2-1 应力状态分析
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2应力应变分析
JJ J
1 2
应该是单值的，不随坐标
3
而变，因此把
JJ J
1 2
3
分别称为应力张量的
第一、第二和第三不变量，存在不变量也是张
量的特性之一。
15
例题
• 设某点的应力状态如图所示，试求其主应力（应力 单位：牛顿/平方毫米）
16
• 解：
x
yx
zx
2; 3;
4;
ij
xy y
2
2
2
2
xy
yz
zx
x
yz
y
xz
z
xy
2
2
2
18
• 将应力张量不变量带入应力状态特征方程中得:
J 1 J 2 J 3 0
3 3 2
•
9;
1
15 60 54 0
2
9 6 6 0
2 2
3 3;
ζ
ζ η ζ
ζ 主剪切应力平面
21
• 一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面 垂直并与另两个主平面成45度，而且每对正交主剪平面 上的主剪应力都相等。如下图所示：
22
三个主剪应力为： τ σ σ 2 23 2 3
τ 31 σ 3 σ1 2
τ12 σ1 σ 2 2
张量的特性：一个对称张量有三个相互垂直的方向， 叫做主方向，在主方向上，下标不同的分量均为零， 只剩下下标相同的分量，叫做主值。
在应力张量中，主值就是主方向上的三个正应力， 叫做主应力；与三个主方向垂直的微分面叫主平面， 主平面上没有剪应力。也就是说τ=0。
二向应力状态分析--解析法和图解法-PPT
d d
( x y )cos2 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x
2τ xy
y
tan
21＝
x
2τ xy
y
得到α 的极值
x
y
2
sin21
xycos21
max
min
(x
y
2
)2
2 xy
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
x
y
)2
2
xy
2
排序??
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2 面内最大切应力
y xy
x
x 60MPa， xy 30MPa,
y 40MPa,
max
(
x
y
)2
2
xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入 表达式可知
x 60MPa， y 40MPa,
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面 都是主平面
要求 一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
应力状态分析2图解法
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20
A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故 作B1D′的垂直平分线，交 轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
8
[例2] 图示单元体，试用图解法确定主应力以及主平面位置。 解： 画应力圆
y yx
xy x
按选定比例尺，由 x = 80 MPa、xy = - 60 MPa 确定 D 点，由 y = - 40 MPa、yx = 60 MPa 确定 D′点；连接 DD′，交 轴
于点 C ；以点 C 为圆心、CD 为半径作出应力圆。
作出应力圆。
11
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1
20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa
延长 D′C 连线交圆周于 D ，即得 x 截面上的正应力
OF
EF
要点： 点面对应、基准一致、转向相同、倍角关系
2
D x , xy
2 0
0
D y , yx
三、由图解法（应力圆）确定主平面与主应力
Байду номын сангаас主应力
1 OA1
2 OB1
根据点面对应、基准一致、转向相同、倍角关系的原则即可确定 主平面的方位
第二章压力容器应力分析
《过程设备设计基础》教案2—压力容器应力分析课程名称：过程设备设计基础专业：过程装备与控制工程任课教师：第2章 压力容器应力分析§2-1 回转薄壳应力分析一、回转薄壳的概念薄壳：（t/R ）≤0.1 R----中间面曲率半径 薄壁圆筒：（D 0/D i ）max ≤1.1~1.2 二、薄壁圆筒的应力图2-1、图2-2 材料力学的“截面法”三、回转薄壳的无力矩理论1、回转薄壳的几何要素（1）回转曲面、回转壳体、中间面、壳体厚度 * 对于薄壳，可用中间面表示壳体的几何特性。
tpD td pR tpD Dt D p i 22sin 24422====⨯⎰θπθϕϕσσαασπσπ（2）母线、经线、法线、纬线、平行圆（3）第一曲率半径R1、第二曲率半径R2、平行圆半径r（4）周向坐标和经向坐标2、无力矩理论和有力矩理论（1）轴对称问题轴对称几何形状----回转壳体载荷----气压或液压应力和变形----对称于回转轴（2）无力矩理论和有力矩理论a、外力（载荷）----主要指沿壳体表面连续分布的、垂直于壳体表面的压力，如气压、液压等。
