大学物理比奥萨法尔定律
大学物理8-3 毕奥-萨伐尔定律
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而k
0 4
故
dB
0 I d l sin
4 πr
2
-7 2 4 π 10 N A 其中 0 ，称为真空中的磁导率。
磁感应强度的矢量式：
0 Idl er dB 2 4π r
Biot-Savart定 律的微分形式
Biot-Savart定 律的积分形式
I qnvS
电流元在P点产生的磁感应强度
dB
0 qnvSdl sin
r
2
4π
设电流元内共有dN个以速度v运动的带电粒子：
d N nS d l
每个带电量为 q的粒子以速度 v通过电流元所 在位置时，在P点产生的磁感应强度大小为
0 qv sin dB B dN 4π r2
r
dl
r d dB B
P
I
电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与 Idl 成正比，与到电流元的距离平方成反比，与电 流 元 和矢径夹角的正弦成正比 于r 。 dB 方 向 垂 直 与 Idl 组成的平面，指向为由 Idl 经 角转向 r 时 右螺旋前进方向。
I d l sin dB k r2
dB
0 R nI d l
2
2( R l )
2
2 3/ 2
2
0 R nIdl B dB L L 2( R 2 l 2 ) 3 / 2
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. . .. . . . . . . . . . . . .
A2 dB
q
r
q
垂直于纸面向内
v
毕奥萨伐尔定律内容及公式
毕奥萨伐尔定律内容及公式毕奥萨伐尔定律是描述电子元件的性能的一个基本定律。
它是由奥地利物理学家毕奥萨伐尔（Ludwig Boltzmann）在19世纪末提出的。
毕奥萨伐尔定律可以用来描述电子元件中电流与电压的关系。
根据该定律，电流与电压之间的关系可以用一个简单的公式表示：I = V/R其中，I代表电流，V代表电压，R代表电阻。
这个公式表明，电流的大小与电压成正比，与电阻成反比。
这个公式的意义在于，它揭示了电子元件的工作原理。
在一个电路中，电流是由电压驱动的，而电阻则是限制电流流动的因素。
根据毕奥萨伐尔定律，当电压增大时，电流也会增大；而当电阻增大时，电流则会减小。
毕奥萨伐尔定律的应用非常广泛。
在电子工程中，我们经常会用到这个定律来计算电路中的电流和电压。
通过对电路中的电流和电压进行测量，我们可以根据毕奥萨伐尔定律计算出电阻的值，从而更好地理解电路的性能。
毕奥萨伐尔定律还可以用来解释其他与电流和电压相关的现象。
例如，当我们在电路中加入一个电阻时，根据毕奥萨伐尔定律，电阻会降低电流的大小。
这就是为什么在电路中使用电阻可以起到限制电流的作用。
除了电子工程领域，毕奥萨伐尔定律还在其他领域有着重要的应用。
例如，在热力学中，毕奥萨伐尔定律可以用来描述温度与热能之间的关系。
根据毕奥萨伐尔定律，温度的升高会导致热能的增加。
毕奥萨伐尔定律是一个非常重要的定律，它揭示了电子元件中电流与电压之间的关系。
通过应用这个定律，我们可以更好地理解电子元件的工作原理，并进行电路设计和分析。
同时，毕奥萨伐尔定律也在其他领域有着广泛的应用，对于科学研究和工程实践都具有重要的意义。
大学物理课件-2毕奥-萨伐尔定律
1 2
0I
2R1
（每202长1/3/1度8 相等的圆弧在O处产生的磁场大小相同）；20
方向：垂直纸面向外。
大线圈在O处产生的磁场大小为： B0大
方向：垂直纸面向里。
1 2
0 I
2R2
、
B0 B0小 B0大
方向：垂直纸面向外。
0I
4
1 [ R1
1 ]
R2
(2) B0
BB00'' 大 小
B0小 B0大
以电荷为q速度为的正电荷作研究对象在电流元中其电流为i102021318lqns单个载流子产生的磁场112021318一个以速度v作匀速直线运动的电荷q与电流元是相当的在dt时间内粒子位移为dlvdt等效电流元为idlidtvqv根据毕奥萨伐尔定律在距它r处点p所激励的磁感应强度为
20XX年复习资料
它们的方向均垂直纸面向里。
B B '
‘
02021/3/108小
B0’大
