非线性控制系统的频谱理论及应用

1 9 9 8年
2 非线性系统的广义频率响应函数描述
在工程实际中遇到的大多数非线性控制系统, 均可用如下形式的 Volt erra 级数表示
∞
y ( t) = y n ( t) =
∑ y ( t)
n n= 1 n i= 1
( 1)
∫∫
… - ∞
∞
∞
h n( S1, … , S n ) 7 u( t - S i) d S i , n ∈ N - ∞
∫ ∫h ( X … ∞
- ∞ ∞ ∞
d n
X2 - … - Xn , X2 , …, Xn)
∫… ∫ h ( S , …, S ) e
- ∞ - ∞ 1 n
- j( X S + …+ X S )
1 1 n n
dS 1 …d S n
( 3)
3 非线性控制系统的频谱分析法
3. 1 多项式类非线性系统的 GFRF 递推算式 对非线性控制系统进行频谱分析 , 首先必须获得其广义频率响应函数 GF RF , 若给出的模 型是非线性微分方程形式, 则要从时域变换到频域中。 从非线性微分方程求解广义频率响应函 数最经典的方法是谐波分析法, 该方法给系统作用几种不同频率的正弦组合信号 , 通过分析其 输出响应中的谐波分量 , 从 而得到它的 GFRF 算 式。 文献 [ 1] 提出了 非线性积分微分 方程 ( NIDE 或 NDE) 与 GFRF 之间的变换算法, 发展了以前提出的算法。 然而, [ 1] 所提出的递推 算法仍是非常复杂的, 一些结果还有待于证明。 由于许多实际的系统都可以表示成多项式类非 线性系统的形式, 因此本文对多项式类非线性系统给出一种 GF RF 的递推算式。 多项式类非线性微分方程可以描述为
非线性控制系统的频谱理论。这一理论的出发点是在 Volt erra 级数的基础上, 用广义频率响
应函数( GF RF ) 来描述连续的非线性动态系统, 然后在多维频域内基于 GF RF 讨论非线性系 些有意义的结果 , 但由于遇到了 GF RF 计算上的困难 , 这一理论的研究一度停了下来。 进入 80
1 引 言
非线性系统理论的发展几乎与线性系统理论是平行的 , 但由于非线性系统所包含的现象 十分复杂, 迄今非线性系统理论还很不成熟。处理非线性控制系统 , 最经典的方法是相平面法
和描述函数法 , 但这两种分析方法对大多数非线性控制系统并不适用。 变结构控制是目前最常 的控制器会产生较严重的抖振现象。 另一种研究非线性控制系统的思路是利用现代数学方法, 法极大地推动了非线性系统方面的研究 , 但它们使用的数学工具较抽象, 实现起来比较困难, 这两种方法离真正的实际应用还有很大的距离。
DOI 10.13195/j.cd.1998.03.1.caojf.001 第 13： 卷 第3期 控 制 与 决 策
V ol. 13 N o . 3 CON T R OL A N D DE CI S I ON
1998 年 5 月
M ay 1998
非线性控制系统的频谱理论及应用
曹建福 韩崇昭
系统频谱理论的研究工作, 并在 GFRF 的数值计算方法、 非线性系统的频域辨识算法、 稳定性 基本内容及目前研究和应用状况。
X 1997- 06- 23 收稿 , 1997- 08- 19 修回
分析以及频域逆系统控制等方面进行了一些探索。本文主要介绍非线性控制系统频谱理论的
194
控 制 与 决 策
