数学建模人体膝关节受力分析西南财经大学校赛2015

2015年西南财经大学数学建模校赛
人体膝关节运动学问题
参赛队员信息
2015/5/4
1460.655123.0532 1.293931.59040.1314y x x x ω
=-+++-人体膝关节运动学问题
摘要：
对于问题一，分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。

首先处理了数据中的异常和缺失数据，用excel 做出了各变量相对于峰力矩的散点图，发现速度对其影响不受其他变量干扰，求出其它变量在不同角速度下与峰力矩的相关系数。

结果是年龄，左右脚与峰力矩相关系数极小；身高，峰力矩角度与峰力矩相关性不大；峰力矩角度与峰力矩是测试系统同时生成的观测指标，不能作为自变量。

性别x1，体重x4，屈伸膝x6，角速度w 与峰力矩y 的相关系数分别为0.571075,0.5195775，0.48212，-0.49915。

对相关性较强的变量建立多元回归分析模型，用matlab 软件解得方程为
对于问题二，分析人胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系。

我们将身体简化为以胯和膝两处为转折点，躯干、大腿、小腿为三段均匀杆的模型，杆的宽度是膝盖的宽度。

假设人体质量均匀分布与长度正相关。

（1）人的重心落在脚的地面的接触点上，过重心垂线两侧质量相等（两侧杆长度之和相等）。

（2）胫股关节接触力力矩等于重力力矩。

（3）查找资料确定人体各关节活动角度范围，完成模型建立。

用LINGO 软件求解得胫股关节最大接触力是体重的7.1倍。

此时人体姿势为大腿与地面水平，与小腿夹角为45º，小腿与地面夹角为45º，腰部与水平面夹角为80.12º。

对于问题中的说法验证结果为人体屈膝30º，膝关节承受压力是体重的1.54641倍；屈膝60º，膝关节压力为体重的4.0926倍；屈膝90º，所承受的压力是体重的6.44204倍。

在一定误差范围下说法是正确的。

对于问题三，分析人体在上下台阶时胫股关节接触力与腿部动作速度的关系。

（1）沿用问题二中均匀杆模型，建立力矩平衡方程。

（2）假设始终单腿承重，重心落在承重腿与地面接触点上。

取上（下）一级台阶时间为一周期，完成承重腿由弯曲到直立（直立到弯曲）的动作。

根据非承重腿刚离开（接触）地面时与地面和垂线构成直角三角形建立方程。

（3）首先研究小腿与垂线角度，列出其与时间的关系式,再找到力与该角度关系,用LINGO 解出力最大时的角度,确定当时测试者的姿势。

LINGO 的结果显示上下楼梯胫股关节接触力最大时姿势相同，在小腿与竖直面的夹角为41.38º膝盖受力最大，力为5505.44N ，是体重的7.86倍，平均受力为2752.72N 。

对于问题四，定性分析了在举重过程中胫股关节接触力与其产生的对上半身支撑力的关系。

建模后并进行两次修正。

模型一中沿用问题三中均匀杆模型，根据大小腿在水平方向上分量相同建立联系，又根据虚功原理（膝盖水平方向做功等于支撑力竖直方向做功）列出支撑力'G 与胫股关节接触力N
关系式：1tan 'sin N G b αα=
，从中看出大腿与地面垂直时即使N 很小'G 也趋于无限大。

模型二修正了模型一中N 为恒力的假设，得
出121()sin '1b N N c G αα+=，可见'G 有一极限值，同时'G 不仅与大小腿拉力有关还与大腿弯
曲角度成正弦而非正切关系。

模型三保持踝关节位置不变，修正了模型二中关于膝盖位移沿水平方向的假设，修正后结果11122212sin '(cos cos )sin sin()
G N N αααααα=++。

关键词： 回归模型 人体均匀杆模型 优化问题 胫股关节 受力分析
1.问题重述
1、膝关节力量的测试分析
采用CON-TREX 等速测力系统采集实验数据：选择膝屈/伸两个实验项目，进行四种方案测试：静止130°用力、运动60º/s、180º/s、300º/s，分别进行5次。

