锐角三角函数复习题(带答案) 好打印 1

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人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)期末综合复习题(含解析)

第二十八章锐角三角函数复习题一、单选题1．陕西渭南·九年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（）A ．sin c bB =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B=⋅2．陕西咸阳·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sin B ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝323．陕西宝鸡·九年级期末）在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝sin A ＝23，那么BC 边的长是（）A ．B ．8C ．D ．124．陕西咸阳·九年级期末）如图，点()3,4A 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，则cos α=（）A ．34B ．35C ．45D ．435．陕西渭南·九年级期末）2cos45°的值为（）A ．2BC D ．16．陕西西安·九年级期末）在ABC 中，A ∠，B ∠都是锐角，且sin A =，tan B =，则ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能确定7．陕西咸阳·九年级期末）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到山顶B 需16分钟，则山的高度为（）A ．800•sin32°B ．800tan32︒C ．800•tan32°D ．800sin32︒8．陕西宝鸡·九年级期末）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O ）20米的点A 处，沿AO 所在直线行走12米到达点B 时，小明身影长度（）A ．变长2.5米B ．变短2米C ．变短2.5米D ．变短3米二、填空题9．陕西咸阳·九年级期末）如图所示的是一款可折叠的木制宝宝画板．若70cm AB AC ==，8cos 35ABC ∠=，则BC 的长为____________cm ．10．陕西宝鸡·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得 EC，连接AC ，AE ，则图中阴影部分的面积为________．11．陕西咸阳·九年级期末）在ABC ∆中，(tan cos 0A B =，则∠C 的度数为____．12．陕西宝鸡·九年级期末）已知sinA=12，则锐角∠A=______．三、解答题13．陕西西安·)sin 60cos 456⎫︒-︒-⎪⎪⎭14．陕西咸阳·九年级期末）计算：2221tan 45sin 303cos 304︒+︒-︒．15．陕西宝鸡·九年级期末）计算：4cos 24|+6．16．陕西渭南·九年级期末）计算：212cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．17．陕西咸阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．18．陕西宝鸡·九年级期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）19．陕西渭南·九年级期末）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ，他们在桥面上选取了一个测量点A 测得点D 的仰角为26.6°，然后他们沿AC 方向移动40m 到达测量点B （即40m AB =），在B 点测得点D 的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ．[参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50︒≈]20．陕西汉中·九年级期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC 上取E ，G 两点，分别竖立两根高为2m 的标杆EF 和GH ，两标杆间隔EG 为23m ，并且古建筑AB ，标杆EF 和GH 在同一竖直平面内，从标杆EF 后退2m 到D 处（即2m ED =），从D 处观察A 点，A 、F 、D 三点成一线；从标杆GH 后退4m 到C 处（即4m CG =），从C 处观察A 点，A 、H 、C 三点也成一线．已知B 、E 、D 、G 、C 在同一直线上，AB BC ⊥，EF BC ⊥，GH BC ⊥，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB 的高度．21．陕西咸阳·九年级期末）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD ，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°和∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝36米，求无人机的飞行高度AD ．22．陕西渭南·九年级期末）如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E 处竖立一根高1.5米的标杆DE ，发现地面上的点A 、标杆顶端D 与楼顶B 在一条直线上，测得1AE =米；然后他站在F 处利用等腰直角三角形测得视线GB 与水平面的夹角45BGM ∠=︒，小华的眼睛到地面的距离 1.5GF =米，1.5AF =米．已知点F 、A 、E 、C 在同一直线上，GF FC ⊥，DE FC ⊥，BC FC ⊥．请根据以上所测数据，计算楼高BC ．23．陕西安康·九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径的O 与对角线相交于点E ，连接BE ，且BC BE =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若30CAB ∠=︒，BC 长为6，求O 的半径．24．陕西西安·九年级期末）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处．(1)求证：△ABF ∽△FCE ；(2)已知AB ＝3，AD ＝5，求tan DAE 的值．参考答案：1．B【解析】根据∠B 的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=bc ，∴c=sin b B，A 选项等式不成立；∵cosB=a c，∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ，∴a=tan b B，C 选项等式不成立；∵tanB=b a ，∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键．2．C∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.3．B【解析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可．解：由sin A ＝23＝BC AB，不妨设BC ＝2k ，则AB ＝3k ，由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，即（2+（2k ）2＝（3k ）2，解得k ＝4（取正值），所以BC ＝2k ＝8，故选：B ．本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．【解析】过A 作AP x ⊥轴于点P ，根据勾股定理求出OA ，再根据锐角三角形函数的定义求解即可过A 作AP x ⊥轴于点PA(3，4)∴4,3AP OP ==由勾股定理得：5OA ===3cos 5OP OA α∴==故选：B ．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解和计算能力．5．C【解析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.解： 2cos452== 故选C ．此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.6．C【解析】根据特殊角锐角三角函数值，可得60,60A B ∠=︒∠=︒ ，再由三角形的内角和等于180°，可得60C ∠=︒ ，即可求解．解：∵sin A =，tan B =∴60,60A B ∠=︒∠=︒ ，∴18060C A B ∠=︒-∠-∠=︒ ，∴A B C ∠=∠=∠ ，∴ABC 是等边三角形故选：C本题主要考查了等边三角形的判定，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．【解析】根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，再根据三角函数的定义，即可求解．解：根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，根据三角函数的定义可得：sin sin 32BC BAC AB∠=︒=∴sin 32800sin 32BC AB =⨯︒=⋅︒（米）故选：A本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】利用相似三角形的对应边成比例可求出AM 的长，同理求出BN 的长，再求出AM 与BN 的差即可.∵OF ⊥OM,DA ⊥OM ，∴QF ∥AD ，∴△ADM ∽△OFM ，∴AM AD AM OA OF =+ ，即 1.620+8AM AM = ，解得AM ＝5cm ；同理可得，∵△BNE ∽△ONF ，∴BN AD OA AB BN OF =-+ 即 1.620128BN BN =-+ ，解得BN ＝2m ，∴AM －BN ＝5－2＝3m.故选D.本题考查了相似三角形的应用和中心投影，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．32【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据余弦定义可求BD ，然后根据等腰三角形的性质即可求出BC ．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，cos BD ABC AB ∠=，又AB =70cm ，8cos 35ABC ∠=，∴87035BD =，∴BD =16cm ，又AB =AC ，∴BC =2BD =32cm ．故答案为：32．本题考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，添加辅助线AD 是解题的关键．10．2π【解析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH=，∴AC，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴2CAE S π==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．11．