求出CE＝，所以AE＝，利用勾股定理可计算出BE＝，然后证明△ADE∽△BCE，则利用相似比可求出AD的长．【解答】解：（1）∵CB＝CD，∴＝，∴∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；故答案为：∠CBD，∠CAD；（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵∠CBE＝∠CAB，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB，∴CE：CB＝CB：CA，即CE：3＝3：4，解得CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，∵∠DAE＝∠CBE，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴AD：BC＝AE：BE，即AD：3＝：，解得AD＝，即AD的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证∠A＝∠D；（2）若的度数为108°，求∠E的度数．【分析】（1）连接BC，首先证明BA＝BD，即可解决问题；（2）根据的度数为108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴即AD⊥BC，又AC＝CD，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：∵的度数为108°，∴∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，∴，∴∠E＝∠A＝27°．【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•建邺区期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，，∠CAB ＝32°．求∠ACD的度数．【分析】由圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠ADB＝58°，由三角形内角和定理求出∠DBA的度数，由圆周角定理即可求出∠ACD 的度数．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADB＝∠ACB＝58°，∵＝，∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣58°）＝61°，∴∠ACD＝∠DBA＝61°．∴∠ACD的度数是61°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．二．圆内接四边形的性质（共14小题）13．（2023•高新区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14．（2023•兴化市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD 的度数为°．【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，进而求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2023•建邺区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝°．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．【解答】解：如图：连接AD，∵∠O＝130°，OA＝OD，∴∠OAD＝（180°﹣130°）＝25°，∵∠C＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．故答案为：75．【点评】考查了圆的内接四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．16．（2023•沭阳县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是．【分析】首先利用圆周角定理求的∠ADC的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补求的答案即可．【解答】解：∵∠AOC＝112°，∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，故答案为：124°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，难度较小．17．（2022秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧BC上的一点（P 点与C点不重合），则∠CPD的度数是．【分析】连接BD，根据正方形的性质求出∠DBC＝45°，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC＝45°，由圆周角定理得：∠CPD＝∠DBC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是正方形的性质、圆周角定理，根据正方形的性质求出∠DBC＝45°是解题的关键．18．（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．【分析】连接OB、OD，根据圆周角定理得到∠A＝∠2，∠C＝∠1，进而证明结论．【解答】证明：如图，连接OB、OD，由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠C＝180°．【点评】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．19．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．20．（2022秋•宿豫区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的长度．【分析】根据AC为⊙O的直径，可得∠ABC＝∠ADC＝90°，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACB ＝∠CAB＝45°，然后根据勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟知直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等是解本题的关键．21．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，进而证明∠BCD＝∠EAD，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代换得到∠BCD＝∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠EAD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝∠EAD，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．22．（2022秋•建邺区期中）求证：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．证明：作直径AE，连接BE、DE．所以∠ABE＝∠ADE＝90°．因为∠CBE＝∠CDE，（①）所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．同理∠DAB+∠BCD＝180°．（1）证明过程中依据①是；（2）请给出另一种证明方法．【分析】（1）根据圆周角定理可得答案；（2）连接BO，DO，根据圆周角定理证得∠A＝∠2，∠C＝∠1，进而根据∠1+∠2＝360°，证得∠A+∠C＝180°即可证得结论．【解答】证明：连接BO，DO，由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠1+∠2＝360°，∴∠A+∠C＝180°，同理∠B+∠D＝180°．即圆内接四边形的对角互补．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．23．（2023•苏州一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝2∠BOD，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝2∠BOD，∠BOD＝2∠A，∴∠BCD＝4∠A，∴4∠A+∠A＝180°，解得：∠A＝36°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．24．（2023•鼓楼区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠BOD的度数为（）A．60°B．70°C．120°D．150°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠A＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．25．（2022秋•栖霞区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据相似三角形的性质得到＝，设BH＝k，AH＝2k，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（2）解：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴，∴＝，设BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（2022秋•高新区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD＝180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD＝180°，进而得到∠A＝∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE＝∠AEB，进而可得∠A＝∠AEB；（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB＝60°，再根据∠A＝∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB；（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠A＝60°．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．三．相交弦定理（共5小题）27．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝．【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．【解答】解：∵弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，∴CE•DE＝AE•BE，∴1×3＝AE2，解得：AE＝，∴弦AB的长为：AB＝2AE＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键．28．