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 I
4
1 [ R1
1 ]
R2
方向均垂直纸面向里21。
相信梦想是价值的源泉，相信眼光决定未来的一 切，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人 生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥
协的信念。
谢谢观看
2021/3/18
22
电流元在空间某点产生的磁感应强度大小与电流
元大小成正比，与电流元和由电流元到点P的矢
量平方间成夹反角比正；弦d成B垂正直比于，I与dl电和流r元 所到组点成P的的距平离面，的
指向满足右手定则。
Idl r
dB k
2021/3/18
r3
其中: k = 0 /4 真空磁导率 : 0=410-7TmA-31
大学物理磁场与毕萨定理new解读
2
O
x
在螺线管上的 x 处截取一小段
d I Ind x
dB 0 R2nIdx
2 (R2 x2 )3 2
B dB x2 0 R2nIdx
x1 2 (R 2 x 2 )3 2
dx R csc2 d
B 2 0nI sin d
1 2
R
1 2
0nI(cos
2
cos
1)
无限长螺线管：
它所产生的圆电流的电流强度为：
I q ve
T 2 r
v
r
o
e
B
0I
2r
0 4
ev r2
解法二：用运动电荷的磁场公式
B
0 4
ev r2
b
B dB ab 0Idx 0 I ln a b
b 2ax 2a b
dI
I
dx x
a
例：在半径R 的“无限长”半圆柱形金属片中，有
电流I 从下而上地通过，如图，试求圆柱轴线上一
点P的磁感强度。
y
解：将金属片分划成许多细
长条 dI I Rd R
dB
0dI 2R
0 Id 2 2 R
x
3/ 2
讨论:
(1)载流圆环环心处的磁场
Bo0 I2RR NhomakorabeaB
I o xP
x
B R I o
(2)载流圆弧导线在圆心处产生的磁场
I
0 • O
B
dB
0 Il 4r 2
0 I 0 4r
r
方向：右手法则
例：一根无限长导线通有电流I，中部弯成圆弧形， 如图所示。求圆心o点的磁感应强度B。
解：直线段ab在o点产生 a
大学物理——11-2毕奥-萨伐尔定律
1
2
μ0 I B （cos θ1 cos θ2 ） 4π a
2
μ0 I BP 4πa
I
o
a
* P
◆（3）载流直导线延长线上任一点的磁感强度
分析：根据载流直导线的磁感强度公式
μ0 I B (cos θ1 cos θ2 ) 4πa
在沿电流方向的延长线上任一点处，
P
2
2
1、5 点 ： dB 0
0 Idl 3、7点 ：dB 4R 2
3
7
Id l
6
2、4、6、8 点 ：
R
5
4
0 Idl dB sin 45 0 4R 2
0 μ0 Idl r B dB L L 4π r2
任意形状恒定电流的磁场：
利用毕-萨定律计算磁感应强度的基本方法： (1) 将电流分解为无数个电流元 ，任取一 Idl ； (2) 写出dB 大小，图示dB方向； (3) 分析各个dB方向；将 dB 在坐标系中分解；
z
方向：电流与磁感强度 成右手螺旋定则。 A1
2
B
讨论
◆（1） 无限长载流直导 线的磁场
I
o
x
A2
r
1
P y
1 0 2
μ0 I B 2π a
无限长载流直导线的磁场方向：
μ0 I B 2π a
B I B I
X
I
B
磁感应线的绕向与电流满足右手螺旋定则。
◆（2） 半无限长载流直导线的磁场
◆ 在载流圆线圈轴线以外的空间，其磁感强度的分 布大致如下图所示： I
思考：
R B x 0 0 I o B0
毕奥萨伐尔定律公式详细解说
毕奥萨伐尔定律公式详细解说毕奥萨伐尔定律是电磁学中的基本定律之一，描述了通过一个导体回路所产生的磁场与通过该回路的电流的关系。
该定律由法国物理学家安德烈-玛丽·安普尔·毕奥萨伐尔于1820年发现并提出。
毕奥萨伐尔定律的数学表达式为：B = μ0 * I / (2 * π * r)，其中B 表示磁场的强度，μ0为真空中的磁导率，I表示电流的强度，r表示距离导体回路的距离。
这个公式是通过实验观测得到的，可以用来计算任意一个导体回路所产生的磁场强度。