( 7)
若输入信号 u( t ) 由 k 个不同频率的正弦信号组成, 即
K
u( t ) =
∑ûA k ûco s( Xk t + ∠A k) =
k= 1
∑
k= 1
A k j Xk t A* k - jX t e + e k 2 2
对应模向量为 M ¦ ( m - K , …, m - 1 , m 1, m 2, … , m K ) , 输出也可写成同( 7) 的形式。 利用这些结果, 可以分析非线性系统的谐波特性、 增益的压缩与扩张特性、 频率响应互抑 制特性以及频率响应的互调制特性等。 3. 3 利用高阶频谱图分析非线性控制系统的动静态特性 由线性系统理论可知, 线性控制系统的动静态特性与其频谱图存在明确的对应关系, 因此 可以由它的频谱图分析其动静态特性。 而在非线性控制系统中 , 不仅存在一阶频谱图 , 还存在 高阶频谱图, 因此在进行非线性系统的频谱分析时, 必须考虑高阶频谱图对输出响应的影响。 文献[ 2, 3] 提出了利用计算机的图形系统 , 进行非线性控制系统频谱分析的方法, 并重点 讨论了非线性系统跟踪响应特性的分析问题。 因为利用计算机图形表示频谱信息时, 只能画出 一阶频谱图、 二阶频谱图和部分的三阶频谱图, 而对于三阶以上的频谱图在图形上表示较为困 难 , 因此在分析非线性系统的跟随响应特性时 , 一般情况下只考虑前三阶 GFRF, 略去更高阶 的 GFRF 对动态特性的影响。 [ 2, 3] 利用非线性系统对阶跃信号的输出响应来定义其动态性 能指标, 在具体分析非线性系统的动态指标时, 可先由线性部分的频谱图估计出它的动态指 标 , 然后再用二阶频谱图、 三阶频谱图对所得到的结果进行修正。 [ 2, 3] 还通过大量的仿真实 例获得了一些关于二阶频谱图、 三阶频谱图与动态性能指标关系的结果。
( 5)
第 13 卷 第 3 期
曹建福等 : 非线性控制系统的频谱理论及应用 … …
Hale Waihona Puke 195由以上的递推算式 , 可以得出: 1) 对于给定的多项式类非线性系统 ( 4) , 其 GFRF 是 jXi 的真有理分式 , 分式的分母是 A 1( jX1 ) , … , A 1( j( X1 + … + Xn ) ) , … , 等项的乘积。 2) 若系统 ( 4) 取特殊形式 —— 纯输入系统、 纯输出系统和纯乘积系统情况 , 那么其相应 的 GFRF 递推算式会变成一些较简单的形式。 对于 M IM O 多项式类非线性系统 , 可以证明其广义频率响应函数矩阵类似算式 ( 5) 。 3. 2 基于 GFRF 的非线性系统稳态频率响应分析 给非线性系统作用 K 个指数和的输入信号
能控制的一些基本的理论问题还远远没有解决 , 而要真正解决这些问题 , 则需要非线性系统理
上述的结果基本上都是在时域中取得的, 由于它们存在种种的局限性, 人们自然想到是否
可以把线性系统的频域方法移到非线性控制系统中。因为频域法实际物理意义明确, 便于实 验 , 所设计的控制器具有鲁棒性 , 更重要的是工程师熟悉传统的频域法。 基于这些考虑 , 发展了
k = 1
1
( 6)
k = 1
n
XM = 则式( 6) 又可写成 y n ( t) =
ûM û= n
∑m X
k k= 1 K
k
∑ y n ( t, Xn ) =
K
ûM û= n
∑ n!