P Z= P Z（φ）b、内力薄膜内力----Nφ、Nθ（沿壳体厚度均匀分布）弯曲内力---- Qφ、Mφ、Mθ（沿壳体厚度非均匀分布）c、无力矩理论和有力矩理论有力矩理论（弯曲理论）----考虑上述全部内力无力矩理论（薄膜理论）----略去弯曲内力，只考虑薄膜内力●在壳体很薄，形状和载荷连续的情况下，弯曲应力和薄膜应力相比很小，可以忽略，即可采用无力矩理论。
●无力矩理论是一种近似理论，采用无力矩理论可是壳地应力分析大为简化，薄壁容器的应力分析和计算均以无力矩理论为基础。
在无力矩状态下，应力沿厚度均匀分布，壳体材料强度可以得到合理的利用，是最理想的应力状态。
（3）无力矩理论的基本方程a、无力矩理论的基本假设小位移假设----壳体受载后，壳体中各点的位移远小于壁厚。
考虑变形后的平衡状态时壳用变形前的尺寸代替变形后的尺寸直法线假设----变形前垂直于中面的直线变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面。
二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
第1章应力分析及应力平衡微分方程
，可以把σij（Stress tensor ）分解成与体积变化有关 的量和形状变化有关的量。前者称为应力球张量
(Spherical stress tensor) ，后者称为应力偏张量
(Deviatoric stress tensor) 。设σm为平均应力，则有
m
1 3
(
x
y
z)
按照应力叠加原理，σij具有可分解性。因此有
整理后可得S：zdA xzdAx yzdAy zdAz
求和约定： 全应力：
Sx xl yxm zxn S y xyl ym zyn Sz xzl yzm zn
S j ijli
S2
S
2 x
Sy2
Sz2
很重要！ （１－１）
（１－２）
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1.1.２ 点的应力状态
由于微元体处于静力平衡状态，所以，绕其各轴 的合力矩为零，因此可以得到
xy= yx, yz= zy zx= xz 称为剪应变互等定律
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1.1.２ 点的应力状态
一，一点的应力状态：是指通过变形体内某点的 单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等 情况。
一点的应力状态的描述
（１） 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa （２） 图示表达：在单元体的三个正交面上标
第1章 应力分析
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第 1 章 应力分析
1.1 点的应力状态 1.2特殊应力状态 1.3应力平衡微分方程
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1.1 点的应力状态
1.1 .1应力 1.1.2 点的应力状态 1.1.3主应力及应力张量不变量 1.1.4主切应力和最大切应力 1.1.5应力偏张量和应力球张量 1.1.6八面体应力和等效应力 1.1.7应力莫尔圆
2-第二章_各向异性材料的应力-应变关系【2024版】
S1132 S2232 S3332 S2332 S3132 S1232 S3232 S1332 S2132
S1113 S2213 S3313 S2313 S3113 S1213 S3213 S1313 S2113
S1121
S
2221
S3321 S2321
S3121
S1221
S3221
S1321
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
(2.17) (2.18)
显然，单对称材料的式(2.18)和一般各向异性材料的式(2.7)相比，独立的 弹性常数由21个减少到13个。 与式(2.18)相对应，其应变-应力的关系为:
1 S11 S12 S13 0
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
3'1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
(2.7)
(2.12)
这样由式(2.7)可得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.13)
第二章应力分析
内力、外力及截面法
面力：分布在物体表面上各点的外力（风力，流体压力，土
压力和接触力 ）。
内力、外力及截面法
在 P点 周 围 ， 包 含 P点 ， 取 微 小 体 积 元 素 S
设 作 用 于 S的 外 力 为 Q ；
若 S 不 断 减 小 ， 则 Q和 Q / S 都 将 不 断 地 改 变 其 大 小 、 方向和作用点；
同 理 , F y 0, F z 0, 可 得 y 和 z 方 向 结 果 ， 写 在 一 起 为 ：
Y N = l xy + m y + n zy Z N = l xz + m yz + n z
X
N
l
x
m
yx
n
zx
