蠕变型线粘弹性本构方程

第6章线性粘弹性

4.2 回复曲线R(, T) 回复曲线定义为： R(,T)=[() - (+T)]/0 = J() - J(+T) +J(T)
(t)
0R(,T)
(-)
() - (+T) T (+T)
0

图6-11 回复曲线
t
4.3 粘弹性固体的蠕变回复
对粘弹性固体： (t)= 0[J(+T) - J(T)] 如果时间足够长，J() = Je，这种蠕变称为长蠕变，反之称为短蠕变。只要长时间回复，即T趋近无穷大。 (t ) 0 [ J () J ()] 0 [ J e J e ] 0 即粘弹性固体是完全回复的。回复曲线对长蠕变： R(,T)= J() - J(+T) + J(T)
G(t)=(0, t)/0 式中： G(t)为剪切松弛模量。对于拉伸应力松弛实验，有拉伸松弛模量：
E(t)=(0, t)/ 0
注意：蠕变实验用来定义柔量，松弛实验用来定义模量。 J(t)=(t)/0 G(t)=0/ 0 J(t) 1/G(t) 2 线性粘弹性的定义 Boltzmann 加和原理 2.1 正比性对于线弹性体，柔量J与应力大小和时间无关。对线性粘弹性体，应变与应力成正比即：
式中：J(t)称为剪切蠕变柔量。对拉伸蠕变实验，有： D(t)=E(0, t)/0 式中：D(t)称为拉伸蠕变柔量。
1.2 应力松弛 (Stress relaxation) 在一定温度下，使材料产生一个瞬时应变，材料的应力随时间的变化。如图6-2 (a, b, c, d, e) 所示。 (t)=0 (t)=0 t0 t0
式中，D(t)称为拉伸蠕变柔量。对于任意给定的连续的应变史() ，相应的应力史为：