90︒【解析】先根据平方、绝对值的非负性求得tan A 、cos B ，再利用锐角三角函数确定A ∠、B ∠的度数，最后根据直角三角形内角和求得90C ∠=︒．解：∵(tan cos 0A B =∴tan 0cos 0A B ⎧==∴tan cos A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴6030A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩∴90C ∠=︒．故答案是：90︒本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键．12．30°【解析】根据sin30°=12进行解答即可．∵sinA=12，∠A 为锐角，∴∠A=30°，故答案为30°．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．13．-7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算．解：原式6⎫-⎪⎪⎭16=7- ．本题考查特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是牢记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算法则．14．74-【解析】先将特殊角三角函数值代入，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减即可．解：原式222111342⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪⎝⎭11313444=⨯+-⨯119444=+-74=-本题考查特殊角的三角函数值，实数混合运算，熟记特殊角三角函数值和实数运算法则是解题的关键．15．7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．原式＝4×2+4﹣＝4+3=7．此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．16．4--【解析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂的性质进行计算．解：原式24=4=4=-．本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．17．（1）见解析（2【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2=∠ACB ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD =2，CD =6，AC ==∴sin AD ACB AC ∠===即222sin A C B ∠=此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．18．人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.试题分析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，从而得EN=AC=1.5.AB=CD=15，在Rt △MED 中，由题意可得ME=DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt △MEC 中，可得ME=EC ⋅tan ∠MCE ，从而有x≈0.7(x+15)，求出x 的值，从而得MN=ME+EN≈36.5 .试题解析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°，∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°，∴ME ＝DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°，∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠，∴()0.715x x ≈+ ，∴35x ≈ ，∴35ME ≈ ，∴36.5MN ME EN =+≈，∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.19．外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m【解析】分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出．解：设m DC x =，在Rt ADC 中，26.6A ∠=︒，∴tan 26.60.50CD AC ︒≈=∴2AC CD=在Rt BDC 中，37DBC ∠=︒，∴tan 370.75CDBC︒≈=∴43BC CD =∵40AC BC -=，∴即42403CD CD -=，解得60CD =，答：外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m ．本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形．20．古建筑AB 的高度为25m ．【解析】设=AB x ，=BE y ，证明ABD FED ∽，得到222+=x y ，再证明∽ABC HGC △△，得到2724+=x y ，利用227=24++y y 求出=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =．解：设=AB x ，=BE y ，∵AB BC ⊥，EF BC ⊥，∴AB EF ∥，∵∠=∠ADB FDE ，∴ABD FED ∽，∴=AB BD FE DE ，即222+=x y ，同理：∽ABC HGC △△，∴=AB BC HG GC，∵=23427++=++=+BC BE EG GC y y ，∴2724+=x y ，∴227=24++y y ，解得：=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =，∴古建筑AB 的高度为25m ．本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，解题关键是利用相似三角形的性质求出227=24++y y ，求出y ，再进一步求出x ．21．【解析】由锐角三角函数定义得CD =，BD AD =，再由36BC CD BD AD =-==米，即可求出AD 的长．解：60EAB ∠=︒ ，30EAC ∠=︒，9060CAD EAC ∴∠=︒-∠=︒，9030BAD EAB ∠=︒-∠=︒，tan CD AD CAD ∴=⋅∠=，tan BD AD BAD AD =⋅∠=，36BC CD BD AD ∴=-==米，AD ∴=（米)．答：无人机的飞行高度AD 为米．本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义．22．9m【解析】连接GD ，并延长交BC 于点H ，证明BH =GH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，用x 表示出GH 、BH 、EC 、DH ，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，解方程即可得出BC ．解：连接GD ，并延长交BC 于点H ，∵GF ⊥CF ，DE ⊥CF ，HC ⊥FC ，∴GF DE HC ∥∥，∵GF =DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，∵∠GFE =90°，∴四边形DEFG 为矩形，∴DG =EF ，∵1m AE =， 1.5m AF =，∴ 2.5m DG EF AE AF ==+=，∵∠DEC =∠EDH =∠ECH =90°，∴四边形DECH 为矩形，∴∠DHC =90°，DH =CE ，DE =CH =1.5m ，∴∠DHB =90°，∵∠BGH =45°，∴∠GBH =45°，∴∠BGH =∠GBH ，∴GH =BH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，∴GH =BH =x -1.5，∴EC =DH =GH -DG =x -1.5-2.5=x -4，∴143AC AE EC x x =+=+-=-，∵tan DE BC BAE AE AC ∠==，∴1.513x x =-，解得：9x =，即楼高BC 为9m ．本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，是解题的关键．23．(1)见解析(2)O 的半径为【解析】（1）根据矩形的性质得出∠ABC =90°，由等腰三角形的性质得出∠EAO =∠AEO ，∠CEB =∠ACB ，证出∠OEB =90°，则可得出结论；（2）证明△BCE 为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBE =60°，CB =BE =6，由直角三角形的性质可得出答案．（1）证明：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∵OA OE =，BE BC =，∴EAO AEO ∠=∠，CEB ACB ∠=∠，∴90ACB CAB AEO CEB ∠+∠=∠+∠=︒，∴90OEB ∠=︒，∵OE 为O 的半径，∴BE 是O 的切线；（2）解：∵30CAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵BC BE =，∴BCE 为等边三角形，∴60CBE ∠=︒，6CB BE ==，∴30OBE ∠=︒，∴tan 30OE BE =︒=∴6OE ==O 的半径为本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．24．(1)见解析(2)13【解析】（1）由折叠的性质得90AFE D ∠=∠=︒，进而得出BAF CFE ∠=∠，即可证明△ABF ∽△FCE ；（2）设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，利用勾股定理求出BF ，进而求出CF ，在△CEF 中根据勾股定理列方程求出x ，则tan DE DAE AD∠=．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质知，90AFE D ∠=∠=︒，∴90CFE AFB ∠+∠=︒，90BAF AFB ∠+∠=︒，∴BAF CFE ∠=∠．在△ABF 和△FCE 中，BAF CFE B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴△ABF ∽△FCE ；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∴3DC AB ==，5BC AD ==，设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，由勾股定理得，4BF ===，∴541FC BC BF =-=-=，在△CEF 中，由勾股定理得：222EF EC CF =+，即()22231x x =-+，解得53x =，∴53DE =，∴511tan 353DE DAE AD ∠==⨯=．本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角函数解直角三角形等知识点，利用折叠的性质得出90AFE D ∠=∠=︒，EF DE =，AF AD =是解题的关键．。