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△PAD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，再根据相似三角形的判定推出即可；（2）根据相似得出比例式，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴△PAD∽△PCB；（2）解：∵△PAD∽△PCB，∴＝，∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6，当PD＝4时，PC＝6，当PD＝6时，PC＝4，∵PD＜PC，∴PD＝4．【点评】本题考查了相交弦定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能正确运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．29．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．【分析】设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据相交弦定理x（4﹣x）＝5•1，然后解一元二次方程即可．【解答】解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据题意得AE•BE＝CE•DE，所以x（4﹣x）＝5•1，整理得x2﹣4x+5＝0，解得x＝2±，即EC的长为2+或2﹣．【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．30．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD ⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．【分析】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．31．（2021秋•滨湖区校级期中）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM 的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．一．选择题（共10小题）1．（2023•锡山区模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB ＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°【分析】根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得∠BCD＝100°÷4＝25°．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠OEC＝55°+25°＝80°．【解答】解：连接OD，∵点D是弧AB的中点，∴，∵∠AOB＝100°，∴∠BOD＝∠AOB＝50°，∴∠BCD＝∠BOD＝25°，∴∠OEC＝∠OBC+∠C＝55°+25°＝80°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理、圆周角定理以及三角形的内角和定理的推论，解题2．（2023•涟水县一模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，则∠ACB的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．108°【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【解答】解：∵∠AOB＝108°，∴∠ACB＝∠AOB＝54°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并灵活运用．3．（2023•南京二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为（）A．152°B．142°C．118°D．108°【分析】先用直径所对的圆周角是直角求出∠ABC，再用圆的内接四边形对角互补，求出∠ADC即可．【解答】解：连接BC，∵AB是圆的直径，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝28°，∴∠ABC＝62°，∵点A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣62°＝118故选：C．【点评】此题是圆周角定理，主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补，解本题的关键是圆的内接四边形的对角互补的应用．4．（2023•如皋市一模）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（）A．130°B．125°C．100°D．80°【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．5．（2023•铜山区一模）下列说法中，正确的是（）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．A．①④B．②③C．①③④D．②③④【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．正确；②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；③、同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确；④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；故选：C．【点评】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．6．（2023•徐州模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，则∠AOB的度数为（）A．78°B．61°C．76°D．51°【分析】根据圆周角定理即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝39°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×39°＝78°．故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．（2023•如东县一模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连接OA，OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．118°C．124°D．130°【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，∵∠CBD＝62°，∴∠CPA＝62°，∴∠AOC＝2∠APC＝124°，故选：C．【点评】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．8．（2023•新华区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，则⊙O的半径为（）A．4B．C．D．【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝45°，由圆周角定理得出∠AOC＝90°，根据OA＝OC可得出答案．【解答】解：连接OA，OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，∵OA＝OC，AC＝1，∴OA2+OC2＝12，∴2OA2＝1，∴OA＝，∴⊙O的半径为．故选：D．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．9．（2023•连云港二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（）A．135°B．140°C．145°D．150°【分析】如图，连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，可求出∠AOC＝80°，即可得∠ADC＝40°，进一步可求出∠ABC＝140°．【解答】解：连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，如图，∵∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．10．（2023•鼓楼区校级二模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】根据圆周角定理的含义可得答案．【解答】解：∵∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半．二．填空题（共8小题）11．（2023•姑苏区校级二模）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，点E为⊙O 上一点，连接CE，交⊙O于点D，连接BD、AE，若点D恰为线段CE中点且BD＝2，则△AEC周长为．【分析】连接AD，交OE于F，如图，先证明BD为△OCE的中位线，则OE＝2BD＝4，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠AFO＝90°，OF为△ABD的中位线，OF＝BD＝1，则EF＝OE﹣OF＝3，再利用勾股定理计算出AD＝2，则AF＝，再利用勾股定理求出AE，ED，即可求解．【解答】解：连接OE、AD，如图，设⊙O的半径为r，∵O、B两点是线段AC的三等分点，∴OB＝CB，∵点D恰为线段CE中点，∴BD为△OCE的中位线，∴OE＝2BD＝4，OE∥BD，∵AB为直径，O、B两点是线段AC的三等分点，∴∠ADB＝90°，AB＝2OE＝8，AC＝12，在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∵OA＝OB，OE∥BD，∴∠AFO＝90°，OF为△ABD的中位线，OF＝BD＝1，AF＝DF＝AF＝，∴EF＝OE﹣OF＝3，∴AE＝ED＝＝＝2，∴CE＝2DE＝4，∴△AEC周长为AE+CE+AC＝2+4+12＝12+6，故答案为：12+6．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形的中位线定理．12．（2023•盐都区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝°．【分析】先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D＝∠AOC＝65°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．【解答】解：∵∠D为弧AC所对的圆周角，∴∠D＝∠AOC＝＝65°，∵∠D+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣65°＝115故答案为：115．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．13．（2023•赣榆区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数为．【分析】连接AC．由直径所对圆周角为直角可得出∠ACB＝90°，从而可求出∠BAC＝52°．再结合同弧所对圆周角相等即得出∠BDC＝∠BAC＝52°．【解答】解：如图，连接AC．。

