梁弯曲时的强度条件

第五节梁弯曲时的强度条件

梁截面上的弯矩M是随截面位置而变化的。因此，在进行梁的强度计算时，应使在危险截面上，即最大弯矩截面上的最大正应力不超过材料的弯曲许用应力

［σ］，即梁的弯曲强度条件为:(1-29) 应用强度条件，同样可以解决强度校核、设计截面和确定许可载荷等三类问题。下面例题说明了它在解决强度校核方面的应用。本节另外附有例1-17，1-18和1-19三道例题来加强读者对此部分地掌握。有兴趣的可以点击作进一步的学习。

例1-16．图a所示容器，借助四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110k N，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[σ]=120MP a，试校核工字钢的强度。

解析：将每根钢梁简化为简支梁，如图a，通过耳座加给每根钢梁的力为

k N。

简支梁在集中力的作用下，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，P力在梁的中间L/2处，最大弯矩值为：

由型钢表查得16号工字钢的，故钢梁的最大正应力为：

MP a＜120MP a

故此梁安全。

第二十章弯曲的强度计算

第一节概述

如图20-1所示的车轴，图20-2所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。

一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用时，杆将发生弯曲变形。我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴[图20-3（a）]，全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。在这种情形下梁的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线[图20-3（b）]，这种弯曲属于平面弯曲。本章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。

第二节静定梁的基本形式

梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。本章只讨论以下几种最基本的梁。

一、简支梁

图20-4（a）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力P垂直于轴线，在P力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。一般情况下，凸轮轴两端滑动轴承可近似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。通常轴本身用轴线表示。其计算简图如图20-4（b）所示。这种一端为固定铰支座、另一端为活动铰支座的梁，称为简支梁。

二、悬臂梁

图20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图20-5（b）所示的计算简图。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。

三、外伸梁

某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮[图20-6（a）]，作用于齿轮的

P

q

力除轴向力P a外，还有径向力P r和圆周力P（图中P r和P未画出），如果单独研究P a对轴的作用，可将P a平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的P a和一力矩M o=P a r，轴向力P a 使轴产生压缩变形（这里暂不考虑），而力偶M o将使轴产生弯曲变形。因为力P a向左，轴必向左移动。现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为固定铰支座。此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。于是得到

如图20-6（b）所示的计算简图。这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。

上述简支梁、悬臂梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未知反力，因此，又统称为静定梁。有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支座，因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反力。这种梁称为超静定梁。本章将仅限于研究静定梁。

梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力）。分布载荷即为作用线垂直于梁轴

线的线分布力，常以载荷集度q表示。其常用单位为N/m或kN/m。

第三节平面弯曲时梁横截面上的内力

一、内力

为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。这个问题可以利用截面法解决。

如图20-7（a）所示的简支梁，承受集中力P1、P2、P3作用。先利用平衡方程求出其支座反力Y A、Y B。现在用截面法计算距A为x处的横截面C上的内力，将梁在C截面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段[图20-7（b）]，研究其平衡。在左段梁上作用着外力Y A和P1，在C截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。

现将左段梁上所有外力向C截面形心O简化，得主矢量Qˊ和主矩Mˊ[图20-7（b）中虚线所示]。由此可知，为了维持AC段梁的平衡，C截面上必然存在着两个内力分量：与主矢量Qˊ平衡的内力Q和与主矩Mˊ平衡的内力偶矩M。称内力Q为剪力，内力偶矩M 为弯矩。

由左段梁的平衡条件可得X截面的剪力和弯矩，即

式为向C截面形心O取矩。

同理，如以右段为研究对象[图20-7（c）]，并根据CB段梁的平衡条件计算C截面的内力，将得到与式（a）、（b）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。这一结果是必然的，因为它们是作用力与反作用力的关系。

二、应力

剪力和弯矩是由分布在横截面上的应力构成的。虽然我们还不知道应力在横截面上的分布规律，但可将它们分解成正应力σ和剪应力τ。由图20-8（b）可看出，剪力Q是由剪应力τ组成的。而弯矩M的出现可以这样来说明：图20-8（a）的梁在P力作用下将向下弯，这时横截面的下部区域作用着拉应力，上部区域作用着压应力，它们分别合成为拉力N2和压力N1，而N1和N2大小相等，平行反向，从而构成一力偶，这就是弯矩M。

下面介绍剪力和弯矩的符号规定。与拉、压、扭转类似，弯曲时也是根据变形来确定它们的内力符号。自梁内取出dx小段，其错动趋势如图20-9（a）所示，即“左上右下”时剪力为正，反之为负[图20-9（b）]。至于弯矩的符号，则为当dx小段弯成下凸时弯矩为正[图20-9（c）]，反之为负[图20-9（d）]。按上述符号规定，计算某截面内力时，无论保留左侧或右侧，所得结果的数值与符号都是一样的。

例20-1 图20-10（a）所示简支梁AB，试计算C、B截面上的内力（B截面是指无限接近于B截面并位于其左侧的截面）。

解首先计算其约束反力，设其方向如图20-10(a)所示。由平衡方程得：