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
2 2 2
yz
2 n l z x
Cauchy公式和上式表明，只要知道物体内一点九个应力 分量，就可以求出过此点任一斜微分面上的应力，同时，九 个应力分量（只有六个独立）完全确定了一点的应力状态。
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
◆一点的应力分量与所取的坐标系有关，当坐标改变时，同一 点的应力分量表示形式将发生相应的变化，而该点应力状态 不随之变化。
◆ 受 力 平 衡 ： Fx 0
BMC : ABC : x * l * S ; X
N
* S ;
yx
AMC :
* m * S ;
AMB :
MABC :
zx * n * S ;
X V ;
'
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
应力状态分析 (2)
x
2
y
2
2 xy
设特征值为，则有 展开行列式
x xy
xy
y
的特征值和特征矢量
x xy
xy
参见《线性代数》
0
y
2
( x
y
)
( x
y
2 xy
)
0
方程的两个根
可以证明，应力矩阵的特征矢量就是主方向
2020/4/27
20
2. 极值剪应力
x
y
2
sin 2 xy cos 2
（5） 以C为圆心、CD为半径画圆，就是莫尔 圆（应力圆）。
问题：如果已知主应力，如何作应力圆？
2020/4/27
O
D
C
D
29
证明：
D ( x, xy )
OC OD2 D2C
OD2
1 2
D2 D1
y
1 2
(
x
y)
x y
2
O
圆心得证
D2
D' ( y, -xy )
圆心
C
D1
x
2
y
,
0
CD CD1 2 (D1D)2
80 MPa
30
b 60°
ab
x
y
2
x
y
2
40
cos(60) xy sin(60)
20 60 0.5 30 0.866 76 MPa
ab
x
y
2
sin(60) xy cos(60)
60 (0.866) 30 0.5 37 MPa
25
i j
x y
2 20 602
12第二章应力状态分析一、内容介...
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
第二章 压力容器应力分析2.1-2.2
39
2.2 回转薄壳应力分析
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.1 薄壁圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
过程设备设计
40
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.3 无力矩理论的基本方程
过程设备设计
求解思路
制造安装 正常操作
开停工 压力试验
检修 等等
正常操作工况 特殊载荷工况 意外载荷工况
根据不同载荷工况，分别计算载荷
21
2.1 载荷分析
过程设备设计
1、正常操作工况
载荷
设计压力 液体静压力 重力载荷 风载荷 地震载荷 其他载荷
隔热材料、衬里、内件、物 料、平台、梯子、管系、支 承在容器上的其他设备重量 等
绝对压力
以绝对真空为 基准测得的压 力。 通常用于过程 工艺计算。
表压
以大气压为基准 测得的压力。 压力容器机械设 计中，一般采用 表压。
8
2.1 载荷分析
压力容器中的压力来源
过程设备设计
1
流体经泵或压 缩机，通过与 容器相连接的 管道，输入容 器内而产生压 力，如氨合成 塔、尿素储罐 等。
2
3
加热盛装液体 的密闭容器， 液体膨胀或汽 化后使容器内 压力升高，如 人造水晶釜。
30
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
B点受力分析
B点
内压P
轴向：经向应力或轴向应力σφ 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr
σθ 、σφ ＞＞σr 三向应力状态
二向应力状态
31
2.2 回转薄壳应力分析
2.2 回转薄壳应力分析
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.1 薄壁圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
过程设备设计
40
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.3 无力矩理论的基本方程
过程设备设计
求解思路
制造安装 正常操作
开停工 压力试验
检修 等等
正常操作工况 特殊载荷工况 意外载荷工况
根据不同载荷工况，分别计算载荷
21
2.1 载荷分析
过程设备设计
1、正常操作工况
载荷
设计压力 液体静压力 重力载荷 风载荷 地震载荷 其他载荷
隔热材料、衬里、内件、物 料、平台、梯子、管系、支 承在容器上的其他设备重量 等
绝对压力
以绝对真空为 基准测得的压 力。 通常用于过程 工艺计算。
表压
以大气压为基准 测得的压力。 压力容器机械设 计中，一般采用 表压。
8
2.1 载荷分析
压力容器中的压力来源
过程设备设计
1
流体经泵或压 缩机，通过与 容器相连接的 管道，输入容 器内而产生压 力，如氨合成 塔、尿素储罐 等。
2
3