测试者上身进行固定，要求双手握住两侧扶手，测试时必须用尽全力。

测试数据见文件：data1：数据项包括：测试者编号、性别（1男2女）、年龄、身高、体重、左/右腿（1左2右）、屈/伸（1伸2屈）、静止130º峰力矩、60º/s峰力矩、60º/s峰力矩角度、180º/s峰力矩、180º/s峰力矩角度、300º/s峰力矩、300º/s峰力矩角度。

试分析测试数据有那些特征，即：峰力矩的值与那些因素有关，以及关系的强弱。

2、膝关节承重分析
体重负荷下，胫股关节接触力随屈膝角度增大而增加。

有资料显示，人体屈膝30º，膝关节承受压力和体重相等，屈膝60º，膝关节压力为体重的4倍，屈膝90º，所承受的压力是体重的6倍。

试建立数学模型，分析在体重负荷、静止、双脚支撑状况下，胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系，确定最大胫股关节接触力及对应的屈膝角度、小腿等的倾斜度。

并说明上段说法是否正确（可在一定误差下）。

3、台阶运动对膝关节的影响
爬楼梯属于负重运动，上下台阶时下肢各关节的运动幅度、关节负荷以及肌肉活动等均与在平地上静止、行走有差异，膝关节起主要承重和缓冲作用。

有资料显示，正常人在爬楼梯时膝关节承受的压力会在瞬间增加3倍。

即，一位体重为70公斤的人在爬楼梯时其两侧膝关节所承受的压力则高达280公斤。

同时，爬楼梯速度越快，膝关节承受的压力就越大。

考察台阶：长90 cm、宽28 cm、高18 cm，测试者：170cm、70kg，速度：96 步/分。

试建立数学模型，分析上下台阶时，胫股关节接触力与上下楼梯时腿部动作、速度等的关系。

分析上下楼梯是否有差异、上下楼梯最大膝关节压力各是多少、平均膝关节压力各是多少。

并说明上段说法是否正确。

4、运动对膝关节的影响
若时间容许的话，请选取步行（例如快步走）、武术（例如太极拳）、球类（例如篮球）、田径（例如跳远）等一个或多个运动项目，对运动对膝关节的影响进行进一步讨论。

2.问题分析
2.1问题1
分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。

这可以看成是多元回归模型。

我们先用插值法处理了数据中的异常数据，求出每个变量相对于峰力矩的相关性。

发现年龄，身高，左右腿，峰力矩角度与峰力矩相关性不强，将其从回归中剔除。

同时用Excel散点图发现在不同的角速度下峰力矩的变化趋势几乎一致，说明角速度对峰力矩的影响不受其他因素的干扰，故先分析一种速度下其他因素对峰力矩的影响。

最后加入角速度因素并对模型进行优化。

2.2问题2
求出膝关节最大受力的情况。

这可以看成是优化模型，并且运用了力学受力原理。

可以将人体简化为三段轻杆（小腿，大腿，躯干）和2个节点(膝关节，腰)的受力模型。

通过受力分析建立方程，用LINGO 求解。

2.3问题3
分析膝盖在上楼下楼时所受的压力。

可以看成是优化模型，运用力学受力原理，延用问题2 的假设，以一步为周期，建立有关力学模型，用LINGO 求解。

2.4问题4
分析人体在举重时胫骨关节的受力和人体产生的支撑力的关系。

做定性分析，延用问题2的假设，建立有关力学模型，求出表达式。

3 模型假设
1) 假设统计的数据真实有效，与现实无偏差；
2) 假设实验对象除了给出的变量以外其他情况完全相同；
3）人体在力学研究中简化为大腿，躯干，小腿三部分，股，膝为两处折点；
4）人体在力学研究中质量均匀分布，重心在经过脚的与地面垂直的线上；
5）人体在上下楼运动中完成一个周期后的姿势不变；
6）人体重心在上下阶梯换承力腿时瞬间转移到承力腿上。

