梁弯曲时的强度条件
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
范中查到。
在梁的设计计算中,通常是根据强度条件确定截面尺寸,然
后用刚度条件进行校核。具体过程参看下面例题。
工程力学
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(1)小跨度梁或荷载作用在支座附近的梁。此时梁的Mm ax可能较小而FSmax较大。
(2)焊接的组合截面(如工字形)钢梁。当梁截面的腹板厚 度与高度之比小于型钢截面的相应比值时,横截面上可能产 生较大的切应力τmax。
(3)木梁。木梁在顺纹方向的抗剪能力差,可能沿中性层 发生剪切破坏。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
2. 强度条件的应用 【例8-6】
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(2)内力分析。绘制内力图如图8-27(b)和(c)所示, 确定最大剪力、弯矩为
FSmax=60 kN，Mmax=18 kN·m (3)根据正应力强度条件选择截面。由式(8-26)得
查附录型钢表,可选用16号工字钢,其抗弯截面系数 Wz=141 cm3,高h=16 cm,腿厚t=9.9 mm,腹板厚b1= 6 mm。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
图8-27
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.2 弯曲梁的刚度条件
梁除满足强度条件外,还应满足刚度要求。根据工程实际的
需要,梁的最大挠度和最大(或指定截面的)转角应不超过某一规
定值,由此梁的刚度条件为
ymax≤y
(8-28)
θmax≤θ
(8-29)
式中,许可挠度y和许可转角θ的大小可在工程设计的有关规
工程力学
ห้องสมุดไป่ตู้
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.1 梁弯曲的强度条件及应用 1. 强度条件
由于梁弯曲变形时横截面上即有正应力又有切应力,因此强度条 件应为两个。当弯曲梁横截面上最大正应力不超过材料的许用正应力, 最大切应力不超过材料的许用切应力时,梁的强度足够,即
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
材料力学 弯曲应力与强度条件
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A
0:
y
A
N dA E
A
dA
E
A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E
y 2 dA 令： y 2 dA I Z A
C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4
梁弯曲时的强度计算
max
2、正应力强度条件
max
M max Wz
3、正应力强度计算 ①强度校核： M
max
max
Wz
②设计截面：
Wz
M max
max
③确定许可荷载：MFra bibliotek Wz
三、正应力强度条件
1、危险点的应力——最大正应力 弯矩绝对值最大的截面称为危险截面，危 险截面上最大正应力的点（截面的上下边缘） 称为危险点。 Iz 令： Wz 则： M
max
Wz ymax 式中 Wz 称为抗弯截面模量，它是一个与截面形状和 3 mm3 尺寸有关的几何量，单位为 m 或
工程中常见弯曲实例
中 性 层 与 中 性 轴 图 示
二、梁横截面上的正应力 梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性 轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高 度按线性规律分布。中性轴上各点的正应力为 零。上、下边缘正应力最大。
My Iz
——梁横截面上的正应力
y——所求正应力的点到中 性轴的垂直距离 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
梁横截面上的正应力y所求正应力的点到中性轴的垂直距离横截面对中性轴的惯性矩三正应力强度条件1危险点的应力最大正应力弯矩绝对值最大的截面称为危险截面危险截面上最大正应力的点截面的上下边缘称为危险点
§6—7 梁弯曲时的强度计算
水利工程系 丁灿辉
一、基本概念
1、纯弯曲与横力弯曲 平面弯曲时，某梁段各横截面上只有弯矩而没有 剪力，这种弯曲称为纯弯曲。如果既有弯矩又有剪 力则称为横力弯曲。 2、中性层与中性轴 假设梁是由无数层纵向纤维组成的，且各层纤维 互不挤压。发生纯弯曲时，上部各层纤维缩短，下 部各层纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长也不 缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中 性轴。中性轴将横截面分为受压区和受拉区。
