湖北省襄阳市五校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

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【数学】湖北省襄阳市第五中学2020-2021学年高二3月月考(理)

湖北省襄阳市第五中学2021 -2021学年高二3月月考 (理 )一、选择题 (本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 )1. 程序框图中表示判断的是 ( )2. 我校在检查学生作业时 ,抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查 ,这里运用的是 ( )A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样 3. 椭圆2241x y +=的离心率为( )A.23 B.34C.22D.32 4. 命题 "a ∀ ,b ∈R ,如果0ab > ,那么0a >〞 ,那么它的逆否命题是 ( )A ．a ∀ ,b ∈R ,如果0ab < ,那么0a <B ．a ∀ ,b ∈R ,如果0a ≤ ,那么0ab ≤C ．a ∃ ,b ∈R ,如果0ab < ,那么0a <D ．a ∃ ,b ∈R ,如果0a ≤ ,那么0ab ≤5. )1,2,2(=−→−AB )3,5,4(=−→−AC ,那么以下向量中是平面ABC 的法向量的是 ( )A.)6,2,1(-B.)1,1,2(-C.)2,2,1(-D.)1,2,4(- 6. 某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查 ,数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总数262450根据表中数据得到()2250181589 5.0592*******k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ,因为()2 5.0240.025p K ≥= ,那么认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为 ( )A ．90%B ．95%C ．97.5%D ．无充分根据7. 一个三位自然数abc 的百位 ,十位 ,个位上的数字依次为,,a b c ,当且仅当a b >且c b >时称为 "凹数〞．假设{},,4,5,6,7,8a b c ∈ ,且,,a b c 互不相同 ,任取一个三位数abc ,那么它为 "凹数〞的概率是 ( )A ．23 B ．25 C ．16 D ．138. ,,O A B 三地在同一水平面内 ,A 地在O 地正东方向2km 处 ,B 地在O 地正北方向2km 处 ,某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点 ,用测绘仪进行测绘 ,O 地为一磁场 ,3km 的范围内会对测绘仪等电子形成干扰 ,使测绘结果不准确 ,那么该测绘队员能够得到准确数据的概率是 ( ) A ．212-B ．22C ．31D ．129. 服从正态分布2(,)N μσ的随机变量 ,在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服 ,设员工的身高 (单位：cm )服从正态分布()2173,5N ,那么适合身高在163~178cm 范围内员工穿的服装大约要定制 ( )A ．6830套B ．9540套C ．8185套D ．9755套 10. 抛物线24y x =的焦点为,F A B 、 ,为抛物线上两点 ,假设3AF FB = ,O 为坐标原点 ,那么AOB ∆的面积为 ( )A 3B 43C 83D 23 11. 假设直线:2x l y m =-+与曲线21:42C y x =-有且仅有三个交点 ,那么m 的取值范围是 ( ) A ．)221 B ．(2 C ．()21 D ．()2112. 函数f (x ) =x 2 -4x +3,集合M ={ (x ,y )|f (x ) +f (y )≤0},集合N ={ (x ,y )|f (x ) -f (y )≥0},那么集合M ∩N 的面积是 ( ) A.4π B. 2π 二、填空题 (本大题4小题 ,每题5分 ,共20分 ) 13. 所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题； ②{}R x xx ∈=+,01|2={}=0或;③对于命题: "p 且q 〞 ,假设p 假q 真 ,那么 "p 且q 〞为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为．14. b 为如下列图的程序框图输出的结果 ,那么二项式6)1xbx -（的展开式中的常数项_ ． (用数字作答 )15. 如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,A 1、A 2、B 1、B 2为椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的四个顶点 ,F 为其右焦点 ,直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点 ,那么该椭圆的离心率为____________________． 16.某情||报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码 ,每周使用其中的一种密码 ,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码 ,那么第７周也使用Ａ种密码的概率是． (用最||简分数表示 )三、解答题： (本大题6小题 ,共70分 .解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ) 17. (本小题总分值12分)函数()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1 )求函数()f x 的单调增区间；(2 )在ABC ∆中 ,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边 ,且()11,2,2a b c f A =+==,求ABC ∆的面积.18. (本小题总分值12分)数列{}n a 满足137a =,1341n n n a a a +=+ ,n N *∈.(1 )求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 ,并且求出数列{}n a 的通项公式； (2 )求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19. (本小题总分值12分)如图 ,AB 是圆O 的直径 ,C 是圆O 上不同于,A B 的一点 ,PA ⊥平面ABC ,E 是PC 的中点 ,3AB =,1PA AC ==．(1 )求证：AE ⊥PB ；(2 )求二面角A PB C --的正弦值．EOBC20. (本小题总分值12分)一种电脑屏幕保护画面 ,只有符号 "○〞和 "×〞随机地反复出现 ,每秒钟变化一次 ,每次变化只出现 "○〞和 "×〞之一 ,其中出现 "○〞的概率为p ,出现 "×〞的概率为q ,假设第k 次出现 "○〞 ,那么记1=k a ；出现 "×〞 ,那么记1-=k a ,令.21n n a a a S +++=(I )当21==q p 时 ,记||3S =ξ ,求ξ的分布列及数学期望； (II )当32,31==q p 时 ,求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率.21. (本小题总分值12分)如图 ,椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22 ,x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的短轴长 ,2C 与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ,直线MA ,MB 分别与1C 相交于点D 、E ． (Ⅰ )求1C 、2C 的方程； (Ⅱ )求证：MA ⊥MB ：(Ⅲ )记∆MAB ,∆MDE 的面积分别为12,S S ,假设12S S λ= ,求λ的最||小值．22. (本小题总分值10分)设命题p ：2(4x 31-≤）;命题q:2x (2a 1)x a(a 1)0-+++≤ ,假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ,(1 )p 是q 的什么条件 ? (2 )求实数a 的取值范围．参考答案1 -12 CDDBC CDACB BC 13 -16 ②③④ -540761243P = 17. 试题解析：解： (1 )()231sin 22cos 12cos 2cos 262f x x x x x x π⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭312cos 2sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2 )()11,sin 2262f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴.又130,2666A A ππππ<<<+<∴. 5266A ππ+=∴ ,故3A π=. 在ABC ∆中 ,1,2,3a b c A π=+==,2212cos b c bc A =+-∴ ,即143bc =-.1bc =∴.13sin 2ABC S bc A ∆==∴18.试题解析： (1 )由137a =,13,41n n n a a n N a *+=∈+ 所以141114333n n n n a a a a ++==+ 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以数列12n a -是以13为首||项 ,13为公比的等比数列111112333n nn a -⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以数列{}n a 的通项公式为3,231n n n a n N *=∈⨯+(2 )23n n n nn a =+ 设231123133333n n n n n T --=+++++ 那么234111231333333n n n n n T +-=+++++两式相减得231121111111333333233n n n n n n n T ++⎛⎫=++++-=--⎪⎝⎭ 所以332443n nnT +=-⨯ 又22462n n n ++++=+所以2323434n n n S n n +=-+++⨯.19. (1)证明：∵P A ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴P A ⊥BC又AB 是圆O 的直径 ,C 是圆O 上不同于,A B 的一点 ∴90ACB ∠=︒ ,即AC ⊥BC ,又P A ∩AC ＝A ∴BC ⊥平面P AC ,又AE ⊂平面P AC ∴BC ⊥AE ∵P A ＝AC ,E 是PC 的中点 ∴AE ⊥PC ,又BC ∩PC ＝C∴AE ⊥平面PBC ,又PB ⊂平面PBC ∴AE ⊥PB(2)过A 作AF ⊥PB 交PB 于F ,连接EF 又由 (1 )得AE ⊥PB ,AE ∩AF ＝A∴ PB ⊥平面AEF ,又EF ⊂平面AEF ∴ PB ⊥EF ,又AF ⊥PB∴AFE ∠是二面角A PB C --的平面角∵在Rt P AC 中 ,1PA AC == ,那么2PC = ,22PA AC AE PC ⋅==在Rt P A B 中 ,1PA = ,3AB ,同理得32AF =∴在Rt AEF 中 ,262sin 33AE AFE AF ∠===故二面角A PB C --6ξ 1 3 P3/41/420. (I )∴ξ的分布列为∴E ξ =3/2(II )当S 8 =2时 ,即前八秒出现 "○〞5次和 "×〞3次 ,假设第|一、三秒出现 "○〞 ,那么其余六秒可任意出现 "○〞3次；假设第|一秒出现 "○〞 ,第三秒出现 "×〞 ,那么第二秒一定出现 "○〞 ,那么后五秒可任出现 "○〞3次. 故此时的概率为()5333651280332187p C C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭21.试题解析： (1 )2222c a b a == 又22b b = ,得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+=(2 )设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =那么22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++0=MA MB ∴⊥(3 )设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或 ,同理可得222(,1)B k k -2211212111122S MA MB k k k k ==++ 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++12222122216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ 2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以λ的最||小值为169,此时k =1或 -1.22. 试题解析： (1 )因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件 , 其逆否命题是：q 是p 的必要不充分条件 , 即p 是q 的充分不必要条件； (2 )∵|4x -3|≤1 , ∴1x 12≤≤．解2x 2a 1x a 10a -+++≤（）（） ,得a≤x≤a +1. 因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件 ,所以q 是p 的必要不充分条件 , 即由命题p 成立能推出命题q 成立 ,但由命题q 成立不推出命p 成立． ∴1[1][a a 1]2+，，．∴a≤12且a +1≥1 ,得0≤a≤12．∴实数a 的取值范围是：[0 ,12]．。

湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案

n
(xi x)( yi y)
i 1
，
n
n
(xi x)2
( yi y)2
i 1
i 1
回归直线 $y $bx $a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
n
n
$b
(xi x)( yi y)
i 1
n
(xi x)2
xi yi nx y
i 1 n
xi2
2
nx
, a y b x ，参考数据
通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量
仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有
的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020 年 5 月，中国珠峰高程测量
登山队 8 名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图，在测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇标高 12 米，
25)
（1）写出年利润W (x) (万元)关于年产量 x （万台）的函数解析式．（年利润年销售收入总成本）；
（2）当年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大．
4
21.(本小题满分 12 分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增
加量 y （百斤）与使用某种液体肥料 x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
在平面直角坐标系 xOy 中, A3, 0, B 3, 0 ,点 P 满足 PA 2 .则V PAB 的面积最大值为_______．
PB uur uur
16.已知圆 C : (x 7)2 y2 16 ,过点 M (5, 0) 作直线交圆 C 于 A, B 两点．若 P(2, 5) ,则 PA PB 的最小
擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

【20套试卷合集】襄阳市第五中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果全集U R =，{|24}A x x =<≤，{3,4}B =，则()U AC B 等于（）A ．(2,4)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(2,3)(3,4)2．设R ∈ϕ，则“)(22Z k k ∈+=ππϕ”是“)2cos()(ϕ+=x x f 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且，对任意实数都成立,则（）A ．(2)(3)f f >B ．(2)(5)f f >C ．(3)(5)f f >D ．(3)(6)f f > A ．2400 B ．2700 C ．3000 D ．3600 5．若向量()1,1a =，，()1,2c =-，则( ) A ．B ．C ．D ．6．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π7．已知函数：，其中：，记函数满足条件：的事件为A ，则事件A 发生的概率为（） A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（）A ．105B ．16C ．15D ．1 9．已知,x y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为：27+=x b y ，则=b （）A ．110-B ．12-C ．110D ．1210．已知焦点为)0,2(),0,2(21F F -的椭圆过点)1,2(P ，A 是直线PF 1与椭圆的另一个交点，则三角形PAF 2的周长是（）（A ）.6 ( B ） 8（C ） 10（D ） 1211．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）（A ）22 （B ）21（C ）42（D ）4112．若直线被圆所截得的弦长为6，则的最小值为（） A. B.C.D.二，填空题（每小题5分，共20分） 13．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为______．14．已知函数25121)(x x x f ++-=，若，则x 的取值范围是__________.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,901===︒=∠BC AC AA ACB ，则异面直线1A B 与AC所成角的余弦值是____________．)(00b x a x <<，满足16．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间[]b a ,上存在a b a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是[]b a ,上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如x y =是[]2,2-上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 .三，解答证明题（本大题共6个小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数43)3sin(cos )(-+=πx x x f 。

湖北省襄阳市2020年高二上学期数学期中考试试卷A卷

湖北省襄阳市2020年高二上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·安徽期末) 若抛物线顶点为坐标原点,对称轴为x轴,焦点在3x-4y-12=0上,那么抛物线方程是（）A . =16xB . =-16xC . =12xD . =-12x2. （2分）运行框图输出的S是255，则①应为（）A . n≤6B . n≤7C . n≤8D . n≤93. （2分） (2017高三上·蓟县期末) 已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A .B .C .D . 34. （2分）已知椭圆， M,N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM,PN的斜率分别为，，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交但不垂直D . 不能确定6. （2分）已知m≠0，直线ax+3my+2a=0在y轴上的截距为2，则直线的斜率为（）A . 1B . -C . -D . 27. （2分）设p是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（）A . 4B . 5C . 8D . 108. （2分）如图，已知抛物线是的焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（）A . +1B . 2C .D . -19. （2分）已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 圆C：x2＋y2＝5在点（1，2）处的切线方程为（）A . x＋2y＋5＝0B . 2x＋y＋5＝0C . 2x＋y-5＝0D . x＋2y-5＝011. （2分） (2015高一上·柳州期末) 已知P，Q分别是直线l：x﹣y﹣2=0和圆C：x2+y2=1上的动点，圆C 与x轴正半轴交于点A（1，0），则|PA|+|PQ|的最小值为（）A .B . 2C .D . ﹣112. （2分） (2018高二上·南山月考) 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直线与坐标轴围成的三角形的面积为________.14. （1分）(2018·河北模拟) 已知直线经过双曲线的右顶点，且与的两条渐线分别交于，两点，则________．15. （1分）(2020·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，A ， B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且⊥，若A ， B两点到直线l：3x＋4y﹣10＝0的距离分别为d1 ， d2 ，则d1＋d2的最大值为________．16. （1分） (2019高二上·雨城期中) 下面程序的运行结果是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一下·东丰期末) 已知的三个顶点，（1）求边上的高所在直线方程；（2）求边的垂直平分线所在直线方程。

2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟高二上学期期中考试数学试题

湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题考试时间：11月24日下午15:00—17：00试卷页数：共6页全卷满分：150分考试用时：120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2|,20A x x N x x =∈-++≥，则集合A 的真子集．．．个数为 A ．16 B ．15 C ．8 D ．72．从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是黑球B ．至少有1个白球，至少有1个黑球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是白球 3．对于常数m n 、，0mn >是方程221mx ny +=的曲线是椭圆的 A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面与反面次数相等的概率为A ．12B ．38C ．716D ．5165．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高12米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为60°，75°，则A 、B 的高度差为 A ．()332+米B ．6米C ．63米.D ．12米6．已知直线l 过点(3,3)P 且与点(2,2)A -、(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为 A ．3230x y --=或23150x y +-=B ．2330x y -+=或3230x y --=C ．2330x y -+=或23150x y +-=D ．23150x y +-=或2320x y +-=7．已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩，若函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，则实数m 的取值范围为A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 8．已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各个面都相切，则平面1ACD 截此球所得的截面面积为 A ．3πB ．23πC ．πD ．43π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若函数()f x 对,R a b ∀∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为A ．3()f x x =B ．()f x x x =C ．()e +e x xf x -=D ．()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩10.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥ABCD PA AB =BDE 直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是 A ．E 为PA 的中点B ．PB 与CD 所成的角为3π C ．BD ⊥平面PACD ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:411．已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是A ．()f x 的图象关于直线x ＝2π对称B ．()f x 的一个周期是2π C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是区间(0，2π)上的增函数 12．已知正数,,x y z 满足326x y z==，下列结论正确的有A ．623z y x >>B．111x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某电子商务公司对200名网络购物者2020年上半年的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_______人．14.函数()2xf x e x a =+-,若命题():1,1,()0P x f x ∀∈-≠是假命题,则实数a 的取值范围是_______．15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy 中,()()3,0,3,0AB -,点P 满足2PA PB=.则PAB 的面积最大值为_______．16.已知圆22:(7)16C x y -+=,过点(5,0)M 作直线交圆C 于,A B 两点．若(2,5)P ,则PA PB +的最小值为_______．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)在①222b ac a c +=+，②3cos sin a B b A =，③3sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，2b =．（1）求角B ；（2）求ABC 的面积．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是22的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD . （1）证明：PD ⊥平面PAB ；（2）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知向量(cos4,sin 2)m x x =，1(,2)2sin(2)4n x π=+，函数()f x m n =．（1）求函数()f x 的定义域及其单调递增区间；（2）当[,]43x ππ∈时，对任意t R ∈，不等式22()mt mt f x -+≥恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第35届菊花展10月23日至11月16日在点军江南URD 展出。