4 符号说明
1234567,,,,,,x x x x x x x ：性别，年龄，身高，体重，左右腿，伸屈膝，峰力矩角度 ω：运动角速度
y ：峰力矩值
,,a b c ：分别表示躯干，大腿，小腿的长度
1a ：躯干在重心线左边的长度
2a ：躯干在重心线右边的长度
α：小腿与地面夹角
β：大腿与水平面的夹角
γ：躯干与水平面夹角
F ：膝盖所受到的压力
1F ：肌力
2F ：重力
1l ：肌力的力臂
2l ：重力的力臂
1N ：大腿对膝关节的拉力
2N ：小腿对膝关节的拉力
d ：膝关节的受力宽度
m ：人体质量
g ：重力加速度
θ：上楼运动中年小腿与竖直面夹角
0θ：上楼初始状态时小腿与竖直面夹角
δ：下楼运动中小腿与竖直面夹角
t δ：下楼末状态时小腿与竖直面夹角
h ：台阶的高度
k ：台阶的宽度
v ：人体运动速度
'G ：支撑力
0m g ：举重时的物重
dx ：举重时膝关节水平方向上的位移
dy ：举重时主动力'G 的虚位移
dr ：举重时主动力12,N N 的虚位移
N ：经股关节所受的横向力恒力
x N ：经股关节所受的横向力变力，12,N N 在X 方向上的合力
0s ：人体脚掌长度
s ：改进后重心线与后跟接触点距离
5模型建立与求解
5.1问题一模型的建立和求解
5.11数据处理
根据分析，文件data1中出现三个异常值，分别为M8缺失（第一位测试者在右膝屈膝情况下第二次测得300º/s 峰力矩），K29缺失（第二位测试者在左膝伸膝情况下第三次测得180º/s 峰力矩），H74数值异常（第四位测试者右膝伸膝情况下的第四次静止
130º峰力矩）。

对于缺失数据，用插值法进行修正，取相同情况下测试的其他几组数据的平均值作为修正数据，修正后的结果分别为66.47（M8）,112.70(K29)；对于异常数据（7777.72）直接修正为（77.72）。

为求结果的精确，将每位测试者4种情况（左腿伸膝，左腿屈膝，右腿伸膝，右腿屈膝）下测试的五组数据取其平均值作为最终数据。

5.12模型建立和求解
峰力矩受到多个变量的影响，适用于多元回归模型。

首先用Excle 软件绘制不同角速度下的峰力矩折线图（图1）。

图1 不同角速度下的峰力矩折线图
分析发现角速度对于峰力矩的影响不受其他变量的干扰，曲线变化趋势基本一致。

故在分析其他变量对峰力矩的影响时可以逐个分析每一个角速度下的影响。

然后用Excel2013版中correl(arrange1,arrange2)函数求出每个变量对应的相关
分析发现年龄，身高，左右脚与峰力矩相关性过弱，不将其作为模型的有效变量。

而峰力矩力矩角度是指力矩曲线中，峰力矩所对应的角度，是作为测试系统自带的观测指标，不能作为独立的自变量进行处理，且相关性分析结果偏小，故也不作为有效变量。

剩下的有效变量x1性别，x3身高，x4体重，x5伸屈膝在不同的速度下与峰力矩的相关性大致相同，证明原假设（角速度对于峰力矩的影响不受其他变量的干扰）成立。

对其也做相关性分析，R 值为-0.499155736，呈现较强的负相关，也是有效变量。

对剩下的变量性别，体重，伸屈膝和角速度建立多元回归模型如下
01124364y x x x βββββωμ=+++++
其中分别为性别，体重，伸屈膝和角速度。

通过MATLAB求解,程序见
附录1.
算法如下：
（1）利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解回归方程；
（2）利用MATLAB统计工具箱中的命令rcoplot作出残差图；
（3）利用MATLAB编程剔除残差异常点重复（1）（2）步骤，直到残差正常，此时得到回归方程；
2
R=0.7335F=370.8149 P=0.0000
残差图见下图（图2）
图2 第一次回归残差图
2
R=0.75F=105.70 P=0.0000
残差图见下图（图3）
图3 第二次回归残差图
2R =0.79F =111.50 P=0.0000 残差图见下图（图4）
图4 第三次回归残差图
故回归方程为
1460.655123.0532 1.293931.59040.1314y x x x ω=-+++-
5.2问题二的模型建立和求解
5.21模型建立
(1)受力结构
理想的成年人的身体一般常用8个头长作为身高比例。