人教版九年级数学上册《圆周角》课时提升作业(含答案)

课时提高作业圆周角(30 分钟 50 分)一、选择题 ( 每题 4 分, 共 12 分)1.( 泰安中考 ) 如图 , 点 A,B,C 在☉ O上, ∠ABO=32°, ∠ACO=38° , 则∠ BOC等于 ()A.60°B.70°C.120°D.140°【分析】选 D.延长 CO交 AB于 D, 则∠ BOC=∠ODB+∠B=∠ A+∠C+∠B, 又由于∠BOC=2∠ A, 即 2∠A=∠A+∠ C+∠B,2 ∠ A=∠A+32°+38°, 因此∠ A=70°, 因此∠BOC=140°.2.( 珠海中考 ) 如图 , ?ABCD的极点 A,B,D 在☉ O上, 极点 C 在☉ O的直径 BE上, ∠ADC=54°, 连接 AE,则∠ AEB的度数为 ()A.36°B.46°C.27°D.63°【分析】选 A. ∵四边形 ABCD是平行四边形 ,∴∠ B=∠ADC=54°.∵BE是☉O的直径 , ∴∠ BAE=90°,∴∠ AEB=90°- ∠B=90°-54 ° =36°.3.如图 , 两圆订交于 A,B 两点 , 小圆经过大圆的圆心 O,点 C,D 分别在两圆上 , 若∠ADB=100°, 则∠ ACB的度数为 ()A.35°B.40 °C.50°D.80°【分析】选 B. 连结 OA,OB,∵四边形 AOBD内接于圆 , ∠ ADB=100°,∴∠ AOB=180°-100 °=80° .∵∠ ACB=∠AOB,∴∠ ACB=× 80°=40° .二、填空题 ( 每题 4 分, 共 12 分)4.( 青海中考 ) 如图 , 在☉ O中直径 CD垂直弦AB,垂足为E, 若∠ AOD=52°, 则∠ DCB=.【分析】∵CD是直径 ,CD⊥AB,∴=,∴∠ DCB=∠AOD=×52°=26°.答案 : 26°【方法技巧】同一圆中证明两角相等、两弧相等的“两种方法”(1)证明两角相等①同弧或许等弧所对的圆心角相等 ;②同弧或许等弧所对的圆周角相等( 在同圆或许等圆中 , 同弧或许等弧所对的圆周角都等于这条弧所对圆心角的一半 ).(2)证明两弧相等①垂径定理及其推论中弧、弦、圆心角三者之间的关系;②在同圆或等圆中 , 相等的圆周角所对的弧也相等.即有弧找角、有角找弧是证明弧相等或许角相等常用的思想方法.5.(2013 ·株洲中考 ) 如图 AB是☉ O的直径 , ∠ BAC=42°, 点 D 是弦 AC的中点 , 则∠ DOC的度数是度.【分析】方法一 : ∵ AB是☉O的直径 , ∴∠ ACB=90° ,∴∠ A+∠B=90° , ∴∠ B=90°- ∠A=48°,∴∠ AOC=2∠B=96° ,∵OA=OC,AD=CD,∴∠ DOC = ∠ AOC=48°.方法二 : ∵ AD=CD,∴OD⊥ AC,∴∠ CDO=90° , ∴∠ DOC+∠ACO=90°,∵OA=OC,∴∠ ACO=∠A=42° ,∴∠ DOC =90°- ∠A=48°.答案: 486. 如图 ,AB 是半圆 O的直径 ,C,D 是上两点,∠ADC=120°,则∠ BAC的度数是度 .