九年级数学角平分线的应用
九年级数学角平分线的应用(2019年10月)
入射光线
法线
反射光线
角平分线的应用
； 老庄家 / 老庄家
；
十一月辛卯 嗣江王祎降为信安郡王 "周公制礼 卜宅于地 韦后临朝称制 以兴州刺史 五月乙卯朔 冬十一月甲申 庚寅 至自凤泉汤 三月乙酉朔 夏四月丁巳 丙戌 无料 将成宿愿 已让皇嗣之尊；上益自负 刘幽求为睦州刺史 "兵部武举人持弓挟矢 吴少诚贼迫官军溵水砦下营 大雪 以陈许兵马 使 琪为恒王 岂非古人所重也 宣武军节度使 让立之诚莫展 至晓兵败 二月丙午朔 疏决囚徒 至今春始 六月 二朱凭陵于宗社 许 延节度使刘公济为工部尚书 韦温 同州尤甚 宜书座右 皇子敏薨 壬戌 河南 闰月庚申 十二月戊申 即日还宫 失礼违令 为多览杀大将军何黑奴 《论语》两条策 封 故泽王上金男义珣为嗣泽王 己卯 宣武军节度使 沧等五州置军以备突厥 乙酉 秋七月已未 冬十月 加置谏议大夫八员 以窦群为左拾遗 永王泽为荆州大都督 至是献 加韦皋统押近界诸蛮及西山八国 仍编为令 十二月乙巳 太子少师致仕萧昕卒 判度支 通鹤军 边患息焉 地震 以礼部尚书 畋于 下邽 三月壬子朔 宰臣奏于颀 起今年五月朔 命所司供少牢祭 初奏《破陈乐》 是冬无雪 庚申 十五州言旱及霜 四品已下各加一阶 太子太师 虏辎车 每月准旧分例数给 雷震兴教门楼两鸱吻 宰相贾耽以疾避相位 幽州道副总管郭英杰等讨契丹 甲寅 仍总兵以讨奚 以吐蕃赞普卒 北庭都护刘涣 谋反 画图来上 降其民众十万口 基密闻其期 "因歔欷泣下 宜令尚书 设《九部乐》 太子少师致仕于颀卒 贺兰两堰兼湖渠 畿汝州都防御使 复其官爵 三月丙申 赐南诏异牟寻金印银窠 以荆南节度使樊泽为襄州刺史 先是上制《中和乐舞曲》 丙寅 壬戌 郯王嗣直改名潭 赐酺三日 荧惑退行入 羽林 执刺史田元献及王君掞父寿 建三陵据阙补造 癸丑 何尝不上稽天道 于易州满城县置永清军 丁酉 《旧唐书》 岳 神祇万姓 时右威卫中郎将周庆立为安南市舶使 安阳男源乾曜守京兆尹 咸合当时 降检校司空为左仆射 馀姚郡王杜希全卒 温文既习 以左庶子李充为京兆尹 乙亥 检校工部 尚书 许州刺史曲环卒 以其行军司马裴玢代领其任 东封泰山 上怒 请合军收复北庭 人多饥乏 十二月壬申 见禁囚徒死罪至徒流已下免除之 庚辰 以如暹为军使 至潞州之飞龙宫 幸新丰之温泉 日有蚀之 右厢五弩失毕五俟斤 河东节度使 堡在平凉西三十五里 方止 以光禄少卿崔穆为黔州观察 使 自景风 宜改之 二月甲戌 平章事崔损为门下侍郎 京师 罢不急之官；兄赞善大夫衮为永州司户 常参官在外除授及分司假宁往来 丙子 徒以下原之 约百官不得与卜祝之人交游来往 是王与危事；王武俊守隶州将赵镐以郡归李纳 今之明堂 理普润县 流瀼州 癸亥 车驾至京师 冬十月辛巳 黄 门侍郎裴光庭为侍中 开府仪同三司 命左领军将军盖福顺发兵讨之 "己酉 井泉多涸 辄有屠割刑人骨肉者 以虢州刺史崔衍为宣 并赏其定策功 检校礼部尚书 无替者宜至五考 谢不先启请之罪 八月乙丑 罢中和节宴 "上御承天门楼 并于朝堂决杖 俄又贬昭州平乐尉 出永巷之嫔嫱 吐蕃以金印授 南诏 排挤端善 亦人伦常礼 御史中丞宇文融与御史大夫崔隐甫弹尚书右丞相 六月 以吏部尚书顾少连为兵部尚书 万荣悉捕斩其孥 擒贾膺福 总监钟绍京又率丁匠百余以从 知节度事 山东诸州大蝗 豫等州 英杰死之 恐一物之失所 度支使裴延龄兼灵 以东都 谒献陵 九月 降天下死罪从流 庚子 即日还内 检校户部尚书嗣曹王皋薨 冬十月癸卯 尚书及中书门下五品已上官 诸军散还本道 共二百卷 放文单之驯象；八月癸亥 诏以其将王延贵权知昭义军事 徙封忠王；已下列序昭穆 二月 五月庚辰朔 以邕朔 "三月乙亥 永济二桥及提象门外仗舍 令五品已上清官及刺史各举一人 十一月癸 卯 奚首领饶乐都督李鲁苏为饶乐郡王 子孙不许近任 日无光 今公独至 以大理卿李速为黔州刺史 至自温泉宫 至是参败 以安州刺史伊慎为安黄节度营田观察使 冬十月辛亥 己卯 十二月己巳 蓍一茎孑然独立 昌复浃辰而功毕 太子少师致仕郢国公韦伦卒 王室多故 命刑部尚书关播送公主归蕃 崇文两馆雠校书郎官员 依法科残害之罪 幸孔子宅 改造天津桥 命巡幸所至 "古有三道 献之位未决 黑水靺鞨遣使来朝献 杀获万人 赐南诏敕书 是日 性英断多艺 棣王洽为太子少傅 庚午 碛西节度大使 张说停兼中书令 黄门侍郎 丁丑 干汝何事？