根据毕奥萨伐尔定律，当电流通过一个导体回路时，会在该回路周围产生一个环绕回路的磁场。
这个磁场的强度与电流的强度成正比，与距离导体回路的距离成反比。
磁场的方向则由右手定则来确定，即握住导线，大拇指指向电流方向，其他四指的弯曲方向就是磁场的方向。
毕奥萨伐尔定律的应用非常广泛。
在电磁学中，我们可以利用这个定律来计算各种不同形状和电流分布的导体回路所产生的磁场。
例如，在电磁铁中，通电线圈产生的磁场可以吸引铁磁物体；在电动机中，导线中的电流通过电磁场与磁场相互作用，产生力矩使电动机运转；在变压器中，通过调整线圈的匝数比可以改变磁场的强度，从而实现电能的传输和转换等。
除了应用于电磁学领域外，毕奥萨伐尔定律还有很多其他应用。
在电路中，我们可以利用这个定律来计算线圈的自感和互感。
自感是指通过一个线圈产生的磁场对该线圈自身电流的影响，而互感则是指线圈之间由于磁场耦合而产生的电流相互影响。
了解自感和互感的大小对于电路的设计和工作原理的理解非常重要。
毕奥萨伐尔定律还可以用于解释许多其他现象。
例如，当一个导体在磁场中运动时，会受到一个由毕奥萨伐尔定律描述的洛伦兹力的作用。
这个力可以使导体受到推动或制动，也可以用于实现电能与机械能的相互转换。
毕奥萨伐尔定律是电磁学中的重要定律，描述了电流通过一个导体回路所产生的磁场与磁场的强度、电流的关系。
它不仅在电磁学领域有广泛的应用，还可以用于解释和理解其他相关现象。
大学物理9-4 毕奥-萨伐尔定律及其应用
如图所示,由毕—萨定律得
0 Idl sin 90
4 R
2 0
而 dl Rd
dB
0 IRd
4 R
2
0I
4 R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
B dB
0I
4 R
0 d
0I
4 R
9 – 4 毕奥—萨伐尔定律及其应用 第九章 恒定电流的磁场
例9-6 载流长直导线的磁场.
（右手螺旋法则）
上式称为毕奥—萨伐尔定律
9 – 4 毕奥—萨伐尔定律及其应用 第九章 恒定电流的磁场 0 Id l er dB Id l dB 2 4π r 7 2 r I 0 4 π 10 N A 真空磁导率
dB
任意载流导线在点 P 处 的磁感强度
1 0
B
0I
4 π r0
（ cos 1 cos 2）
z D
I
2
2 π
B
0I
4 π r0
（ cos o cos ）
B
o
0I
2 π r0
B
x
C
1
P y
+
9 – 4 毕奥—萨伐尔定律及其应用 第九章 恒定电流的磁场 无限长载流长直导线的磁场
B
讨 论
B
0 nI
2
cos
2 cos 1
（1）P点位于管内轴线中点
cos 1 cos 2
cos 2
1 π 2
l/2
l / 2
l
2
R
2
毕奥萨伐尔定律内容及公式
毕奥萨伐尔定律内容及公式毕奥萨伐尔定律（比尔定律）内容及公式Introduction•毕奥萨伐尔定律（也称为比尔定律）是电磁学中的重要定律之一，描述了磁场和电流之间的关系。
•这个定律由法国数学家、物理学家让-巴蒂斯特·比尔著名，于1820年首次发表。
原理•毕奥萨伐尔定律指出，电流产生的磁场的大小和方向与电流成正比，并与距离电流的距离成反比。
•该定律是绕定则（右手法则）的一个推论，根据这个法则，我们可以通过右手的手指规则判断电流所产生的磁场的方向。
公式•毕奥萨伐尔定律的公式表示为：–磁场B = (μ0 / 4π) * (I * L × r / r³)•公式中的符号含义如下：–B：磁场的大小–μ0：真空磁导率（常数）–I：电流大小–L：电流所形成的线段的长度–r：距离电流线段的距离应用•毕奥萨伐尔定律在实际中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：–电磁感应：描述了磁通量和感应电动势之间的关系。
–电磁场的计算：通过该定律，我们可以计算出复杂电流产生的磁场。
–电动机和电磁铁：这些设备的设计和工作原理基于毕奥萨伐尔定律。
总结•毕奥萨伐尔定律是电磁学中一个重要而基础的定律，可以帮助我们理解和应用电磁现象。
•通过了解这个定律和相关的公式，我们可以更好地理解电流和磁场之间的关系，并在实际应用中取得更好的效果。
补充说明•在应用毕奥萨伐尔定律时，需要注意以下几个方面：单位•在公式中，磁场大小B的单位是特斯拉（T），电流I的单位是安培（A），线段长度L的单位是米（m），距离r的单位也是米（m）。