从脚部向上算起，小腿约占两个头长，大腿两个头长，躯干三个头长。

脚与地面的接触为一点，头竖直于躯干，忽略双臂的影响，我们将身体模型简化为一胯和膝两处为转折点的三段轻杆，杆的宽度是膝盖的受力宽度如下图（图5）。

假设人体质量均匀分布，则在分析受力结构时，人体可以再次简化为轻杆重心线的连线要使人站立不倒，人体重心作地面的垂线必须落在脚与地面接触的点上。

受力结构见下图（图6）。

图5 人体简化模型图 图6 人体重心模型图
要使人站立不倒，人体重心作地面的垂线必须落在脚与地面接触的点上。

人各部分长度与质量成正比，为保证在做肢体运动时人体保证稳定状态，不发生偏倒，重心需在经过脚的与地面垂直的线上，即重心线左右两部分质量应该相等，也就是两部分长度相同，且各部分长度应该满足图中集合关系，保证人的各部分连接在一起。

即满足：
12cos sec cos sec c c a b c a αβαβ++=-+
()2cos cos sec cos a b c γαββ=-
12a a a +=
a 为躯干的长度，
b 为大腿的长度，
c 为小腿的长度，1a 为躯干在重心线左边的长度，2a 为躯干在重心线右边的长度，α为小腿与水平方向夹角，β为大腿与水平方向的夹角（β正时表示大腿在水平面以上，为负则表示大腿在水平面以下），γ为躯干
与水平方向夹角。

资料显示人体的踝关节运动角度满足正常背伸至70度，跖屈至140度，约有70度的活动范围，即活动角度为45度~90度，因为人体不能完成骨干的完全重合，故膝关节活动角度为15度~180度，腰部活动角度为0度~180度。

即满足：
1142
112
0παππαβπγβπ
≤≤≤+≤≤+≤ （2）受力分析
经股关节受力是来自大腿和小腿肌肉拉力的合力，是以膝关节侧面图中心位置为支点的一个杠杆模型。

膝关节受力与力矩有关，其宽度在受力分析时不能忽略不计。

一力作用在距支点一定距离的地方，就会引起角运动，这个角运动的趋势就是力矩，用以表示旋转力的大小，力矩是作用力和力臂的乘积。

力臂是力的作用线到旋转轴之间的垂直距离。

膝盖只有在所受力矩和为0时才能保持静止状态，不发生旋转。

则满足肌力对膝关节的力矩=重力对膝关节的力矩。

受力图如下（图7），膝关节支点为宽度的中点。

图7 力矩受力分析图
即满足：
1122
121cos 12
Fl F l l c l d F mg α
====
2F 表示肌力，1F 表示重力，1l 表示重力的力臂，2l 表示肌力的力臂，a 表示躯干长度,c 表示小腿的长度，α为小腿与地面的夹角，d 表示膝关节的受力宽度，m 表示人体质量，g 是重力加速度。

膝关节受到的压力为大腿对其的拉力和小腿对其的拉力的合力。

如下图（图8）所示。

图8 膝关节受压力示意图
即满足：
222
12122cos()F N N N N παβ=+---
F 为膝关节所受的压力，1N 为大腿对膝关节的拉力，2N 为小腿对膝关节的拉力，α为
小腿与水平面的夹角，β为大腿与水平面的夹角。

人体膝关节的运动是由关节周围的结缔组织带动，由于结缔组织在单一肌群里，各点及结缔组织的作用力皆相等，即大腿肌肉对膝关节的拉力1N 与小腿肌肉对膝关节的拉力2N 相等。

又因为其受力处处相等，即人体膝盖很类比于滑轮模型，各方向力是相等的，即肌力2F 与拉力相等。

如下图（图9）所示。

图9 人体结缔组织受力图
即满足：
1N =2N =2F
1N 为大腿对膝关节的拉力，2N 为小腿对膝关节的拉力，2F 为肌力。

综上模型为：
()1221211221
12222
12121
22
max cos sec cos sec cos cos sec cos cos ..22cos()1
1421120F
c c a b c a a b c a a a Fl F l F mg l c
d l s t F N N N N N N F
αβαβγαββαπαβπαππαβπγβπ
++=-+⎧⎪
=-⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎪⎪=⎪
⎪=⎨⎪=+---⎪⎪==⎪⎪≤≤⎪⎪
⎪≤+≤⎪⎪
≤+≤⎩
5.22模型求解
一个标准成年人（体重80kg ，身高180cm ，膝盖受力宽度5cm ），膝盖受力最大为5685.07 N 是体重的7.1倍，此时人体姿势为膝盖与地面水平，与小腿夹角为45º，小腿与地面夹角为45º，腰部与水平面夹角为80.12º。