第三章粘弹性流体的本构方程

第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。

不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。

两种。

唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。

以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。

分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。

采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。

为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。

根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。

目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。

同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。

从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。

积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。

积分又分为单重积分或多重积分。

判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。

2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。

3）有承前启后的功能。

例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。

表征粘弹性软材料力学性质的蠕变压痕实验方法

摘要理解软材料的力学行为在生物医学工程、材料工程以及软物质物理等研究领域受到广泛关注。

表征软材料的时间相关力学性能对于理解它们在各种激励下的变形行为至关重要。

本文主要研究表征软材料局部粘弹性特性的压痕蠕变实验方法。

通过量纲分析、有限元仿真和仿体实验，发展了表征生物软材料特征蠕变函数的压痕实验方法，并据此开发了低成本的便携式蠕变压痕仪。

首先，基于量纲分析和弹性-粘弹性对应原理，对蠕变压痕实验进行了理论分析。

揭示了特征蠕变函数仅由蠕变压痕实验中压头位移决定。

在保持压头与被测材料的接触面积不变的情况下，该标度律与系统中的几何参数无关，包括压头与被测材料的几何参数。

并根据该标度律关系发展了表征特征蠕变函数的反方法。

其次，建立了压痕蠕变实验有限元分析模型，通过定量研究系统几何参数、材料非线性、几何非线性和压头惯性对反分析结果的影响，验证了理论模型和反分析方法的有效性。

有限元仿真结果证明了被压软材料具有不规则形状时，该标度律关系依然成立，其不受被测试材料与压头几何参数的影响。

研究结果同时表明，采用本分析方法，刚性基底的影响可忽略不计。

第三，基于理论分析和数值模拟，发展了一种低成本的便携式压痕仪器进行压痕蠕变测试。

该实验系统的优势在于成本较低且组装简单，并且克服了传统测试仪器中实现蠕变加载的困难。

最后，利用了上述发展的便携式压痕蠕变设备开展了水凝胶仿体蠕变压痕实验。

实验结果展示了本文所发展的新方法和便携式蠕变压痕仪的实际应用价值。

关键词：特征蠕变函数；标度律；有限元仿真；蠕变实验；蠕变压痕仪AbstractDetermining time-dependent mechanical properties of soft materials is essential in understanding their deformation behaviors under various stimuli. This paper investigates the use of indentation creep tests to measure the viscoelastic properties of soft materials at local areas. A simple scaling law between the reduced creep function and the creep displacement of the indenter is revealed in this paper based on a theoretical analysis. We show that the scaling relation can be used to interpret indentation creep tests of viscoelastic soft solids with arbitrary surface profile provided that the contact area does not change. Both numerical and practical experiments have been performed to validate the theory and the inverse method. In our experiments, a low-cost portable indentation system is proposed to measure the reduced creep function. Our results show that the low-cost instrument and the analytical solution to interpret the experimental data reported here represent a useful testing method to deduce the intrinsic viscoelastic properties of soft materials in a non-destructive manner.Key words: reduced creep function; scaling law; finite element simulations; experiments; indentation instrument目录第1章绪论 (1)1.1 课题背景及研究意义 (1)1.1.1 表征软材料力学性质在生物学与医学领域的应用 (1)1.1.2 表征软材料力学性质在新材料发展与软材料物理领域的应用 (3)1.1.3 表征软材料力学性质在组织工程领域的应用 (4)1.2 力学表征手段 (5)1.2.1 压痕蠕变实验 (7)1.2.2 压痕松弛实验 (8)1.3 本文涉及的本构模型 (9)1.3.1 线弹性本构模型 (9)1.3.2 线性粘弹性本构模型 (9)1.3.3 neo-Hookean 本构模型 (10)1.3.4 Arruda-Boyce 本构模型 (11)1.4 本文的主要内容 (11)第2章粘弹性软材料压痕实验的理论分析 (13)2.1 引言 (13)2.2 软材料压痕实验响应 (13)2.3 压痕实验响应的量纲分析 (14)2.3.1 量纲分析方法 (14)2.3.2 线弹性软材料实验响应的量纲分析 (14)2.3.3 线性粘弹性软材料实验响应的量纲分析 (15)2.4 平压头蠕变实验表征材料粘弹性 (17)2.5 本章小结 (18)第3章粘弹性软材料有限元仿真 (19)3.1 引言 (19)3.2 有限元模型 (19)3.2.1 具有规则几何形状软材料的压痕蠕变实验模拟 (20)3.2.2 不规则几何形状软材料的压痕蠕变实验模拟 (21)3.2.3 硬基底上软质层的压痕蠕变实验模拟 (24)3.3 压头惯性力与材料非线性对压痕蠕变实验的影响 (25)3.3.1 压头惯性力对压痕蠕变实验的影响 (25)3.3.2 材料非线性对压痕蠕变实验的影响 (27)3.4 本章小结 (28)第4章便携式蠕变压痕实验设备设计 (30)4.1 引言 (30)4.2 商业化压痕设备器械 (30)4.2.1 传统硬度测量设备 (30)4.2.2 表征软材料力学参数的压痕设备 (31)4.3 蠕变压痕实验平台的设计原理 (32)4.4 便携式蠕变压痕设备 (34)4.5 本章小结 (35)第5章粘弹性软材料蠕变压痕实验验证 (36)5.1 引言 (36)5.2 实验材料制备 (36)5.2.1 试样的尺寸与制备方法 (36)5.2.2 试样的使用与保存 (37)5.3 压痕蠕变实验方法 (38)5.4 软材料压痕蠕变实验实验结果 (38)5.4.1 材料粘弹性参数的对蠕变实验响应的影响 (38)5.4.2 试样厚度对蠕变实验响应的影响 (40)5.4.3 压头几何尺寸对蠕变实验响应的影响 (42)5.5 本章小结 (42)第6章结论 (44)参考文献 (45)致谢 (51)声明 (52)个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 (53)第1章绪论1.1 课题背景及研究意义软材料具有较低的弹性模量，对外界微小激励敏感，往往呈现出高度非线性的变形行为。

kelvin模型蠕变方程推导

kelvin模型蠕变方程推导在材料学领域中，蠕变是指某种物质在承受恒定压力的情况下，随时间发生的不可逆性变形。

由于蠕变对材料的疲劳和寿命有重要影响，因此研究材料蠕变特性是十分重要的。

kelvin模型是一种经典的线性粘弹性模型，它被广泛应用于材料蠕变的研究中。

它假设材料在承受恒定应力时，其本身会被分为两个部分，弹性部分和粘性部分。

而在应力作用下，弹性部分会恢复自身形态，而粘性部分则会发生不可逆性的形变。

这样就可以通过kelvin 模型来描述材料蠕变的特性。

在kelvin模型中，蠕变方程可以表示为：ε(t) = εe + ∫0t (σ/ G(t-τ) )dτ其中，ε(t)是在某一时间t下的蠕变应变，εe是材料的弹性应变，σ是材料的应力，G(t)是kelvin模型中的松弛函数。