方向•根据毕奥萨伐尔定律，磁场的方向由右手的手指规则决定。
将右手的大拇指指向电流方向，其他四指的伸出方向就代表了磁场的方向。
磁场的线密度•磁场的线密度（B线束）是指垂直穿过单位面积的磁感线的根数，可以通过公式B线束=μ0 * B计算得出。
其中μ0是真空磁导率。
磁感应强度和磁场强度•磁感应强度（B）和磁场强度（H）之间的关系是B=μ0 * H。
毕奥撒法尔定律
毕奥撒法尔定律
毕奥-萨伐尔定律（也被称为电场定律）是电学中的一个重要定律，它描述了电荷之间的相互作用力与它们所带电荷量的乘积以及它们之间距离之间的关系。
具体来说，毕奥-萨伐尔定律表明在真空中，静止的点电荷所产生的电场强度与它们所带电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
公式表示为：$\frac{E}{q} = \frac{k}{r^{2}}$，其中E是电场强度，q是源电荷的电荷量，k是常数，r是源电荷与试探电荷之间的距离。
这个定律是英国物理学家约瑟夫·安培的学生，法国物理学家奥古斯汀·毕奥和其时的科学家萨伐尔共同发现的。
他们在研究电流产生的磁场时，通过实验和理论推导得出了这个定律。
这个定律不仅适用于点电荷产生的电场，还适用于任何形状的电荷分布产生的电场，以及多个电荷共同产生的电场。
需要注意的是，毕奥-萨伐尔定律是在静止电荷产生的电场中得出的，对于随时间变化的磁场，需要使用麦克斯韦方程组来描述。
大学物理10.3 毕奥-萨伐尔定律Xiao
0 Ia
2 ya
0 I
2y
a
无限长载流直导线
2
(2)
y a
BP
arctan
0 I
2a
0 I
2a
2y 1
2
无限大平板 (另解:教材P26例10-7)
0i
i
i
B1 B3 0
B2 0i
磁屏蔽
南 京 理 工 大 学 应
(1)
用 物
(2)
理 系
单个运动电荷的磁场
B
dB
0
q r0
2
注意：电荷有正负，它们产生的磁场方向相反。
r
南 京
理
B
r
大 学 应 用 物
理
B
系
工
10.3
毕奥—萨伐尔定律
三、 毕奥-萨伐尔定律应用举例 应用毕奥-萨伐尔定律解题的方法 计算一段载流导体的磁场 1. 建立坐标系; 2. 分割电流元; 3. 确定电流元的磁场
B2
1 I
(b)
圆弧
dB 2
0 Idl
4 R
2
圆弧
0 IL
4 R
2
O
0 IR
4 R
2
0I
2 R 2
BO
圆环的磁场
R
对于图b，
Bo B1 B2
I
南
0 I
2R
物
0 I
2R
系
1
京 理 工 大
学
应
毕奥萨伐尔定律——大学物理
r
x
θ
dB⊥
µ 0 Idl dB = 2 4π r
垂直分量相互抵消， 垂直分量相互抵消，只剩 下平行分量的标量叠加。 下平行分量的标量叠加。
R O
dB
dB∐
dB ∐
µ 0 Idl sin θ = 4π r2
※ 载流圆线圈产生磁场 µ0 B = ∫ dB ∐ = 4π
∫
Idl sin θ r2
µ 0 I sin θ = 4π r 2
做代换： 做代换：
Idl sin α ∫ r2 L
I α2
Idl α
a r= sin α l = −actgα a dl = dα 2 sin α
l
O
r
a
α1
L
⊗
P
dB
得：
µ0 I B= (cos α1 − cos α 2 ) 4πa
方向： 方向：以直导线为轴线的圆 周的切线方向， 周的切线方向，与电流构成 右手螺旋法则。 右手螺旋法则。
µ 0 IS
2 2 3 2
n0
Pm
B =
引入磁偶极子的概念： 引入磁偶极子的概念：
磁矩： Pm = I S n0
µ 0 Pm
2π ( x
2
+ R
2
)
3
2
B =
µ 0 Pm
2π ( x
2
+ R
2
)
3
2
特例： 1) 圆心处 x = 0 特例： 2) 无限远处
B =
µ0I
2R
x >> R
µ 0 Pm B = 2π x 3
Idl α r P
⊗
I
dB
大学物理 毕奥-萨伐尔定律
一、电流 电流密度 电流场
电流定义为通过截面S 的电荷随时间的变化率
I = dq
S
dt
+ +
+ +
dq = nq(udt S)
+
+
I I = nquS
u 为电子的漂移速度大小
