数系的扩充与复数的引入(课件)

(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
分母实数化
问题3 复数 (2 2等i)4于（ ）
(1 3i)5
A.1 3i B. 1 3i
C. 1 3Di .
1 3i
方法点拨—在掌握复数运算法则的基 础上注意以下几点
2、建立复数的概念之后， 我们主要研究了复数的代数 形式及其运算，复数的几何 表示（复平面上的点、向 量），复数运算的几何意义。
本课复习要点：
1．复数的有关概念 2．复数的代数运算 3．复数的几何意义
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
作业
1.已知z是复数，z+2i、 z均为实 2i
数，且复数(z+ai)z在复平面上对应的 点在第一象限，求实数a的取值范围.
(2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x， y。
解题总结：
复数相等 转化 求方程组的解
的问题
的问题
一种重要的数学思想—转化思想
变式练习
1.若方程 x2
+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一 个实数根，试求实数m的值.
2.已知不等式 m-(2 -m3m2 )i
<10+(m2-4m+3)i,试求实数m的
3、复数的几何意义
问题5 已知复数z=(m2+m-
6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的
点位于第二象限，求实数m的取值范
围解。：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 m 2 2或 m
1
m(3,2) U(1,2)
背景知识
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
解法1—向量法
uuur uuur uuur OC OA OB
y
C
B
A
解法2—几何法
0
x
平行四边形对角线互相平分
Z
Z1
x
不等 z1 z 2 z1z 2 z1 z 2 相等 z1z 2 2 | z1 z2 |2 2( z1 2 z 2 2 )
问题7
如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
（数）复数的一个几何意义
（形）
z=a+bi
y
Z(a,b)
b
复平面
x轴------实轴
a
ox
y轴------虚轴
复数z=a+bi
点Z(a,b）
uuur 向量 OZ
复数的另一几何表示
问题6 如图，已知复平面内一个平行
四边形的三个顶点O,A,B对应的复 数分别是0, 5+2i , -3+i ，求第四 个顶点C对应的复数.
那么|z+i+1|的最小值是（ ）
A.1 B. C2.2 D.
5
y
ox
思想方法—数形结合
方法与技巧
掌握一些常见曲线的复数方程，充 分运用复数的几何意义解题，就可 以快速准确的解答有关问题。
(1) z z 0 r (2) z z 1 z z 2
(3) z z 1 z z 2 2a
值.
误点警示：虚数不能比较大小！
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
i 1. n的周期性
2. (1 i)2 2i 1 i i 1i
3. 1 3 i
22
1 i i 1 i
3 1,2 ,1 2 0
高考链接
1．(06年陕西卷)复数 (1 i等)2 于
1i
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
2. (05年重庆卷) (1 i )2005
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以 及乘法对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
解法2着眼于整体处理，巧用共轭 复数的性质，对解题方法技巧有较 高的要求。
方法与技巧—共轭复数的性质
z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2 ,
( z1 ) z1 ; z2 z2
z R z z;
z 0 时，z是纯虚数 z z 0;
| z |2 | z |2 z z.
z
a2 b2
又Q b 0, a2 b2 9 0
即a2 b2 9 | z | 3
解法2 z 9 R z 9 z 9
z
z
z
z 9 z 9 (z z)(z z 9) 0
z
z
zz
| z |2 9 | z | 3
解题总结
解法1入手容易、思路清楚，是我 们处理这类问题的常规方法，必须 熟练掌握。
1i
A．i B．i C．22005 D．22005
问题4 设z为虚数，且满足 z 9 R z
求|z|。
解法1 设 z=a+bi (a,b∈R且
b≠0)， z 9 a bi 9
z
a bi
a
bi
9(a a2
bi)
b2
(a
9a a2 b2
)
(b
9b a2 b2
)i
Q z 9 R, b 9b 0
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
1．复数的有关概念
问题1 设复数z=lg(m2–2m– 2)+ (m2+3m+2)i，试求实数m 取何值时。 （1）z是纯虚数； （2）z是实数；
问题2 设x，y∈R，并且
人教A版2-2半期复习 --数系的扩充与复数 复习课
一、本章知识结构
虚数的引入 复数
复数的表示
复数的运算
代数表示 几何表示 代数运算 几何意义
结构图简析
1、我们为解决负数开方的问 题引入虚数单位i，把形如 a+bi（a，b∈R）的数叫做复 数，数系由实数集扩充到复数 集，实现了数系的扩充。
结构图简析
(4) | z z 1 z z 2 | 2a
回顾总结
1.两个复数相等的充要条件是实现 把复数问题转化为实数问题的重要 途径，也是我们解决有关的方程、 不等式问题的重要依据。
2.在熟练进行复数运算的同时，掌 握一些运算技巧方法，以求快速准 确地解答问题。
回顾总结
3.复数的几何表示建立了复数与平 面图形、复数与向量沟通的桥梁， 由此我们可以方便地进行数形转换， 寻找更为直观、方便的解题方法与 途径。