k Am k dn( m 1( X1 ) , … , m K ( XK ) ) e jXMt h ∏ m k ! k= 1
i = 1 k = n- 1
( 4)
式中 D 表示微分算子, M 为最大的微分阶数, N 是最高次方, a , b , c 是系统参数。 GFRF 的递推 算式是 d1( X1 ) = - A 1 h 1 ( jX1) C 1 ( jX1) d2( X1 , X2 ) = - A 1 d d h 1 ( j( X1 + X2) ) [ C 2( jX1 , jX2 ) + A 2 ( jX1, j X2) h 1( X1 ) h 2( X2 ) d1 ( X1) ] + B 1, 1( jX1 , jX2) h
( 西安交通大学自动控制系 , 710049)
X
摘 要 总结了非线性控制系统的研究方法 , 阐述了时域 法在工业应用中的某 些局限 , 介 绍了 非线性控制系统 频谱理论的 基本内容及 发展概况 , 同时就 非线性控制 系统的频 谱理论发展 方 向进行了探讨。 关键词 非线性控制系统 , 广义频率 响应函数 , 频谱分析法 分类号 T P 271. 62
统的分析和综合问题。在 60 年代末 70 年代初 , 一些研究者就从事这方面的工作 , 并取得了一
年代后 , 以英国谢菲尔德大学的 Billing s 为首的一批学者在非线性频谱分析方面做了许多出 色的工作 , 重新唤起了人们对这一方法研究的兴趣。 本文作者从 1991 年开始 , 从事非线性控制
式中 u ( t ) 和 y ( t) 分别是系统的输入和输出变量, 而{ h n( S1, … , S n ) } , n ∈ N 是系统的广义脉冲 响应函数。 如果对系统 ( 1) 取 Fo urier 变换 , 则有 d( X) = y d - ( n- 1) y n( X) = ( 2P)
∞ ∞
用的非线性综合方法, 它有许多优点 , 并且已在实际中得到了一些应用, 但使用该方法所设计
这方面的主要成就是发展了微分几何和微分代数控制方法。虽然微分几何和微分代数控制方
把各种智能方法用到不确定性非线性控制系统中, 是最近几年的一个热门研究课题, 并已
提出了一些有效的控制方案 , 这些工作为非线性控制方面的研究开辟了一条新路。 但目前对智 论研究本身的突破。
K
u( t ) =
K K
∑A
k= 1
k
e jXkt
其中 A k = ûA k ûej ∠A k 表示第 k 个指数函数的复数模。 非线性系统 n 阶输出为 y n( t ) = 定义模向量为 M ¦ ( m 1 , m 2, …, m K ) 相应于模向量 M 的输出频率为
K
d j( X + …+ X ) t ∑…∑[ A k1…A knh n( Xk1 , …, Xkn ] e k 1 k n
∑yd ( X)
n n= 1
∞
( 2)
d( X - X2 - … - Xn) u d( X2 ) …u d( Xn ) dX2 …d Xn õu d, y dn, u d 分别为 y , y n 和 u 的 Fo urier 变换, 而 h dn 为 hn 的多重 F ourier 变换 , 称为系统的 式 ( 2) 中 y 广义频率响应函数 ( GFRF) , 即 dn ( X1, …, Xn ) = h d 因此 , 非线性系统( 1) 可以用一个广义频率响应函数序列 { h n ( X1 , X2, …, Xn ) } 描述。 GFRF 仅与系统本身的结构和参数有关 , 它是线性系统的频率响应函数在非线性系统中的推广。
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控 制 与 决 策
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4 基于 GFRF 模型的频域辨识算法
首先作如下假设: 假设 1 输入信号是人工设计的正弦信号的线性组合 , 其频率为基频的整数倍, 即设 X0 为 基频, 其它频率为 k X0 ; 同时假定 d( X( k ) ) ≠ 0, k = - N r + 1, …, - 1, 0, 1, …, N r - 1 u 其中 N r 是输入信号的带宽 , 且 N r < N s , 而 N s 是时域样本数, 在频域相应最大带宽。 假设 2 对输入输出信号同步采样, 采样频率和数据样本 N s 的选择要使得输出数据可以 容纳比输入信号大许多倍的带宽。 假设 3 系统的动态行为可以用三阶以下的 GF RF 核近似描述。 d( k X0) } , { y d( k X0 ) } , 应满足如下非线性泛函方程 这样, 经过 FF T 的输入输出数据{ u d d d 1 d d d y ( k X0) = h 1 ( k X0) u( k X0) + N s ∑ h 2 ( ( k - s ) X0, s X0 ) u ( ( k - s ) X0) u ( s X0 ) s= - Ns+ 1 1 d 2 ∑ h 3( ( k - s - S) X0, s X0, SX0 ) ( N s) s = ∑ - N s + 1S = - N s+ 1 d( ( k - s - S d( s X0) u d( SX0) õu ) X 0) u +
N n- 1 M p = 0
1
M p = 0
n
n pi i= 1
n i= 1
∑ ∑…∑
N- 1 N- n M
an, p 1 , …, p n ∏D y ( t) + cn, p 1 , …, p n ∏D p i u ( t)
M p n = 0 N
+
∑∑
n= 1 q= 1
∑…
p = 0
1
∑
n+ q
bn, q , p 1 , …, p n+ q ∏ ∏ D p i y ( t ) D p k u ( t) = 0