2020年湖北省襄阳市五校高2022届高2019级高二第一学期期中考试数学试题及答案

2020—2021学年度第一学期高二期中考试数学试题时间:120分钟分值:150分命题老师:一、单项选择题( 本大题共8小题,每小题5分,共40分 ) 1.已知点A ()0,2,B ()3,3-,则直线AB 的倾斜角为( ) A . ︒30 B . ︒45 C. ︒120 D.︒1352.已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行,则a 的值是( ). A .0或1 B . 0或41 C. 1或41 D.41 3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可以近似地看成抛物线,该桥的高度为5m ,跨径为12m ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )m A.518 B.256 C.95 D.2654.已知双曲线的一条渐近线方程为x y 2=,且经过点)2,2(,则该双曲线的标准方程为( )A.2214x y -=B.2214y x -= C.2214y x -= D.2214x y -= 5.已知抛物线y x 42=内一点)1,1(P ,过点P 的直线l 交抛物线于B A ,两点,且点P 为弦AB 的中点,则直线l 的方程为( )A .032=-+y x B. 012=+-y x C . 012=+-y x D. 02=-+y x6.已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2,直线)(3c x y --=与椭圆C 的一个交点为M (M 在第一象限)满足21122F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率为( )宜城一中枣阳一中襄州一中曾都一中南漳一中A .22 B . 12- C . 13- D .23 7.我国东南沿海一台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动,离台风中心15km 内的地区为危险地区,若城市B 在A 地正北20km 处,则B 城市处于危险区内的时间为( )小时 A.0.5B.1C.1.5D.28.已知221134120,x y +-=22280x y +-=,记()()221212M x x y y =-+-,则M 的最小值为( ) A.532 B.54 C. 512 D. 516二、多项选择题 ( 本大题共4小题,每题5分,共20分 ,在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.关于双曲线1C :12322=-y x 与双曲线2C :13222=-x y ,下列说法正确的是( )A.它们有相同的渐近线B.它们有相同的顶点C.它们的离心率相等D.它们的焦距相等 10.下列说法中正确的是( )A.直线012=+-y x 与直线032=--y x 垂直.B.直线0332)1(=+-++m y x m 恒过定点)3,3(-.C.点)0,1(关于直线02=-+y x 的对称点为)1,2(D.圆422=+y x 上有且仅有3个点到直线02=+-y x 的距离等于1.11.经过椭圆）（012222>>=+b a by a x 右焦点F 且倾斜角为 60的直线交椭圆于Q P ,两点,若Q P 、两点在y 轴右侧,则椭圆的离心率取值可以为( )A. 31B. 23C. 21D.3312.在平面上有相异两点A,B,设点P 在同一平面上且满足PB PA λ=(其中,0>λ且1≠λ),则点P 的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设)0,(),0,(a B a A -,a 为正实数,下列说法正确的是( )A.当2=λ时,此阿波罗尼斯圆的半径a r 34=; B.当21=λ时,以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切; C.当10<<λ时,点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧;D.当1>λ时,点A 在阿波罗尼斯圆外,点B 在圆内.三、填空题(共4小题,每小题5分).13.两平行线0342:012:21=++=-+y x l y x l 与之间的距离为_________.14. 已知双曲线1522=-y m x 的焦距为8,则实数m 的值为________. 15. 点M 为抛物线x y 82=上的一点且在x 轴的上方,F 为抛物线的焦点,以Fx 为始边,FM 为终边的角︒=∠60xFM ,则=FM ________.16. 已知圆C 的方程为,222=+y x 点P 是直线052=--y x 上的一个动点,过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB,A 、B 为切点,则四边形PACB 的面积的最小值为________;直线AB 过定点________.四、解答题(共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)已知点A(4,1),B(6,3),C(3,0)-. (1)求ABC ∆中AC 边上的高所在直线的方程; (2)求ABC ∆的面积.18.(本小题12分)在①圆经过)4,3(C ,②圆心在直线02=-+y x 上,③圆截y 轴所得弦长为8;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(1,2),B(6,3),-且____________; (1)求圆E 的方程;(2)已知直线l 经过点()2,2-,直线l 与圆E 相交所得的弦长为8,求直线l 的方程.19.(本小题12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23,且经过点)23,1(,21,F F 是椭圆的左、右焦点, (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆上,且221=-PF PF ,求21PF ⋅的值.20.(本小题12分)已知平面内点),0,(),0,4(x B A -以AB 为直径的圆过点),0(y C ; (1)求点),(y x P 的轨迹E 的方程;(2)过点)0,1(F 且倾斜角为锐角的直线l 交曲线E 于N M ,两点,且NF MF 2=,求直线l 的方程.21.(本小题12分)已知F 是抛物线C :22y px =(0)p >的焦点,()1,M t 是抛物线上一点,且3||2MF =. (1)求抛物线C 的方程;(2)已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点,若直线BF AF ,的倾斜角互补,则直线l 是否会过某个定点？若是,求出该定点坐标,若不是,说明理由.22. (本小题12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 过点E )332,1(,21,A A 为椭圆的左右顶点,且直线E A E A 21,的斜率的乘积为32-. (1) 求椭圆C 的方程;(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点,直线l 的垂直平分线交直线l 于点P,交直线2-=x 于点Q,求MNPQ 的最小值.2020—2021学年度第一学期高二期中考试数学试题参考答案宜城一中枣阳一中襄州一中曾都一中南漳一中二.多项选择题三.填空题 13.25 14. 11 15. 8 16.,6 )54,52(- (第一空2分,第二空3分) 四.解答题 17.(1)14310=--=AC k , …………………2分所以AC 边上的高线的斜率1-=k , …………………3分又)3,6(-B ,由点斜式的方程可得AC 边上的高所在的直线方程为)6(3+-=-x y , 即03=++y x 。

湖北省襄阳市第五中学2020-2021学年第一学期高二年级12月第二次周考数学试卷

2020年襄阳五中高二年级12月第二次周考数学试卷时间：12月13日一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合{|A x y ==，1|22xB x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =（） A ．[]3,1--B ．[)3,1-C ．()1,1-D ．(]1,1-2．已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列有关命题的说法中错误的是（） A ．在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > B ．“1x =”是“1≥x ”的必要不充分条件C ．“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“6x π=” D ．若命题p ：“∃实数x ，使20x ≥”，则命题p 的否定为“x ∀∈R ，都有20x <”4．已知向量)2,1(),,sin (cos ==b aθθ，若b a 与的夹角为56π，则b a -=（）A ．2 BCD ．15．在等差数列{}n a 中，若681072a a a ++=，则10122a a -的值为（）A ．6B ．16C ．24D ．606．正项等比数列{}n a 中，3a 2=，46a a 64⋅=，则5612a a a a ++的值是( )A ．4B ．8C ．16D ．647．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF ，则C 的离心率为（） AB ．2CD8．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（）A ．323π BC．D ．36π二、多选题：（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）A ．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B ．支出最高值与支出最低值的比是5:1C ．第三季度平均收入为5000元D ．利润最高的月份是3月份和10月份 10．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的有（）A ．1ab ≤ B．2a b +≤C ．222a b +≥D ．212a b+> 11．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知140S >，150S <，正确的选项有（） A ．10a >，0d < B ．780a a +> C ．6S 与7S 均为n S 的最大值 D ．80a <12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（）A ．1AC 与EF 相交B ．11//BC 平面DEF322C ．EF 与1AC 所成的角为90︒D ．点1B 到平面DEF 的距离为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从成绩在[)70,80，[]80,90两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为__________.14．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1＞0，若p ⌝为假，则实数a 的取值范围是________15．若点A （x ，y ）满足C ：（x +3）2+（y +4）2≤25，点B 是直线3x +4y =12上的动点，则对定点P （6，1）而言，PB PA +的最小值为_____.16．已知函数11,0,()2ln(),0,x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 是等比数列，公比1q <，若22a =，1237a a a ++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.18．（本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=+-⋅+- （1）求函数()f x 在()0,π上的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()1,2,sin sin f A a b C a A =-==，求ABC ∆的周长．19．（本小题满分12分）已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）（1）证明：AE PB ⊥；（2）若线段PCA PE C --的余弦值.21.（本小题满分12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x 元和销售量y 支之间的数据如下表所示：（1）根据表格中的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润(日销售量×单支售价-日销售量×单支进价)最大，在（1）的前提下应该如何定价？(其中：回归直线方程ˆybx a =+，1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，5167i ii x y==∑，52116.6i i x ==∑)22．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点与上顶点的距离为过点(.（1）求椭圆C 的方程.（2）直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点.若椭圆上存在点N 满足MO ON 3=，求证：△PQN 的面积S 为定值.6参考答案一：1-5 DCBBC 6-8 CDB二：9：ACD 10:ACD 11:ABD 12:BCD 三：13．715 14．()2,2- 15．325 16．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭四：解答题17：（1）由已知得12111a 2,a a a q 7,q q =⎧⎨++=⎩ 则1a 4,1,2q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1a 1,2q =⎧⎨=⎩（舍去）.所以131422n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ . （2）因为3nn 2n 2b log a log 23n -===-.所以数列{}n b 是首项为2，公差为-1的等差数列. 设数列{}n b 的前n 项和为n T , 所以()()n n 23n n 5n T 22+--==.18（1）21cos 2131()cos 3sin cos sin 2222x f x x x x x +=--=--13cos 2sin 2cos 223x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递减，则2[2,2],3x k k k Z ππππ+∈+∈，[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈，()f x ∴在(0,)π上的单调递减区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）由（1）知：()cos 213f A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭且ABC 为锐角三角形，2,33A A πππ∴+==，222222sin sin ,4,2cos ()2()3b C a A bc a a b c bc A b c bc bc b c bc⋅=⋅∴==∴=+-=+--=+-24()12,4,b c b c ∴=+-∴+=∴ABC 的周长为246+=．19. 设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2）由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111...22311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20．解：（1）在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，如图 ∵ABCE ，AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===，∴ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=，∴在等腰ADB △中，6ADB ABD π∠=∠= ∴2362DBC πππ∠=-=，即BD BC ⊥，∴BD AE ⊥，翻折后可得：OP AE ⊥，OB AE ⊥，又∵OP ⊂平面OB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =， ∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE PB ⊥；（2）由（1）知32DO PO ==，连接OC 在OEC △中，由余弦定理可得72OC =. 在POC △中有222PC PO OC =+，可知PO OC ⊥，又PO AE ⊥， OC AE O PO =⇒⊥平面ABCE ，则以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，31,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴13,0,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,,022EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴13021302x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩. 设3x =，则1y =，1z =，∴1(3,1,1)n =-，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =，7设二面角A EP C --为α，1212|cos |5n n n n α⋅===.易知二面角A EP C --为钝角，所以cos α=.（射影面积法也可） 21．（1）因为1(1.4 1.6 1.82 2.2) 1.85x =++++=，1(1311763)85y =++++=，所以51522215675 1.88==12.516.65 1.85i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯=--⨯-∑∑，则8(12.5) 1.830.5a y bx =-=--⨯=.所以，回归直线方程为ˆ12.530.5yx =-+. （2）当18y =时，1812.530.5x =-+，得1x =，假设日利润为)L x （，则：)(0.56)(30.512.5)L x x x =--（，易知0.5630.512.50x x >⎧⎨->⎩，即0.56 2.44x <<根据二次函数的性质，可知当 1.5x =元时，有max)L x （. 所以单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元. 22．（1）椭圆C的左顶点(,0)a -，上顶点(0,)b .因为左顶点与上顶点的距离为=，化简得2212.a b +=①因为椭圆经过点(，所以22421a b+=，② 由①②解得228,4a b ==或226,6a b ==（舍去)，所以椭圆C的方程为22 1.84y x +=（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(PQ ±方程为 3x =±，易得PQ =.此时1164.229S MN PQ =⨯⨯==当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124240k x kmx m +++-=，由()()222(4)81240,km k m =-+->得2208 4.m k <<+ ()*设()()1122,,,,P x y Q x y 则()2121222244,1212m km x x x x k k--+==++，因此PQ 的中点M 为222,1212kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭由因为3,ON MO =所以2263,1212km m N k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，将点N 代入椭圆方程，得()()22222221891412412k m m k k+=++，化简得229214k m +=，符合(*）式.记点О到直线l 的距离为d , 则1242OPQ S SPQ d x d ==⨯=-⨯==，将229214k m +=代入，得264.94S m== 综上，PQN 的面积S 为定值6498。