【分析】∵∠ ADC=120°,∴∠ B=180°- ∠ ADC=60°.∵AB是直径 , ∴∠ ACB=90°, ∴∠ BAC=90° -60 °=30°.答案: 30【拓展延长】同一条弧所对的四类角及两关系四类角 :(1)圆心角 : 极点在圆心的角 .(2)圆周角 : 极点在圆上 , 两边和圆订交的角 .(3)圆内角 : 极点在圆内 , 两边和圆订交的角 .(4)圆外角 : 极点在圆外 , 两边和圆订交的角 .两关系 :(1) 一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半.(2)一条弧对的圆内角 >该弧对的圆周角 >该弧对的圆外角 .三、解答题 ( 共 26 分)7.(8 分) 如图,AB 是☉ O的直径 ,BD 是☉ O 的弦 , 延长 BD到点 C, 使 DC=BD,连结 AC交☉ O于点 F, 点 F 不与点 A重合.(1)AB 与 AC的大小有什么关系 ?为何 ?(2)按角的大小分类 , 请你判断△ ABC属于哪一类三角形 , 并说明原因 .【分析】 (1)AB=AC. 连结 AD,∵AB是直径 ,∴∠ ADB=90°,又∵ DC=BD,∴AB=AC.(2)△ABC是锐角三角形 .由(1) 知, ∠B=∠ C<90° , 连结 BF,则∠ AFB=90°,∴∠ A<90°, ∴△ ABC是锐角三角形 .【方法技巧】有直径时 , 经常增添协助线 , 结构直径所对的圆周角 , 由此转变为直角三角形的问题, 联合等腰三角形的性质, 可判断线段或角相等 .8.(8分)(温州中考)如图,AB为☉ O的直径,点C在☉ O上,延长BC至点D,使DC=CB延.长DA 与☉ O的另一个交点为 E, 连结 AC,CE.(1)求证: ∠B=∠D.(2)若 AB=4,BC-AC=2,求 CE的长 .【分析】 (1) ∵AB为☉O的直径 , ∴∠ ACB=90°,∴AC⊥ BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠ B=∠D.(2) 设 BC=x,则 AC=x-2.222在 Rt △ABC中,AC +BC=AB ,∴(x-2) 2+x2=16,解得 x1=1+ ,x 2=1-( 舍去 ),∵∠ B=∠E, ∠ B=∠D, ∴∠ D=∠E,∴CD=CE,∵CD=CB,∴CE=CB=1+.【培优训练】9.(10 分 ) 如图 , ☉O的直径 AB的长为 6, 弦 AC的长为 2, ∠ ACB的均分线交☉ O于点 D,求四边形 ADBC的面积 .【分析】∵AB是直径 , ∴∠ ACB=∠ADB=90°.在 Rt △ABC中,AB=6,AC=2,∴BC===4.∵∠ ACB的均分线交☉O于点 D,∴∠ DCA=∠BCD,∴=, ∴ AD=BD,∴在 Rt△ABD中 ,AD=BD= AB=3,∴四边形 ADBC的面积 =S△ABC+S△ABD =AC· BC+ AD·BD=×2×4 + ×(3) 2=9+4 .。