提高梁弯曲强度的措施
一、概念
梁：以弯曲变形为主要变形形式的杆件。
一、概念
强度：构件抵抗塑性变形或破坏的能力。
一、概念
强度：构件抵抗塑性变形或破坏的能力。
40人死亡，14人受伤，直 接经济损失631万元。
一、概念
强度条件
σmax
Mmax Wz
≤ [σ]
τmax
Fs,maxS*z,max Izb
二、提高梁弯曲强度的措施
抗弯截面系数
Wz ymIzax
Iz A y2dA
C
z
ymax
y z
dA
y
二、提高梁弯曲强度的措施
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排梁上载荷 （2）合理安排梁的支座
2、选择合理的梁的截面形状
二、提高梁弯曲强度的措施 工程实例
二、提高梁弯曲强度的措施 工程实例
(a(aF/2
F
A
A
A
l/4 l/l4/4 ll//44
F
BB
ll/4/4 Bl/4
A l/6
M
M
M
l/4 l/4 l/4 l/4
Fl
Fl 8
8
Fl 8
M 5
x3
(b)
x
x
(b) (b)
二、提高梁弯曲强度的措施
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排梁上载荷 （2）合理安排梁的支座
≤ [τ]
二、提高梁弯曲强度的措施
1、合理安排梁的受力
二、提高梁弯曲强度的措施
AA AA
MM MM
FF FF
l/l2/2 l/2l/2
l/l2/2 l/2l/2 F4Fl l FlF4l 44
工程力学5
B
l Fl
| M |max Fl 1.2 F N m
查附录型钢表3，
x
4 3
Wz 185cm 1.85 10 m
3
M
由： 得： 故：
M max Wz
1.2F (1.85 104 ) (170 106 )
[ F ]max
185 170 26.2kN 1.2
* N2 * N1
* * 得 dFS＝FN F 2 N1
其中 dFS＝ bdx
* FN 2 dA Ay
* FN 1
M dM y1dA Ay Iz M dM y1dA Ay Iz
Ay
* FN 2
M dM Sz Iz
M F Sz Iz
* N1
dFS
p
（4）由于y、z轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横 截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如 y轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。 （5）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述
公式时，都带有一定的近似性。
例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴
§5-2
横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 梁的合理截面
q
一.横力弯曲时梁的正应力及其强度条件
q b
M ( x)
z h
l
y
b
Fs ( x)
由于τ的存在，横截面发生翘曲（§5-3）。平面假设不成立， 且还有沿y的挤压正应力。 由弹性力学结果表明，当l/h≥5时，用（5-2）式计算跨中截面的 最大正应力，其误差≤1.07%。所以工程中仍用纯弯曲时的正应 力公式，计算横力弯曲时的正应力。但要注意，横力弯曲时， 弯矩是x的函数，所以
建筑力学与结构5
f y max f l l l
上式就是梁的刚度条件。 【例6-11】
子情境四 单跨静定梁的刚度计算
•四、提高梁刚度的措施
1）提高梁的抗弯刚度EIZ 2）减改善荷载的分布情况 3）改善荷载的分布情况
想一想
1、P76页，习题6-7
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
•三、轴绘制内力图的第三种方法——叠加法和区段叠加法
（二）叠加法绘制弯矩图
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
•三、轴绘制内力图的第三种方法——叠加法和区段叠加法
（二）叠加法绘制弯矩图
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
•三、轴绘制内力图的第三种方法——叠加法和区段叠加法
（二）剪力图和弯矩图 【6-5】