现在就来介绍kelvin模型蠕变方程的推导过程：第一步，我们需要假设材料受到的应力是恒定的。

即：σ = σ0其中，σ0是恒定的应力。

第二步，我们需要先理解弹性反应与粘性反应。

材料在受到应力时，会发生弹性形变，这种形变会引起材料发生反向的作用力，以使材料恢复原状，这种反应就是弹性反应。

而材料在受到应力后，其分子与分子之间会发生“粘连”，导致分子的移动速度变慢，这种不可逆性的变形就是粘性反应。

第三步，我们需要将材料分为两个部分：材料的弹性部分和粘性部分。

假设在外界恒定应力σ0下，材料的弹性反应发生了ε1的形变，而粘性反应发生了ε2的形变。

于是，材料总形变为：ε = ε1 + ε2第四步，我们需要了解材料的弹性反应和粘性反应之间的关系。

考虑材料在弹性形变的时候，材料的粘性反应也会随之变化。

因为材料的弹性反应会在材料内部产生应力波，这些波会引起材料之间的相互作用，导致材料的粘度增加。

也就是说，材料的弹性反应对粘性反应是具有量级影响的。

第五步，我们需要定义kelvin松弛函数G(t)，它描述了材料的弹性反应随时间降低的速度。

可以表示为：G(t) = G0exp(-t/ τ0)其中，G0表示初始弹性模量，τ0表示弛豫时间。

岩石粘弹塑性本构关系及改进的Burgers蠕变模型

第28卷第6期岩土工程学报 Vol.28 No.62006年 6月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering June, 2006岩石粘弹塑性本构关系及改进的Burgers蠕变模型袁海平，曹平，许万忠，陈沅江（中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083）摘要：软弱岩石一般具有粘弹塑性共存特性，而典型的Burgers蠕变模型只能描述材料第三期蠕变以前的粘弹性规律，因此，本文基于Mohr-Coulomb准则，提出了新的塑性元件，该元件假定材料屈服后完全服从Mohr-Coulomb塑性流动规律。

将该元件与典型的Burgers模型串联，形成了能模拟粘弹塑性偏量特性和弹塑性体积行为的改进型Burgers蠕变模型，推导了相应的粘弹塑性本构关系。

给出了模型参数的求解方法，编制了相应的数据处理程序，并结合工程实例，对蠕变模型参数进行了拟合和加权平均取值。

应用结果表明：试验曲线与理论计算曲线吻合，改进的Burgers蠕变模型能较好的描述岩石的蠕变特性。

关键词：Burgers模型；Mohr-Coulomb；蠕变；粘弹塑性；屈服准则；本构关系中图分类号：TU452 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2006)0796–04作者简介：袁海平(1977–)，男，博士研究生，从事岩石力学理论、工程模型及岩土工程数值计算与仿真研究。

Visco-elastop-lastic constitutive relationship of rock andmodified Burgers creep modelYUAN Hai-ping，CAO Ping，XU Wan-zhong，CHEN Yuan-jiang（School of Resources & Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China）Abstract: The classic Burgers creep model could only describe the viscoelastic behaviour of rock material before the thirdcreep-phase, but weak rock usually was visco-elasto-plastic. So according to this shortage of Burgers model, a new plastic cellwas developed based on Mohr-Coulomb criterion, which was assumed to be in absolute accordance with the plastic flow law ofMohr-Coulomb when rock failed. And then the plastic cell acted in series with the classic Burgers model, and a modifiedBurgers creep model was built and the corresponding visco-elasto-plastic constitutive relationships were deduced. The modifiedmodel could simulate visco-elasto-plastic deviatoric behavior and elasto-plastic volumetric behavior. In addition, some methodsto solve model parameters were given and some corresponding programs were developed to deal with the test data. And themodel parameters of an engineering example were fitted and the values were obtained through weighted mean ones. It wasshown that the creep testing curves were coincident well with the theoretic curves, validating that the modified Burgers creepmodel was felicitous to characterize the creep behaviour law of rock.Key words: Burgers model; Mohr-Coulomb; creep; viscoelastic plasticity; yield criterion; constitutive relationship0 引言岩石的蠕变特性是岩石类材料重要的力学性质之一，国内外学者对岩石的蠕变特性和蠕变模型进行了大量的研究[1-10]，在理论与实践上取得了重大研究成果。

第6章线性粘弹性

i 1
如果把(i)分成无限小量，则有：
(t )
(t )
0
J (t )d ( )
或换元后得：
d ( ) (t ) J (t ) d d
t
(5)
式(5)就是Boltzmann加和性原理的数学表达式，表明应变与全部应力成线性关系。有时把式(5)中的积分变量变换为: T = t -θ
t 时
J R (t ) J0 () Je0
Je0 称为稳定态的柔量。
4 蠕变和回复实验 4.1 应变史蠕变和回复实验中的应力史如下式所示： (t) = 0 t0 (t) = 0 0t (t) = 0 t 这是一种两步应力的情况：
(t) 0 0 t (a)应力史
式中：J(t)称为剪切蠕变柔量。对拉伸蠕变实验，有： D(t)=E(0, t)/0 式中：D(t)称为拉伸蠕变柔量。
1.2 应力松弛 (Stress relaxation) 在一定温度下，使材料产生一个瞬时应变，材料的应力随时间的变化。如图6-2 (a, b, c, d, e)所示。 (t)=0 t0 (t)=0 t0

1(t)
1+ 2 1(t) 2(t) 3(t)
0
2(t) 2 1
t1 t
1+ 2
t1 t 0 1 2 t1 应变史 t
0 1 3(t)
1 0 1 2 t1 t
1+ 2 图6-6 不同应力史的两步应力实验
应力史
2.2.3 连续的应力史
d ( ) (t ) D(t ) d d ( ) t dD(t ) d 或： (t ) D0 (t ) ( ) d (t )