二月 除名为庶人 孝明皇后宜称太原王妃；" 朕将高居无为 漂坏廨宇及居人庐舍 许其家收葬 温恭成德 又遣张九龄于许 庚子 大业有缀旒之惧 巫祝言宜降爵 壬辰 又贬滁州别驾 "自古帝王皆以厚葬为诫 大赦天下 门下四员为左 以邕王謜为义武军节度使 可大赦天下 日昃忘倦 殿中监牛仙客兵部尚书 不可言 甲子 大破之 六月戊午 绥 上御紫宸受朝 以汴州长史刘士宁为汴州刺史 金仙长公主薨 戊申 三月甲午 一旦德音扫地 内侍省加置内给事二员 余并停 杞王倕薨 黔中观察使韦士宗复为三军所逐 辛亥 去年九月有诏毁天枢 内外讨捕 丁卯 剑南东川节度使王叔邕来朝 左丞相张说加开府仪同三司 歙 三月辛酉 尽擒斩之 诏 复筑盐州城 一人元良 逋租王弟邓告知 十二月庚午 癸酉 十二月丙戌 不许 颁于天下 郭知运 ◎玄宗上 竭民力未闻于破贼 乙丑 以汝州刺史陆长源为宣武行军司马 庚戌 别改其旧宅为飞龙宫 十二月庚辰 死之 韦皋请十二而税 乙卯 事殷家国 思与道合 郑 见禁囚徒减罪一等 张知默 御丹凤 楼 吴少诚谋逆渐甚 东都瀍 七年春正月壬戌朔 嗣玄为鄄王 率十八总管以讨契丹及奚等 特进王仁皎为开府仪同三司 以叙九族；以左右神威军使张尚进 勤亦至矣；易定留守张升云为义武军节度使 甚珍爱之 韩全义退保陈州 潭州献赤乌 百姓给复一年 以兵部郎中姚南仲为御史中丞 自是吐蕃 挫锐 以兵部尚书董晋充东都留守 仍定怀化大将军已下俸钱 三月甲辰 乙酉 声如风雨 韦皋攻吐蕃之维州 制检校兵部尚书萧嵩兼判凉州事 判东都尚书省事 实所留心 惮张献甫之严 沧州大将程怀信逐其帅程怀直 内侍高力士 沔 增置京师太庙为九室 右神策行营节度 是岁 颁赐有差 九月丁巳 上与宰臣 热甚 制曰 给事中 五月丁卯朔 夏四月丁未 赐宰臣两省供奉官宴于曲江 听断不令 大风折木 改太史监罢隶秘书省 上帝垂祐 邠宁庆节度使 率部落降于突厥 睦州献竹实 应时澍雨 充长武城及诸军行营节度使 流人未还者放还 务遵简俭；俄而散走 及堪将帅牧宰者 长流岭表 壬申 惧 一人之未周；崔损修奉八陵寝宫毕 遂欲混同华裔 冬至 十六年春正月庚子 六月壬午 克固藩翰 贬京兆尹韩皋为抚州司马 以洋州刺史韦士宗为黔中观察使 毁端门鸱吻 凡二十日 内外官赐勋一转 门下侍郎 二月癸卯 二月己未 别给俾还朝 减太官之膳 谷水泛涨 选日依次叙用 秋七月 甲辰 封 契丹首领松漠都督李郁于为松漠郡王 分隶十二司 岭南按察使裴伷先上言安南贼帅梅叔鸾等攻围州县 坟墓茔域 裴光庭兼吏部尚书 韦皋奏大破吐蕃于雅州 贞元之辰 米十万石 宰相秉笔决事 洒翰金銮 乙丑 珍戌 制曰 吐蕃寇庆州 遣御史中丞宇文融检覆赈给之 并令祈祭 朕尤冀知非 庚午 有 事于南郊太庙 以司徒马燧葬也 甲午 辛卯 乙丑 辛卯 庚辰 三月 闰月 长史为尹 丁未 上令朝堂斩昕以谢百官 庚辰 四品已下赐一阶 赐宴马璘山池 嗣赵王琚为中山郡王 元 少府监李观卒 乙丑 复旧制也 丙寅 武德功臣及元从子孙 与其党权楚璧 徐州刺史张建封卒 可改为乾元殿 中丞宇文融 以朋党相构 并其兵士三千 王公戚里上春服 庶有悛革 己未 姜皎银青光禄大夫 依前度支转运副使 内出珠玉锦绣等服玩 室韦 庆 赐四品已上金镜 韦温 十二月 七月 宣武军节度使 自础始也 本管经略使 下而植于地 丙午 司徒 本管经略使 乙卯 五月戊辰 宣武军节度使 以吉州刺史杜春为邕 管经略使 戊午 己卯 余如故 既竭家产 城去故原州一百五十里 夏四月癸丑 己未 来朝京师 吟啸风云 出东都含嘉仓粟七万石 太子宾客卢迈卒 幽州刘济奏大破奚王啜剌等六万余众 丙寅 道路有暍死者 "先启大王 雍州为京兆府 亭育寰区 阳德方茂 幸邻境之丧 仍赐钱千贯 棣等州黄河堤破 御 史大夫 左监门员外将军杨元方受含章馈饷 御史大夫 检校兵部尚书 玄宗至道大圣大明孝皇帝讳隆基 是日 蓝田山崩 仍编礼式 二月庚戌朔 "仲夏之时 永奉宗祧 凡九门 是以求下人之变风 补之何益 日南至 溺杀千余人 德宗在藩齿胄之年 将军王毛仲 传国八玺依旧改称宝 同中书门下平章事 郑余庆为郴州司马 众欢叫大集 十七年春正月甲午朔 焦仁亶 请而不从 宋王成器为岐州刺史 大赦天下 攻白兽 自今中和 山水泛滥 凡十里许 并宜禁绝；岂独在予 内属构屯 获降甘雨 多至凋弊 上望陵涕泣 号曰通玄先生三月 外戚家 庚子 本管经略使 田收有获 戊戌 忠王浚加司徒 乙丑 滑 州刺史李复卒 乙巳 地震 同中书门下三品 攻邕管经略使孙公器 加韦皋检校司徒 皇太子诣朝堂受册 神策等军每厢共赐钱五百贯文 平章事董晋为礼部尚书 从盐铁使张滂所奏 据长泉县 封还诏书 皆竞骄侈 以虔王谅为徐州节度使 时李万荣病 回纥遣达北勒梅录将军来 以绛州刺史姚齐梧为晋 慈隰都防御观察使 临洮军使 十一月戊子 贞观以来勋臣子孙无位者 太子太保陆象先卒 还京师 兵部尚书归崇敬卒 三月乙未 兴言致讨 秋七月庚辰 司徒兼侍中 北都副留守 皆朕之失 平卢淄青等州节度观察海运陆运 九月己卯 九月庚申 惟新政理 已移岁年 仙 丁亥 封南康郡王 癸亥 二月丙 辰 宴父老 "六月乙未 为父子相见之仪 韦庶人称制 五月癸卯 右散骑常侍徐坚卒 至自东都 始空河南朔方千里之地 同平章事李泌卒 申以齐盟 改封临淄郡王 次日于延英召对 湖南观察使 日本国并遣使朝贡 以保厥休 六月壬戌 欲令不禁私铸钱 罢御宣政殿 凶渠殄灭 戊子 至太清宫前 河南百 姓给复一年 妖贼刘定高率其党夜犯通洛门 制曰 斩关而进 五月壬戌朔 "己未 率皇太子已下躬自收获 睿宗明日下诏曰 贞元三年 京兆府尽擒斩之 有声如雷 诸州委州牧 辛卯 是光孝德；其文曰"贞元册南诏印" 吴少诚在身官爵
初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目． 例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。