湖北省襄阳市高二上学期期中数学试卷(理科)

湖北省襄阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的焦点坐标为（）A . (2,0)B . (-2,0)C .D .2. （2分）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=900 ，则⊿F1PF2的面积是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（）A . 甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B . 甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米C . 甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D . 甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米4. （2分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面ABC所成角的大小是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°5. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·邯郸期末) “∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A . ∀x∈R，x2﹣2＜0B . ∀x∈R，x2﹣2≤0C . ∃x0∈R，﹣2＜0D . ∃x0∈R，﹣2≤07. （2分）抛物线y=-4x2的焦点坐标为（）A . (-1,0)B . （1，0）C . （0，－）D . （－， 0）8. （2分）椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·潍坊模拟) 已知F1 ， F2为椭圆 =1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A . ﹣1B . ﹣1C .D .10. （2分）两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个11. （2分）已知l，m，n为互不重合的三条直线，平面α⊥平面β，α∩β=l，m⊂α，n⊂β，那么m⊥n 是m⊥β的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A . x±y=0B . x±y=0C . 2x±y=0D . x±2y=0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 圆x2＋y2＋x－3y－＝0的半径是________14. （1分） (2015高二上·黄石期末) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E，F分别为A1B1 ， B1C1的中点，则直线BE与直线CF所成角的余弦值是________．15. （1分） (2018高二上·扶余月考) 抛物线的焦点为F，其准线l与双曲线相交于A、B两点，若为等边三角形，则P等于________．16. （1分） (2016高二上·江阴期中) 在平面直角坐标系xoy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高三上·新疆月考) 如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足且，点为的中点，点为边上的动点，且 .（1）求证：平面平面；（2）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由.18. （5分） (2016高二上·定州期中) 已知点A（0，﹣2），椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．19. （10分） (2019高二下·上海月考) 如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.20. （5分）(2017·嘉兴模拟) 如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为 .（I）求证：；（II）求面积的最小值.21. （10分） (2016高二下·赣榆期中) 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F 是棱CD上的动点，G为C1D1的中点，H为A1G的中点．（1）当点F与点D重合时，求证：EF⊥AH；（2）设二面角C1﹣EF﹣C的大小为θ，试确定点F的位置，使得sin θ= ．22. （10分） (2015高二上·湛江期末) 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A （x1 ， y1），B（x2 ， y2）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高二上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x2≤1}，集合M={a}，若M∪P=P，则实数a的取值范围是()A. a≤1B. a≤−1C. a≥−1D. −1≤a≤12.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.4，敌机被击中的概率为()A. 1B. 0.86C. 0.24D. 0.763.数列{a n}满足“对任意正整数n，都有a n+a n+3=a n+1+a n+2“的充要条件是()A. {a n}是等差数列B. {a2n−1}与{a2n}都是等差数列C. {a2n}是等差数列D. {a2n−1}与{a2n}都是等差数列且公差相等4.一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是()A. 16B. 112C. 124D. 1365.在平面四边形ABCD中，∠B=∠D=π2，∠A=π3，AB=4，AD=5，则AC=()A. √7B. √21C. 2√21D. 2√76.定义点P(x0,y0)到直线l：ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d=0022，已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2，以下命题正确的有()①若d1−d2=0，则直线P1P2与直线l平行；②若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行；③若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直；④若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数f(x)=4sin(2x−π6),x∈[0,16π3]，若函数F(x)=f(x)−3的所有零点依次记为x1，x2，x3…，x n，且x1<x2<x3<⋯<x n，则x1+2x2+2x3+⋯+2x n−1+x n=()A.85π3B.155π3C. 42πD.281π68.下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交； ②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内； ③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内； ④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )A. 经过10min 点P 距离地面10mB. 若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的12倍 C. 第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同D. 摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m 的时间为203min10. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为DB 的中点，直线A 1C交平面C 1BD 于点M ，则( )A. C 1，M ，O 三点共线B. 直线AD 1与BD 的夹角为60°C. 直线AC 与平面C 1BD 所成的角为45°D. 二面角B −A 1C −C 1的大小为120°11. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣√3sinωx 1cosωx ∣∣∣(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是( )A. 14B. 54C. −74D. −3412. 下列各式的最小值为2的是( )A. a +b(ab =1)B. b a +ab (ab =1) C. a 2−2a +3D. √a 2+2+√a 2+2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某电器公司对500名购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0.4,0.7)内的购物者的人数为______．14.已知x∈R，命题“若2<x<5，则x2−7x+10<0”的否命题是________．15.在平面直角坐标系中，已知定点A(0,−2)，B(0,2)，直线PA与直线PB的斜率之积为−4，则动点P的轨迹方程为______16.直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于M，N两点，若|MN|=2√2，则k=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在△ACB中，∠ACB=π2，∠CAB=π3，AC=2，点M在线段AB上．(1)若sin∠CMA=√33，求CM的长；(2)点N是线段CB上一点，MN=√7，且S△BMN=12S△ACB，求BM+BN的值．18.如图，长方体中，为中点．(1)求证：；(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角的大小为，求的长．19.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(λ,1)，(1)当a⃗⊥b⃗ 时，求λ的值．(2)若a⃗与b⃗ 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．20.已知函数为奇函数。

湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析

湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.30°B.60°C.120°D.150°2.P 为圆x 2+y 2=1上任一点，则P 与点M(3,4)的距离的最小值是（）A. 1B. 4C. 5D. 63.直线y m =+与圆221x y +=在第二象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A.2)B.2)C.(1,2)D.4.以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的方程是（） A.()()2212100x y -++= B.()()221225x y +++= C.()()2212100x y -+-=D.()()221225x y -+-=5.设点()1,1A ，()5,1B -，直线l 过点()6,4且与线段AB 不相交，则l 的斜率的取值范围是（） A.355k ≤≤ B.355k << C.35k <或5k > D.不存在6.圆心在直线20x y -=上的圆C 与x 轴相切，圆C 截y 轴所得的弦长为C 的标准方程为（） A.22(1)(2)4x y -+-= B.22(1)(2)4x y +++= C.22(1)(2)4x y -++=D.22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=7.已知在等比数列{}n a 中，34a =，前三项之和312S =，则{}n a 的通项公式为（）A.11162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭B.11162n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭C.4n a =D.4n a =或15(1)2n nn a --=-⋅8.圆22:2430C x y x y +--+=被直线:10l ax y a +--=截得的弦长的最小值为（）A.1B.2第II 卷（非选择题）二、解答题9.求经过直线150-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线270x y ++=平行；（2）与直线270x y ++=垂直.10.一条光线从点(6,4)P 射出，与x 轴相交于点(2,0)Q ，经x 轴反射，反射光线与圆22:2450C x y x y +---=相交.（1）求反射光线所在直线方程；（2）求（1）中反射光线所在直线被圆C 截得的弦长. 11.已知点(1,1)A -，(5,1)B ，直线L 经过A ，且斜率为34-. （1）求直线L 的方程；（2）求以B 为圆心，并且与直线L 相切的圆的标准方程.12.在数列{}n a 中，11a =，且点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线20x y -=上，2log n n b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .13.某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间(),x s x s -+的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中,x s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得27s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160,180),[180,200),[200,220)中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)的概率.三、填空题14.在等差数列n a 中，若n S 为{}n a 的前n 项和，101228a a =+，则15S =______. 15.已知直线l 的倾斜角为6π，直线1l 经过点(1,2)A ，(2,)B a ，且直线l 与1l 垂直，则实数a 的值为______.16.若圆221x y +=与圆22()(4)25x a y -++=相交，则实数a 的取值范围是______. 17.直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线()1230a x by +++=过定点P ，P 点坐标为______.四、新添加的题型ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（） A.()sin sin B C A += B.()cos cos A B C +=C.若A B >，则sin sin A B >D.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形19.已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（） A.70a =B.130S =C.7S 最小D.58S S =20.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A.16天中每日新增确诊病例数量在下降且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和21.数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（） A.(1)2n n n a +=B.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D.数列{}n a 的第50项为2550参考答案1.C【解析】1.50y ++=的倾斜角为α，得到tan α=.50y ++=的倾斜角为α，50y ++=，可得直线的斜率为k =所以tan α=0180α≤<，解得120α=，50y ++=的倾斜角为120，故选：C 2.B【解析】2.先确定点M 在圆x 2+y 2=1，因此圆上的点到点M 的距离的最小值即等于圆心与M 的距离减去半径，进而可得出结果. 因为M(3,4)在圆x 2+y 2=1外，且圆心与M(3,4)的距离等于√32+42=5，又P 为圆x 2+y 2=1上任一点，所以P 与点M(3,4)的距离的最小值等于圆心与M 的距离减去半径，因此最小值为5−1=4.故选B 3.A【解析】3.由图可得，直线与圆在第二象限由两个不同交点时，在过A 点时和切线之间，进而可得结果.如图，当直线y m =+，过点(1,0)A -时，m =，当直线y m =+1,0,2m m =>∴=，所以m 的取值为2). 故选：A. 4.D【解析】4.先求出线段AB 中点坐标即为圆心，再求出AB 即为直径，即可得出圆的方程. 可知线段AB 的中点坐标为3515,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即为()1,2，10AB ==，以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的圆心为()1,2，半径为5，则方程为()()221225x y -+-=. 故选：D. 5.C【解析】5.写出直线l 和AB 的方程，解方程组得交点坐标，由交点横坐标在区间[1,5]上可解得k 的范围，再在R 中求补集即得．直线AB 方程为111151y x --=---，即1322y x =-+，直线l 方程为4(6)y k x -=-，由13224(6)y x y k x ⎧=-+⎪⎨⎪-=-⎩，解得125213421k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩，由1251521k k -≤≤+，得355k ≤≤，此时直线l 与线段AB 有公共点，所以直线l 与线段AB 不相交时，35k <或5k >．故选：C ． 6.D【解析】6.设出圆心坐标和半径，由相切与弦长列出方程组，解之可得．因为圆心在直线20x y -=上，所以设圆心坐标为(,2)C a a ，圆半径为r ，则2223r ar a ⎧=⎨-=⎩，解得12a r =⎧⎨=⎩或12a r =-⎧⎨=⎩，圆方程为22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=．故选：D ． 7.D【解析】7.设公比为q ，求出首项1a 的公比q 后可得通项公式．设公比为q ，则212111412a q a a q a q ⎧=⎨++=⎩，解得141a q =⎧⎨=⎩或11612a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以4n a =或()115116122n n n n a ---⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭．故选：D ． 8.B【解析】8.求得直线恒过定点(1,1)P ，当l PC ⊥时，弦长最小，结合勾股定理求得此时的弦长. 直线:10l ax y a +--=可化为:(1)(1)0l a x y -+-=，故直线l 恒过点(1,1)P . 圆22:2430C x y x y +--+=的圆心为(1,2)C当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，此时弦长2d =. 故选：B9.（1）20x y +=；（2）250x y -+=.【解析】9.（1）求出交点M 坐标，由平行斜率相等得直线斜率，从而可得直线方程；（2）由垂直，斜率乘积等于1-得直线斜率，可得直线方程．解：（1）由345238x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以交点2()1,M -. 因为斜率2k =-，由点斜式得所求直线方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=.（2）由垂直可得所求直线的斜率12k =，由点斜式得所求直线方程为12(1)2y x -=+，即250x y -+=.10.（1）20x y +-=；（2【解析】10.（1）求出点关于x 轴对称的点，即可找到反射光线所在直线；（2）求出圆心，借助弦长公式计算即可．（1）由已知，根据直线的两点式方程，得直线PQ 的方程是：024062y x --=--，即20x y --=.根据光的反射原理，作出点P 关于x 轴对称的点()16,4P -，直线1PQ 就是反射光线所在直线，利用点斜式可得直线1PQ 的方程为()12y x =-⋅+，即20x y +-=．（2）由题可知圆C 的标准方程为22(1)(2)10x y -+-=，∴圆心(1,2)C ，则C 到直线1PQ 的距离d ==，∴弦长===.∴（1）中反射光线所在直线被圆C 11.（1）3410x y ++=；（2）22(5)(1)16x y -+-=.【解析】11.（1）根据点和斜率可直接写出直线方程；（2）根据与直线相切求出圆的半径，再根据圆心可得圆的方程．解：（1）由题意，直线的方程为：31(1)4y x +=--，整理成一般式方程，得3410x y ++=， ∴直线L 的方程为3410x y ++=；（2）由已知条件，得所求圆的圆心为(5,1)B ，可设圆B 方程为：222(5)(1)x y r -+-=， ∵圆B 与直线:3410L x y ++=相切， ∴r d ==∴4r =.故圆B 的方程为22(5)(1)16x y -+-=. 12.（1）12n n a ，1n b n =-；（2）(1)212n n n n S -=--.【解析】12.（1）由题意可知数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可求得{}n b 的通项公式；（2）求得()121n n c n -=--，利用分组求和法可求得n S .（1）由题意可得12n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2的等比数列，11a =，11122n n n a --∴=⨯=，12log 21nnb n ；（2）()121n n c n -=--，()()121212n n n n S c c c a a a b b b =++⋅⋅⋅+=+++-+++()()012122220121n n -=++++-++++-⎡⎤⎣⎦()()1121(01)211222n n n n n n ⨯--+-⨯=-=---. 13.（1）该生属于“体能不达标”的学生（2）35【解析】13.（1）由题可知，根据频率=纵坐标×组距，分别求出各组频率=各组小矩形面积，便可频率分布直方图的平均数x ，即可判断；（2）由频数=频率×样本容量，可求出[160,180),[180,200),[200,220)对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，最后用一一列举出来，用古典概型即可求出答案.（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.050.11700.21900.22100.32300.152500.05270217x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 190x s -≈∵187190<∴该生属于“体能不达标”的学生（2）由题意，跳远距离在[160,180),[180,200),[200,220)的人数分别为12人、24人、24人按分层抽样抽取5人，则[160,180)抽1人，[180,200)抽2人，[200,220)抽2人设[160,180)抽出的人编号为a ，[180,200)抽出的人编号为,b c ，[200,220)抽出的人编号为,d e从中选两人，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况记选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)为事件A ，满足条件的基本事件有6种，分别为(,),(,),(,),(,),(,),(,)a d a e b d b e c d c e ∴63()105P A ==. 14.120【解析】14.利用等差数列的性质计算出8a 的值，再利用等差数列的求和公式可求得15S 的值. 由等差数列的性质可得121012882a a a a +==+，可得88a =，因此，()11515815151581202a a S a +===⨯=.故答案为：120.15.2【解析】15.由斜率乘积为1-可得参数值．因为直线l 与1l 垂直，所以21321a -⨯=--，解得2a =故答案为：2．16.((0,25)-【解析】16. 求出圆心距d ，解不等式R r d R r -<<+可得，其中,R r 分别是两圆半径．两圆圆心分别为(0,0)O ，(,4)C a -，半径分别为1，5，OC =，两圆相交，则46<，解得a -<<0a ≠，故答案为：((0,25)- 17.(1,2)-【解析】17.依题意得220ax by +-=过圆心()1,2-，则1b a =-，所以()()12130a x a y ++-+=令3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩可得定点. 由圆222410x y x y +-++=得圆心为()1,2-，因为直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线220ax by +-=过圆心，所以1a b -=得1b a =-，则直线()1230a x by +++=化为()()12130a x a y ++-+=；所以()320x y a x y -+++= 由3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得12x y =-⎧⎨=⎩；所以直线()1230a x by +++=过定点()1,2P -故答案为：(1,2)-18.AC【解析】18.由A B C π++=结合诱导公式可判断选项A ，B ，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C ，在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=可判断选项D. 由A B C π++=，则()()sin sin sin B C A A π+=-=,故A 正确.()()cos cos cos A B C C π+=-=-,故B 不正确.由三角形中大角对大边，A B >，则a b >，根据正弦定理有sin sin A B >,故C 正确. 在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=.所以2A =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形,故D 不正确.故选：AC19.ABD【解析】19.由条件可得70a =，然后逐一判断每个选项即可因为{}n a 是等差数列，1263a a S +=所以()1115361d a d a a +=++，所以12120a d +=即160a d +=，即70a =所以137130S a == 67878530a a S S a a -=++==所以正确的有ABD故选：ABD20.BCD【解析】20.根据折线图，中位数、极差的概念，判断各选项．20日新增确诊病例数量比19日多，A 错；新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数在21、22日左右，比较可得B 正确；新增确诊极差25005002000>-=、新增疑似极差23002002000>->、新增治愈病例的极差350015002000>-=，均大于2000，C 正确；21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和，D 正确．故选：BCD ．21.AC【解析】21. 用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得．因为11n n a a a n +=++，11a =，所以11n n a a n +-=+，所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误，12112()(1)1n a n n n n ==-++，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭，B 错，C 正确．故选：AC ．。