从剪力图和弯矩图中可得结论： 在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩 图为斜直线。在集中力作用处，左右 截面上的剪力图发生突变，其突变值 等于该集中力的大小，突变方向与该 集中力的方向一致；而弯矩图出现转 折，即出现尖点，尖点方向与该集中 力方向一致。
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
（二）单跨静定梁的类型 1）悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端
子情境一 单跨静定梁弯曲时的内力计算
• 一、平面弯曲
（二）单跨静定梁的类型 2）简支梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座
子情境一 单跨静定梁弯曲时的内力计算
• 一、平面弯曲
（二）单跨静定梁的类型 3）外伸梁：梁的一端或两端伸出支座的简支梁
•二、轴绘制内力图的第二种方法——微分关系法
想一想
1、P75页，习题6-2（a）、（b）。
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
第14章 梁的弯曲强度
点受集中力P作用，画出此梁的 A
剪力图和弯矩图。
B
解题步骤： （1）求支座反力。
RA
x1 x2
RB
（2）列剪力方程和弯矩方程。
（3）按方程分段绘图。
（4）讨论。
例题2： 一简支梁受集中力偶m作用，试绘此梁的剪力图和弯矩图。
解题步骤：
RA
a
b
（1）求支座反力。 （面WZ不同。工字形截面最合
z
理，圆形截面最差。所以钢结
b
构中的抗弯杆件，常用工字形、
h b
P z
h
矩形截面。
截面形状
截面面积
抗弯截面模量
圆 形 矩 形 工字钢
61.05 61.05 61.05
67 124 534.3
1.097 2.031 8.752
3、截面形状与材料性能相适应 经济的截面形状应该使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到 材料的许用应力。抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用对称于中性 轴的截面形状，如空心圆形、工字形等；对抗压强度大于抗拉强度的脆 性材料，应采用中性轴靠近受拉一边的截面形状。
左
Ｑ Ｑ′
右
n
ΣP
(-)
(b)
1
P1 P2
2
左 C右
1
左
2
C 右
P1
P2
Σ 0(P) M M ′ Σ 0(P)
左
右
左 Σ 0(P) M
右 M ′ Σ 0(P)
(+)
(-)
(a)
(b)
例题：外伸梁的载荷均已 知，试“根据外力直接写出 力”求图中各指定截面上的 剪力和弯矩。
q1
1
a
RA
混凝土梁的弯曲强度标准
混凝土梁的弯曲强度标准一、引言混凝土梁是建筑结构中常用的构件之一，其承担着承重、支撑等多种功能。
在使用过程中，混凝土梁的弯曲强度是一个至关重要的指标。
因此，制定混凝土梁的弯曲强度标准对于确保建筑结构的安全和可靠是非常重要的。
二、弯曲强度的定义弯曲强度是指混凝土梁在受到弯曲作用时所能承受的最大应力。
一般用弯矩和截面惯性矩的比值来表示，即：f_b = M / I其中，f_b为弯曲应力，M为弯矩，I为截面惯性矩。
三、影响弯曲强度的因素1.混凝土的强度：混凝土的强度越高，其弯曲强度也相应提高。
2.钢筋的配筋率：钢筋的配筋率越高，混凝土梁的弯曲强度也相应提高。
3.截面形状：不同形状的截面对混凝土梁的弯曲强度有不同的影响。
4.荷载的大小和作用方式：不同大小和作用方式的荷载对混凝土梁的弯曲强度有不同的影响。
5.梁跨度：梁跨度越大，混凝土梁的弯曲强度越低。
四、弯曲强度标准为了确保混凝土梁的安全可靠，制定弯曲强度标准是非常必要的。
以下是常见的两种弯曲强度标准：1.中国建筑标准设计规范《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2010)该标准规定了不同等级混凝土梁的弯曲强度等级，如下表所示：等级 | f_b(MPa)---|---C15 | 2.5C20 | 2.8C25 | 3.1C30 | 3.4C35 | 3.7C40 | 4.0C45 | 4.2C50 | 4.4C55 | 4.6C60 | 4.82.美国混凝土协会《建筑规范》(ACI 318-14)该标准将混凝土梁的弯曲强度按等级划分为A、B、C、D四个等级，如下表所示：等级 | f_b(MPa)---|---A | 7.5B | 10C | 12.5D | 15五、弯曲强度的检验方法为了检验混凝土梁的弯曲强度是否符合标准要求，需要进行相应的测试。
常见的测试方法有以下两种：1.三点弯曲试验该试验方法是将混凝土梁放置在两个支点上，施加作用于中央的负载，测量混凝土梁在受力时的弯曲程度，从而计算出其弯曲强度。
第十章：弯曲强度和刚度
例9.10 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知 F=15kN，a=0.8m，[s]=10MPa。设计截面尺寸。