加热盛装液体 的密闭容器， 液体膨胀或汽 化后使容器内 压力升高，如 人造水晶釜。
30
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
B点受力分析
B点
内压P
轴向：经向应力或轴向应力σφ 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr
σθ 、σφ ＞＞σr 三向应力状态
二向应力状态
31
2.2 回转薄壳应力分析
第二章应力状态理论(弹性力学)
应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
弹性力学_第二章__应力状态分析
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
第二章 应力分析
z
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 5
Mechanics of Elasto-Plasticity
z
y
yz
y
pyyx
y
正 面
zx
dz x
xz
dy
zy
yz
dx
x
同样，在三个坐标面的负面， 可表示为
xy yx y
N xy y zy Z N xz l yz m z n
简记为：
pi ji l j
(2-8)′
特别重要地，在边界上，若边界外力设为 (Tx , Ty, Tz )，且外边界 面的法线方向 (l,m,n), 则有 外力边界条件: Tx x l yx m zx n
弹塑性力学
YN dS xy l ds y m ds zy n ds 0
0
石家庄铁道学院工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
得到斜截面上应力分量 (Cauchy stress formula) X N x l yx m zx n (2-8) Y l m n
P3
dP
y
x
P2
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 3
Mechanics of Elasto-Plasticity
<ii>应力分量: 1°PN 可分解成沿截面法线的法向分量σN 和在截面内的切向分量τN ,
z
N
N
n PN y
σN 称为正应力； τN 称为切应力；
υ
x N PN sin N PN cos υ为PN 与截面间的夹角； yz z 下标N表示所在截面的外法线方向n。 y 2°应力分量表示： 当N与y轴一致时, 全应力P y 在法向上分量σy ， yx 在切向上分量τy 。 切向应力分量τy 又沿坐标轴分解成 x x 方向切应力τyx 和 z 方向切应力τy z .
材料力学课件第七章 应力状态分析1-2
G2 "
3.应力圆的应用
①应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；
②应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a,且转向相同;
③圆心为平均正应力，为不变量。 ④ 半径对应极值切应力。
y yx
xy x
n
a
a x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
D' (y, yx)
G1'
D(x, xy) 2a
x
2
y
2
2 xy
②取x面，定出D( x ,xy )点；取y面，定出D'( y ,yx )点；
③连DD'交轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
y y yx
xy x
n
a
a x x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
G1'
D(x, xy) 2a
2a0 A A1
C
'
D' (y, yx)
1. ①主平面：单元体上切应力为零的面；
②主应力：主平面上的正应力，用1、2、3 表示， 有1≥2≥3。
y
z
yx
yz
xy
zy
x x
z zx xz z
x' 1
旋转
z' 3
2 y'
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
③主应力大小：
max min
x
y
2
x
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Sz=τxzl+τyzm+σzn 即 当斜面为边界时 因此S2=Sx2+Sy2+Sz2 σ= Sxl+Sym+Szn =σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln) τ2= S2-σ2 重要意义： （1）已知垂直面上的应力，则斜面上的应力可求，反之，可反求; （2）当斜面为外边界时，可利用外力求内力，建立了内外力之间的 关系。
l=0 m=± n=± 此时τ23=±（σ2 -σ3）/2 ，面上有σ=（σ2 +σ3）/2 l=± m=0 n=± 此时τ31=±（σ3–σ1）/2，面上有σ=（σ1 +σ3）/2 l=± m=± n=0 此时τ12=±（σ1–σ2）/2 ，面上有σ=（σ1 +σ2）/2 若σ1>σ2 >σ3则τmax=（σ1 –σ3）/2 此切应力为最大值即最大切应力。
第二章 应力分析