九年级数学上册第2章对称图形—圆2.4圆周角第2课时特殊圆周角同步练习

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————第2章对称图形——圆2.4 第2课时特殊的圆周角知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为( ) A．80° B．60° C．50° D．40°图2－4－15图2－4－162．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为( )A．50° B．40° C．45° D．60°3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.图2－4－17图2－4－184．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．图2－4－19知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( )A.10 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm图2－4－20图2－4－217．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．图2－4－229．如图2－4－23，⊙O 以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于点E ，交BC 于点D.求证：BC ＝2DE.图2－4－23图2－4－2410．如图2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC ︵的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．图2－4－25图2－4－2612．如图2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②CB 平分∠ABD；③∠AOC ＝∠AEC；④AF＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．13．如图2－4－27，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC 交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．图2－4－2714．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－4－2815．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.(1)∠E的度数为________；(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．图2－4－291．C [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C .2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵∠ABD ＝∠ACD＝40°，∴∠BAD ＝180°－90°－40°＝50°. 3．90 [解析] 连接AC ，则∠ACB＝90°. 根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠ACB＝90°. 4．805．解：如图，连接BC ，则∠ADC＝∠B.∵∠ADC ＝50°， ∴∠B ＝50°.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝40°.∵∠CEB ＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD ＝60°， ∴∠CEB ＝60°＋40°＝100°. 6．B 7．138．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∴∠AEP ＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°， ∴△APE 是等腰直角三角形．(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PAE＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE.在△APC 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAP ＝∠BAE，AP ＝AE ，∴△APC ≌△AEB ，∴PC ＝EB.∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE ＝90°，∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝4. 9．证明：连接AD ，BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠C，BD ＝DC ，即BC ＝2DC.∵∠DAE ＝∠DBE，∠ADE ＝∠ABE，∴∠DEC ＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C， ∴DE ＝DC ，∴BC ＝2DE. 10．C [解析] 连接BD. ∵D 是AC ︵的中点，即CD ︵＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠CBD.∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠DAB ＝90°－25°＝65°. 11.5 2212．①②④⑥13．解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠B ＝20°. 又∵OD∥BC，∴∠AOD ＝∠B＝70°. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO＝12(180°－∠AOD)＝55°，∴∠CAD ＝∠DAO－∠CAB＝35°. (2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝7. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB＝90°，即OE⊥AC，∴AE ＝EC. 又∵OA＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72.∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. 14． (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即AC⊥BC.又∵CD＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D. (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)， ∴BC ＝1＋7.∵∠B ＝∠E，∠B ＝∠D， ∴∠D ＝∠E， ∴CD ＝CE. ∵CD ＝BC ，∴CE ＝BC ＝1＋7.15． (1)如图①，连接OD ，OC ，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DBC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°.(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC. ∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.(3)如图③，连接OD，OC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝∠BED＝60°.。

圆周角(2)课后作业和答案

（2）求证：BD=CD.
2.4圆周角（2）课后作业答案
1．70 2．45º，45º3．34．50º
5.解：∵AB2+BC2=100,AC2=100,
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD2�-16=84，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= (180°-∠AEB)=67.5°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°
(2)连接AD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∵AB=AC，
∴BD=CD.
∴AD=2 .
6.解：连接CD,则∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC=∠DAC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴AC=DC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°,
∴AD2=DC2+AC2，
∴2AC2=16，
∴AC=2 .
7.解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°,
∵∠BAC=45°,
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAC=45°，
4．如图4，A、B、C、D都在⊙O上，BC是直径，AD=BD，∠1=20°，则∠2=．
5.如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4，求AD的长.
6.如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长．
7.如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°.（1）求∠EBC的度数；
2.4圆周角（2）课后作业
学校班级姓名完成时间
1．如图1，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC＝20°，那么∠ACB＝．