解：1. 求支反力：
F A =FB=3F 2. 作FS、M图。 M max =Fa=12 kN.m 3. 注意h/b=3/2，则： Wz =bh2 /6=3b 3 /8 4. 强度条件： 3 3 max 1210 3b M = Wz = 8 [s ] 1010 6 解得：b0.147m150mm
2) 抗弯截面模量W z 查表9-1有： Wz =H2 [B-b(h/H)3 ]/6 =1.227 10 -4 m 3 3）强度校核:
B
H
x FS图 qL x M图 qL2/2
Mmax 14.4 10 3 s max = = - 4 = 117MPa<[s]=120Mpa 强度足够。 21 Wz 1.22710
pd
4
d
o
17
64
y
smax压
结论： s=My/Iz
M
x
smax拉
中性轴上，s=0，截面上、下缘，
s =s max 。
18
9.3 平面弯曲的最大正应力及强度条件
y
My 弯曲正应力公式： s = Iz
按绝对值计算应力s 的大小，依 据弯曲后的拉压情况判断正负。
M
smax压
M
x
smax拉
适用范围：
F a 2F F Fa Fa
2F
2F a
F
a FB F x
a
FA
a
a
FS
Fa
x
2F
M
x Fa
22
讨论一： M max =Fa=12 kN.m，[s]=10MPa，
弯曲正应力、切应力与强度条件
M
C
拉
Z
C
Z
中性轴
拉
y
中性轴
y
压
中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
M yAz(
d)A E
Az
y dA
E
I
yz
0
Iyz0
因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。 该式自动满足
中性轴是横截面的形心主惯性轴
M ZAy(
d)A E
A
y2 dA
E
Iz
M
1M
EI z
基本假设2: 纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
公式推导
d
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。
由平面假设可知，在梁弯曲时，
这两个横截面将相对地旋转一个
角度 d 。
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
m M
FS m
m
m
M
FS
m
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
一，纯弯曲梁横截面上的正应力
RA
P
P RB
C a
P
+
D a
+
P
+
Pa
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。 几何 物理 静力学
2 假想地从梁段上截出体积元素 mB1
m'
m z
材料力学 第10章 弯曲应力及强度
a
Φ14
30 工件
Fa x
10.4 弯曲强度条件
例10-5 梁的载荷及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应力
[t]=40MPa、容许压应力[c] =100MPa，试校核该梁的强度。
q=10kN/m
F=20kN
AB 2m
CD 3m 1m
q=10kN/m
A
B
FB M
F=20kN
C
D
FD
10kN.m
x
157.5 200 30
10.3 横力弯曲时梁的切应力
三、其它形状截面
T型截面
圆形截面
环形截面
max
z
max
FSS
* z,m
ax
I zb1
z
max
z
max
max
4 3
FS A
max
2
FS A
10.3 横力弯曲时梁的切应力
21 560
例10-2 56a号工字钢制成的简支梁如图所示，F=150kN，求最大 切应力及最大切应力所在截面上K点处的切应力。
ad bc
a
d
b
c
σσ
M
ττ
10.2 纯弯曲时梁的正应力
3. 变形几何关系
o1o2 dx ρdθ
k1k2 (ρ y)dθ Δl=k1k2 k1k2 ( ρ y)dθ ρdθ ydθ
dx 中性层
y o1
o2
k1
k2
dx 变形前
o
d
o1
o2
k1
k 2
变形后
10.2 纯弯曲时梁的正应力
第10章 弯曲应力及弯曲强度
10.1 引言 10.2 纯弯曲时梁的正应力 10.3 横力弯曲时梁的切应力 10.4 弯曲强度条件 10.5 提高梁弯曲强度的措施
第13讲第7章-直梁的弯曲-
主要内容:
1.直梁平面弯曲的概念 2.梁的类型及计算简图 3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.梁纯弯曲时的强度条件 5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁纯弯曲源自的强度条件1.梁纯弯曲的概念