2020-2021中考数学锐角三角函数的综合复习附答案

2020-2021中考数学锐角三角函数的综合复习附答案一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝2263-（2）＝26，∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（3）米．在直角△BEQ中，333+3）=（3）米．∴3（3）3（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12 BM．∴BF=12PE，即BF1PE2=．（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=．在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α．（1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论．（3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．4．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．（2）若BC=2，sin ∠BCP=，求点B 到AC 的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC3，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋3∵∠MCF ＝30° ∴FC ＝3MF ，即x ＋203＝3 ( x －20) 解得：x ＝40331- ＝60＋203≈95m答：电视塔MN 的高度约为95m ．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.7．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F . (Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标； (Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H . ①求证BDE DBA ∆≅∆； ②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒. 【解析】【分析】(Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，5OB =，过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ， ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB ，FO ⊥AB ，∴OA=12AB=2， ∴cos ∠BAF=OA AF =12， ∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时，同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.8．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，∠ABE ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）92【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE ＝∠DAE ，再利用半径相等得∠AEO ＝∠OAE ，等量代换即可推出OE ∥AD ，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°，在Rt △ADE 中，AD=cos30°×AE 即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×32=33在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°3339 2 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.10．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

初中数学锐角三角函数的知识点总复习附解析(1)

初中数学锐角三角函数的知识点总复习附解析(1)一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则7BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=21EH BE =．【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，EH=3CH=3，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=23，那么AB的长是（）A．3 B．43C．5D．13【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=ACAB=23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A∠的邻边斜边，然后带入数值即可求解.3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．73C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.4．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A．3B．33C．23D．23【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC33，∴BD＝AB＝2m，DC＝3，∴tan∠ADC＝ACCD23m m+＝23故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．203海里D．303海里【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=22303AB AP-=（海里）故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A．3B．23C．32D．233【答案】A【解析】连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°=3，故选A7．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．83C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，∴光盘的直径为83．故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.8．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（）A．33B．233C．63D．33【答案】B【解析】【分析】证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC．∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．∵∠DEB=90°，∴BD=23 sin60DE=︒．故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则c aa b c b+++的值为（）A．12B．22C．1 D2【答案】C 【解析】【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=cos60°=12,可求13,,2DB c AD==把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴13,,22 DB c AD c ==在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即a 2+c 2=b 2+ac ， ∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b++++++++++====++++++++++ 故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（）A ．4B ．72C ．8D ．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至Rt △A'OB'的旋转角为α，OB=a ，则OA=3a ，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C 的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣2x 的图象上， ∴﹣asinα=﹣2acos α，得a 2sin αcosα=2，又∵点C 在反比例函数y=k x 的图象上， ∴2acos α=k 2asin α，得k=4a 2sinαcosα=8. 故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C 的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.11．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A ．b=a+cB ．b=acC ．b 2=a 2+c 2D ．b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c-=-，化简得b ＝a ＋c ，故选A. 【详解】请在此输入详解！12．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（）A ．313B ．513C ．512D ．1213【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式12S lr =可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：∵圆锥底面周长为2510ππ⨯=，且圆锥的侧面积为60π，∴圆锥的母线长为2601210ππ⨯=， ∴sin θ=512. 故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.13．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =，则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD， ∴AC=AD •cos70°，AD=cos70AC ︒，∴2cos70ACACABAD=︒=2cos70°．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．14．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．AF＝12 CFB．∠DCF＝∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD3【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFFC，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFFC＝12，故A正确，不符合题意；B 、过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ， ∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ， ∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ， ∴DN ⊥CF ，∴DF ＝DC ，∴∠DCF ＝∠DFC ，故B 正确，不符合题意；C 、图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有5个，故C 正确，不符合题意．D 、设AD ＝a ，AB ＝b 由△BAE ∽△ADC ，有b a ＝2a ． ∵tan ∠CAD ＝CD AD ＝b a ＝22，故D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．15．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．16．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是（）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-．故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC 的长为( )A ．3πB ．23πC ．33πD ．33π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23∴3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18．已知B 港口位于A 观测点北偏东45°方向，且其到A 观测点正北风向的距离BM 的长为102km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行47km 到达C 处，测得C 处位于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（）km ．A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵∠MAB=45°，BM=102，∴22BM MA +22(102)(102)+，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，tan ∠BAD=BD AD 3 ∴3，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+3）2=202，∴BD=10，∴3，在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，33，∴AC=AD ﹣333km ，答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为3km ．故选A ．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．19．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα 【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，∵cot αAC BC=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.20．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（）A 5B 5C 25D 10【答案】B【解析】【分析】过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S △BDO =52，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ， ∴251522BOD OAC S OB S OA ⎛⎫==÷= ⎪⎝⎭△△， ∴5OB OA= ∴tan ∠BAO=5OB OA =. 故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4．二、平方关系由定义知sin a A c =，cos b A c=，所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭．三、相除关系由定义中sin a A c =，cos bA c=，得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α，所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ，所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ，又C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ．六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（）（A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163，所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4，在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB，由Rt△C D B ∽Rt△ACB ，所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

锐角三角函数(附答案)