九年级数学上册第三章圆的基本性质3.5圆周角第2课时圆周角定理的推论随堂练习(含解析)浙教版(20

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3.5__圆周角第2课时圆周角定理的推论1．下列命题是假命题的是( B ）A．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等B．相等的圆心角所对的弧相等C．两条平行线间的距离处处相等D．正方形的两条对角线互相垂直平分2．[2017·黄冈］如图3－5－18，已知在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为( B ）A．30° B．35° C．45° D．70°图3－5－18 第2题答图【解析】如答图，连结OC，由垂径定理可得错误!＝错误!，∠AOB＝∠AOC＝70°，∴∠ADC＝错误!∠AOC＝35°。

3．[2016·绍兴]如图3－5－19，BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上，错误!＝错误!，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( D ）A．60°B．45° C．35°D．30°图3－5－19 图3－5－204．［2016·自贡］如图3－5－20，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°,则∠B的度数是（ C ）A．15°B．25° C．30°D．75°5．[2016·乐山］如图3－5－21，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝（ B )图3－5－21A．10°B．20°C．30°D．40°【解析】∵∠ACD＝40°，CA＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝错误!×(180°－40°)＝70°，∴∠ABC＝∠ADC＝70°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°,∴∠CAB＝90°－∠B＝20°.故选B.6．［2017·十堰]如图3－5－22，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°,∠ACB的平分线交⊙O于D。

九上圆 5.3 圆周角(2)含答案

5.3圆周角第2课时直径所对的圆周角的性质1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝20°，则∠ABC＝_______．2．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD＝40°，则∠BCD＝_______，∠BOD＝_______．3．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC＝BD，判断△ABC的形状：_______．4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC＝30°，则AC的度数是( )A．30°B．60°C．90°D．120°5．如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，弦AC＝4，∠ABC＝∠DAC，求直径AD的长．6．如图，A、B、E、C四点都在圆O上，AD是△ABC的高，∠EAB＝∠DAC，问：AE 是⊙O的直径吗？为什么？7．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E．(1)试判定线段OE与线段BC的关系，并说明理由；(2)若F为BC边上的中点，试判定四边形OFCE的形状．，BF和AD交于点E说明8．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AFAE与BE的大小关系，并证明这一结论．9．如图，以M(－5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于点A、B，P是⊙M上异于A、B 的一动点，直线PA、PB分别交y轴于点C、D，以CD为直径的⊙N于x轴交于点E、F，则EF的长( )A．等于42B．等于43C．等于6 D．随点P的位置而变化10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是( ) A．∠BOD＝∠BAC B．∠BOD＝∠CODC．∠BAD＝∠CAD D．∠C＝∠D11．已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D．(1)如图①，求证：AC是⊙O1的直径；(2)若AC＝AD，∠D＝60°，如图②，连接BO2、O1O2，试判定四边形O1CBO2的形状，并说明理由；(3)如图③，若AC＝AD，点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧MC上任取一点E（点E不与点M、C重合），EB的延长线交优弧BDA于点F，连接AE、AF，试判定AE和AB的大小关系，并说明理由．参考答案1．70°2．50°100°3．等腰三角形4．D5．6．是7．(1)OE＝12BC (2)矩形8．略9．C10．D11．(1)略(2)菱形(3)AE>AB。

苏科版九年级数学上册2.4 圆周角2.4.2 直径所对的圆周角的性质(word版含答案)