对于问题中的说法：人体屈膝30º，膝关节承受压力和体重相等，屈膝60º，膝关节压力为体重的4倍，屈膝90º，所承受的压力是体重的6倍。

其屈膝角度相当于模型
中的αβ+。

检验结果见下表（表
6）。

因此，在一定误差下，题目说法是正确的。

5.3问题三模型的建立和求解 5,31模型建立 （1）上楼梯
在做上楼运动时，人体一直处于单脚支撑状态，重心在换脚瞬间转移，始终落在支撑脚与地面的接触点上。

对于双腿在爬楼梯时的初始状态，其分析图见下图（图10）
图10 上楼初始状态分析图
在初始状态时，人的承重腿大小腿形成一定角度与台阶面接触，非承重腿，大小腿拉伸成一条直线与地面接触，双腿交叉处与承重腿和地面的接触点在同一条垂直于店面的线上，且非承重腿与地面接触点到该线的距离为一个步长，等于台阶的宽度k 。

非承重腿，垂直线和步长形成一个直角三角形，满足勾股定理。

即满足：
2220[()cos ]()b c h k b c θ+++=+
,b c 分别为大腿，小腿的长度，b c +为全部下肢的长度，h 为台阶高度，k 为台阶宽
度，0θ为初始状态下小腿与垂直面的夹角。

运动过程中，每一次爬楼梯都是做重复运动。

即可以研究一个周期的运动状态来表示整个过程的运动状态。

承重腿的小腿在刚接触台阶时保持同一倾斜角度0θ，与大腿的夹角固定。

运动过程中即承重腿交换过程中，小腿与大腿匀速拉伸成一条直线，在拉伸过程中小腿与竖直面的夹角θ会减少到0，这时非承重腿变为承重腿，以相同形状与台阶接触。

其运动中受力分析见下图（11）
图11 上楼力矩分析图
沿用问题二中对于膝关节轻杆—滑轮模型的构建。

膝盖处必须保持重力与肌力的力矩相等，使得膝盖不发生左右旋转，支点为膝盖受力宽度的中点。

理想的成年人的身体 小腿约占2个头长，大腿占2个头长，故大腿和小腿的长度可以近似看作一样。

即满足：
1122
121sin b c F l F l l b l d F mg
θ===== ,b c 分别为大腿和小腿的长度，2F 为膝盖所受肌力，1F 表示重力，1l 表示重力的力臂，2l
表示肌力的力臂，θ表示运动过程中小腿与竖直面的夹角，d 为膝盖受力力臂。

与第二问一样，结缔组织在单一肌群里，各点及结缔组织的作用力皆相等，即大腿肌肉对膝关节的拉力1N 与小腿肌肉对膝关节的拉力2N 相等。

又因为其受力处处相等，即人体膝盖类似于滑轮模型，各方向力是相等的，即肌力1F 与拉力相等。

膝关节受到压力即为大腿和小腿对其施加力的合力。

受力分析见下图（图12）
图12 上楼膝盖压力分析图
即满足：
222
12122cos(2)F N N N N πϕ=+--
2
π
ϕθ
=
-
122N N F ==
F 为膝盖所受压力，1N 为大腿对膝关节的拉力，2N 为小腿对膝关节的拉力，2F 为肌力，
θ为运动中小腿与竖直面的夹角，ϕ为运动中大腿与水平面的夹角。