剪力弯曲 平面弯曲
纯弯曲
剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0
剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0
在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反 向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩 而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲 为纯弯曲 。
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
1）变形特点 :
横向线仍为直线，只是 相对变形前转过了一个 角度，但仍与纵向线正 交。纵向线弯曲成弧线， 且靠近凹边的线缩短了， 靠近凸边的线伸长了， 而位于中间的一条纵向 线既不缩短，也不伸长。
平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂 直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。
由平面假设可知，纯弯 曲时梁横截面上只有正 应力而无切应力。由于 梁横截面保持平面，所 以沿横截面高度方向纵 向纤维从缩短到伸长是 线性变化的，因此横截 面上的正应力沿横截面 高度方向也是线性分布 的。以中性轴为界，凹 边是压应力，使梁缩短， 凸边是拉应力，使梁伸 长，横截面上同一高度 各点的正应力相等，距 中性轴最远点有最大拉 应力和最大压应力，中 性轴上各点正应力为零。
弯矩图的规律
1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图 为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转 折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突 变量为集中力偶的大小。
2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物 线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向 一致。
3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点 处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶的大小。
混凝土梁的弯曲强度标准
混凝土梁的弯曲强度标准一、引言二、混凝土梁的弯曲强度概述1.梁的定义和分类2.梁的受力形式3.弯曲强度的定义和计算方法三、混凝土梁的弯曲强度标准1.国家标准a)GB 50010-2010《混凝土结构设计规范》b)GB/T 50081-2002《混凝土结构用钢筋》c)GB/T 50428-2007《混凝土构件工程验收规范》2.行业标准a)JGJ 94-2008《建筑结构混凝土配合比设计标准》b)JGJ/T 152-2008《钢筋混凝土结构设计规范》c)JG/T 163-2013《混凝土结构预应力设计规范》四、混凝土梁弯曲强度标准的应用1.建筑设计2.工程施工3.工程验收五、混凝土梁弯曲强度标准的发展趋势六、结论引言：混凝土结构是目前建筑领域中使用最为广泛的一种结构形式，而混凝土梁作为其中的重要构件，其弯曲强度是评估其受力性能的重要指标之一。
因此，混凝土梁的弯曲强度标准具有重要的意义。
本文将对混凝土梁的弯曲强度标准进行详细介绍。
混凝土梁的弯曲强度概述：1.梁的定义和分类梁是一种纵向跨越的构件，其主要作用是将上方荷载传递到下方支座上，使其不断沿着梁轴线传递。
根据梁的截面形状和受力形式，梁可以分为矩形梁、T形梁、圆形梁、箱形梁、梯形梁等多种类型。
2.梁的受力形式混凝土梁在受到外部荷载作用后，会出现弯曲变形，使得梁上部受压，下部受拉。
此外，梁还会受到剪力和弯矩的作用，其中剪力主要是由于荷载沿着梁轴方向的不平衡分布引起的，而弯矩则是由于荷载作用点距离梁中心线不同而引起的。
3.弯曲强度的定义和计算方法弯曲强度是指混凝土梁在受到弯矩作用时所能承受的最大弯曲应力，其计算方法主要采用弹性理论和塑性理论。
其中弹性理论计算方法适用于弯曲应力在混凝土梁截面内分布均匀的情况，而塑性理论计算方法则适用于弯曲应力分布不均匀的情况。
混凝土梁的弯曲强度标准：1.国家标准a)GB 50010-2010《混凝土结构设计规范》该标准是中国建筑标准化协会发布的混凝土结构设计规范，其中包含了混凝土梁的设计要求和验收标准。
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
弯曲应力和强度.