教材过关二十八锐角三角函数一、填空题1.在直角三角形中，斜边和一直角边的比是5∶3，最小角为α，则sin α=_______________,cos α=_________________,tan α=__________________. 答案：53 54 43 提示：假如两边长分别为5、3,则另一边为4,且3所对的角最小,由此可得答案. 2.在△ABC 中,若︱sinA-21︱+(23-cosB)2=0, 则∠C=___________________. 答案：120° 提示：由sinA=21,可得∠A=30°, 由cosB=23,得∠B=30°,则∠C=120°. 3.6tan 230°-3sin60°-2cos45°=__________________. 答案：21-2 提示：tan30°=33,sin60°=23,cos45°=22. 4.等腰三角形的两条边长分别是 4 cm ，9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是________________. 答案：92 提示：三角形三边只能为4,9,9.5.若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA-3=0，则∠A=__________________. 答案：45°提示：解这个一元二次方程,可得tanA 的值,但∠A 为锐角,所以只能取正值. 6.如图9-43,AB 、CD 是两栋楼，且AB=CD=30 m,两楼间距AC=24 m,当太阳光与水平线的夹角为30°时，AB 楼在CD 楼上的影子是m.（精确到0.1 m ）图9-43答案：16.2提示：画出图形,解直角三角形. 二、选择题7.在△ABC 中，∠C=90°,下列式子正确的是A.b=atanAB.b=csinAC.a=ccosBD.c=asinA 答案：C 提示：因为cosB=ca,所以a=ccosB. 8.在Rt △ABC 中,各边都扩大四倍，则锐角A 的各三角函数值 A.没有变化 B.分别扩大4倍 C.分别缩小到原来的41D.不能确定答案：A提示：因为各边都扩大四倍,它们的比值不变,故三角函数值也不变. 9.在Rt △ABC 中, 2sin(α+20°)=3，则锐角α的度数是A.60°B.80°C.40°D.以上结论都不对答案：C提示：2sin(α+20°)=3,得sin(α+20°)=23, 所以α+20°=60°,α=40°.10.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于 A.25 B.35 C.552 D.32答案：B 提示：∵tanB=25，a b =25，可令b=5,a=2,则c=3,cosA=35. 11.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1 cm ，则斜边上的高为 A.41 cm B.21cmC.43 cm D.23 cm 答案：C 提示：直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半,求出两直角边再利用面积或射影定理. 三、解答题12.(2010四川泸洲中考)如图9-44，在一次实践活动中，小兵从A 地出发，沿北偏东45°方向行进了53千米到达B 地，然后再沿北偏西45°方向行进了5千米到达目的地点C.图9-44（1）求A 、C 两地之间的距离；（2）试确定目的地C 在点A 的什么方向？解：根据题意,可知∠ABC=90°,∵AB=53,BC=5, AC 2=AB 2+BC 2 =75+25 =100.∴AC=10千米.(2)在Rt △ABC 中,tan ∠BAC=AB BC =355=33, ∴∠BAC=30°.∴C 在点A 的北偏东15°.提示：根据方向角,先确定出△ABC 是直角三角形,可用勾股定理求AC,再利用三角函数求出CA.13.如图9-45，用测角仪测得铁塔顶点A 的仰角为30°，测角仪离铁塔中心线AB 的距离为40米，测角仪CD 高1.5米，求铁塔的高度.（精确到0.1米）图9-45答案：24.6米.提示：铁塔的高度AB=40tan30°+1.5≈24.6(米). 14.如图9-46，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.图9-46解：在Rt △ABD 中, ∵tan ∠ADB=BDAB=1,∴BD=AB. 又在Rt △ABC 中,∵tanC=BC AB =33, ∴BC=30tan AB=3AB.又∵BC-BD=14,∴3AB-AB=14. ∴AB=7(3+1)(米).15.如图9-47，水面上有一浮标，在高于水面1米的地方观察，测得浮标顶的仰角30°，同时测得浮标在水中的倒影顶端俯角45°，观察时水面处于平静状态，求水面到浮标顶端的高度.（精确到0.1米）图9-47答案：3.7米.提示：过A 作AD ⊥BC 于D,则∠BAD=30°,∠DAC=45°. 设BD=x,则AD=xcot30°.又AD=DC 且BE=DC,即x+1=xcot30°. 求得x ≈2.73.∴BE=2.73+1≈3.7(米).16.如图9-48，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A 点出发沿正西方向进行的，在A 点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B 点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C 处，此时B 在C 的南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？图9-48解：过B 作BD ⊥AC 于D,在Rt △BCD 中,∠BCD=60°,∵tan60°=CD BD ,∴CD=︒60tan BD. 同理,在Rt △BAD 中,AD=︒30tan BD，又∵AD-CD=200，∴3BD-33BD=200. ∴BD=1003>100.∴不会穿过学校.。

锐角三角函数练习题及答案

锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1．已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4．已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5．用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6．若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7．计算： 2sin450-3tan600=____________． 8．计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9．计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10．计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________．二、选择题：1．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414．当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235．若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006．当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007．如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259．已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14．求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题：（1）已知a=5，∠B=600．求b ；（2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝156， b ＝56，求c; （2）已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4）已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。