2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|A x x N=∈，220}x x-++，则集合A的真子集个数为() A．16B．15C．8D．72．（5分）从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有1个白球，都是黑球B．至少有1个白球，至少有1个黑球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球3．（5分）对于实数m，n，“0mn>”是“方程221mx ny+=对应的曲线是椭圆”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）掷一枚均匀的硬币4次，出现正面与反面次数相等的概率为()A．12B．38C．716D．5165．（5分）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．如图，在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高12米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为60︒，75︒，则A、B的高度差为()A ．3(32)米B ．6米C ．63米D ．12米6．（5分）已知直线l 过点(3,3)P 且与点(2,2)A -、(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为( ) A ．3230x y --=或23150x y +-= B ．2330x y -+=或3230x y --=C ．2330x y -+=或23150x y +-=D ．23150x y +-=或2320x y +-=7．（5分）已知函数2||2,1(),1x x f x x x -+<⎧=⎨⎩，若函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，则实数m 的取值范围为( )A ．2(,)3+∞B ．2(,4)3C ．2(,1)3D ．(1,)+∞8．（5分）已知球O 21111ABCD A B C D -的各个面都相切，则平面1ACD 截此球所得的截面面积为( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）若函数()f x 对a ∀，b R ∈，同时满足：（1）当0a b +=时，有f （a ）f +（b ）0=；（2）当0a b +>时，有f （a ）f +（b ）0>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为( ) A ．3()f x x = B ．()||f x x x =C ．()xxf x e e -=+D ．0,0()1,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩10．（5分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是( )A ．E 为PA 的中点B ．PB 与CD 所成的角为3π C ．BD ⊥平面PACD ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:411．（5分）已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是( ) A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 的图象关于直线2x π=对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是(0,)2π上的增函数12．（5分）已知正数x ，y ，z 满足326x y z ==，下列结论正确的有( ) A ．623z y x >>B ．111x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某电子商务公司对200名网络购物者2020年上半年的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为人．14．（5分）函数()2x f x e x a =+-，若命题:(1,1)P x ∀∈-，()0f x ≠是假命题，则实数a 的取值范围是．15．（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，(3,0)A -，(3,0)B ，点P 满足||2||PA PB =．则PAB ∆的面积最大值为． 16．（5分）已知圆22:(7)16C x y -+=，过点(5,0)M 作直线交圆C 于A ，B 两点．若(2,5)P ，则||PA PB +的最小值为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）在①222b ac a c +=+，3cos sin a B b A =，3sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，4A π=，2b ．（1）求角B ；（2）求ABC ∆的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是22PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD ．（1）证明：PD ⊥平面PAB ；（2）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．（12分）已知向量(cos 4,sin 2)m x x =，1(,2)2)4n x π=+，函数()f x m n =．（1）求函数()f x 的定义域及其单调递增区间；（2）当[,]43x ππ∈时，对任意t R ∈，不等式22()mt mt f x -+恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12分）“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第35届菊花展10月23日至11月16日在点军江南URD 展出．重点展现我市花园城市建设成就，让市民有获得感、幸福感、成就感．在菊花造景、园艺科技、品种展示上更具匠心、引人注目，并融入健康、生态、节能等理念，通过景意相融激发游客共鸣．期间也吸引了不少优秀企业来宜投资宣传，从而促进宜昌经济快速发展．在此菊花展期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放宜昌市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，且每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）的函数关系式近似满足：21802,018()26502700070,18(25)x x G x x m m x x -<⎧⎪=⎨+-<⎪⎩．（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式．（年利润=年销售收入-总成本）；（2）当年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大．21．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r （精确到0.01)，并以此判定是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如表关系：周光照量X （单位：小时） 3050X <<5070X 2n光照控制仪最多可运行台数5 4 2若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯⋯，(n x ，)n y ，其相关系数公式12211()()()()niii nniii i x x yy r x x yy ===--=--∑∑∑，回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：112211()()ˆ()()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，参考数据0.30.55≈，0.90.95≈．22．（12分）已知圆221:2150F x y x ++-=和定点2(1,0)F ，其中点1F 是该圆的圆心，P 是圆1F 上任意一点，线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点E ，设动点E 的轨迹为C ．（1）求动点E 的轨迹方程C ；（2）设曲线C 与x 轴交于A ，B 两点，点M 是曲线C 上异于A ，B 的任意一点，记直线MA ，MB 的斜率分别为MA k ，MB k ．证明：MA MB k k 是定值；（3）设点N 是曲线C 上另一个异于M ，A ，B 的点，且直线NB 与MA 的斜率满足43NB MA k k =，试探究：直线MN 是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|A x x N =∈，220}x x -++，则集合A 的真子集个数为( ) A ．16B ．15C ．8D ．7【分析】求出集合A ，由此能求出集合A 的真子集个数．【解答】解：集合{|A x x N =∈，220}{|x x x x N -++=∈，12}{0x -=，1，2}， ∴集合A 的真子集个数为：3217-=．故选：D ．【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有1个白球，都是黑球 B ．至少有1个白球，至少有1个黑球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球 D ．至少有1个白球，都是白球【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【解答】解：从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，对于A ，至少有1个白球，都是黑球是对立事件，故A 错误；对于B ，至少有1个白球，至少有1个黑球能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；对于C ，恰有1个白球，恰有2个白球是互斥而不对立事件，故C 正确；对于D ，至少有1个白球，都是白球能同时发生，不是互斥事件，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）对于实数m ，n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=对应的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先根据0mn >看能否得出方程221mx ny +=的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程221mx ny +=的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出0mn >，即可得到结论．【解答】解：当0mn >时，方程221mx ny +=的曲线不一定是椭圆，例如：当1m n ==时，方程221mx ny +=的曲线不是椭圆而是圆；或者是m ，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，应有m ，n 都大于0，且两个量不相等，得到0mn >；由上可得：“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．4．（5分）掷一枚均匀的硬币4次，出现正面与反面次数相等的概率为( ) A ．12 B ．38C ．716D ．516【分析】正面与反面次数相等正面出现2次，反面出现2次；写出概率，进而得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正面出现的次数等于反面出现的次数包括正面出现2次，反面出现2次； ∴出现正面与反面次数相等的概率为：2224113()()228=．故选：B ．【点评】本题考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，再按照规律解题．5．（5分）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．如图，在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高12米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为60︒，75︒，则A、B的高度差为()+米B．6米C．63米D．12米A．3(32)【分析】先根据题意建立三角形模型，再根据解三角形的知识，求解即可．【解答】解：根据题意画出如图的模型，则12OAB∠=︒，CB=，60ACB∠=︒，15∠=︒，75OAC∠=︒，所以15CABAB=，可得所以12所以在Rt AOB∆中，12sin6063BO=︒=（米)．故选：C．【点评】本题考查解三角形的实际应用问题，考查数学建模能力，是基础题．6．（5分）已知直线l 过点(3,3)P 且与点(2,2)A -、(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为( ) A ．3230x y --=或23150x y +-= B ．2330x y -+=或3230x y --=C ．2330x y -+=或23150x y +-=D ．23150x y +-=或2320x y +-=【分析】设出l 的斜率，用点斜式写出直线l 的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k 的值，可得结论．【解答】解：直线l 过点(3,3)P 且与点(2,2)A -、(4,2)B -等距离，故直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，=，求得32k =，或23k =-，故直线l 的方程为3230x y --=或23150x y +-=，故选：A ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式，属于基础题． 7．（5分）已知函数2||2,1(),1x x f x x x -+<⎧=⎨⎩，若函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，则实数m 的取值范围为( )A ．2(,)3+∞B ．2(,4)3C ．2(,1)3D ．(1,)+∞【分析】画出函数()y f x =的图象，把函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，转化为函数()y f x =与12y mx m =+的图象有三个交点，数形结合得答案．【解答】解：由题意画出函数2||2,1(),1x x f x x x -+<⎧=⎨⎩的图象如图，函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，即函数()y f x =与12y mx m =+的图象有三个交点，直线12y mx m =+过定点1(2P -，0)，PA 所在直线的斜率1021312k -==+，直线2y x =+的斜率为1，∴要使函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，则实数m 的取值范围为2(,1)3．故选：C ．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8．（5分）已知球O 21111ABCD A B C D -的各个面都相切，则平面1ACD 截此球所得的截面面积为( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 【分析】由题意可得：球O 的半径2R =球心O 为正方体的中心，可得：点O 到平面1ACD 的距离116d BD =．平面1ACD 截此球所得的截面圆的半径22r R d - 1ACD 截此球所得的截面面积．【解答】解：由题意可得：球O 的半径2R =球心O 为正方体的中心，可得：点O 到平面1ACD 的距离11162366d BD ==． ∴平面1ACD 截此球所得的截面圆的半径223r R d =-． ∴平面1ACD 截此球所得的截面面积213r ππ==．故选：A ．【点评】本题考查了正方体与其内切球及其截面圆的性质、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）若函数()f x 对a ∀，b R ∈，同时满足：（1）当0a b +=时，有f （a ）f +（b ）0=；（2）当0a b +>时，有f （a ）f +（b ）0>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为( ) A ．3()f x x = B ．()||f x x x =C ．()x x f x e e -=+D ．0,0()1,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩【分析】根据函数奇偶性和单调性进行判断．【解答】解：由条件（1）可知，对a R ∀∈，都有f （a ）()0f a +-=，故()f x 是奇函数，由条件（2）可知，当a b >-时，f （a ）f >-（b ）()f b =-，故()f x 是增函数，对于A ，3()f x x =是奇函数也是增函数，故A 符合；对于B ，22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩，是奇函数也是增函数，故B 符合；对于C ，()x x f x e e -=+，是奇函数，但不是增函数，故C 不符合；对于D ，当0x <时，()0f x >，而当0x >时，()0f x <，故()f x 在定义域上不是增函数，不满足条件（2）．故选：AB ．【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题．10．（5分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是( )A ．E 为PA 的中点B ．PB 与CD 所成的角为3πC ．BD ⊥平面PACD ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4【分析】在A 中，连结AC ，交BD 于点F ，连结EF ，则平面PAC ⋂平面BDE EF =，推导出//EF PC ，由四边形ABCD 是正方形，从而AF FC =，进而AE EP =；在B 中，由//CD AB ，得PBA ∠（或其补角）为PB 与CD 所成角，推导出PA AB ⊥，从而PB 与CD 所成角为4π；在C 中，推导出AC BD ⊥，PA BD ⊥，由此能证明BD ⊥平面PAC ；在D 中，设AB PA x ==，则223111333P ABCD V AB PA x x x -=⨯⨯=⋅=，2311111332212C BDEE BCD BCD V V S AE x x x --∆==⋅=⨯⋅=．由此能求出三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4．