第六章 弯曲应力和强度1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时，0≠=Q dxdM。
，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。
横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。
这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
（2）物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。
当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为y EE ρεσ==该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上ρE为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。
中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。
（3）静力关系截面上的最大正应力为zI My maxmax =σ 如引入符号m axy I W zz =则截面上最大弯曲正应力可以表达为zW M=max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。
它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]3长度。
矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：621223maxbh h bh y I W zz ===直径为d 的圆截面：3226433maxd d d y I W z z ∏=∏==至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如T 形截面。
这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：zt I My 1)(=σ 最大压应力为：ze I My 2)(=σ 2、横力弯曲时的正应力zI My=σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
梁弯曲正应力强度条件应用
7-15b所示的简支梁。 电葫芦移动到
梁跨长的中点时，梁中点截面处产生
最大弯矩，作出大梁的弯矩图，如图
c所示。梁中点为危险截面，其最大弯
矩为
由梁的弯曲强度条件
得
查热轧工字钢型钢表中的32b工字钢，
其Wz=726.33cm3=7.26×105mm3,代入上式得
梁能够承受的最大起吊重量为40.2kN。
例6-9、见P95
练习：一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l＝4m，b＝140mm，h＝210mm，q＝2kN/m，弯曲时木材的许用正应力[σ]＝10Mpa，试校核该梁的强度。
解：作梁的弯矩图，梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为
梁的弯曲截面Βιβλιοθήκη 数为最大正应力为所以满足强度要求。
教 师 备 课 教 案 首 页
课时授课计划编号：26
授课日期
授课时数
授课班级
12道桥8
12道桥9
12道桥10
12道桥11
2
课 题：梁弯曲正应力强度条件
教学目的：梁弯曲正应力强度条件
教学重点：正应力强度条件
教学难点：应用
课堂类型与教学方法：理论教学、讲授法
教具挂图：三角板、多媒体
教学过程：如下
教研室主任签字：年 月 日任课教师：冯春盛
1、设计截面
2、确定许可荷载
【作业布置】
P1236-14、6-16
2、切应力强度条件
二、梁的弯曲强度计算
（1）强度校核，即已知 检验梁是否安全；
（2）设计截面，即已知 可由 确定
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 可由 确定。
例：图7-15a所示桥式起重机的大梁由32b工字钢制成，跨长L=10m，材料的许用应力[б]=140MPa，电葫芦自重G=0.5 kN,梁的自重不计，求梁能够承受的最大起吊重量F。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五节梁弯曲时的强度条件梁截面上的弯矩M是随截面位置而变化的。
因此，在进行梁的强度计算时，应使在危险截面上，即最大弯矩截面上的最大正应力不超过材料的弯曲许用应力［σ］，即梁的弯曲强度条件为:(1-29) 应用强度条件，同样可以解决强度校核、设计截面和确定许可载荷等三类问题。
下面例题说明了它在解决强度校核方面的应用。
本节另外附有例1-17，1-18和1-19三道例题来加强读者对此部分地掌握。
有兴趣的可以点击作进一步的学习。
例1-16．图a所示容器，借助四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。
容器包括物料重110k N，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[σ]=120MP a，试校核工字钢的强度。
解析：将每根钢梁简化为简支梁，如图a，通过耳座加给每根钢梁的力为k N。