上楼梯的周期为小腿与竖直面夹角从θ变为0的时间，即完成一个台阶上楼运动的时间。

同时人体用速度v （步/分钟）上楼梯，一步则可以完成上一个阶梯的动作，所以每步所用时间也可表示周期。

即满足：
01T θω=
11=T v
1T 为上楼的周期，0θ为初始状态小腿与竖直面的夹角，ω为大小腿角度变化的角速度，v 为人上楼速度
综上所述模型为：
222011
2212
1222
12121
2201
max [()cos ]()sin ..2cos(2)2
1=F
b c h k b c b c Fl F l l b l d F mg
s t F N N N N N N F
T v θθπϕπϕθθω⎧+++=+⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎪=⎪⎪
=⎨⎪=+--⎪
⎪=-⎪⎪==⎪⎪=⎪⎩
（2）下楼梯
下楼时末状态，即完成一次下楼动作时的状态如下图（图13）
图13 下楼末状态分析图
与上楼时初状态类似。

承重腿大小腿形成一定角度与台阶面接触，非承重腿大小腿拉伸成一条直线与台阶面接触，双腿交叉处与承重腿和地面的接触点在同一条垂直于地面的垂直线上，非承重腿，步长和垂直线构成直角三角形，满足勾股定理。

即满足：
222[(cos cos ]()t t b c h k b c δδ+++=+
,b c 分别为大腿，小腿的长度，b c +为全部下肢的长度，h 为台阶高度，k 为台阶宽度，
t δ为最终状态下小腿与垂直面的夹角。

运动过程中，承重腿在初始时保持大小腿拉伸呈直线。

运动过程中即承重腿交换过程中，小腿与大腿匀速弯曲成一定角度，在拉伸过程中小腿与竖直面的夹角δ会从0增加到t δ，这时非承重腿变为承重腿，以相同形状与台阶接触。

下楼过程的受力分析与上楼类似，其分析图见图14和图15。

图14 下楼力矩分析图 图15 下楼膝盖合力分析图 即满足：
b c =
1122Fl F l = 1sin l b δ=
2l d = 1F mg =
222
12122cos(2)F N N N N δ=+-
122N N F ==
,b c 分别为大腿和小腿的长度，1F 为重力，2F 表示肌力，1l 表示重力的力臂，2l 表示肌
力的力臂，δ表示运动过程中小腿与竖直面的夹角，d 为膝盖受力宽度。

F 为膝盖所受压力，1N 为大腿对膝关节的拉力，2N 为小腿对膝关节的拉力，δ为运动中小腿与竖直面的夹角。

下楼依旧取一步为一个周期，周期大小是小腿与竖直面夹角从0变为 的时间，即完成一个台阶上楼运动的时间。

即满足：
2t
T δω= 21=T v
2T 为上楼的周期，t δ为末状态小腿与竖直面的夹角，ω为大小腿角度变化的角速度，v 为人上楼速度。

综上所述模型为：
2221122121222
121212222max [()cos ]()sin ..2cos(2)1=
t t
F
b c h k b c b c F l F l l b l d F mg
s t F N N N N N N F T T v δδδδω⎧+++=+⎪=⎪⎪=⎪
=⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=+-⎪
==⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎩
5.32模型求解
用lingo 对上下楼梯的模型进行求解，程序见附录3.结果如下。

上楼梯时当θ为041.38时，即小腿与竖直面夹角为041.38时膝盖受力最大，力为5505.44N ，平均受力为2752.72N 是体重的7.86倍。

下楼梯时结果遇上楼一致。

与人运动速度无关。

5.4问题四模型的建立和求解 5.41模型建立和求解 （1）模型1
构建人体做举重运动时的膝关节受力模型。

沿用第二问中均匀杆模型。

在举重时，人体大腿与小腿弯曲成一定角度，杠铃通过躯干将重量施加于下肢。

假设大小腿长度不一样，大小腿与竖直面的夹角也不一样，即大小腿的倾斜程度不同。

根据几何图形，大小腿应满足在水平方向的投影长度相同。

其受力结构如下图（图16）。

图16 下肢复杠杆示意图
即满足：
12sin sin b c αα≠，12cos cos b c αα=
,b c 分别为人大腿和小腿的长度，12,αα分别为大腿和小腿与水平面的夹角。

