人工边界适用性分析

人工边界适用性分析
摘要：人工边界条件是对建筑结构进行土-结构动力相互作用分析的必备条件，因此人工边界条件的研究是土-结构动力相互作用研究的前提，具有重要的意思。

本文总结了各种常用的人工边界条件，并通过模型验证了各种边界条件的适用性。

关键词：土-结构相互作用，人工边界
1 引言
我国位于环太平洋地震带与欧亚地震带之间，地震活动频度高、强度大、震源浅，分布广。

因此，对建筑结构的抗震性能分析关系到我国的国计民生，具有及其重要的意义。

而人工边界条件是对建筑结构进行土-结构动力相互作用分析的前提，是进行土-结构动力弹塑性分析的必备条件。

国内外对人工边界的研究已取得了一些成果，但还没有达成完全共识。

本文在前人研究成果的基础上对人工边界条件作进一步深入分析，以期达到再认识的目的。

2 常用的人工边界
①粘性边界(Viscous Boundary)
John Lysmer和Roger L .Kuhlemeyer提出了粘性边界，通过沿着人工边界上设置一系列的阻尼器以吸收向外传播的能量，以模型波透过人工边界向无限远处传播的过程。

粘性边界的边界条件为：
（2.1）
②无限元边界(Inifinite Element Boundary)
1973年，R.Unless首先提出了无限元（infinite element）这一概念，在ABAQUS 有限元软件中，无限元边界借鉴了粘性边界的理论，在单元本身引入了阻尼系数来确保任何入射情况下都没有反射波。

对于纵波和横波，无限元的阻尼系数分别为
（2.2）
（2.3）
③粘-弹性边界(Viscous-Spring Boundary)
Deeks[[[1] Deeks A J, Randolph M F. Asymmetric time domain transmitting boundaries [J].Journal of Engineering Mechanics,1994,120(1):25-42.]]（1994年）假定二维散射波为柱面波，通过与粘性边界相类似的推导过程提出了粘-弹性边界。

粘-弹性边界的边界条件为：
(2.4)
(2.5)
④透射边界(Transmitting Boundary)
20世纪80年代初，廖振鹏[[[2] 廖振鹏,黄孔亮,杨柏坡,等.暂态波透射边界[J].中国科学(A辑),1984,26(6):50-56.
]]用平面波的传播条件导出了人工边界的阶透射公式。

取人工边界任一点处的局部坐标沿该点的外法线方向，入射波沿轴的视传播可以用下式表示：
(2.6)
⑤远置边界
远置边界也就是自由边界，自由边界上的力和位移都等于零，波在边界处完全反射回来。

为了让波的反射不对计算结果产生影响，要把边界取的足够远，使反射波来不及达到研究区域，根据波动理论，边界的距离应该满足
(2.7)
3各种边界的适用性分析
一般对于基岩上的多层土看作是具有若干质点的振动体系，在振动体系中仅考虑地震剪切波引起的振动，采用剪切质点系的模型进行研究。

场地土的基本振型固有周期可按下列简化公式进行计算：
对于单一土层时：
(3.1)
其中是覆盖层厚度，即从基岩算起至地面的厚度；是剪切波波速。

下面取大小的二维土体，材料性质如表3.1所示，当，时，土层基本振型固有周期，频率为。

模型的底部采用固定边界，而侧边分别采用无限元边界、粘性
边界、粘弹性边界、固定边界及自由边界进行对比分析，各个模型的前5阶频率见下表所示：
表3.1 前5阶频率结果
Table3.1 The 1~5 frequencies
对于底部采用固定边界，侧边采用人工边界的情况，相当于模拟土体底部是基岩而侧边土体无穷远。

侧边采用粘弹性边界的计算结果和侧边自由的模型的结果是相同的；而侧边采用无限元边界模型的计算结果和侧边自由模型的结果稍有差别，这是因为无限元部分也是被赋予了质量和弹性模量的，这部分对刚度和质量有贡献；侧边粘弹性边界的第一阶频率比较接近估算方法得出的结果；侧边采用固定边界计算出的频率相比较其他各种情况差别较大，频率较高。

从各种情况的对比可以看出，在进行模态分析的时候，粘性边界、无限元边界和自由边界的效果基本上是等同的；粘弹性边界可以模拟地基的弹性恢复力，得出的结果最接近理论解；而固定边界进行模态分析得出的频率和经验值相比较大。

所以采用粘弹性边界既可以进行结构的模态分析又可以进行动力反应分析，粘弹性边界一种比较适用的边界。

无限元边界和粘性边界没有弹性恢复力和自由边界的效果相同，如果模型的底部也采用无限元边界和粘性边界，则模型不能进行模态分析，边界的使用将受限制。

②人工边界的稳定性分析
为了分析人工边界的稳定性，取分布荷载作用下的平面半空间问题进行计算，线荷载的作用长度为20m，荷载的作用位置和作用荷载的形式图3.1和3.2所示。

底部和在模型的顶部中部输入1脉冲波，点A与点B的距离为10。

图3.1 半空间平面问题示意图图3.2 输入脉冲
Fig.3.1 A space plane problem diagram Fig.3.2 Input pulses
表3.2 模型的分类表
Table3.2 The classification the model
共取四组模型，模型的尺寸和四周的边界条件如表3.2所示。

第四组模型的尺寸值较大，介质的P波速为561.25，在第5的时候，还不会有波反射回来，相当于波传到无限远的情况，把这种情况作为精确解来判断其它几种模型结果的精确性。

取各种模型的A点的位移反应进行对比，结果如图3.3所示：
图3.3 A点的输出位移
Fig.3.3 The output displacement of the node A
从图3.3可以看出，在0.3之前，各种边界情况下的位移反应是相同的，但是在0.3以后，粘性边界和无限元边界的位移反映基本上相同，而粘弹性边界和远置边界的位移反映比较吻合。

最后，粘弹性边界和远置边界的位移都回归到初始平衡位置而粘性边界和无限元边界的位移发生整体漂移。

粘性边界和无限元边界的零频漂移问题也和边界不能模拟土体的弹性恢复力有关。

相比较而言，粘弹性边界可以约束动力问题中的零频分量，稳定性最好。

4 结束语
本章归纳了现有的各种常用人工边界的实现，并且通过模型验证了所给出的边界设置以及波动输入方法的正确性。

研究了各种边界的适用性问题，由于粘性边界和无限元边界不能模拟地基的弹性恢复力，存在低频失稳问题且模态分析时不能模拟边界的约束情况。

目前人工边界条件理论模型还不太成熟，还需要进一步分析研究。

参考文献
[1] Deeks A J, Randolph M F. Asymmetric time domain transmitting boundaries [J].Journal of Engineering Mechanics,1994,120(1):25-42.
[2] 廖振鹏,黄孔亮,杨柏坡,等.暂态波透射边界[J].中国科学(A 辑),1984,26(6):50-56.。