应力：单位面积上的内力。 塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），
称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件 写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。 满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。
第一节 外力、应力和点的应力状
态
任意一点的应力状态 —— 整个变形体的应力状态
一 应力分析
外力—— 产生内力的外部力 内力(或应力)―― 在外力的作用下，物体内部之间的平衡力 应力：正应力σ，
切应力τ
应力分析单元体法（三维）
设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分 量，可写为矩阵：
作用面 作用方向 张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负号。 单元体平衡有：τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy 因此σij=是对称张量
主切应力平面 主切应力平面上的正应力和切应力
l
0
±
±
m
±
0
±
n
±
±
0
切应力 ±（σ2 -σ3）/2 ±（σ3–σ1）/2 ±（σ1–σ2）/2
正应力 （σ2 +σ3）/2 （σ1 +σ3）/2 （σ1 +σ2）/2
特性：1）三向等拉等压状态σ1=σ2 =σ3=±σ，则 τ12=τ23=τ13=0
2）三应力同时增减同值时，主切应力值不变。
l1 m1 n1 l2 m2 n2 l3 m3 n3 注意：应力状态确定——主应力唯一， 即方程应力状态特征方程唯
一,也即J1 J2 J3为不变值，分别为应力张量的第一不变量J1 第二不变量J2 第三不变量J3
（二） 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴 为1，2，3方向轴。
三 应力球张量与应力偏张量
（一） 应力张量的分解
σij=
应力偏张量 应力球张量
其中：σm=(σx+σy+σz)/3=J1/3 特点和作用：
应力偏张量使形状变化，应力球张量使体积变化 结论：材料的塑性变形由应力偏张量引起。
（二）应力偏张量性质
应力偏张量有三个不变量J1’ J2’ J3’ 其中J1’=0 、J2’ 和J3’ 的表达式与前述类似。
τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有：
此式即 展开整理为：σ3-J1σ2-J2σ-J3=0 ， 此式称为应力状态特征方程
其中：J1=σx+σy+σz 可以求出三个实根σ1 σ2 σ3 分别代入前式可求出三个主方向：
概念： 单向应力状态——两个主应力为0 平面应力状态——一个主应力为0
可以分别写出单向应力状态和平面应力状态的应力张量
二 主切应力和最大切应力
主切应力——当切应力为极大值时，注意此时正应力不一定为
0。 推导：取应力主轴作为坐标轴 τ2= S2-σ2
=σ12 l2+ σ2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m2 +σ32n2-（σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2） 求τ的极值 且条件为l2+m2+n2=1 解出三个极值为：
此时， 在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S2=σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2
σ=σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2 τ2= S2-σ2 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。 其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。
在主坐标系中有： J1’=0 J2’ =[（σ1 –σ2）2+（σ2 -σ3）2+（σ3 –σ1）2]/6 J3’ =σ1，σ2，σ3，
作用：根据应力偏张量判断变形类型 J3’ >0伸长， J3’ <0压缩， J3’=0平面应变
在三向静水压力下金属如何变形？
第二节 主应力、主切应力和应力不变量
一、主应力 主平面——切应力为0的平面。 主应力——主平面上的正应力。 应力主轴（主方向）——主平面的法线方向。 也就是将 变换为，即将实对称阵变为对角阵。
（一）任意坐标系
设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0
二 任意斜面上的应力
已知应力状态σij=，求斜面ABC上的应力（全应力S，正应力σ，切应
力τ）,设斜面ABC的法线方向余弦为l, m, n 即l=cos(N, x) m=cos(N, y) n=cos(N, z)
解：将全应力沿坐标方向分解为：Sx Sy Sz 由静力平衡 SxdA-σxdAx-τyxdAy-τzxdAz=0 而dAx=ldA dAy=mdA dAz=ndA 所以 Sx=σxl+τyxm+τzxn 同理 Sy=τxyl+σym+τzyn