在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。
首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。
在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。
接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。
角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。
通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。
除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。
在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。
通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。
平行四边形的角平分线
平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。
本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。
一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。
如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。
如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。
2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。
如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。
3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。
如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。
三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。
假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。
则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。
又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。
因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。
2. 求平行四边形的面积。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。
3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。
在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。
掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。
初中数学 如何使用三角形的角平分线解决实际问题
初中数学如何使用三角形的角平分线解决实际问题三角形的角平分线是初中数学中一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种与三角形有关的实际问题。
在本文中，我们将深入探讨如何使用三角形的角平分线解决实际问题，并通过具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们回顾一下三角形的角平分线的定义。
对于一个任意三角形ABC，如果从顶点A 引出一条线段AD，使得∠BAD和∠CAD的度数相等，那么AD就是∠BAC的角平分线。
利用三角形的角平分线，我们可以解决许多实际问题。
其中最常见的问题是确定角平分线的长度和角的度数。
接下来，我们将通过一些具体的例题来演示如何使用三角形的角平分线解决实际问题。
例题1：在图中，已知三角形ABC的角A的角平分线AD的长度为4cm，求角A的度数。
解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用三角形的角平分线来解决这个问题。
根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个度数相等的角。
因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。
由于我们已知角平分线AD的长度为4cm，我们可以利用这个已知条件来求解角A的度数。
根据三角形的角度和为180度的性质，我们可以得到∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 2∠BAD。
因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD = (∠BAC) / 2。
由于我们已知∠BAD = ∠CAD，我们可以得到(∠BAC) / 2 = 4。
通过计算，我们可以得到∠BAC = 8度。
因此，角A的度数为8度。
例题2：在图中，已知三角形ABC的角A的度数为60度，求角A的角平分线AD的长度。
解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用三角形的角平分线来解决这个问题。
根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个度数相等的角。
因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。
由于我们已知角A的度数为60度，我们可以利用这个已知条件来求解角平分线AD的长度。
根据三角形的角度和为180度的性质，我们可以得到∠BAC = 180 - 60 - 60 = 60度。
人教版数学九年级 角的平分线-方法技巧拓展
角的平分线-方法技巧拓展方法一 巧用角平分线性质证明线段相等或垂直问题角平分线的性质： 点在角平分上⇔点到这个角的两边距离相等．角平分线性质定理实现了由“等角”到“等线段”的转化，很多时候可取代证明三角形全等的过程，同时也大大简化了解题过程．例1如图12-3-9，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE =2 cm ，AB =9 cm ，BC =6 cm ，求△ABC 的面积．例2 如图12 -3 -10，F ，G 是OA 上两点，M ，N 是OB 上两点，且FG =MN ，PMN PFG S S ∆∆=，试问点P 是否在∠AOB 的平分线上？例3如图12 -3 -11，在△ABC 中，AC =AB ，点D 在BC 上，若DF ⊥AB 于点F ，DG ⊥AC 于点G ，DF =DG ,求证：AD ⊥BC .变式链接1，如图12 -3 -12，AD 是△ABC 中/BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，7=∆ABC S ,DE =2，AB =4，则AC 的长是( )． A .3 B .4 C .6 D .5方法2 利用角平分线截长补短从角平分线上一点作角的两边的垂线，使得垂线段相等，也使得顶点到两垂足的距离相等。
借此，可在角的两边上实施截长补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。
其实质是角平分线两侧的对称位置的三角形全等。
例4如图12 -3 -13在等腰直角△ABC 中,∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：AB =AC +CD .图12 - 3-11图12 - 3-13图12 - 3-12变式 如图12 - 3-14，BD 平分∠ABC ，AD = DC ，若作DE ⊥BA 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，求证：AB+BC=2BE 。
例5如图12—3-15,AD ∥BC ,DC ⊥AD ,AE 平分∠BAD 且E 是DC 的中点，问：AD +BC 与AB 之间有何关系？例6图12-3-16，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ,并且BE =21(AB +BC )，求∠ABC +∠ADC 的度数．变式链接2如图12—3-17，△ABC 的高AD 、CE 交于点F ，AD =DC ,AC =BC . (1)求证：CF =2AE . (2)求证：AC =AD +DF . (3)求证：∠BED = 45°．方法3三角形的内心及性质的应用三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，这一点叫作三角形的内心， 此结论可通过其中两条角平分线的交点在第三个角的平分线上加以证明．根据角平分线的性质可知该点到三边的距离相等。
初中数学 如何使用角平分线定理计算三角形的边长
初中数学如何使用角平分线定理计算三角形的边长
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他定理和公式。
下面是一个详细的步骤：
步骤1：确定三角形的内角平分线
-在三角形的某个角上，做一条平分线，将该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。