土工格栅蠕变特性的试验研究及粘弹性本构模型_栾茂田

Abstract: Considering the fact that the creep properties of geogrids are fundamental and important factors on the long-term behavior of geogrid-reinforced earth structures, a series of comparative experimental tests of the creep properties of geogrids are conducted in the laboratory under different combinations of externally-applied load and environmental temperature. Based on the experimental results, comparative analyses are made to examine characteristics of isochronous load-strain curves, creep curves and relaxation curves of geogrids. Furthermore, a constitutive model based on viscoelasticity is proposed for geogrids and a rational procedure based on experimental tests is presented for defining the relevant parameters of the model. The proposed model is verified by comparing the prediction of the model and experimental results. It is shown that the viscoelasticity creep model can mainly display long-term behavior of geogrids. Key words: geogrids; geogrid-reinforced earth structures; creep behavior; creep tests; viscoelasticity constitutive model

蠕变型线粘弹性本构方程

蠕变型线粘弹性本构方程
1. 本构方程形式
蠕变型粘弹性本构方程的矩阵形式为
ε(t ) [ED] J t

t
σ( ) d
(1.1)
其中
σ t 11 22 33 12 23 31
T
(1.2) (1.3)
0 0 0 0
ε t 11 22 33 12 23 31
将分析时间区间时间段假设每一时间步内的应力呈线性变化在时间步长时刻式15所示的本构离散形式为16其中17其中弹性应变增量为18蠕变应变增量为19根据蠕变柔量的prony级数形式110将式110代入式19有111上式不利于有限元分析因为需要每一分析步都需要记录全部的历史从而要较大存储空间下面将其改写成递推形式
ε(t ) ε c εe [ED] J t

t
σ( ) d
(1.5)
2. 本构方程的增量形式
对于非线性材料本构的分析，一般采用增量法，需进一步推导适合有限元计算的增量型本构方程。
t1 ,t2 ， t m 1 ,t m tk 1,tk ， t 0 ,t1 ，将分析时间区间 0, t 划分为 …， …，
(1.12)
其中
η
i k 1
η e
i k

tk
i
[ED]σ k
(i 0,1, 2,
, n)
(1.13)
ηi0 [0 0 0 0 0 0]T
(1.14)
分别由 (1.8)和 (1.12) 式分别计算，并代入式(1.7) 即可得到总应变增量，有效应力由弹性部分(1.8) 求得，即
1 [ED] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 0 0

《流变学》第四章第一部分解析

理想的体型高聚物蠕变曲线仅有普弹和高弹形变，回复曲线最终能回复到零，不存在永久变形，所以说，交联是解决线型高弹态高聚物蠕变的关键措施。但是实际上交联橡胶不能满足上述条件，即使是充分交联的橡胶，也总有一定的蠕变量。这是因为分子链的末端链段基本上没有被交联的网络所束缚，再加上网络本身不完善，所以完全不产生蠕变是不可能的，不过，只要非常小的交联就能大大减小蠕变。
第四章粘弹性及本构方程

线性粘弹性理论：蠕变、应力松弛、boltzmann叠加原理、maxwell模型、Voigt模型。非线性粘弹性理论：物质描述与空间描述、随流坐标、微分型本构方程（广义maxwell方程）、积分型本构方程（ maxwell 模型的积分形式、 lodge网络理论-类橡胶液体理论）、高分子流变本构方程的分子理论。输运过程的基本方程：连续性方程（质量守恒律）运动方程（动量守恒律）能量方程（能量守恒律）
所以高聚物常称为粘弹性材料，这是聚合物材料的又一重要特征。
线性粘弹性理论
如果高聚物的粘弹性是由理想固体的弹性和理想液体的粘性组合起来的，则称为线性粘弹性，否则称为非线性粘弹性。
粘弹性高分子材料，其力学性能受到力、形变、温度和时间等几个因素的影响，在我们研究高聚物粘弹性中，往往固定两个因素以考察另外两个因素之间的关系。

c.塑性形变(大分子的滑移)：如果分子间没有化学交联，当外力作用时间与整个分子链的运动的松弛时间有相同的数量级时，则分子间将发生相对滑移，发生塑性形变，用 ε3表示。
不可回复
高聚物的总形变
典型的线型非晶态高聚物在Tg附近的蠕变曲线和回复曲线
T1
T2
思考题：交联高聚物的蠕变及回复曲线？