简支梁在集中力的作用下，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，P力在梁的中间L/2处，最大弯矩值为：由型钢表查得16号工字钢的，故钢梁的最大正应力为：MP a＜120MP a故此梁安全。
第二十章弯曲的强度计算第一节概述如图20-1所示的车轴，图20-2所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑中的梁等。
受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用时，杆将发生弯曲变形。
我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴[图20-3（a）]，全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。
在这种情形下梁的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线[图20-3（b）]，这种弯曲属于平面弯曲。
本章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。
第二节静定梁的基本形式梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。
本章只讨论以下几种最基本的梁。
一、简支梁图20-4（a）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力P垂直于轴线，在P力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。
一般情况下，凸轮轴两端滑动轴承可近似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。
通常轴本身用轴线表示。
其计算简图如图20-4（b）所示。
这种一端为固定铰支座、另一端为活动铰支座的梁，称为简支梁。
二、悬臂梁图20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。
空车时悬臂除受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。
由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图20-5（b）所示的计算简图。
这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。
三、外伸梁某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮[图20-6（a）]，作用于齿轮的Pq力除轴向力P a外，还有径向力P r和圆周力P（图中P r和P未画出），如果单独研究P a对轴的作用，可将P a平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的P a和一力矩M o=P a r，轴向力P a 使轴产生压缩变形（这里暂不考虑），而力偶M o将使轴产生弯曲变形。
因为力P a向左，轴必向左移动。
现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为固定铰支座。
此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。
于是得到如图20-6（b）所示的计算简图。
这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。
上述简支梁、悬臂梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未知反力，因此，又统称为静定梁。
有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支座，因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反力。
这种梁称为超静定梁。
本章将仅限于研究静定梁。
梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力）。
分布载荷即为作用线垂直于梁轴线的线分布力，常以载荷集度q表示。
其常用单位为N/m或kN/m。
第三节平面弯曲时梁横截面上的内力一、内力为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。
这个问题可以利用截面法解决。
如图20-7（a）所示的简支梁，承受集中力P1、P2、P3作用。
先利用平衡方程求出其支座反力Y A、Y B。
现在用截面法计算距A为x处的横截面C上的内力，将梁在C截面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段[图20-7（b）]，研究其平衡。
在左段梁上作用着外力Y A和P1，在C截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。
现将左段梁上所有外力向C截面形心O简化，得主矢量Qˊ和主矩Mˊ[图20-7（b）中虚线所示]。
由此可知，为了维持AC段梁的平衡，C截面上必然存在着两个内力分量：与主矢量Qˊ平衡的内力Q和与主矩Mˊ平衡的内力偶矩M。
称内力Q为剪力，内力偶矩M 为弯矩。
由左段梁的平衡条件可得X截面的剪力和弯矩，即式为向C截面形心O取矩。