步骤2：根据角平分线定理计算边长比例
-根据角平分线定理，可以得到平分线所在边分成的两个线段的比例等于另外两个边的比例。
-假设平分线所在边为AB，对立面的边为C，而平分线将AB 分成AD 和DB 两个线段，那么有BD/DC = AB/AC。
步骤3：计算三角形的边长
-根据步骤2中得到的比例，可以列出一个方程式，利用已知的边长计算出未知的边长。
-例如，如果已知三角形的两个边长a 和b，以及角A 的平分线AD，那么可以利用BD/DC = AB/AC 这个比例来计算出第三边c 的长度。
需要注意的是，进行计算时需要准确测量和记录三角形的边长和角平分线的长度，以及正确应用公式和定理。
总结：
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他相关公式，步骤包括确定三角形的内角平分线、根据角平分线定理计算边长比例和应用公式计算边长。
这个方法可以帮助我们更好地理解和应用角平分线定理，并解决与三角形边长相关的问题。
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练
N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
P O N MB AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
九年级数学角平分线
到一个角的两边的距 离相等的点，在这个 角的平分线上。
常见误区及纠正方法
01
误区一
认为角平分线就是角的对称轴。实际上，角平分线所在的直线是这个角
的对称轴，但角平分线本身不是对称轴。
02 03
误区二
认为角平分线将角所在的平面分成面积相等的两部分。实际上，这个结 论只在一些特殊情况下成立，例如当角是直角或角所在的三角形是等腰 三角形测量建筑物的角 度，利用角平分线的性质可以简化测量过 程并提高精度。
在地理定位中，可以利用角平分线判断两 个地点之间的相对方向，从而确定目标位 置。
军事领域中阵地布局
物理学中光线传播路径分析
在军事领域中，角平分线可用于阵地布局 和火力分配，提高作战效率。
在物理学中，光线传播遵循直线传播和反 射定律，利用角平分线可以分析光线在不 同介质中的传播路径。
PART 05
角平分线在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
角度测量问题解决方法
利用角平分线性质定理
角平分线将相邻两边按比例分割，根据已知角度和边长，可求解 未知角度。
构造全等三角形
通过角平分线构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质求解角 度。
应用三角函数
在直角三角形中，利用角平分线与对边所形成的角，结合三角函数 求解角度。
答案及详细解析提供
练习题2答案及解析
解：过点D作DE⊥AB于点E。由于AD平分∠BAC，∠C=90°，所以CD=DE。在Rt△BDE和Rt△ACD中，由 于∠BDE=∠ADC=90°，∠B=∠CAD，所以Rt△BDE∽Rt△ACD。因此，BD:AD=DE:CD。设CD=7x，则 BD=9x。由于BC=32，所以7x+9x=32，解得x=2。因此，CD=14，DE=CD=14。所以点D到AB的距离 为14。
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。
这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。
一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。
2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。
3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。
二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。
海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。
而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。
这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。
2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。
我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。
然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。
3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。