【解答】解：在A 中，连结AC ，交BD 于点F ，连结EF ，则平面PAC ⋂平面BDE EF =， //PC 平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，PC ⊂平面PAC ， //EF PC ∴，四边形ABCD 是正方形，AF FC ∴=，AE EP ∴=，故A 正确；在B 中，//CD AB ，PBA ∴∠（或其补角）为PB 与CD 所成角，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥，在Rt PAB ∆中，PA AB =，4PAB π∴∠=，PB ∴与CD 所成角为4π，故B 错误；在C 中，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥， PAA C A =，BD ∴⊥平面PAC ，故C 正确；在D 中，设AB PA x ==，则223111333P ABCD V AB PA x x x -=⨯⨯=⋅=，2311111332212C BDE E BCD BCD V V S AE x x x --∆==⋅=⨯⋅=．3311::1:4123C BDC P ABCD V V x x --∴==．故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．（5分）已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是( ) A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 的图象关于直线2x π=对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是(0,)2π上的增函数【分析】选项A ，只需判断(2)()f x f x π+=是否成立即可；选项B ，只需判断()()f x f x π-=是否成立即可；选项C ，由sin x ，cos [1x ∈-，1]，则可判断()2f x <，则C 错误，选项D ，利用复合函数的单调性判断即可．【解答】解：因为(2)sin(sin(2))cos(cos(2))sin(sin )cos(cos )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，故A 正确，因为()sin(sin())cos(cos())sin(sin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=+-=+=，故B 正确，由于sin [1x ∈-，1]，cos [1x ∈-，1]，所以sin(sin )1x <，cos(cos )1x <，故()sin(sin )cos(cos )2f x x x =+<，C 错误，当(0,)2x π∈时，sin (0,1)x ∈且单调递增，故sin(sin )y x =是区间(0,)2π上的增函数，同理可判断，cos(cos )y x =是区间(0,)2π上的增函数，故()f x 是区间(0,)2π上的增函数，D 正确．故选：ABD ．【点评】本题考查了三角函数的周期性，对称性以及单调性和最值问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．12．（5分）已知正数x ，y ，z 满足326x y z ==，下列结论正确的有( ) A ．623z y x >>B ．111x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【分析】表示出x ，y ，z 的值，对各个选项进行判断即可．【解答】解：由0x >，0y >，0z >，令3261x y z m ===>，则3log x m =，2log y m =，6log z m =，对于623log 6328:12log 66m z lg lg A y m lg lg ===>，则62z y >， 232log 2239133log 328m y lg lg x m lg lg ===>，则23y x >，故623z y x >>，故A 正确；对于3211113261:log log lg lg lg B x y m m lgm lgm lgm z+=+=+==，故B 正确；对于326:4log log 4log C x y z m m m +-=+-24114(23)()0326326236lgm lgm lgm lg lg lgm lgm lg lg lg lg lg lg lg lg lg -=+-=+-=>，故C 正确；对于22222326224()(23):4log log 4(log )()032(6)23(6)lgm lgm lgm lg lg D xy z m m m lgm lg lg lg lg lg lg --=-=-=>，故24xy z >，故D 错误；故选：ABC ．【点评】本题考查了对数函数以及指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某电子商务公司对200名网络购物者2020年上半年的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 120 人．【分析】由频率分布直方图求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率，由此能求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数．【解答】解：由频率分布直方图得消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率为： 1(1.5 2.5)0.10.6-+⨯=．∴消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为： 2000.6120⨯=人．故答案为：120．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）函数()2x f x e x a =+-，若命题:(1,1)P x ∀∈-，()0f x ≠是假命题，则实数a 的取值范围是122a e e-<<+ ．【分析】由题意可得(1,1)x ∃∈-，()0f x =是真命题，设2x y e x =+，求得导数，判断单调性，可得所求范围．【解答】解：若命题:(1,1)P x ∀∈-，()0f x ≠是假命题，则(1,1)x ∃∈-，()0f x =是真命题，由()2x f x e x a =+-，可得2x a e x =+在(1,1)x ∈-有解，由2x y e x =+的导数20x y e '=+>，可得2x y e x =+在(1,1)-递增，可得2x y e x =+的值域为1(2e -，2)e +，则122a e e -<<+，故答案为：122a e e-<<+．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是存在性命题问题解法，考查构造函数法和运算能力、推理能力，属于基础题．15．（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，(3,0)A -，(3,0)B ，点P 满足||2||PA PB =．则PAB ∆的面积最大值为 12 ．【分析】设(,)P x y ，运用两点的距离公式，化简整理可得P 的轨迹方程为圆，可得圆心和半径，再由三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：设(,)P x y ，由||2||PA PB =，两边平方可得2222694(69)x y x x y x +++=+-+，化为221090x y x +-+=，即为22(5)16x y -+=，可得P 的轨迹为圆心(5,0)，半径4r =的圆，则PAB ∆的面积1||3(2S AB d d d ==为P 到直线AB 的距离），由4d ，可得S 的最大值为12，故答案为：12．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及圆的方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．（5分）已知圆22:(7)16C x y -+=，过点(5,0)M 作直线交圆C 于A ，B 两点．若(2,5)P ，则||PA PB +的最小值为 2 ．【分析】根据题意，设AB 的中点H ，连接CH ，分析可得H 的轨迹为以CM 为直径的圆，分析该圆的圆心和半径，由向量的中点表示和圆外一点与圆上的点的距离的最值性质，计算可得所求最小值．【解答】解：根据题意，如图：设AB 的中点H ，连接CH ，则有CH AB ⊥，故中点H 的轨迹为以CM 为直径的圆，设该圆为N ，则其圆心N 为(6,0)，半径1r =，H 为AB 的中点，则2PA PB PH +=，则有||2||PA PB PH +=，则||PN点P 到圆N 1r =，则||PA PB +的最小值为1)2=，故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及轨迹方程的求法，属于综合题．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）在①222b ac a c +=+，3cos sin a B b A =，3sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，4A π=，2b ．（1）求角B ；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）选①结合余弦定理可求B ；（2）由正弦定理可求a ，然后结合三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）若选①222b ac a c +=+，由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，故13B π=，若选3cos sin a B b A =，3sin cos sin A B b BinA =，因为sin 0A ≠，所以sin 3B B =，即tan 3B ，因为B 为三角形的内角，故13B π=，③3sin cos 2B B +=可得2sin()26B π+=，所以sin()16B π+=，因为B 为三角形的内角，故13B π=；（2）由正弦定理可得，sin sin b aB A=，所以22232332a ⨯==，所以11232633sin 222346ABC S ab C ∆++==⨯⨯⨯=．【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是22的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD ．（1）证明：PD ⊥平面PAB ；（2）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．【分析】（1）证明PD AF ⊥，结合PA PD ⊥，即可证明PD ⊥平面PAB ．（2）证明PD AB ⊥．AB AD ⊥，推出AB ⊥平面PAD ，然后证明平面PAD ⊥平面ABCD ．（3）取AD 的中点H ，连接PH ，BH ，说明PBH ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角，通过求解三角形推出结果．【解答】（1）证明：AF ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，PD AF ∴⊥，PA PD ⊥，PAAF A =，PD ∴⊥平面PAB ．（2）证明：由（1）知PD ⊥平面PABAB ⊂平面PAB ，PD AB ∴⊥．ABCD 是正方形，AB AD ∴⊥，PD AB ⊥，ADPD D =，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（3）解：取AD 的中点H ，连接PH ，BH ，PA PD =，PH AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ∴⊥平面ABCD ，BH ∴是PB 在平面ABCD 内的射影． PBH ∴∠就是PB 与平面ABCD 所成的角，在等腰Rt PAD ∆中，22AD =，H 是AD 的中点，∴2PH =，在Rt BAH ∆中，2AH =，22AB =，∴10BH =，∴2223PB PH BH =+=，∴26sin 623PH PBH PB ∠===， ∴直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为66．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理，平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，计算能力． 19．（12分）已知向量(cos 4,sin 2)m x x =，1(,2)2)4n x π=+，函数()f x m n =．（1）求函数()f x 的定义域及其单调递增区间；（2）当[,]43x ππ∈时，对任意t R ∈，不等式22()mt mt f x -+恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）利用向量的数量积，化简函数的解析式求出函数的定义域，结合正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可．（2）求出()1max f x =，题目等价于221mt mt -+恒成立，即210mt mt -+恒成立，然后转化求解即可．【解答】解：（1）向量(cos 4,sin 2)m x x =，1(,2))4n x π=+，函数cos 4()2sin 22sin(2)4x f x m n x x π==++，)04x π+≠得定义域|,28kx x x Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭．因为22cos4cos 2sin 2()2sin 22sin 2cos2sin 2)sin 2cos2sin 2cos24x x x f x x x x x x x x x x π-=+=+=++++，由222242k x k πππππ-++，k Z ∈，解得388k x k ππππ-+，k Z ∈，但28k x ππ≠-，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为3[,)88k k ππππ--和(,2]88k k ππππ-+，k Z ∈．（2）由（1）得())4f x x π=+，因为[,]43x ππ∈，所以3112[,]4412x πππ+∈，所以()1max f x =，则题目等价于221mt mt -+恒成立，即210mt mt -+恒成立，当0m =时，有10恒成立，当0m ≠时，有0m >且△240m m =-，得到(0m ∈，4]，综上，[0m ∈，4]．【点评】本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数以及三角函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第35届菊花展10月23日至11月16日在点军江南URD 展出．重点展现我市花园城市建设成就，让市民有获得感、幸福感、成就感．在菊花造景、园艺科技、品种展示上更具匠心、引人注目，并融入健康、生态、节能等理念，通过景意相融激发游客共鸣．期间也吸引了不少优秀企业来宜投资宣传，从而促进宜昌经济快速发展．在此菊花展期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放宜昌市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，且每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）的函数关系式近似满足：21802,018()26502700070,18(25)x x G x x m m x x -<⎧⎪=⎨+-<⎪⎩．（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式．（年利润=年销售收入-总成本）；（2）当年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大．【分析】（1）利用已知条件通过()()10050W x x G x x =--，求解解析式即可．（2）当018x <时，利用在(0，18]上单调递增，求解()W x 取最大值，当18x >时，求解解析式，通过函数的单调性以及基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）()()10050W x x G x x =--， ∴228050,018()27000302600,18(25)x x x W x x x m m x ⎧-+-<⎪=⎨--+<⎪⎩．（2）当018x <时，22()280502(20)750W x x x x =-+-=--+，在(0，18]上单调递增18x ∴=时，()W x 取最大值()24750742max W x =-⨯+=，当18x >时，27000900()260030260030()W x x x x x=--=-+， ()2530i m <时，()W x 在(18，]m 上单调递增，且(25)770742W =>，x m ∴=时，900()()260030()max W x W m m m==-+， ()30ii m 时，时，900()2600302800W x x x-=， ()800(30max W x x ∴==取“=” )综上所述()2530i m <时，当年产量为m 万台时，该公司获得最大利润； ()30ii m 时，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润．【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r （精确到0.01)，并以此判定是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如表关系：周光照量X （单位：小时） 3050X <<5070X 2n光照控制仪最多可运行台数5 4 2若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯⋯，(n x ，)n y ，其相关系数公式12211()()()()niii nniii i x x yy r x x yy ===--=--∑∑∑，回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：112211()()ˆ()()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，参考数据0.30.55≈，0.90.95≈．【分析】（1）求解样本中心，然后求解回归直线方程的系数，求解相关系数，然后求解回归直线方程．（2）利用回归直线方程，求解利润，转化推出结果．【解答】解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316i i i x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，52222221()(3)(1)01325ii xx =--+-+++∑52222221()(1)00012ii yy =-=-++++∑。

湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

2020年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题考试时间：11月24日下午15:00—17：00 试卷页数：共6页全卷满分：150分考试用时：120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2|,20A x x N x x =∈-++≥，则集合A 的真子集．．．个数为 A ．16B ．15C ．8D ．72．从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是黑球 B ．至少有1个白球，至少有1个黑球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是白球3．对于常数m n 、，0mn >是方程221mx ny +=的曲线是椭圆的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面与反面次数相等的概率为 A ．12 B ．38 C ．716 D ．5165．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高12米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为60°，75°，则A 、B 的高度差为 A ．()332+米 B ．6米 C ．63米. D ．12米6．已知直线l 过点(3,3)P 且与点(2,2)A -、(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为A ．3230x y --=或23150x y +-=B ．2330x y -+=或3230x y --=C ．2330x y -+=或23150x y +-=D ．23150x y +-=或2320x y +-= 7．已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩，若函数1()()2g x f x mx m =--的图象与x 轴恰好有3个交点，则实数m 的取值范围为 A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 8．已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各个面都相切，则平面1ACD 截此球所得的截面面积为 A ．3πB ．23πC ．πD ．43π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若函数()f x 对,R a b ∀∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为A ．3()f x x =B ．()f x x x =C ．()e +e x xf x -= D ．()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ 10.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥ABCD PA AB =BDE 直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是A ．E 为PA 的中点B ．PB 与CD 所成的角为3π C ．BD ⊥平面PACD ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:411．已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是 A ．()f x 的图象关于直线x ＝2π对称 B ．()f x 的一个周期是2πC ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是区间(0，2π)上的增函数12．已知正数,,x y z 满足326x y z ==，下列结论正确的有A ．623z y x >>B ．111x y z+=C ．4x y z +>D ．24xy z <三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．某电子商务公司对200名网络购物者2020年上半年的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_______人．14.函数()2xf x e x a =+-,若命题():1,1,()0P x f x ∀∈-≠是假命题,则实数a 的取值范围是_______．15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy 中,()()3,0,3,0AB -,点P 满足2PA PB=.则PAB 的面积最大值为_______．16.已知圆22:(7)16C x y -+=,过点(5,0)M 作直线交圆C 于,A B 两点．若(2,5)P ,则PA PB +的最小值为_______．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分) 在①222b ac a c +=+，②3cos sin a B b A =，③3sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，2b =．（1）求角B ；（2）求ABC 的面积．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是22的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD . （1）证明：PD ⊥平面PAB ；（2）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分) 已知向量(cos4,sin 2)m x x =，1(,2)2sin(2)4n x π=+，函数()f x m n =．（1）求函数()f x 的定义域及其单调递增区间；（2）当[,]43x ππ∈时，对任意t R ∈，不等式22()mt mt f x -+≥恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第35届菊花展10月23日至11月16日在点军江南URD 展出。

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2020—2021学年上学期高二期中考试
数学试题
时间：120分钟
分值：150分命题老师：
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知点A ()0,2，B ()
3,3-，则直线AB 的倾斜角为（） A . ︒
30 B . ︒
45 C. ︒
120 D.︒
135
2.已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是（）． A ．0或1 B . 0或
41 C. 1或41 D ．4
1
3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )m A.
5
18 B ．25
6 C ．95 D ．265
4.已知双曲线的一条渐近线方程为x y 2=，且经过点)2,2(，则该双曲线的标准方程为（）
A ．2214x y -=
B ．2214
y x -= C ．22
14y x -= D.2214x y -=
5.已知抛物线y x 42
=内一点)1,1(P ，过点P 的直线l 交抛物线于B A ,两点，且点P 为弦
AB 的中点，则直线l 的方程为（）
A .032=-+y x B. 012=+-y x C . 012=+-y x D. 02=-+y x
6.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2，直线
宜城一中枣阳一中襄州一中曾都一中
南漳一中
)(3c x y --=与椭圆C 的一个交点为M （M 在第一象限）满足21122F MF F MF ∠=∠，
则该椭圆的离心率为（） A .
22 B . 12- C . 13- D .2
3
7.我国东南沿海一台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，离台风中心15km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正北20km 处，则B 城市处于危险区内的时间为（）小时 A ．0.5
B ．1
C ．1.5
D ．2
8.已知22
1134120,x y +-=22280x y +-=，记()()2
2
1212M x x y y =-+-，则M 的最小值
为（） A ．
5
3
2 B ．54 C. 512 D. 516
二、多项选择题 ( 本大题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.关于双曲线1C ：12322=-y x 与双曲线2C ：13
22
2=-x y ，下列说法正确的是（）
A ．它们有相同的渐近线
B ．它们有相同的顶点
C ．它们的离心率相等
D ．它们的焦距相等
10.下列说法中正确的是（）
A.直线012=+-y x 与直线032=--y x 垂直.
B.直线0332)1(=+-++m y x m 恒过定点)3,3(-.
C.点)0,1(关于直线02=-+y x 的对称点为)1,2(
D.圆422=+y x 上有且仅有3个点到直线02=+-y x 的距离等于1.
11.经过椭圆）（012222>>=+b a b
y a x 右焦点F 且倾斜角为
60的直线交椭圆于Q P ,两点，
若Q P 、两点在y 轴右侧，则椭圆的离心率取值可以为（）
A. 31
B. 23
C. 21
D.3
3
12．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PB PA λ=（其中,0>λ且1≠λ）
，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设)0,(),0,(a B a A -，a 为正实数，下列说法正确的是（）
A.当2=λ时，此阿波罗尼斯圆的半径a r 3
4
=； B.当2
1
=
λ时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切； C.当10<<λ时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧；
D.当1
>λ时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内.
三、填空题（共4小题，每小题5分）．
13.两平行线0342:012:21=++=-+y x l y x l 与之间的距离为_________.
14. 已知双曲线
15
2
2=-y m x 的焦距为8，则实数m 的值为________． 15. 点M 为抛物线x y 82
=上的一点且在x 轴的上方，F 为抛物线的焦点，以Fx 为始边，
FM 为终边的角︒=∠60xFM ，则=FM ________．
16. 已知圆C 的方程为,22
2
=+y x 点P 是直线052=--y x 上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为________；直线AB 过定点________．
四、解答题（共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题10分）已知点A(4,1),B(6,3),C(3,0)-．（1）求ABC ∆中AC 边上的高所在直线的方程；（2）求ABC ∆的面积．
18.（本小题12分）在①圆经过)4,3(C ，②圆心在直线02=-+y x 上，③圆截y 轴所得弦长为8;这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆E 经过点A(1,2),B(6,3),-且____________; (1)求圆E 的方程；
(2)已知直线l 经过点()2,2-，直线l 与圆E 相交所得的弦长为8，求直线l 的方程.
19．（本小题12分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，且经过点)23,
1(，21,F F 是椭圆的左、右焦点，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点P 在椭圆上，且221=-PF PF ，求21PF ⋅的值.
20.（本小题12分）已知平面内点),0,(),0,4(x B A -以AB 为直径的圆过点),0(y C ；（1）求点),(y x P 的轨迹E 的方程；
（2）过点)0,1(F 且倾斜角为锐角的直线l 交曲线E 于N M ,两点，且NF MF 2=，求直线l 的方程.
21.（本小题12分）已知F 是抛物线C :2
2y px =(0)p >的焦点，()1,M t 是抛物线上一
点，且3||2
MF =
. (1)求抛物线C 的方程；
(2)已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，若直线BF AF ,的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.
22. （本小题12分）已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 过点E )332,1(，21,A A 为椭圆的左右顶点，且直线E A E A 21,的斜率的乘积为3
2
-
. (1) 求椭圆C 的方程；
(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点，直线l 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2-=x 于点Q ，求
MN
PQ 的最小值.。