【学习课件】第二章概率论与数理统计

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二、离散型随机变量
1、定义 ： 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 X为离散型随机变量。称
P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的概率分布律或概率分布。通常表示为
X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，
里试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为 n,p的二项分布。记作X~B（n,p),其概率分布律 为：
C P { X k } k p k ( 1 p )n k ,k 0 ,1 ,...,n . n
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例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个 交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率 都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
随机变量的特点:
(1)随机变量的全部可能取值是互斥且完备的。 (2)随机变量的部分可能取值描述随机事件。
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1、 掷 一 粒 骰 子 ， 用 X表 示 掷 出 的 点 数 ，
X(),， 则 X是 随 机 变 量 。
X3表 示 掷 出 的 点 数 不 超 过 3。 将 X看 做 样 本 空 间 上 的 函 数 ， 则 Xj{|1,2,...,j}
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例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从
参数为3的泊松分布。求：
（1）恰好接收到5次呼唤的概率；
（2）接收到不超过5次呼唤的概率。
解:设X表示电话总机接收到的呼唤次数，则
X~P(3),即 P Xk3ke 3,k0,1,2, .
P{X5}35e3
k!
0.1008.
5!
通过MATLAB计算：poisspdf(5,3)0.1008
P { X 1 } P { A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ..5p.(1p)4
P { X 2 } P { A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . .C. 52P2(1P)3
P { X k } C 5 k p k ( 1 p ) 5 k k 0 ,1 ,.5 ..
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Hale Waihona Puke Baidu
例2.设一射手对目标独立射击5次，每次命中目标的 概率均为p。用X表示命中目标的次数，求X的概率 分布律。
解：设Ai={第i次射击时命中目标}i=1,2,3,4,5。 则A1,A2,…A5,相互独立，且P(Ai)=p,i=1,2,…5.
P {X0 }P (A 1A 2A 3A 4A 5)(1-p)5
2、 进 行 5次 独 立 重 复 试 验 ， 试 定 义 一 个 随 机 变 量 来 描 述 事 件 ： 1） A{试 验 成 功 一 次 } 2） B{试 验 至 少 成 功 一 次 } 3） C{至 多 成 功 3次 }
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随机变量的分类：
离散型随机变量
随机变量 非离散型奇异连 型续 （型 混合型）
k!
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上题用泊松定理 取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.
（3） 泊松(Poisson)分布P()
X～P{X＝k}＝ k e , k＝0, 1, 2, …
k!
(0)
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泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
或
X
x1
x2
… xK
…
X~
Pk
p1
p2
… pk
…
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2. 分布律的性质 (1) pk 0, k＝1, 2, … ;
(2) pk＝1. k 1
例1 设袋中有5只球，其中有2只白球3只黑球。 现从中任取3只球(不放回)，求取的白球数X为k
的概率。
解 k的所有可能取值为0，1，2
P{X＝ k}＝C2kC C5333k， k0,1,2
第二章随机变量
• 随机变量与分布函数 • 离散型随机变量 • 连续型随机变量 • 一维随机变量函数的分布
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一、随机变量
定 义 ： 设 是 随 机 试 验 E的 样 本 空 间 ， 如 果 X是 定 义 在 上 的 一 个 单 值 实 函 数 ， 且 对 于 任 意 实 数 x,
{:X()x}是 随 机 事 件 ， 则 称 X为 随 机 变 量 。
解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则X～B(400, 0.02)，故
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…
泊松定理设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P {Xk}ke, k0,1,2,...
解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:
P {Xk}C 6 k 1 3 k 3 2 6k k0,1,.6 ..,
( 2 )P { X 5 } P { X 5 } P { X 6 }
C6513532136
13 729
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例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 次，试求其命中次数不少于2的概率。
P { X 5 } 0 .9 1 6 1
(注 ： 在 M A T L A B 中 输 入 命 令 p o i s s c d f ( 5 , 3 ) )
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例6. 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次 数，求X的概率分布律。
解:m=1时, P { X k } (1 p )k 1p ,k 1 ,2 ,...
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3、几个常用的离散型分布
（1） (0-1)分布 若用X表示一次试验中事件A发生的次数，则称X
服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1
或
X1
0
pk p 1 p
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（2）设将试验独立重复进行n次，且在每次试验 中，事件A发生的概率均为p。若用X表示n重贝努
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{Xm}pm
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且
在前m次试验中成功了m-1次}