2.4 圆周角2.4.2 直径所对的圆周角的性质一、选择题（共6小题；共30分）1. 如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20∘，则∠DBA为( )A. 50∘B. 20∘C. 60∘D. 70∘2. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70∘，则∠OCB等于( )A. 70∘B. 20∘C. 140∘D. 35∘3. 如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD等于( )A. 116∘B. 32∘C. 58∘D. 64∘4. 如图，在⊙O中，直径AB=5，弦BC=3，若点P为弧BC上任意一点，则AP的长不可能为( )A. 3B. 4C. 4.5D. 55. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：① AD⊥BD；② ∠AOC=∠AEC；③ CB平分∠ABD；④ AF=DF；⑤ BD= 2OF；⑥ △CEF≌△BED，其中一定成立的是( )A. ②④⑤⑥B. ①③⑤⑥C. ②③④⑥D. ①③④⑤6. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC．则线段CP长的最小值为( )A. 32B. 2 C. 8√1313D. 12√1313二、填空题（共6小题；共30分）7. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54∘，则∠BAC的度数等于．8. 如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A，B重合），延长BD到C，使BD=CD，△ABC的形状为．9. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50∘，则∠CAD=．10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已知B(8,0)，C(0,6)，则⊙A的半径为．11. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120∘，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=．12. 如图，已知A，B两点的坐标分别为(2√3,0)，(0,2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45∘，则点P的坐标为．三、解答题（共4小题；共40分）13. 如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D．求证：∠BAE=∠CAD．14. 如图，AB是半圆的直径，图①中，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图①中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图②中，画出△ABC中AB边上的高．⏜的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE15. 如图，AB是⊙O的直径，C是BD于点F．求证：CF=BF．16. 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（2）如图2，若∠CAB=60∘，求BD的长．答案第一部分1. D2. B3. B4. A 【解析】连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，在Rt△ACB中，AC=√AB2−BC2=√52−32=4，∵点P为弧BC上任意一点，⏜≤AP⏜≤AB⏜，∴AC∴AC≤AP≤AB，即4≤AP≤5．5. D【解析】① ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘ .∴AD⊥BD .② ∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC .③ ∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC .∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC .∴∠OBC=∠DBC .∴CB平分∠ABD .④ ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘ .∴AD⊥BD .∵OC∥BD，∴∠AFO=90∘ .∵点O为圆心，∴AF=DF .⑤由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线.∴BD=2OF .⑥ ∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等.6. B 【解析】提示：∠P始终等于90∘，所以点P始终在以AB为直径的圆上，AB 中点与C连线交于圆上，此点即为所求．第二部分7. 36∘8. 等腰三角形9. 40∘10. 5【解析】连接BC．因为∠BOC=90∘，所以BC为圆A的一条直径，由题意得OB=8，OC=6，所以BC=√OB2+OC2=√82+62=10，BC=5．所以圆A的半径等于1211. 2√3【解析】提示：∠BCA=30∘，∠BDA=30∘，∠BAD=90∘．12. (√3+1,√3+1)【解析】∵OB=2，OA=2√3，∴AB=√OA2+OB2=4．∵∠AOP=45∘，∴P点的横、纵坐标相等，可设为P(a,a)．∵∠AOB=90∘，∴AB是直径，∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标为C(√3,1)．∵P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．连接CP，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于点E，交CF于点F，∴∠CFP=90∘，∴PF=a−1，CF=a−√3，PC=2，∴在Rt△PCF中，(a−√3)2+(a−1)2=22，解得a=√3+1或a=0(舍去)．∴P(√3+1,√3+1)．第三部分13. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90∘，∴∠BAE+∠E=90∘．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90∘，∴∠CAD+∠ACB=90∘．∵∠E=∠ACB，∴∠BAE=∠CAD．14. （1）在图①中，点P即为所求．（2）在图②中，PC即为所求．15. 如图，连接AC，⏜的中点，∵C是BD∴∠DBC=∠BAC．在△ABC中，∠ACB=90∘，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90∘，∴∠BCE=∠BAC，∴∠BCE=∠DBC，∴CF=BF．16. （1）∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90∘．在直角△CAB中，BC=10，AB=6，由勾股定理，得AC=√BC2−AB2=√102−62=8 . ∵AD平分∠CAB，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴BD=CD=5√2 .（2）连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60∘，∠CAB=30∘ .∴∠DAB=12∴∠DOB=2∠DAB=60∘．又OB=OD，∴△OBD是等边三角形.∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．。