dq = nq(udtdS cosθ )
1
dI = dq = nq(udtdS cosθ ) = nqudS cosθ
磁现象的发现要比电现象早得多。公元前六、七 世纪（春秋战国时期），就发现磁石吸铁现象；
东汉时期，发明了磁性指南器具～“司南”；十 一世纪北宋时，发明了“指南针”。
明朝郑和七下西洋比哥仑布早半世纪
5
•目前还无法获得磁单极～磁极不能单独存在。
S
N
S
NS
N
S N S N S NS N
SN SN SN SN SN SN SN SN
×
q
以矢量 B表示。
FL
分析运动点电荷在磁场中所受洛伦兹力
1.任一点P的磁感应强度的方向 当试探电荷q0以速度v沿某特定直线通过磁场
中的点P时，作用于它的洛伦兹力总等于零，与 试探电荷的电量和运动速率无关。这条特定直线 是点P的磁场自身的属性，称为零力线。
洛伦兹力总等于零的方向规定为点P的磁感应 强度的方向
磁感应强度是描述磁场强弱 的位置点函数。
9
同样可用磁力线或磁感应线形象地描绘磁场 (磁感应强度)的分布。
I
I
I
电流与磁感强度成右手螺旋关系
I
10
§7-3 毕奥－萨伐尔定律(Biot-Savart’s law)
《大学物理》毕奥—萨伐尔定律
d B//
，，由所于以各圆P电点流电元流的的具大磁有小场对为B方称：向性不，相其同电，流可元分的解为逐对d抵B和d消B
B
LdB//
dB sin 0
L
4
L
Id r2
l
sin
0I sin 4r 2
2R
dl
0
0I sin 4r 2
2R
载流圆线圈轴线上的磁场
I dl
r
R
IO
x
d B
dB
dr
带电圆环旋转时产生的电流强 度为
R r.o
q
B
R 0
o
2
2rdr
2r
1 2
oR
s
dI
补充例题3一半径为R的均匀带电半圆弧，单位长度
上的电量为，绕其直径所在的直线以角速度匀速
转动，求圆心o处的磁场。
解 半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若
干圆电流积分。
R o
r x
o
dI Rd λ
B
dB
L
0 L 4
I d l sin
r2
I
dl L
lr
O
d 1
P
2d
B
载流长直导线的磁场
B
dB
L
0 L 4
I d l sin
r2
I
由几何关系有：
sin cos r d sec
dl L
l d tan dl d sec2 d l r
B 0 I d l sin
E
1
4 0
q r3
r
q
r
P
v
B
E
运动电荷的磁场
大学物理-7-2 毕奥-萨伐尔定律
dl
dB
0
4π
nSdlqv r
r3
运动电荷的磁场
实用条件 v c
B
dB dN
dN nSdl 0 qv r
4π r3
q + r
v
B
q
r
v
B
R2 x2 R2 csc2
B 0nI 2 R3csc2d
2 1 R3 csc3
0nI 2 sin d
2 1
讨论
B
0nI
2
cos2
c os 1
（1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
cos 1 cos 2
cos2
l/2
l / 22 R2
B
0nI
cos2
0nI
ox
B
*x
B
0IR2
（2 x2 R2）32
讨 1）若线圈有N 匝
论
B
N （2 x2
0 IR2
R2）32
2）x 0 的B方向不变( 和 I成右B螺旋关系）
3）x 0 4）x R
Bห้องสมุดไป่ตู้
0I
2R
圆环形电流 中心的磁场
B
0IR 2
2x3
，
B
0 IS
2π x3
圆弧形电流在圆心处的磁场为什么？
B0
0I
2R
r3
dB
0
4π
Idl
r
r3
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
7
Idl 3
R
6
4
5 求解电流磁场分布基本思路：
1、5 点 ：dB 0
大学物理毕奥-萨伐尔定律
1
2
2
I
2 B
B 0I
4πr
3）延长线上的磁场
B=0
I
A
B
1
A
→r
r
＊p
B
+P
2、圆形载流导线（圆电流）轴线上的磁场（R, I）
Id l
o
IR
r dB d B
x
*
p dBx
x
dB'
解： （1）如图建立坐标系
（2）在导线上取电流元 Idl