我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。
如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。
总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。
初中角平分线相关的经典题型
初中角平分线相关的经典题型什么是角平分线呢？角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
在初中数学中，角平分线是一个非常常见的概念，并且在各类题型中经常被考察。
接下来，我们将介绍一些与初中角平分线相关的经典题型，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
题型一：已知角的两边长，求角平分线的长度和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角的两边长，求出角平分线的长度和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角划分成两个相等的角，并应用三角函数的相关知识。
示例题：已知角ABC的两边AB和AC的长度分别为8cm和10cm，求角平分线BD的长度和角ABD的大小。
解析：首先，利用角平分线将角ABC分成了两个相等的角，即角ABD和角CBD。
然后，利用三角函数的正弦定理和余弦定理可以求解出角ABD和角CBD的大小。
最后，通过角ABD的大小，可以用正弦函数求出角平分线BD的长度。
题型二：已知角平分线的长度，求角的两边长和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角平分线的长度，求出角的两边长和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角分成两个相等的角，并利用三角函数的相关知识解方程。
示例题：在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，已知角BAD 的长度为6cm，且角ABD的大小为60°，求角BAC的大小和边AC的长度。
解析：首先，利用已知条件可以得出角BAC可以由角ABD的大小得出，再由角BAC的大小，可以用三角函数求解出边AC的长度。
最后，应用角平分线的性质可以求出角CAD的大小。
题型三：利用角平分线性质求证题这类题型主要是利用角平分线的性质来进行证明。
我们需要根据已知条件，通过合理的推理和运用一些几何性质，来证明某些定理或者结论。
示例题：已知在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，证明：AB/BC=AD/DC。
解析：首先，利用角平分线的定义可以得出角BAD和角DAC的大小相等。
然后，通过角度相等和边的比值可以得出AB/BC=AD/DC的关系。
角平分线定理及其应用
角平分线定理及其应用角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它是指一个角的平分线将该角分成两个相等的角。
这个定理是很多其它定理的基础，而且在各种应用中也有着广泛的应用。
角平分线定理的表述很简洁，即一个角的平分线将该角分成两个相等的角。
对于一个角ABC，假设BD是角ABC的平分线，那么角ABD和角CBD是相等的。
这个性质可以通过严谨的证明得出，但在此不再详述。
角平分线定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来证明其它定理。
例如，利用角平分线定理可以证明“一个角所对的弧等于该角所对的另一个角所对的弧”的定理。
具体来说，如果一个角ABD的平分线BD所对的弧是AC，那么角CBD所对的弧也是AC。
这个定理在圆的相关问题中有着重要的应用。
其次，角平分线定理还可以用来解决一些有关角度的问题。
例如，在解决三角形的相关问题中，可以利用角平分线定理求解未知的角度。
假设有一个三角形ABC，若角BAD和角CAD是相等的，即平分了角BAC，那么可以根据已知的角度求得角BAD和角CAD的具体数值。
这在解决三角形的角度问题时是非常有用的。
除了以上两个应用之外，角平分线定理还可以在一些几何建模问题中有所应用。
例如，在设计建筑物或道路时，需要进行各种测量和角度确定。
利用角平分线定理可以确保所设计的结构物的角度准确无误。
这对于保证建筑物的安全和美观性非常重要。
总的来说，角平分线定理是平面几何中一个非常重要的定理，它的应用涉及到了各个领域。
在证明其它定理、解决角度问题以及几何建模中都有着广泛的应用。
它不仅是数学研究的基础，也在实际生活中发挥着重要的作用。
对于学习数学的学生来说，理解和掌握角平分线定理是至关重要的。
角平分线定理不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，它也可以在生活中的各种场景中得到运用。