中考数学总复习《锐角三角函数》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《锐角三角函数》专题训练(附带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1直角三角形的边角关系及简单应用1(2022广西北部湾经济区)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是() A.12sin α米B.12cos α米C.12sinα米 D.12cosα米(第1题) (第2题)2(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD. 22.44 cm3(2022随州)如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为()A.atanα-tanβB.atanβ-tanαC.atanαtanβtanα-tanβD.atanαtanβtanβ-tanα(第3题) (第4题)4(2022乐山)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=√5,点D 是AC 上一点,连接BD.若tan A=12,tan ∠ABD=13,则CD 的长为 ( )A.2√5B.3C.√5D.25(2022益阳)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin A=45,则cos B= .(第5题) (第6题)6(2022常州)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠ABC=90°,DB 平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin ∠ABD= .7(2022广州)如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,且AC=8,BC=6.(1)尺规作图:过点O 作AC 的垂线,交AC ⏜于点D ,连接CD (保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图形中,求点O 到AC 的距离及sin ∠ACD 的值.命题点2解直角三角形的实际应用角度1背靠背型8(2022安徽)如图,为了测量河对岸A ,B 两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C ,测得A ,B 均在C 的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D ,测得A 在D 的正北方向上,B 在D 的北偏西53°方向上.求A ,B 两点间的距离.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.9(2022抚顺)如图,B港口在A港口的南偏西25°方向上,距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处,发现A港口在货轮的北偏西25°方向,B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离(结果取整数.参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192,√2≈1.414)角度2母子型10(2022天津)如图,某座山AB的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m,求这座山AB的高度(结果取整数).(参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90)11(2022连云港)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10 m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上,FG=1.5 m,GD=2 m.(1)求阿育王塔的高度CE;(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED.(注:结果精确到0.01 m.参考数据:sin 53°≈0.799,cos 53°≈0.602,tan 53°≈1.327)角度3拥抱型12(2021自贡)如图,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,√3≈1.73)角度4实物型13(2022吉林)动感单车是一种新型的运动器械.图(1)是一辆动感单车的实物图,图(2)是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70 cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan58°≈1.60)图(1)图(2)14(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”,某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是点A的对应点),用眼舒适度较为理想,求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)角度5其他类型15(2022山西)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:如图,无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长(结果精确到1 m.参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,√3≈1.73).分类训练15 锐角三角函数1.A2.B 【解析】 ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=22 cm .在Rt △ABD 中,tan ∠ABD=ADBD ,∴AD=BD ·tan ∠ABD=22×tan 27°≈22×0.51=11.22(cm). 3.D 【解析】设AB=x.在Rt △ABD 中,tan β=AB BD =x BD ,∴BD=xtanβ,∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt △ABC 中,tan α=ABBC =xa+xtanβ,∴x=atanαtanβtanβ-tan α.4.C 【解析】如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵tan A=DE AE =12,tan ∠ABD=DE BE =13,∴AE=2DE ,BE=3DE ,∴2DE+3DE=5DE=AB.在Rt △ABC 中,tan A=12,BC=√5,∴BC AC =√5AC =12,∴AC=2√5,∴AB=√AC 2+BC 2=5,∴DE=1,∴AE=2,∴AD=√AE 2+DE 2=√22+12=√5,∴CD=AC-AD=√5,故选C .5.456.√66 【解析】如图,过点D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,则四边形ABED 是矩形,∴BE=AD=1,DE=AB ,∠ADB=∠CBD.∵DB 平分∠ADC ,∴∠ADB=∠CDB ,∴∠CBD=∠CDB ,∴CB=CD=3,∴CE=BC-BE=3-1=2,∴DE=√CD 2-CE 2=√32-22=√5,∴BD=√DE 2+BE 2=√(√5)2+12=√6,∴sin ∠ABD=AD BD =√6=√66.7.【答案】 (1)作图如图所示.(2)设(1)中AC 的垂线交AC 于点F ,则OF ⊥AC∴AF=CF=12AC=4. 又点O 是AB 的中点∴OF 是△ABC 的中位线∴OF=12BC=3,即点O 到AC 的距离为3. ∵AB 是☉O 的直径 ∴∠ACB=90°∴AB=√AC 2+BC 2=√82+62=10 ∴OD=5∴DF=OD-OF=5-3=2∴在Rt △CDF 中,CD=√DF 2+CF 2=√22+42=2√5 ∴sin ∠ACD=DFCD =2√5=√55.8.【答案】如图,由题意知,∠ECA=37°,CD=90,∠ADC=90°,∠ADB=53°,AD∥EC∴∠BCD=53°,∠BDC=∠ADC-∠ADB=37°,∠A=37°∴∠BCD+∠BDC=90°∴∠CBD=90°,即AC⊥BD.在Rt△CBD中,BD=CD cos∠BDC=90cos 37°≈90×0.80=72.在Rt△ABD中,AB=BDtanA =72tan37°≈720.75=96.答:A,B两点间的距离为96 m.9.【答案】如图,过点B作BH⊥AC于点H,根据题意,得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.在Rt△ABH中,AB=100,∠BAH=50°,sin∠BAH=BHAB ,cos∠BAH=AHAB∴BH=AB·sin∠BAC≈100×0.766=76.6,AH=AB·cos∠BAC≈100×0.643=64.3.在Rt△BHC中,∠BCH=45°∴CH=BH=76.6∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141.答:货轮距离A港口约141海里.10.【答案】根据题意,得BC=32,∠APC=42°,∠APB=35°.在Rt△PAC中,tan∠APC=ACPA∴PA=ACtan∠APC.在Rt△PAB中,tan∠APB=ABPA∴PA=ABtan∠APB.∵AC=AB+BC∴AB+BCtan∠APC =AB tan∠APB∴AB=BC·tan∠APBtan∠APC-tan∠APB =32×tan35°tan42°−tan35°≈32×0.700.90−0.70=112(m).答:这座山AB的高度约为112 m.11.【答案】(1)在Rt△CAE中,∵∠CAE=45°∴CE=AE.∵AB=10∴BE=AE-10=CE-10.在Rt△CEB中,由tan 53°=CEBE =CE CE-10得tan 53°(CE-10)=CE,∴CE≈40.58.答:阿育王塔的高度约为40.58 m.(2)由题意知Rt△FGD∽Rt△CED∴FGCE =GDED,即 1.540.58=2ED,∴ED≈54.11.答:小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11 m.归纳总结解直角三角形实际应用的一般步骤①审题:根据题意画出图形,建立数学模型.②构造直角三角形:将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形问题.③列关系式:选择合适的边角关系式,使运算简便、准确.④检验:得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,同时还要注意结果有无对精确度的要求.12.【答案】在Rt△BAD中,tan∠BDA=ABAD,∠BDA=53°∴AD=ABtan53°≈18.05(米).在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD,∠CAD=30°第 11 页共 11页 ∴CD=AD ·tan ∠CAD=√33AD ≈10.4(米).故办公楼的高度约为10.4米.13.【答案】在Rt △ACE 中,∠AEC=90°,∠C=58°,AC=AB+BC=34+70=104 ∴AE=AC sin C=104×sin 58°≈104×0.85≈88.答:点A 到CD 的距离AE 的长度约为88 cm .14.【答案】在Rt △ACO 中,∠AOC=180°-∠AOB=30°,AC=10 cm∴OA=2AC=20 cm .在Rt △A'DO 中,∠A'OD=180°-∠A'OB=72°,OA'=OA=20 cm∴A'D=A'O sin ∠A'OD ≈20×0.95=19(cm).答:顶部边缘A'处离桌面的高度A'D 的长约为19 cm .15.【答案】分别延长AB ,CD 与直线OF 交于点G ,点H ,如图则∠AGO=∠EHO=90°.又∵∠GAC=90°,∴四边形ACHG 是矩形∴GH=AC.由题意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.在Rt △AGO 中,∠AGO=90°,tan ∠AOG=AG OG ∴OG=AG tan∠AOG =60tan70°≈602.75≈21.8.∵∠EFH 是△EOF 的外角∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°∴∠EOF=∠FEO ,∴EF=OF=24.在Rt △EHF 中,∠EHF=90°,cos ∠EFH=FH EF ∴FH=EF ·cos ∠EFH=24×cos 60°=12∴AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12≈58(m).答:楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58 m.。

初中数学中考复习：25锐角三角函数综合复习(含答案)

中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于( )A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（　）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（　）A．B．C．D．4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )A．B．C．D．5．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于( )A．B．C．D．第5题第6题6．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）A. B.C. D.;二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为.9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是　．三、解答题13．如图所示，某拦河坝截面的原设计方案为AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m 为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长．(精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝．故选D.2.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．3.【答案】B；【解析】连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=故选B．4.【答案】C；【解析】设CE＝x，则AE＝8-x．由折叠性质知AE＝BE＝8-x．在Rt△CBE中，由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得，∴tan∠CBE．5.【答案】A；【解析】∵y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故选A.6.【答案】D；【解析】由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本选项错误；C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．故选D．二、填空题7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．8．【答案】；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．9．【答案】；【解析】连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E=；又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB=．10．【答案】1；【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．∴.∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．∴原式＝＝1．11．【答案】；【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．12．【答案】2或；【解析】此题有两种可能：（1）当点P在线段CD上时，∵BC=2，DP=1，CP=1，∠C=90°，∴tan∠BPC==2；（2）当点P在CD延长线上时，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，又∵BC=2，∠C=90°，∴tan∠BPC=．故答案为：2或．三、解答题13.【答案与解析】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．在Rt△ABE中，，∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin 74°≈5.77(cm)；，∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos 74°≈1.65(m)．∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77m．在Rt△BDF中，，∴(m)．∴AD＝EF＝BF-BE＝4.04-1.65≈2.4(m)．14.【答案与解析】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴，BD＝tan∠BAD·AB＝tan 18°×9，∴CD＝tan 18°×9-0.5．在Rt△DCE中，∠DEC＝90°，∠CDE＝72°，∴，＝sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m)．即该图中CE的长约为2.3m．15.【答案与解析】解：如图所示，由已知可得∠ACB＝60°，∠ADB＝45°．∴在Rt△ABD中，BD＝AB．又在Rt△ABC中，∵，∴，即．∵BD＝BC+CD，∴．∴CD＝AB-AB＝180-180×＝（180-60)米．答：小岛C、D间的距离为(180-)米．16.【答案与解析】解：(1)BF＝CG．证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG(AAS)，∴BF＝CG．(2)DE+DF＝CG．证明：过点D作DH⊥CG于点H(如图所示)．∵DE⊥BA于点E，∠G＝90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形，∴DE＝HG．DH∥BG．∴∠GBC＝∠HDC∴AB＝AC．∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC．又∵∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，∴△FDC≌△HCD(AAS)，∴DF＝CH．∴GH+CH＝DE+DF＝CG，即DE+DF＝CG．(3)仍然成立．(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如(2)中连结AD)。