dB
0
4π
Idl sin 900 r2
0 4
Idl r2
20
2
0, B 向外
0, B 向内
例7（例11-2） 一半径为R的无限长的半圆形金属薄片,沿轴 通有I 的电流,设电流在金属片上均匀分布,试求圆柱轴线上 任意一点P的磁感应强度.
解：将电流分割成许多无限长载流直导
线，电流为dI
I
利用无限长载流直导线的磁感应强度公式
B 0I
2πr
dB 0dI 2R
电流元中的运动电荷数
dN nSdl
电流元
Idl vSnqdl qv dN
将
Idl qv dN
代入上式得
从微观上看，电流元的dB就是dN个运动电荷共同产生的磁场
运动电荷的磁场
B
dB
0
qv r0
dN 4π r2
r0为电荷q到场点的矢径方向的单位矢量， 方向垂直于V，r确定的平面
是低速(v c)情形下匀速运动点电荷产生的磁场。
电流元 在空间P点产生的 磁感应强度 为
dB
k
Idl r2
r
0
大学物理学8.3 毕奥-萨伐尔定律
0I
0I 0I
4R
2 2R 2 4R 4R
练
习 如图，求圆心O点的
I
O
如图，求圆心O点的
课后作业 习题8.1 , 习题 8.3
称为真空磁导率
dB
r0为 r 矢径的单位矢量
α
p
r
Idl
I
称为毕奥-萨伐尔定律
方向判断： 的方向垂直于电流元 与 组成 的平面， 和 及 三矢量满足矢量叉乘关 系。 ——右手定则
对一段载流导线
一.应用毕-萨定律解题的方法
计算一段载流导体的磁场
1.分割电流元; 2.建立坐标系;
3.确定电流元的磁场
cos
4
cos3
4
1
B
o
I
2 20I b
b
例3：载流圆环半径
为R，通有电流为I，求
圆环轴线上一点P磁场的
磁感应强度B
p R
例3：载流圆环半径
为R，通有电流为I，求
圆环轴线上一点P磁场的
磁感应强度B 解:建立坐标系OXY
任取电流元
大小
分析对称性、写出分量式
p R
方向
有
p R
大学物理
第8章 真空中的恒定磁场
§8.3 毕奥---萨伐尔定律
主讲教师：刘奕新 教授
8.3.1毕奥---萨伐尔定律
类似于静电场，对任意载 流导线在空间任一点产生的磁 场，可把载流的导线分成许多 微元段，每一微元段的长度,写 成矢量 ，它的方向沿导线微 元段内电流的方向，把 称为电流元。
I
.P
电流元 对P点产生的磁场 为
actg l r o
大学物理7.2 毕奥―萨伐尔定律
µ 0 Idl ∴ dB = 4π R 2
µ 0 I1dl µ 0 I1l1 ∴ B1 = ∫ 2 = 2 1 4π R 4π R
µ 0 I 2dl µ 0 I 2 l2 B2 = ∫ 2 = 2 4π R 4π R 2 U U ∵I = = R ρl s I1 l2 ∴ = I 2 l1
∴ B = B1 − B2 = 0
由于圆形电流具有对称性， 由于圆形电流具有对称性，各垂直分量 dB⊥ 相互抵消， 相互抵消，所以总磁感强度 B 的大小为各个平 行分量 dB// 的代数和为
B = ∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdB// = ∫ dB cosα
∵ cos α = R r
µ 0 IR µ 0 IR = dl = ∴B = 3 ∫0 3 4π r 2r
B
B
Idl
l
θ2
θ
∵ l = − r0 cot θ
r = r0 sinθ
r0 dθ ∴ dl = 2 sin θ
o
µ 0 θ 2 I sinθ dθ ∴B = 4π ∫ θ 1 r0
µ0 I (cosθ 1 − cosθ 2 ) = 4π r0
θ1
r r0
dB
A
特例：无限长导线： 特例：无限长导线： 1 = 0, θ 2 = π θ µ0 I B= 2πr0 圆形电流的磁场． 例2 圆形电流的磁场．有一半径为 R 的载流 圆环， 圆环，电流强度为 I ，求它轴线上任一点 P 的 磁感应强度 B ． Idl µ 0 Idl sinθ dB⊥ dB θα 解 ∵ dB = r 2 4π r R α o x θ = 900 P dB// x dB′ µ 0 Idl ∴ dB = 4π r 2 Idl ′
7.2 毕奥 萨伐尔定律及其应用 毕奥-萨伐尔定律 萨伐尔定律
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r dB