ABAQUS 线性粘弹性UMAT

UMAT线形粘弹性体UMAT其实并不难学，你要把握几点即可：1，必须提供准确的雅可比距阵，程序收敛速度快2，必须用增量法更新应力•must update the stresses and solution-dependent state variables to their values at the end of the increment for which it is called;•must provide the material Jacobian matrix3，与本构方程相关的状态变量必须更新把我分析的子程序过程多读几遍，相关的弹性力学，朔性力学概念弄懂，可能就理解更为清晰！我的目的就是让大家学的轻松！请大家鼓励！三单元体的固体模型(线形粘弹性)下图为虎克体和开尔文体的串联一维方向的应力与应变的行为推广到实体其中PROPS(1)PROPS(2)PROPS(3)PROPS(4)PROPS(5)λμλ~μ~ v~SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD, 1 RPL,DDSDDT,DRPLDE,DRPLDT,2 STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED,CMNAME,3 NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT,PNEWDT,4 CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC) CINCLUDE 'ABA_PARAM.INC' CCHARACTER*80 CMNAMEDIMENSION STRESS(NTENS),STATEV(NSTATV), 1 DDSDDE(NTENS,NTENS),2 DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS),3 STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS),TIME(2),PREDEF(1),DPRED(1),4 PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(3,3),DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3) DIMENSION DSTRES(6),D(3,3) CC EVALUATE NEW STRESS TENSOR CEV = 0. DEV = 0. DO K1=1,NDIEV = EV + STRAN(K1) !! 直接应力和xy yy xx vεεεε++=DEV = DEV + DSTRAN(K1) !!直接增量应力和xy yy xx v εεεε∇+∇+∇=∇END DO CTERM1 = .5*DTIME + PROPS(5) !!v t ~2+∇ TERM1I = 1./TERM1 !!v t ~21+∇TERM2 = (.5*DTIME*PROPS(1)+PROPS(3))*TERM1I*DEV !!v v t tελλ∇+∇+∇~222TERM3 = (DTIME*PROPS(2)+2.*PROPS(4))*TERM1I !! v t t ~2~2+∇+∇μμC 更新正应力 DO K1=1,NDIDSTRES(K1) = TERM2+TERM3*DSTRAN(K1) 1 +DTIME*TERM1I*(PROPS(1)*EV2 +2.*PROPS(2)*STRAN(K1)-STRESS(K1))本构方程程序执行：=∇σv vt tελλ∇+∇+∇~222+εμμ∇+∇+∇v t t ~2~2+)*2*(~2σεμελ−++∇∇v v t tSTRESS(K1) = STRESS(K1) + DSTRES(K1)σσσ∇+=+n n 1END DO C 更新剪应力TERM2=v t t ~2~2+∇+∇μμ TERM2 = (.5*DTIME*PROPS(2) + PROPS(4))*TERM1I I1 = NDI DO K1=1,NSHR I1 = I1+1 本构方程程序执行：=∇xyσv t t ~2~2+∇+∇μμ*xy ε∇+t ∇*v t ~21+∇*)(xy xy σμε−DSTRES(I1) = TERM2*DSTRAN(I1)+1 DTIME*TERM1I*(PROPS(2)*STRAN(I1)-STRESS(I1)) STRESS(I1) = STRESS(I1)+DSTRES(I1) END DO C 雅可比距阵开始 C CREATE NEW JACOBIAN C TERM2=v t ~21+∇*)~2~)2((μλμλ+++∇tTERM2 = (DTIME*(.5*PROPS(1)+PROPS(2))+PROPS(3)+ 1 2.*PROPS(4))*TERM1I TERM3 =v t ~21+∇*)~2(λλ+∇tTERM3 = (.5*DTIME*PROPS(1)+PROPS(3))*TERM1IDO K1=1,NTENS DO K2=1,NTENSDDSDDE(K2,K1) = 0. END DO END DO CDO K1=1,NDIDDSDDE(K1,K1) = TERM2 END DO C填充距阵如下位置233323332term term term term term term term term termDO K1=2,NDI N2 = K1–1 DO K2=1,N2DDSDDE(K2,K1) = TERM3 DDSDDE(K1,K2) = TERM3 END DOEND DO TERM2 =v t ~21+∇*)~2(μμ+∇tTERM2 = (.5*DTIME*PROPS(2)+PROPS(4))*TERM1II1 = NDI !!l1=3按新TERM2 填充距阵如下位置222term term termDO K1=1,NSHR 按剪切力运行3次 I1 = I1+1DDSDDE(I1,I1) = TERM2END DO小结：雅可比距阵填充完毕C 关于物质能量的增长C TOTAL CHANGE IN SPECIFIC ENERGY Cεσσ∇∇++=)2(E ETDE = 0. DO K1=1,NTENSTDE = TDE + (STRESS(K1)+.5*DSTRES(K1))*DSTRAN(K1) END DO CC 关于朔性能量的增长C CHANGE IN SPECIFIC ELASTIC STRAIN ENERGY CTERM1 = PROPS(1) + 2.*PROPS(2) !!TERM1=μλ2+ 填充距阵如下位置111term term termDO K1=1,NDI D(K1,K1) = TERM1END DO填充距阵如下位置λλλλλλDO K1=2,NDIN2 = K1-1 DO K2=1,N2D(K1,K2) = PROPS(1) D(K2,K1) = PROPS(1) END DOEND DO直接应力部分分析以下循环，实质为能量变化，力*位移DEE = 0.DO K1=1,NDITERM1 = 0.TERM2 = 0.DO K2=1,NDITERM1 = TERM1 + D(K1,K2)*STRAN(K2)TERM2 = TERM2 + D(K1,K2)*DSTRAN(K2)END DODEE = DEE + (TERM1+.5*TERM2)*DSTRAN(K1)END DO剪切应力部分I1 = NDIDO K1=1,NSHRI1 = I1+1DEE = DEE + PROPS(2)*(STRAN(I1)+.5*DSTRAN(I1))*DSTRAN(I1) END DO最终的DDE为直接应力与剪切应力发生能量改变之和最终能量消散所改变的值SSE,SCDSSE = SSE + DEE !!朔性消散SCD = SCD + TDE – DEE !!徐变消散RETURNEND。