圆周角圆心角和垂径定理提高练习(供参考)

圆周角、圆心角和垂径定理总结与提高知识点：一、圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么那个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 二、垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 3、关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组量相等，那么它所对应的其他各组别离相等. 〖课前热身〗１.以下说法不正确有A ．过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确信，半径也不确信B ．过两个点能够画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上C ．优弧必然比劣弧长．D ．两个圆心角相等那么所对的弧也相等 E.平分弦的直径垂直于弦 F ．弦的中垂线必过圆心２.正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 取得任意一点，那么∠BPC 的度数是（）A ．45 B ．60 C ．75 D ．90３、如图2，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，•ODC BA４、如图3，弦AC 、BD 相交于点E ，AB ⌒ =BC ⌒ =CD ⌒, ∠AED=80°,∠ACD的度数为__________5、在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分为度数比为15∶的两条弧，那么弧AB 所对的圆心角的度数为______6、圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是_____________7、如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数别离是70°、40°，那么∠1的度数为________8、如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，AB 恰好通过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，那么折痕AB长为（） A ．215 B ．415C ．8D ．10九、如图,△ABC 的高CF 、BG 交于点H,别离延长CF 、BG 与△ABC 的外接圆交于DE 两点,那么以下结论:①AD=AE;②AH=AE;③假设DE 为△ABC 的外接圆的直径,那么BC=AE;其中正确的选项是( ) A.①； B. ①②； C. ②③； D.①②③.10、在⊙O 中,弦CD 垂直于直径AB,E 为劣弧CB 一动点(BC 重合),DE 交弦BC 于点N,AE 交半径OC 于点M,在E 点运动进程中, ∠AMC 与∠BNE 的大小关系为( ) A.∠AMC>∠BNE ； B. ∠AMC=∠BNE ； C. ∠AMC<∠BNE ； D. 不能确信.AC11. .如图，⊙P 的半径为5，且与Y 坐标轴别离交于点A （－2，0），B （－10，0），点P 的坐标为：。

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圆周角第2课时直径所对的圆周角的性质
重点
1、直径所对的圆周角是直角；
2、90°的圆周角所对的弦是直径。

习题精练
1、AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（）
A、25°
B、35°
C、15°
D、20°
2、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD为（）
A、30°
B、50°
C、60°
D、70°
3、如图，⊙A过点O（0,0），C（0,3），D（0,1），点B是x轴下方⊙A上的一
点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）
A、15°
B、30°
C、45°
D、60°
4、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上任意一点（不与点A、B重合），延长BD 到C，使BD=CD，则△ABC的形状为______________.
5、如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是__________cm。

6、如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AB=6，则BD=______.
7、如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD=AC，DB的延长线交⊙O于点E。

（1）求证：CD=CE；
（2）连接AE，若∠D=25°，求∠BAE的度数。

拓展提升
8、如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE，若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为（）
A、12
B、15
C、16
D、18
9、如图，已知⊙O 的半径的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD=6，则弦AB 的长为（）
A 、6
B 、8
C 、25
D 、35
10、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（）
A 、2
3 B 、2 C 、13138 D 、131312
11、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 、E 都在⊙O 上，若∠C=∠D=∠E ，则∠A+∠B=______°
12、如图，已知A ，B 两点的坐标分别为（032，），（0,2），P 是△AOB 外接圆上
的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为____________.
13、如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图。

（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高。

14、如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，AC为直径作⊙O，交BC于点E，过O作OD//BC交⊙O于点D，连接AE，AD，DC。

求证：⌒的中点；
（1）D是AE
（2）∠DAO=∠B+∠BAD。

15、已知A（2,6），B（8,-2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）
A、6个
B、7个
C、8个
D、9个
16、已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D。

（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB=6,求AC，BD，CD的长；
（2）如图2，若∠CAB=60°，求BD的长。