=
μ0 4π
r Idl
×
rr
r3
p
I θ rr
r
Idl
Biot-Savart Law
Current element
μ0 = 4π ×10−7T⋅m/A
r B
=
∫
r dB
真空中的磁导率
上海交通大学 董占海
2
2. 毕奥— 萨伐尔定律的应用
z
1) 直电流的磁场 (I, θ1,θ2 and a given)
1. 安培环路定理
∫ Bv L
⋅
v dl
=
μo
∑
I
I4 I3 I2 I1
在真空中，磁感应强度B矢量沿任何闭合曲线L一 周的线积分，等于闭合曲线所包围并穿过的电流 的代数和的μo倍，而与曲线的形状大小无关。
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18
说明：
不包括闭合曲线以外的电流。 B是闭合曲线内外所有电流产生的磁感应强度。
′
= μoI rdϕ − μoI r′dϕ = 0
2π r
2π r′
∫ So
v B
⋅
v dl
=
0
L
同理
∫ ∑(
v B
)
⋅
v dl
=
0
L
out
I
B′
dϕ
B
r′ dl´
r θdl
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23
c. 多根载流导线穿过环路
v B
=
v B1
+
v B2
+
L
+
r Bn
( ) ∫ ∫ v B
⋅
v dl
=
L
L
v B1
+
v B2
+
L
+
v Bn
⋅
v dl
∫ ∫ ∫ =
L
v B1
⋅dlv
+
L
v B2
⋅
v dl
+
L
+
L
v Bn
⋅
v dl
= μoI1 + μoI2 +L+ μoIn = μo ∑ Ii
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24
三、安培环路定理的应用
Steps: – Analyzing B- Symmetry – Choosing Amperian Loop – Determining Field
§ 14.4 磁场对载流导线的作用 § 14.5 霍尔效应
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15
一、 磁高斯定理 Gauss’s Theorem
1. 磁通量：
dΦ m
=
r B
⋅
dsr
S dsr rθ nr
B
Φm
=
∫∫s d Φ
=
∫∫s
r B
⋅
d
sr
单位：T ⋅ m2 = Wb
2. 高斯定理
r
∫∫ s B
⋅
d sr
r
B
螺线管内磁场B内是均匀的
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
螺线管外的磁场也是均匀的
I
* B外∞ =0
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32
安培环路定理：
∫v
B
L
⋅
v dl
=
μo
∑
Ii
B⋅l = μoI ⋅n⋅l
B = μonI
B
a
b
d
c
其中dc边在无限远处
结论：在长直螺线管内各处磁场均匀
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33
=
μ0
r qV
×
rr
4π r3
注：V<<C 上海交通大学 董占海
r
Idl rr
rr
+r V
P
r B
13
Assignments：14.4-6
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14
第十四章 稳恒磁场
§ 14.1 磁场和磁感应强度 § 14.2 毕奥— 萨伐尔定律 § 14.3 磁高斯定理 安培环路定理
• 磁高斯定理 • 安培环路定理 • 安培环路定理的应用
yyyyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyyyyy
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30
设：电流（面）密度为 δ=I/L
∫v
B
L
⋅
v dl
=
μo
∑
Ii
2BL = μoδ L
d
P
c