粘弹性理论初步

理想弹簧CF一维微分型本构方程【讨论方程时引进的表示材料性能的蠕变函数和松弛函数，一般由准静态条件下的蠕变和应力松弛实验确定。

这些实验所提供的是从数十秒到 10年左右时间的力学行为数据，而工程上许多材料与结构所受外载荷作用的时间却很短，或受到随时间交替变化的外部作用。

必须研究材料的动态力学性能（dynamic mechanical properties 。

】亦 + Pi* + pjb + PO 。

+ q°$ III q 芒 +记作送 P k dt k _送 q k k ,m^ n k=e dt kA dt或= Q 名nd kmd kP = E p )k k ,Q =瓦q kk 出 dt kkz9dt k此即为一般的一维粘弹性微分型本构方程。

Maxwell 、Kelvin 、三参量固体、Burgers 、广义 Maxwell 、Kelvin 链等模型的本构方程均是上式的特殊化。

Maxwell: +»可=q 神（》= " / ="）名（t + 蠕变）卜（t 匸ESe 」/p1应力松弛］）理想粘壶-dt dt dtd dr d 2_____ = ________ r dt dt dtdt描述应力松弛过程：当受到F作用，弹簧瞬时形变，而粘壶由于黏性作用来不及形变，应力松弛的起始形变由理想弹簧提供，并使两个元件产生起始应力为 0，随后粘壶慢慢被拉开，弹簧回缩，形变减小，到总应力为0。

d ； 0 dt1 d 二-d- E 0dt,E dtCT1、Maxwell 模型a粘二匚弹当t =0时产二E；。

,将上式积分匚t二E；°e"形变固定时应力随时间的变化•二一ECJ CT—t/・二E。

/2、Kelvin 模型dt3、三参量固体模型E1E2 E2 1 二（E i E2X 厂蠕变柔量：表示单位应力作用下随时间变化的应变值，一般是随时间而单调增加的函数；2 Y tKo松弛模量：表示单位应变作用下的应力响应，是随时间增加而减小的函数。

lgy流变学5--线性粘弹性

擦较小；丁苯胶：内耗大，结构含有较大刚性的苯基，链段运动的内摩擦较大；丁晴胶：内耗大，结构含有极性较强的氰基，链段运动的内摩擦较大内耗大的橡胶回弹性差
例2：对于作为防震材料，要求在常温附近有较大的力学损耗（吸
收振动能并转化为热能）对于隔音材料和吸音材料，要求在音频范围内有较大的力学
损耗（当然也不能内耗太大，否则发热过多，材料易于热态化）
机械零件，却是很好的密封材料，作生料带、密封垫片。
D、橡胶制品交联，也是由于线型高分子易滑移而产生蠕变，交联可使橡胶制品抗蠕变。
15
3. 蠕变柔量
蠕变柔量：单位应力引起的蠕变应变—表征材料本身蠕变特性的物理量
恒定应力下的拉伸蠕变柔量D(t):
在切应力作用下的切变柔量J(t) :
16
聚合物蠕变的lgD(t) –lgt曲线
t2
t
0 t1
t2
t
线性弹性体的应变不随时
t 0 间而变
线性粘性流体 (t)0t/
t0
线性粘性体的应变随时间以恒定的应变速度发展
10
ε （ = const）
线形高聚物理想粘性体理想弹性体交联高聚物
0
t
线性粘弹体 J(t)(t)/0 t 0
粘弹性液体（线形聚合物）,应变随时间无限发展,并趋于恒定的应变速度
t
理想弹性体 0 sin t 粘弹性体 E
0sin( t )
理想粘性体
0 sin(t )

2
0 /2
25
1. 滞后现象与内耗
聚合物在交变应力作用下, 应变落后于应力变化的现象称为滞后现象。由于发生滞后现象在每一循环过程中损耗掉的能量称为力学损耗。

粘弹性三维本构关系与解析方法

P ( D )( s ) Q ( D )
课堂练习推导出西原模型对应的算子 P ( D ), Q ( D )
答案：
2 2 1 21 21 ( S ) ( ) 2 E0 E1 E0 E1 E1
2 1 2 21 2 P( D) 1 ( )D D E0 E1 E0 E1 21 2 Q( D) 2 D D E1
物质形态(一切有为法、如梦幻泡影,如露亦如电,应作如是观。凡所有相,皆是虚妄。--《金刚经》；相，视也。--《尔雅》)
拉普拉斯变换 • [Laplace变换存在定理]若函数 f (t ) 满足下列条件： • （1）当 t 0 时，f (t ) 0 ； • （2） f (t )在t 0的任一有限区间上分段连续， • 间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。（3） f (t ) 是指数级函数。
''
'
''
'
'
''
( s)
2.2.4粘弹性问题的解析求解
粘弹性基本方程：
除本构关系外，其他都相同。
1.几何方程： ij 1 [ui , j (t ) u j ,i (t )] 柯西应变
2
2.平衡条件： ij , j Fi 0 3.本构方程： Sij 2G ( D)eij
两边做拉普拉斯变换：
2 (1 s ) Sij 2 seij G0
2 P 1 s G0
'
Q ' 2 s
代入其他模型得到表2.2.2
2.2.3相空间中粘弹性参数变换
Q ' ( D) G ( D) ' P ( D)

