2017导数的四则运算法则教案2.doc
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§4 导数的四则运算法则
第二课时 导数的乘法与除法法则
一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数积、商导数公式的应用
教学难点：函数积、商导数公式 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比
x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y =，即
x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，
如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为
)(()(00/0x x x f x f y -=-
3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆2）求平均变化率
x
x y ∆=
∆∆
（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x
y x ∆∆→∆0lim
5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x
6. 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
)()(])()([)
()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+
（二）、探究新课
设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。我们来求
)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数。
[]
)
()()()()()()()]()([)()()()(02
020002002
020002002
020x f x
x x x x x f x x f x x x
x f x x x x f x x f x x x
x f x x x f x x x y ∆-∆++∆-∆+∆+=∆-∆++-∆+∆+=∆-∆+∆+=∆∆
令0→∆x ，由于 2
0200
)(lim x x x x =∆+→∆
)()
()(lim
0000
x f x
x f x x f x '=∆-∆+→∆
02
02002)(lim x x
x x x x =∆-∆+→∆ 知)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(0002
x f x x f x +'。 因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22x f x x f x '+'。
一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有
)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'=
'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'
+'=' 特别地，当k x g =)(时，有
)(])([x f k x kf '='
例1：求下列函数的导数：
（1）x e x y 2=； （2）x x y sin =； （3）x x y ln =。 解：（1）x x x x x x e x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(22222+=+='+'='='；
（2）x x x
x x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+=
'+'='='；
（3）1ln 1
ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x x
x x x x x x x x y 。 例2：求下列函数的导数：
（1）x
x y sin =； （2）x x y ln 2=。
解：（1）2
22sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛
='； （2）x
x x x
x x x x x x x x x x x y 22222
22
ln )1ln 2(ln 1
ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅
-⋅='
⋅-⋅='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='。
（三）、练习：课本46P 练习1.
（四）、课堂小结：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和
)(x g '，我们有
)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'=
'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'
+'=' 特别地，当k x g =)(时，有
)(])([x f k x kf '='
（五）、作业：课本48P 习题2-4：A 组4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5 五、教后反思：