yyyyyyyyyyyyyyyyyy
B = μo δ
2
a
L
b
结论： 两侧为均匀磁场，与离板的距离无关
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第十四章 稳恒磁场
§ 14.1 磁场和磁感应强度 § 14.2 毕奥— 萨伐尔定律
• 毕奥— 萨伐尔定律 • 毕奥— 萨伐尔定律的应用
§ 14.3 磁高斯定理 安培环路定理 § 14.4 磁场对载流导线的作用 § 14.5 霍尔效应
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1
1. 毕奥— 萨伐尔定律（ Biot-Savart Law）
31
3. 长直螺线管内的磁感应强度
模型：螺距为零，视为 一系列平行圆电流紧密
排列。（I，n given）
...............
r B
B - Symmetry?*
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
I
B内、外z =0 （z 垂直螺线管的轴）
B内 在一条线上相等
B外在一条线上相等
...............
只对稳恒电流适用上海交通大学 董占海
20
2. 无限长直载流导线验证安培环路定理
a. 电流穿过环路
∫LBv
⋅
v dl
=
∫L
B
cosθ
dl
B = μoI 2π r
cosθdl = rdϕ
I
L
B
dϕ
θ
r
dl
∫ ∫ ∫ Bv
⋅
v dl
=
L
μ o
I
⋅ rdϕ
= μoI
2π r 2π L
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4. 螺线环内的磁感应强度
I, N
模型：很细(R1-R2<<R1,2=R)
o R1
螺距为零，视为一系列平行圆 电流紧密排列。
R2
（I，n given）
n= N 2π R
× ××
×
×
B- Symmetry?
∫v B
L
⋅
v dl
=
μo
∑
I
×
·· ··
×
· ×·
R· × ·
× ×
· ·
· ··
× ×
B ⋅ 2π R = μo NI
z
B
=
∫ dB
=
∫
μ0 4π
Idz sin θ
r2
o θ1 a p
z = −a ctanθ
dz
=
a sin 2
θ
dθ
θ r = sina 上海交通大学 董占海
4
z
θ2
Idzr θ rr
z
o θ1 a
∫ B = μ0 θ2 I sin θ adθ
4π θ1 a 2 / sin 2 θ sin 2 θ
θ2
B
=
μ0I 4π a
(cos
θ 1 − cos
θ2)
特例：无限长
B = μ 0I 2π a
Idzr θ rr
z
o θ1 a p
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3
直电流的磁场
z
θ2
(I,
θ1,θ2 and
r dB
=
μ0
4π
a given)
Id
r l
×
rr
r3
dB =
μ0 4π
Idzsinθ
r2
Idzr θ rr
电流的符号规定：
当电流方向与积分路径
的绕行方向构成右手螺
旋关系时电流为正，反
I4
之为负。
∫l
r B
⋅
r dl
=
μ0
(−I1
+
I
2
−
I3
)
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I3 I2 I1
L
19
N次链套：
∫l
r B
⋅
r dl
=
Nμ0 I
∫l
r B
⋅
r dl
=
Nμ0 I
∑ Ii = I1 − 2I2
(穿过L )
2
β2 → 0
B
=
1 2
μ0nI
Bm/2
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β1
β2
p
Bm B
l
x
12
— 运动带电粒子的磁场
r
r
r
Idl r B=
d=Bvqn=V?Sdl
= qdNV
r dB
dN
= μ0 4π
= μ0
r Idl
×
rr
r3 r qdNV
×
rr
4π
此为dN
r3
个载流子产生
r dB
一个载流子产生
q
r B
∫ =
μ0 I 4πa
θ2 s i nθ d θ
θ1
p
B
=
μ0I 4π a