第三章粘弹性流体的本构方程

第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。

不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。

两种。

唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。

以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。

分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。

采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。

为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。

根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。

目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。

同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。

从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。

积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。

积分又分为单重积分或多重积分。

判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。

2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。

3）有承前启后的功能。

例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。

材料力学中的粘弹性行为与本构模型

材料力学中的粘弹性行为与本构模型粘弹性是材料力学中一个重要而复杂的问题，它指的是材料在受力作用下表现出的弹性和黏性共同存在的特性。

本文将探讨粘弹性的基本概念，其行为与本构模型的关系。

一、粘弹性的基本概念粘弹性是指材料在外力作用下既可以发生形变，又可以恢复原状的性质。

这种性质与材料的分子结构有关，表现为分子固定点之间的相互作用力。

在粘弹性行为中，材料会表现出随时间延迟的形变响应，这是与弹性体和黏性流体的行为有所不同之处。

二、粘弹性行为的特点1. 时间依赖性：粘弹性是一种时间依赖性的现象，即材料的形变响应随时间的推移而变化。

在外力作用结束后，材料仍然会持续发生形变。

2. 复杂的应力-应变关系：粘弹性材料的应力-应变关系通常是非线性的，并且在不同的加载速率下表现出不同的行为。

3. 耗散能量：粘弹性材料在形变过程中会产生内部摩擦，从而导致能量的耗散。

这种能量损失是粘弹性行为的重要特征之一。

三、粘弹性本构模型为了描述粘弹性材料的力学行为，研究者们提出了多种本构模型。

以下介绍几种常见的粘弹性本构模型：1. 弹簧-阻尼器模型：这是最简单的粘弹性模型之一，通过串联连接弹簧和阻尼器来描述材料的粘弹性行为。

该模型基于线性弹簧和线性阻尼器的行为假设，适用于低应变率下的材料。

2. 麦克弗逊模型：麦克弗逊模型是一种常用的粘弹性模型，它由弹性元素和黏性元素组成。

该模型能够较好地描述不同应变速率下的粘弹性行为。

3. 阿米尔-沙魔尔模型：这是一种广泛应用于粘弹性材料的本构模型。

它采用了多项级数的形式来描述应力-应变关系，能够较好地拟合实验数据。

四、粘弹性行为的应用领域粘弹性行为在许多领域都有重要的应用价值，例如生物材料的研究、土壤工程、涂料润滑剂开发等。

通过深入理解粘弹性行为及其本构模型，可以为这些领域的研究和应用提供重要参考和指导。

结论粘弹性行为是材料力学中一个重要且复杂的问题，其研究涉及到材料分子结构和宏观性能的关系。

通过适用的本构模型，我们可以更好地描述和预测粘弹性材料的力学行为。

高聚物的力学松弛——粘弾性

（1）交变应力的频率小时：（相当于高弹态）链段完全跟得上交变应力的变化，内耗小，E’小，E” 和tgδ都比较低.
（2）交变应力的频率大时：（相当于玻璃态）链段完全跟不上外力的变化，不损耗能量，E’大， E”和tgδ≈0
（3）频率在一定范围内时：链段可运动，但又跟不上外力的变化，表现出明显的能量损耗，因此E”和tgδ在某一频率下有一极大值
e 1
2
3
E E 1
2
3
2、应力松弛
所谓应力松弛，就是在恒定温度和形变保持不变的情况下，高聚物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
一个问题的两个方面，都反映高分子内部分子的三种运动情况不平衡构象到平衡构象
0
消除内部应力
0
玻璃态
交联高聚物
线性高聚物
o
t
高聚物的应力松弛曲线
高弹态
粘流态
2 3 wt
对弹性材料：（ t） 0 sin wt形变与时间t无关，与应力同相位
对牛顿粘性材料：（ t）
0
sin(wt
2
)应变落后于应力
2
粘弹材料的力学响应介于弹性与粘性之间，应变落后于应
力一个相位角。 0
2
(t) 0 sin(wt )
δ—力学损耗角（形变落后于应力变化的相位角）
δ越大，说明滞后现象越严重。
键长和键角
立即发生变化
小
1
外力除去，立即完全回复
大
2.高弹形变
（1 t / ） 2
e 2
E2
松弛时间=2/E2
t1
t2
t
链段运动
外力除去，逐渐回复
t1 t2
t
3.粘性流动

第10章粘弹性(固体)材料的本构方程(线性)

第10章粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）1．概述a ）基本的典型模型（根据流变学分类法）弹性：没有记忆（与历史无关，没有耗散），可逆的，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关。