2023年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数(含答案)

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含答案）一、单选题1．如图，在ABC 中， 45B ∠=︒ ， 30C ∠=︒ ，分别以 A 、 B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 、 E ．作直线 DE ，交 BC 于点 M ；同理作直线 FG 交 BC 于点 N ，若 6AB = ，则 MN 的长为（）A ．1B 3C ．3D ．232．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则sin∠OMN 的值为（）A ．12B ．1C ．2 D 33．如图，在 Rt ABC 中， 9053C AB BC ∠=︒==，，，则 sin B 的值为（）A ．45B ．34C ．35D ．43二、填空题4．cos60︒ = .5．两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，210AB = ， 4CD = .保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点O 逆时针旋转 α()090α<<︒ .当BD 与 CD 在同一直线上（如图2）时， α 的正切值等于 .6．在 ABC ∆ 中， 903016ACB A AB ︒︒∠=∠==，，，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作PQ AB ⊥ ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ，设 AP x = ，当 APQ ∆ 的面积为 3时， x 的值为 .三、综合题7．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，将∠ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）AQ ＝，∠APQ 为等边三角形；（2）是否存在点Q ，使得∠AQM 、∠APQ 和∠APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ 的长；若不存在请说明理由；（3）AQ ＝，B 、P 、Q 三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+8 cos45°+()1tan 60-︒（2）先化简，再求代数式 221(1)122x x x --÷++ 的值，其中x=4cos30°-tan45° 9．如图，AB 是∠O 的直径，点P 在∠O 上，且PA ＝PB ，点M 是∠O 外一点，MB 与∠O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC OM 交∠O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．（1）求证：MC是∠O的切线；（2）若152OB=，12BC＝，连接PC，求PC的长．10．如图，在∠ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，∠ABC内接于∠O，AB是∠O的直径，∠O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6 3，求AP的长.12．（12744 sin603233-︒-（2）先化简，再求值：342111xxx x-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中22x=.13．如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ；（2）若 5AB = ， 3cos 5B =，求 DE 的长． 14．（1）计算： 2cos 45sin 30tan 45︒︒︒+⋅ . （2）求二次函数 21212y x x =++ 图象的顶点坐标. 15．如图，直线y =-x +b 与反比例函数 3y x=-的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于点B ．（1）求a 、b 的值；（2）若点P 在x 轴上，且∠AOP 的面积是∠AOB 的面积的12，求点P 的坐标． 16．如图， PA 、 PB 为O 的切线，A 、B 为切点，点C 为半圆弧的中点，连 AC 交 PO于E 点.（1）求证： PB PE = ；（2）若 3tan 5CPO ∠=，求 sin PAC ∠ 的值. 17．（120313213(202248)64---⨯--（）．（2）先化简，再求值：2243()22ab a ba b a b b a a b---⨯÷+-+，代入你喜欢的a ，b 值求结果． 18．矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数 ky x= （k ＞0）的图象与边AC 交于点E.（1）当点F 为边BC 的中点时，求点E 的坐标；（2）连接EF ，求∠EFC 的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，O 是对角线AC 的中点，点E 从A 点沿AB 向点B运动，运动过程中连接OE ，过O 作OF∠OE 交BC 于F ，连接EF ，（1）当点E 与点A 重合时，如图2，求 tan OEF ∠ 的值；（2）运动过程中， tan OEF ∠ 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；（3）当EF 平分∠OEB 时，求AE 的长.20．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()10A -，、()20B ，，与y 轴交于点C ，且2tan OAC ∠=.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBCBCDSS=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q.设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值. 21．如图1，四边形 ABCD 内接于O ， BD 为直径， AD 上存在点E ，满足AE CD = ，连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点F ， BE 与 AD 交于点G.（1）若 DBC α∠= ，请用含 α 的代数式表列 AGB ∠ . （2）如图2，连结 ,CE CE BG = .求证； EF DG = . （3）如图3，在（2）的条件下，连结 CG ， 2AG = . ①若 3tan 2ADB ∠=，求 FGD 的周长. ②求 CG 的最小值.22．如图，直线364y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），以C 为顶点作OCD OAB ∠=∠，射线CD 交线段OB 于点D ，将射线OC 绕点O 顺时针旋转90︒交射线CD 于点E ，连接BE .（1）证明：CD ODDB DE=；（用图1）（2）当BDE 为直角三角形时，求DE 的长度；（用图2）（3）点A 关于射线OC 的对称点为F ，求BF 的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F.连接AC ，BD.（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求 OBC ∠ 的度数；（2）若 ACO CBD ∠=∠ ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象上，始终存在一点P ，使得 75ACP ∠=︒ ，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.24．如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC AE ⊥ 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ADC ∠ 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求 sin FHG ∠ 的值；（3）若 GH 42=， HB 2= ，求 O 的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ()240y ax bx a =++≠ 的图象经过 ()3,0A - ，()4,0B 两点，且与 y 轴交于点 C .点 D 为 x 轴负半轴上一点，且 BC BD = ，点 P ，Q 分别在线段 AB 和 CA 上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 AP 的长. （3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 G ，使得 GCBGCASS= ，再在这个二次函数的图象上取一点 E （不与点 A ， B ， C 重合），使得 45GBE ∠=︒ ，求点 E 的坐标.参考答案1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接AM、AN，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB= 6，∴AM= 3，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。