举重时人体对杠铃的支撑力应是重力和杠铃重力的合力的反作用力。

即满足：
0'G mg m g =+
'G 为胫股关节向上的支撑力，m 为人体质量，0m 为杠铃质量，g 为重力加速度。

在举重过程中大小腿从弯曲状态逐渐伸直，即弯曲角度逐渐变小。

其运动过程见下图（图17）。

图17 模型1的复杠杆作用图
以过膝关节平行于地面的直线为X 轴建立坐标系，膝关节原始位置在X 轴左边，运动过程中逐渐向右移动，在X 轴上形成一段位移，大小腿与水平面的夹角也逐渐变大，最终人体成站直状态，即大小腿拉伸成直线且与地面垂直，在Y 轴上形成两段位移
12,dy dy 。

即满足：
11sin dy b b α=-
22sin dy c c α=- 12cos cos dx b c αα==
其中1dy 为大腿在竖直方向上的位移，2dy 为小腿在竖直方向上的位移，dx 为膝关节在水平方向的位移，,b c 分别为人大腿和小腿的长度，12,αα分别为大腿，小腿与水平方向的夹角。

根据虚功原理，横向力所做的功应与支撑力的反作用力做的功相同。

即满足：
12'()Ndx G dy dy =+
综上模型一如下：
121
122
12120cos cos sin sin cos cos '()'b c dy b b dy c c dx b c Ndx G dy dy G mg m g
ααα
ααα=⎧⎪=-⎪⎪=-⎪⎨
==⎪
⎪=+⎪=+⎪⎩ 求解得：
1
tan 'N G αα=
10tan N m m g
αα=
- 结果分析：当12
π
α→
时，即膝关节接近伸直时，1tan α的值相当大，因此即使很小
的作用力N ，也能产生相当大的支撑力'G ，复杠杆的机械力是相当大的。

因此，人体
下肢能产生极大的支撑力使人举起质量相当大的0m 。

（2）模型一修正（模型二）
模型缺陷：
模型一中，由于大腿和小腿肌肉对胫股关节所合成的横向力N 被当作恒力来处理,事实上力N 不仅随时间变化而变化,而且随着膝关节角度的变化,其合力的大小也将随之变化。

模型改进：
人体在举重时，其重心线始终通过支撑点，即大小腿对胫股关节的拉力一起作用使得人体保持平衡。

故将横向力N 用1N ,2N 在水平面的分量表示。

即满足：
1122cos cos x N N N N αα==+
x N 为12,N N 在X 方向上的合力, 1N 为大腿对膝盖的拉力，2N 为小腿对膝盖的拉力。

则新模型为：
12112212
12
11220cos cos sin sin cos cos '()
cos cos 'x
x b c dy b b dy c c dx b c N dx G dy dy N N N G mg m g
αααααααα=⎧⎪
=-⎪⎪=-⎪
==⎨⎪=+⎪⎪=+⎪
=+⎩ 求解得
:
121
()sin 'sin 1b
N N c G b αα+=+
1210()sin (1b N N c m m g αα+=
-+
结果分析:当190α→时, 即膝关节接近伸直时, 则11sin 1,cos 0αα→→,支撑力
'G 有一极限值, 且max 12'()G N N <+。

同时表明支撑力'G 不仅与12,N N 有关，并且与
膝关节角的关系为正弦关系, 而并非正切关系, 因此其实际的机械效益并非很大。

固有
120max ()
()N N m m g
+<
-，人体上举0m 不仅与12,N N 有关，并且与膝关节角的关系为正弦关系,不能无限大。

在模型一中，膝关节在接近伸直时, 很小的肌力就能产生很大的支撑力。

改进的模型首次将肌力看成是变化的, 结果表明支撑力有最大值, 较符合人体运动的实际情况。

下肢伸膝时复杠杆产生的对上体的支撑力有极限值，不可能超过构成复杠杆的两肌群肌张力总和。

(2)模型二修正（模型三）
模型缺陷：
上诉两个模型都是假设膝关节运动方向水平。

但是实际生活中的约束应该是踝关节为一定点，膝关节运功并非水平。

模型改进：
由于模型2在建立的过程中破坏了原有的踝关节约束，且未加说明，在力学原理的应用中容易使人产生误解和错误的概念。

虽然，虚位移在完整、双面和定常的理想约束。