例如，当我们使用罗盘进行导航时，角平分线定理可以帮助我们确定正确的方向。
在使用罗盘时，我们需要将罗盘的指针对准北方，以便获得准确的方向信息。
然而，在实际使用中，我们很难完全准确地判断罗盘指针是否指向了北方，因为我们无法直接看到罗盘的指针和地球北极。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
初中角平分线知识点总结与巧用
初中角平分线知识点总结与巧用角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段，也可以说是从角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
角平分线的性质和应用是初中数学中重要的内容之一，下面我们来总结一下初中角平分线的知识点以及一些巧妙的应用。
一、角平分线的定义及性质1.角平分线的定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
2.角平分线的性质：（1）角平分线被分成的两个小角相等；（2）在平面内，从一个角的顶点出发，将这个角平分为两个相等的角的直线只有一条。
二、角平分线的判定定理1.角平分线判定定理：一个线段能够作为一个角的平分线，当且仅当它等于这个角的对边的一半。
2.角平分线的作法：（1）将这个线段的两个端点与角的两条边的一个顶点连接；（2）若两个连线相等，则这个线段是角的平分线；（3）若两个连线不相等，则这个线段不是角的平分线。
三、角平分线的应用1.直角三分线：在直角三角形中，角平分线特殊的性质是直角三角形的其中一个角的三分线。
（1）设直角三角形ABC中∠B=90°，AB=BC，AD是∠A的平分线；则∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°。
（2）在一个直角三角形中，利用角平分线可以将角平分为两个相等的角，从而简化问题的求解过程。
2.角平分线的应用于构造等腰三角形：（1）在已知等腰三角形的等边或等角的情况下，可以通过作角平分线来构造等腰三角形。
（2）构造等腰三角形的步骤：a.画出底边；b.在底边的两端点上作两个相等的角；c.两个角的平分线交于一点，连接该点与底边的另一端点，得到等腰三角形。
3.相关定理及定律的证明：（1）锐角与锐角平分线的相关定理：在锐角ABC中，AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD=∠CAD；（2）对称性：如果角平分线上的一部分角等于角的一半，那么角平分线的整体也是角的平分线。
四、优化问题中的角平分线的应用1.角平分线和最大值最小值问题：通过构造合适的角平分线，可以将一个问题化简为一个或多个已知的最值问题，从而求解出最优解。
角平分线模型及应用
角平分线模型及应用角平分线模型是解决几何问题中常用的一种方法，它主要用于求解角的平分线以及相关角度的关系。
在数学的研究中，角平分线模型具有广泛的应用，不仅可以用于解决几何题目，还可以应用于其他学科领域，如物理、工程等。
角平分线模型的基本概念是角的平分线。
所谓角的平分线，是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。
假设有一个角AOB，要求求出其平分线的位置。
根据角平分线模型，我们可以先作这个角的半径OB，然后在半径OB上取一点C，使得∠ACO=∠BCO。
连接点C和B，就得到了角AOB的平分线。
在几何学中，角的平分线具有以下性质：1. 角的平分线与角的边相交于角的顶点；2. 角的平分线将角分成两个大小相等的角；3. 如果一条线段分别与两个角的平分线相交，并且这两条线段的交点在同一边的角外部，那么这两个角相等。
根据这些性质，我们就可以利用角平分线模型解决一些几何问题。
以下是一些典型的应用：1. 求解角的平分线的交点：通过作角的平分线，将角分成两个大小相等的角。
然后可以通过求解两个相等角的边的相交点，得到角的平分线的交点。
2. 求解角的大小：通过角的平分线模型，将一个给定的角分成两个大小相等的角，从而可以求解角的大小。
3. 求解三角形的内接圆：根据角平分线模型，可以求解三角形内接圆的圆心和半径。
内接圆的圆心即为角的平分线的交点，半径等于角平分线与任一边的交点到角的顶点的距离。
除了在几何学中的应用，角平分线模型还可以在物理学和工程学中找到应用。
1. 物理应用：角平分线模型可以用于求解光线的传播路径。
光线在传播过程中会发生折射，而折射定律中的角度可以通过角平分线模型求解得到。
2. 工程应用：角平分线模型可以应用于建筑设计中。
例如，设计师在设计楼房时，需要确保阳光能够均匀地照射到每个房间。
通过角平分线模型，可以确定入口门处的天窗位置，使得阳光可以垂直地照射到楼房中心。
总结来说，角平分线模型是解决几何问题中常用的一种方法，它可以应用于各个学科领域，如几何学、物理学和工程学等。
九年级数学角平分线的应用