中考数学复习《锐角三角函数》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《锐角三角函数》专项练习题-附带有答案一、选择题1．已知α是锐角，若sinα=12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（）A．sinC＝35B．cosC＝43C．tanA＝34D．sinA＝453．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 513，则tanB的值为（）A．1213B．512C．1312D．1254．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC=4m，则坡面AB的长度是（）mA．8 B．16 C．4√5D．4√35．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（）A．12B．√1010C．√55D．2√556．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．200√33米D．50√3米7．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（）A．sin2α+1B．1sin2α+1C．cos2α+1D．1cos2α+18．如图所示，正方形ABCD中AB=4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A．95√5B．4 C．165D．85√5二、填空题9．已知∠A是锐角tanA=√32，则sinA=.10．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB的长为2m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m.（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4）.11．如图，在⊙O中，弦AB的长为12√3，圆心到弦AB的距离为6，则∠BOC的度数为.12．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是(1，0)、(0，√3)，且∠ABC=90°，∠A=30°，则顶点A的坐标是.13．如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cos ∠ADB的值为．三、解答题14．计算：2sin30°+cos30°•tan60°.15．先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x=√2sin45°+2tan60°.16．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）17．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，在A 处测得C 港在北偏东45°方向上，在B 处测得C 港在北偏西60°方向上，且 AB =400+400√3 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 √2≈1.41 √3≈1.73 √5≈2.24 ）18．如图所示，已知BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上的两点，连接AD 、AC 、CD ，线段AD 与直径BC 相交于点E.（1）若∠ACB ＝60°，求sin∠ADC 的值.（2）当CD ⌢=12AC ⌢时 ①若CE =√2，BC⋅CE AB =2求∠COD 的度数.②若CD ＝1，CB ＝4求线段CE 的长.参考答案1．A2．C3．D4．C5．C6．D7．B8．B9．√217 10．0.711．60°12．(4，√3)13．3√101014．解：原式＝2× 12 + √32× √3 ＝1+ 32＝ 5215．解： x x 2−1÷(1−1x+1)=x (x+1)(x−1)÷x+1−1x+1 =x (x+1)(x−1)⋅x+1x=1x −1 当x =√2sin45°+2tan60°=√2×√22+2×√3=1+2√3时 1x −1=11+2√3−1=12√3=√36原式=√36. 16．解：延长DC 交EA 的延长线于点F ，则CF ⊥EF∵山坡AC上坡度i＝1：2.4∴令CF＝km，则AF＝2.4km在Rt△ACF中，由勾股定理得CF2+AF2＝AC2∴k2+（2.4k）2＝262解得k＝10∴AF＝24m，CF＝10m∴EF＝30m在Rt△DEF中，tanE＝DFEF∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m）∴CD＝DF﹣CF＝23.3m因此，古树CD的高度约为23.3m.17．（1）解：如下图，过点C作CH⊥AB交AB于点H设CH=x在Rt△ACH中在Rt△BCH中∴AB=(√3+1)x=400+400√3∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响在 Rt △PCH 中∴PH =√CP 2−CH 2=200√5∴PQ =2PH =400√5则时间： t =400√520=20√5≈45 （小时）答：台风影响该海港持续的时间有45小时.18．（1）解：∵BC 是⊙O 的直径∴∠BAC ＝90°∵∠ACB ＝60°∴∠B ＝30°∵AC ⌢＝AC ⌢∴∠ADC ＝∠B ＝30°∴sin∠ADC ＝sin30°=12所以sin∠ADC 的值为12；（2）解：①∵CE =√2 BC⋅CE AB =2∴BC AB =√2∵∠BAC ＝90°∴cos∠B ＝AB BC =√22∴∠B ＝45°∵CD ⌢＝12AC ⌢∴∠CAD ＝12∠B ＝22.5°∴∠COD ＝2∠CAD ＝45°即∠COD 的度数为45°；②∵CD ⌢＝12AC ⌢∵∠ADC＝∠COD，∠OCD＝∠DCE ∴△OCD∽△DCE∴CDOC =CECD∵BC＝4∴OC＝2∴12=CE1∴CE＝12∴线段CE的长为12.。

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。

锐角三角函数知识点及试题(含答案)

锐角三角函数一．知识框架二．知识概念1.Rt △ABC 中(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cota ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边2.特殊值的三角函数：锐角三角函数（1）基础扫描1. 求出下图中sinD ，sinE 的值．2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（）．A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（）A ． 35B ． 45． 34 D ． 434．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247CBA5．计算：sin30°·sin 60°+sin45°．能力拓展6．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin ∠APB=12，则满足条件的点P 的个数是（）A 1个B 2个C 3个D 不存在7．如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：1sin 2A B C S A B A C A∆=⋅⋅8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB ．lCBA （第7题图）85F E D创新学习9. 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（） A ．3B．5C ．5．13答案或提示1．8989sin sin ,DE ==2．A 3．B 4．证明：由2225625AB ==，22749BC ==，2224576CA ==，得222AB BC CA=+ ∴又∠C=90°，∴7sin 25B C A A B==．5．原式=12224⨯+=． 6． B7．证明：作CD ⊥AB 于D ，则CD=AC ·sinA ∴ 1122sin A B C A B C D A B A C AS ∆==8．解：如图，作AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ∵ AB=AC ∴ BD=12BC=3 ∴4=∴ 4sin 5A DA B C A B ∠== 由1122ABCBC AD AC BES ∆==得 642455B C A D B E A C ⋅⨯===∴24sin 25B E B AC A B∠==9．B锐角三角函数（2）基础扫描1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= ．2．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝4，c ＝4，则a ＝_______．3．如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（）Ａ．122Ｃ．14．如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sin α=_______，cos α=_________，tan α=______ _．5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AC =AB =，则tan ∠ACD 的值为（）ED C BA6．已知α是锐角，且cos α=34，求sin α、tan α的值．能力拓展7．若α为锐角，试证明：sin tan cos ααα=．8．如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，BC=a ，AC=b （b ＞a ），若tan ∠DCE=12，求a b的值．创新学习9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=，试求cosA 与tanA的值．答案或提示 1． 132．． B 4．1313，325． A6．解：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，设∠A=α， ∵ 3cos 4A C A Bα==∴设AC=3k ，AB=4k （k ＞0），则k ． ∴sin tan 43BC ABαα===．baE D CBA （第8题图）C BAD CBA7．证明：如图，R t A B C ∆中，∠C=90°，设∠A=α，则sin ,cos B C A C A BA Bαα== ∴sin cos B C A Cαα=又 ∵ tan B C A Cα= ∴sin tan cos ααα=.8．解：如图，∵1tan 2D E D C E D C∠==，∴设 DE=k ，DC=2k （k ＞0）则CE =. 又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线 ∴∴1),BD k =∴tan 2BD BC D C D∠==∵ A B C D ∠=∠ ∴tan tan A B C D ∠=∠∴12a b -=9．解：在Rt △DBC 中，∠C=90°，∠DBC=30°，∴tan 3D C D BC BC∠==∴可设DC=k ，BC=（k ＞0）．在Rt △ABC 中，由勾股定理知：222BC CA AB +=．∴)()22319k ++=．整理得()()2510k k +-=．∴k=1． ∴CA=4．∴cos tan 194A A ==．锐角三角函数（3）基础扫描 1．已知sin α12=，则锐角α= 度．2．若tan 1α=，则2cos α= ．3．计算tan 60452cos 30+- 的结果是（）A ．2 B．C ．1D．13-．4．如图，已知等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（）A ． 25B ． 26C ． 27D ． 28．5．计算：（1）计算：()013sin 452007tan 30--+-D CCBAbaE D CBA CBAD(2) 先化简，再求值:()2221x x xx+-÷+1，其中，tan 60x = ．(3)已知tanA=2．236，用计算器求锐角A （精确到1度）．能力拓展6．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（） A ．（8105）m B ．21.6m C ．．835⎛⎫+⎪⎪⎝⎭m7．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么C D A B等于（）A ．sin αB ．COS αC ．tan αD ．1tan α8．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为5．求cosA 的值．ED CBA第6题图BAO 第7题图创新学习9．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB ，利用此图求tan22．5°的值．答案或提示 1．30 2．123．C 4．C 5．（1）．原式=111223-+=（2）原式=()()()()221111111xx x x x x x x x +-+=-+=-++ ．当tan 60x ===214-=-（3）∠A ≈66°6． A 7． B8．解：作OC ⊥AB ，垂足为C ．则1522A C AB ==．∴5cos 6A C A O A ==．9．解:∵∠C=90°，∠DBC=45°，且AB=DB ， ∴∠A=∠ADB=12∠DBC=22．5°设DC=1，则BC=1，∴tanA=1DC AC==-，∴tan22．51．。

