11-4 曲线积分习题课

y y2dx +
x+ x2 +
y y2
dy,
其中L为从A(-a,0)
经上半椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 到点B(a,0)的一段弧.
ò u例11 计算
xdy - ydx L 4x2 + y2 .
y
其中L为以A(1,0)为圆心
o1 x
R(R≠1)为半径的圆周的正向.
u补5
计算òL
-
ydx + xdy x2 + y2 ,
其中L为抛物线 y = x2 - 1 (-1 £ x £ 2)
和连接两点A(-1,0)与B(2,3)的线段所组成的闭曲线的正向.
计算定积分
ò u例1 计算 ( x2 + y3 )ds 其中L为x2 + y2 = R2 . L
l注
(1) 利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算.
L关于x轴对称
L关于y轴对称 类似 L关于y=x对称
y (x, y) L1
o
x
(x, - y)
ò u例1 计算 ( x2 + y3 )ds, 其中L为x2 + y2 = R2 . L
为顶点的三角形，取逆时针方向. o
C
1 2x
u补2 计算 òL ydx + x dy,
-1 B
其中L为以A(1,0)、B(0,1)、C(-1,0)
为顶点的三角形的正向边界.
u例6 计算 òG ydx + zdy + xdz, 其中Γ为
ìx + y = 2
í î
x
2
+
y2
+
z2
=
2( x
+
y)
的逆时针方向.
第四讲 曲线积分习题课
曲线积分习题课
一 、内容小结 二 、题型练习
曲线积分习题课
一 、内容小结 二 、题型练习
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
ò ò 曲线型构件质量: rds
变力沿曲线作功:
!!" " F ×dr
ò å ò Ø定义
n
L
L
f ( x, y)ds = lim l ®0 i=1
f (xi ,hi )Dsi
-
cos
t
x3 (
3
-
y sin
y)dy,
y 2
从O(0,0)到Ａ(π,2)百度文库弧.
o
A B
px
ò u例10 计算
L
xdy x2
+
ydx y2
,其中L为
y
ì x = a(t - sin t) - aπ
í î
y
=
a(1
-
cos
t
)
(a > 0)
t 从0到2π的一段弧.
-ap o
ap x
ò u补4
计算
L
xx2 +
参数范围
化为定积分
ò f ( x, y)ds
L三 变
积分弧段 L
[α,β]
被积函数 f ( x, y) f (j (t ),y (t ))
一 注
弧长元素 ds
j ¢2 (t ) +y ¢2 (t )dt
意 一点注意 下限一定小于上限
ò b f [j(t),y (t)] j¢2(t) +y ¢2(t)dt a
l注
(1) 利用对称性简化计算.
f (x, - y) = - f (x, y)
L关于x轴对称
f (x, - y) = f (x, y)
L关于y轴对称 类似
òL f (x, y)ds = 0
òL f (x, y)ds = 2òL1 f (x, y)ds y (x, y)
L关于y=x对称
òL f (x, y)ds = òL f ( y, x)ds
Ø计算公式
(1)
L的参数方程
ì í î
x y
= =
j y
(t ), (t ),
(a £ t £ b )
ò ò f (x, y)ds = b f [j(t),y (t)] j¢2(t) +y ¢2(t)dt
L
a
(a < b )
(2) L：y = j(x) (x0 £ x £ X )
òL
f
(
x,
y)ds
B
A
-R o
Rx
u补3 计算 òL ( y + 2xy) dx + (x2 + 2x + y2 )dy,
其中L为圆周 x2 + y2 = 4x
由点A(4,0)依逆时针到O(0,0)的半圆(2π).
u例9
计算 òL (x2 y + 3xex )dx +
其中L为
ìx = t - sin t
í î
y
=
1
x2 + y2 + z2 = 9 2
与平面 x + z = 1 的交线.
u例4 计算 òG x2ds, 其中Γ为球面 x2 + y2 + z2 = R2 与平面 x + y + z = 0 的交线.
二 题型练习
(一) 对弧长的曲线积分的计算 (二) 对坐标的曲线积分的计算
二 题型练习
(一) 对弧长的曲线积分的计算 (二) 对坐标的曲线积分的计算
Ø计算方法 直接计算、格林公式、特殊路径
Ø思路
是
L封闭
¶Q ¶P -
¶x ¶y
0
简
单
0 格林公式
复复 杂杂
直接计算
否
¶Q ¶P -
¶x ¶y
简 单
添加曲线
0
特殊路径
Ø选择原则 积分路径封闭否
¶Q - ¶P 简单否
¶x ¶y
u例5 将 òL f ( x , y )dy 表示成定积分
y
2
A
其中L为以A(1,2)、B(1,-1)、C(2,0)
L
P( x, y)dx+Q(x,y)dy
L
n
å ( ) = lim l ®0 i=1
P(xi ,hi )Dxi + Q(xi ,hi )Dyi
线性 可加性
Ø性质 物理意义 òL ds = s
ò ò 与方向有关
!" " Fdr = -
!" " Fdr
L
L-
Ø计算
直接计算 变量参数化、一小二起下
三变一注意
=
X
òx0
f
[x,j( x)]
1 + j¢2( x)dx
(x0 < X )
(3) L：x =y ( y) ( y0 £ x £ Y )
òL
f
(
x,
y)ds
=
Y
òy0
f
[y ( y), y]
1 +y ¢2( y)dx
( y0 < Y )
Ø对弧长的曲线积分解题思路
明确L的方程
明确 选择 确定
参数方程
y = j(x) x =y ( y)
格林公式
路径无关
Ø联系 òL ( P cosa + Q cos b ) ds =òL Pdx + Qdy
曲线积分习题课
一 、内容小结 二 、题型练习
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一 、内容小结 二 、题型练习
二 题型练习
(一) 对弧长的曲线积分的计算 (二) 对坐标的曲线积分的计算
二 题型练习
(一) 对弧长的曲线积分的计算 (二) 对坐标的曲线积分的计算
u例7 计算òL ( x2 + y2 )dx + ( y2 - x2 )dy,
其中L 是由y=0，x=1，y=x所组成的闭曲线的正向.
u例8 计算òL
y2 dx + (4x + 2 y ln( x +
R2 + x2
其中L为圆周 x2 + y2 = R2
R2 + x2 ))dy, y
由点A(R,0)依逆时针到 B(-R,0)的半圆.
(2) 可将L的方程代入被积函数简化计算. o
u补1 计算 òL(2xy + 3x2 + 4 y2 )ds, 其中L为
x2 + y2 = 1 周长为a. 43
(y, x) x
ò u例2 计算
4
(x3
+
4
y3
)ds
,
其中L为x
2 3
+
2
y3
=
2
a3.
L
l注 L的方程的确定是计算曲线积分的难点之一.
( ) u例3 计算 òG x2 + y2 + z2 ds, 其中Γ为球面