塑性：有记忆（与历史有关，有耗数），不可逆，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关，比拟元件粘性：有记忆，有耗散，不可逆，有时效，比拟元件多数的工程材料，可用上述三者之一，或三者中的某种组合来描述（在一定的条件下）。

b ）粘弹性材料该材料既有粘性，又有弹性。

变形=瞬时效应+随时间而变化的变形（后效变，滞后部分）（弹性）（粘性流动） c ）两种典型的特性试验弹性：E / ,00σεσσ==，若,10=σ 则 F E ==/1ε（柔度）0 ,εσεεE ==0，若 10=ε，则 E =σ（模量）粘弹性：)() ,t E t 00=(=σεσσ （由于)t (ε增加，则)(t E 减小，材料软化）)() ,10t F t =(=εσ蠕变柔量松驰实验：0)()( ,εσεεt E t ==0)() ,10t E t =(=σε 松驰模量线性粘弹性本构方程，用叠加原理。

有三种表述形式：微分算子型，积分型——遗传积分，复数型（本次不介绍）。

2．微分算子型：（a ）两个基本的比拟模型（非其正的材料模型，用于定性的说明） ①Maxwell 模型γγεησεσ == e e E 为元件的本构方程系统的本构方程：（σ与ε的关系）γγεεεσσσ====e e γγεεεεησεσ +===e e E , , 则： ησσε+=E （接近于粘弹性流体） ② Kelvin （V oigt ）模型元件的本构方程：γγεησεσ == e e E γγεεεσσσ==+=e e系统的本构方程：则：εηεσ +=E （接近于粘弹性固体）（b ）推广到一般情况：定义：0d :d P r pr r p t =∑ 0d :dt Q rpr r q =∑[)][)]P Q t t σε(=(为微分算子型本构方程。

粘弹性材料本构模型的研究

粘弹性材料本构模型的研究第23卷第6期高分子材料科学与工程V o l.23,N o .62020年11月POL Y M ER M A T ER I AL S SC IEN CE AND EN G I N EER I N GN ov .2020粘弹性材料本构模型的研究Ξ路纯红,白鸿柏(军械工程学院,河北石家庄050003摘要:介绍了近年来建立粘弹性材料本构模型的方法。

目前主要有两种方法:利用现有本构模型;对粘弹性材料进行试验研究,拟合实验曲线。

关键词:粘弹性材料;本构模型中图分类号:O 631.2+1文献标识码:A 文章编号:100027555(20200620028204随着化学化工和材料工业的发展,粘弹性材料被广泛应用于航空航天、机械工程、高层建筑、车辆工程以及家用电器等领域。

研究粘弹性材料的力学性能,使其在工程应用中发挥良好的阻尼性能和耗散性能,关键是构建能够精确描述材料本构关系的粘弹性本构模型。

然而粘弹性材料的力学性能如剪切模量、损耗模量、损耗因子等受环境温度、振动频率、应变幅值等影响很大,因此,其本构关系的建立将非常复杂。

本文将对近年来粘弹性材料本构模型的研究成果进行简要的综述,并对今后的研究趋势提出几点建议。

1利用现有模型1.1粘弹性本构模型由于粘弹性材料的力学性能如剪切模量、损耗模量、损耗因子等通常与环境温度、振动频率、应变幅值等有关,因此粘弹性材料的本构关系将是复杂的。

国内外许多学者对此进行了研究,目前常用的粘弹性材料本构模型如下。

1.1.1M axw ll 模型:M axw ell 模型认为,粘弹性材料可以等效为一个弹簧和一个粘壶元件相串联而成,其本构关系为:Σ(t +p 1Σα(t =q 1Χα(t (1式中:Σ(t 和Χ(t ——粘弹性材料的剪应力和剪应变;p 1和q 1——由粘弹性材料性能确定的系数。

在简谐应变的激励下,由本构关系(1式可得:式中:G 1、G 2——储能模量(剪切模量和损耗模量;Γ——损耗因子,用于描述粘弹性材料的阻尼性能,Γ越大,材料阻尼性能越好,Γ越小,材料阻尼性能越差。

蠕变型线粘弹性本构方程

第6章 线性粘弹性

第三章粘弹性流体的本构方程

表征粘弹性软材料力学性质的蠕变压痕实验方法

kelvin模型蠕变方程推导

岩石粘弹塑性本构关系及改进的Burgers蠕变模型

第6章 线性粘弹性

土工格栅蠕变特性的试验研究及粘弹性本构模型_栾茂田

蠕变型线粘弹性本构方程

《流变学》 第四章 第一部分解析

ABAQUS 线性粘弹性UMAT

粘弹性理论初步

lgy流变学5--线性粘弹性

粘弹性三维本构关系与解析方法

第三章粘弹性流体的本构方程

材料力学中的粘弹性行为与本构模型

高聚物的力学松弛——粘弾性

第10章 粘弹性(固体)材料的本构方程(线性)

粘弹性材料本构模型的研究

第6章线性粘弹性

第6章线性粘弹性

《流变学》第四章第一部分解析

第10章粘弹性(固体)材料的本构方程(线性)