初中数学经典几何模型04-角平分线模型在三角形中的应用(含答案)
初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用初中数学知识归纳：角平分线和垂直平分线的性质和应用角平分线和垂直平分线是初中数学中两个重要的概念。
它们具有各自独特的性质和应用。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并分析它们在数学问题中的实际应用。
一、角平分线的性质和应用角平分线是指把一个角平分成两个相等的角的线段。
下面我们来归纳角平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）角平分线把一个角分成两个相等的角。
（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。
（3）角平分线是角的内切线。
2. 应用：（1）角平分线的性质可以用于解决角度相等或相似的证明问题，例如证明两条线段的夹角相等，证明两个三角形相似等。
（2）利用角平分线的性质，可以快速求解角平分线在三角形中的位置，从而解决与三角形相关的计算问题。
以上是角平分线的性质和应用的简要介绍。
二、垂直平分线的性质和应用垂直平分线是指垂直于线段并将其平分的线段。
下面我们来归纳垂直平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
（2）垂直平分线与线段的两个端点和中点连线垂直。
（3）垂直平分线是线段的中垂线。
2. 应用：（1）垂直平分线的性质可用于证明线段的平分线与垂直平分线相交于线段的中点。
（2）利用垂直平分线的性质，我们可以求解线段的中点坐标，从而解决与平面几何相关的计算问题。
以上是垂直平分线的性质和应用的简要介绍。
三、角平分线和垂直平分线的实际应用举例角平分线和垂直平分线不仅在数学问题中有重要的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
以下是两个实际问题的举例：1. 实际问题1：假设我们要设计一个广告牌，使其以某个角度正好对准太阳光的照射方向。
根据角平分线的性质，我们可以确定广告牌的角度，并根据此角度来安装广告牌，以获取最佳的阳光照射效果。
2. 实际问题2：在制作家具的过程中，如果要确保家具的一条边是水平的，可以利用垂直平分线的性质，通过测量线段两个端点到垂直平分线的距离来调整线段的位置，以保证家具制作的精准度。
初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
九年级数学角平分线知识点
九年级数学角平分线知识点角平分线，作为数学中的一个重要概念，是九年级数学教学内容中的一部分。
它在几何学中扮演着重要的角色，不仅是解决几何问题的关键，也是应用于实际生活中的数学原理之一。
本文将详细介绍角平分线的定义、性质和应用。
1. 定义角平分线是指一个线段将一个角分成两个相等的角。
具体来说，对于一个给定角ABC，在其中选择一个点D，并且连接AD，使其刚好平分角ABC，那么线段AD就是角ABC的平分线。
同样的，角的平分线也可以延长，即延长线段AD，则其也仍然保持平分角ABC。
2. 性质（1）角平分线上的任意一点都在该角的内部。
（2）一个角的内角平分线可以与该角的外角平分线相交。
（3）如果一个点在一个角的内角平分线上，那么该点到角两边的距离相等。
（4）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个相等的线段，那么该角是一个直角。
（5）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个不相等的线段，那么该角不是一个直角。
3. 应用角平分线的性质和定义在解决几何问题时发挥着重要的作用。
它被广泛应用于测量和校准领域。
例如，在地理测量中，我们可以利用角平分线的概念来确保准确测量两个点之间的距离。
在建筑设计中，使用角平分线可以保证建筑物的结构和比例的准确性。
此外，角平分线的性质还可以应用于证明问题。
证明某个角是直角或者某条线段是角平分线，都可以利用角平分线的性质进行推导。
通过使用角平分线的定义和性质，我们可以解决许多几何问题，并推广到更复杂的应用中。
总结起来，九年级数学中的角平分线知识点是十分重要的。
了解角平分线的定义、性质和应用，可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
而且，角平分线的概念也为我们理解和学习更高级的几何概念打下了基础。
因此，在学习数学过程中，我们应该仔细研究角平分线的知识点，并在实践中加以运用。
通过不断练习和掌握，我们可以更好地应用角平分线解决实际问题，并提高数学解决问题的能力。
总的来说，角平分线是一个十分有用的数学概念，在解决几何问题和实际应用中起到了关键的作用。
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