同理，如以右段为研究对象[图20-7（c）]，并根据CB段梁的平衡条件计算C截面的内力，将得到与式（a）、（b）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。
这一结果是必然的，因为它们是作用力与反作用力的关系。
二、应力剪力和弯矩是由分布在横截面上的应力构成的。
虽然我们还不知道应力在横截面上的分布规律，但可将它们分解成正应力σ和剪应力τ。
由图20-8（b）可看出，剪力Q是由剪应力τ组成的。
而弯矩M的出现可以这样来说明：图20-8（a）的梁在P力作用下将向下弯，这时横截面的下部区域作用着拉应力，上部区域作用着压应力，它们分别合成为拉力N2和压力N1，而N1和N2大小相等，平行反向，从而构成一力偶，这就是弯矩M。
下面介绍剪力和弯矩的符号规定。
与拉、压、扭转类似，弯曲时也是根据变形来确定它们的内力符号。
自梁内取出dx小段，其错动趋势如图20-9（a）所示，即“左上右下”时剪力为正，反之为负[图20-9（b）]。
至于弯矩的符号，则为当dx小段弯成下凸时弯矩为正[图20-9（c）]，反之为负[图20-9（d）]。
按上述符号规定，计算某截面内力时，无论保留左侧或右侧，所得结果的数值与符号都是一样的。
例20-1 图20-10（a）所示简支梁AB，试计算C、B截面上的内力（B截面是指无限接近于B截面并位于其左侧的截面）。
解首先计算其约束反力，设其方向如图20-10(a)所示。
由平衡方程得：这里Y A为负，说明它的方向设反了。
下面计算C截面的内力。
假想将梁在C截面截开，如果保留左段，可先设剪力Q C与弯矩M C皆为正，它们的方向必然如图20-10（b）所示。
在图20-10（b）中将Y A的正确方向画出，这时，由平衡方程得：弯矩M C得正号，说明原先假定正弯矩的转向是对的，同时又表示该截面的弯矩是正弯矩。
而剪力Q C得负号，说明剪力的方向设反了，实际上为负剪力。
最后再计算B截面的内力。
将梁假想在B截面截开，并选右段为研究对象，设Q B与M B皆为正，由平衡方程得通过上面的讨论可总结出用截面法求剪力和弯矩的法则如下：欲求某截面的剪力Q和弯矩M，先自该截面切开，保留一段（左段或右段），在截面上对照图20-9（a）和图20-9（c）设出正剪力Q和正弯矩M。
然后用求剪力Q；用求弯矩M，在写力矩平衡方程时一般以该截面的形心作为力矩中心。
最后求出的剪力如得正号表明该截面的剪力是正剪力，如得负号则表明是负剪力。
对于弯矩正负也同样判断。
第四节剪力图和弯矩图前节讨论了梁上任一截面的剪力和弯矩。
在梁上取不同的截面，其剪力和弯矩一般说是不同的。
为了进行强度计算和变形计算，必须知道沿梁轴线剪力和弯矩的变化规律，最大剪力和最大弯矩的数值及其所在截面。
用图形来表示剪力和弯矩沿梁轴的变化最为方便，这种图形叫剪力图和弯矩图。
下面用例题说明这一问题。
例20-2 切刀在切割棒料时，若刀刃上的切割力在垂直方向的分力为P[图20-11（a）]，切刀的伸出长度为l，试作切刀伸出部分的剪力图和弯矩图。
解首先将刀杆简化为一个受集中力P作用的悬臂梁[图20-11（b）]。
以自由端为坐标原点，在建立梁的剪力和弯矩方程时，取距原点为x的任意截面[图20-11（b）]，并研究截面左边的一段梁。
由于其上的外力为已知，故无需先求支座反力。
按前述方法，可得到该截面上的剪力和弯矩分别为：由于梁上除P力外，再没有其它的载荷，因而这两个方程式（a）、（b）对于全梁的各横截面，即在0≤x≤l的范围内均适用。
由式（a）知，剪力Q是一常数，所以剪力图是一平行于x轴的直线[图20-11（c）]；由式（b）知，弯矩M是x的一次函数，所以弯矩图是一直线，只需确定其上两点的数值，例如处，；处，。
选定适当的比例，即可绘出弯矩图[20-11（d）]。
剪力图、弯矩图表明，在固定端处左侧横截面上的弯矩值最大，，这里的负号实质上仅表示梁的变形现象，而无一般的代数符号的含义。
至于剪力，则在各截面上均相同。
综上所述，绘制梁的剪力图和弯矩图的步骤是：画计算简图；求支座反力；列剪力方程和弯矩方程；根据剪力和弯矩方程的特性，计算必要的几个截面上的剪力和弯矩值，按适当的比例分别描点作出Q图、M图，并标出最大弯矩和剪力的数值及其所在截面位置。
例20-3 图20-12（a）所示为一钢板校平机的示意图。
其轧辊可简化为一简支梁，工作时所受压力可近似地简化为作用于全梁的均布载荷q[图20-12（b）]，试作梁的剪力图和弯矩图。
解对于简支梁，必须首先计算支反力，这是因为在计算横截面的剪力和弯矩时，不论取截面哪一边的梁，其上的外力均包括有一个支反力。
在本例中，梁AB在均布载荷q的作用下，其合力是ql，由梁和载荷的对称关系可知：任取距左端A为x处的横截面，当0≤x≤l时，在此截面左边梁上均布载荷的合力为qx。
它对于此截面形心的力臂为[图20-12（c）]。
则由此可列出梁的剪力和弯矩方程：(a)(b)由式（a）知剪力图为一斜直线，确定两点：处，；处，，即可绘出剪力图[图20-12（d）]。
Q图在梁跨中点经过横坐标轴，在此截面Q值为零。
由式（b）知，M是x的二次函数，因此弯矩图为一抛物线，至少应由三点（包括顶点）来确定。
梁端处（即及时）的弯矩均为零，由于载荷对称，抛物线顶点必在跨度中点，此时以代入式（b）即得，由以上三点的坐标即可绘出弯矩图[图20-12（e）]。
有时不能凭观察判断出抛物线顶点的位置，可将弯矩方程式对x取一次导数并令其等于零，即可求解抛物线顶点的横坐标x。
例20-4 装有直齿圆锥齿轮的传动轴[图20-13（a）]，可简化为简支梁[图20-13（b）]。
当仅考虑齿轮上的轴向力P a对轴的力偶矩时，试作轴的剪力图和弯矩图。
解先由平衡方程和分别算得支反力为：因整个梁的载荷仅为一力偶，故全梁只有一个剪力方程。