九年级数学锐角三角函数(带答案)[1]

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锐角三角函数与解直角三角形【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2。

命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠A 所对的边BC 记为a,叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边,直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA,即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa bc锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边;tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：（1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成，，，不能理解成sin与∠A,cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”;另外，、、常写成、、．（3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时,,，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释:（1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如:若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小）而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小（或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中，∠C=90°．（1)互余关系:，；(2)平方关系：；(3）倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有:①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，,，，，.④,h为斜边上的高.要点诠释:(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°），是已知的值。

《锐角三角函数》习题(含答案)正确无误版

《锐角三角函数》一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ．．．． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、οο45cos 45sin +的值等于（）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 1507．当锐角α>30°时，则cos α的值是（） A ．大于12 B ．小于12C ．大于3D ．小于38．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度． 15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c （2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=30°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°；（2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________．【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ．在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ．答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。

第28章《锐角三角函数》好题集(01)：28.1 锐角三角函数

第28章《锐角三角函数》好题集（01）：28.1锐角三角函数第28章《锐角三角函数》好题集（01）：28.1 锐角三角函数选择题22．（2001•黑龙江）已a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=03．（2001•河北）已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a=c．若关于x的一元二次方程的两根4．已知α是锐角，且点A（，a），B（sinα+cosα，b），C（﹣m2+2m﹣2，c）都在二次函数y=﹣x2+x+3的图象上，5．（2010•临沂）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（），﹣）2+，﹣）6．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA=，则这个菱形的面积是（）7．（2002•崇文区）如图，菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α，则下列式子正确的是（）=8．（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）C D9．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）．C D10．（2008•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则sin∠DBE的值为（）．C D．11．如图a是长方形纸带，∠DEF=10°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的tan∠DHF的度数是（）．C．12．（2010•漳州）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）．C D．13．（2010•孝感）如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）．C D．15．（2010•包头）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tan B的值为（）．C D．16．（2009•绥化）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．C D．17．（2008•淄博）如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=2，则AC等于（）18．（2008•内江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，则cosA等于（）．C D．19．（2008•海南）如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）．C D．20．（2008•甘南州）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）．C D．．C D．．C D．23．（2006•辽宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）．C D．24．（2006•丽水）如图，sinA=（）．C D．25．（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）．C D．26．（2005•南京）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）．C D．cosB=28．（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（）．C D．29．（2004•云南）在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）．C D．．C D．第28章《锐角三角函数》好题集（01）：28.1 锐角三角函数参考答案与试题解析选择题2﹣，2．（2001•黑龙江）已a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=03．（2001•河北）已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a=c．若关于x的一元二次方程的两根，，×﹣×=2a=4．已知α是锐角，且点A（，a），B（sinα+cosα，b），C（﹣m2+2m﹣2，c）都在二次函数y=﹣x2+x+3的图象上，，抛物线开口向下，可知，开口向下，（5．（2010•临沂）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（），﹣）2+，﹣），2+，纵坐标为，）6．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA=，则这个菱形的面积是（）sinA=，易得，7．（2002•崇文区）如图，菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α，则下列式子正确的是（）==；=；=；==8．（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）C D，AB=2AD=29．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）．C DODA=10．（2008•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则sin∠DBE的值为（）．C D．AB BC ABx===11．如图a是长方形纸带，∠DEF=10°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的tan∠DHF的度数是（）．C．．C D．．13．（2010•孝感）如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）．C D．A=15．（2010•包头）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tan B的值为（）．C D．，tanB=，设．=sinA==，==16．（2009•绥化）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．C D．17．（2008•淄博）如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=2，则AC等于（）=，∴××18．（2008•内江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，则cosA等于（）．C D．cosA=．19．（2008•海南）如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）．C D．．20．（2008•甘南州）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）．C D．，=．．C D．==5=．C D．=23．（2006•辽宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）．C D．=sinA=24．（2006•丽水）如图，sinA=（）．C D．=．25．（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）．C D．，斜边为=5= 26．（2005•南京）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）．C D．=．，，28．（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（）．C D．，即可求出ACD==29．（2004•云南）在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）．C D．，=．C D．= =．菁优网 ©2010-2013 菁优网参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ ；Liuzhx ；蓝月梦；zhjh ；zhehe ；星期八；CJX ；未来；MMCH ；Linaliu ；hbxglhl ；haoyujun ；自由人；ln_86；zzz ；bjf ；心若在；zcx （排名不分先后）菁优网2013年3月15日。

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解直角三角形的应用复习
1．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
2．如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．
（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
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3．2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：
）
4．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？（，结果保留两位有效数字．）
5．某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC=BC=8m，∠A=30°，CD⊥AB于点D．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求AB的长度．
答案1：24.22 （2）车速度为43.56千米/小时，2、24米（2）多走24米3、2（+1）≈5.5
4、2.7+1.732≈4.4米
5、
2。