初三数学-有关圆的经典例题

有关圆的经典例题

1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC

2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，

如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂

（1）求证：△ABC 是直角三角形；

()22

求的值AD BC

3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）

A A

B CD B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22

C AB CD

D AB CD ..⋂=⋂

⋂⋂

22与的大小关系不确定

4.

如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ==

=1

4

1求CD 的

长。 5.

如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB

⋂

于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？

()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂

=

6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB

BC BC O >

1

2

D 作半圆的切线交AB 于

E ，切点为

F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。

分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。 解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，

∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，

在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ， ∴AD

x =23

则∠tan ADE AE AD x x =

==

2233

3

点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上，

（1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ；

（2）如下图，如果AD 是⊙O 2的一条弦，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，那么CO 2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD 是⊙O 2的直径，连结公共弦AB ，则∠A=∠C ，∠DBA=90°，问题就可以得证。

（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看，AC 等于CD ，到底AC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙O 1上，连结AO 2、DO 2、BO 2，可得∠1=∠2，且有△AO 2C ≌△DO 2C ，故CA=CD ，可得结论CO 2⊥AD 。

解：（1）证明，连结AB ，AD 为直径，则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90°

又∵∠BAD=∠C ，∴∠D+∠C=90° ∴∠CO 2D=90°，∴CO 2⊥AD （2）CO 2所在直线与AD 垂直， 证明：连结O 2A 、O 2B 、O 2D 、AC 在△AO 2C 与△DO 2C 中

∵，∴，∴∠∠O A O B AO BO 222212=⋂=⋂

=

∵∠O 2BD=∠O 2AC ，又∠O 2BD=∠O 2DB ，∴∠O 2AC=∠O 2DB ∵O 2C=O 2C ，∴△AO 2C ≌△DO 2C ，∴CA=CD ， ∴△CAD 为等腰三角形， ∵CO 2为顶角平分线，∴CO 2⊥AD 。

例8. 如下图，已知正三角形ABC 的边长为a ，分别为A 、B 、C 为圆心，

以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面a

O O O O O O O O O 2

123122331⋂⋂⋂

积S 。（图中阴影部分）

分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解：S a S a a ABC

△扇，×·===3433628

222ππ()

∴阴

S a a a =-=-348238

222

ππ

此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都A B C

为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a

2

()

分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，

因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为

，π

8

2a

原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A 1、⊙A 2、⊙A 3…⊙A n 相外离，它们的半径都是1，顺次连结n 个圆心得到的n 边形A 1A 2A 3…A n ，求n 个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解：()n -22

π

一、填空题（10×4=40分）

1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。

2. 圆接四边形ABCD 中，如果∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。

3. 若⊙O 的半径为3，圆外一点P 到圆心O 的距离为6，则点P 到⊙O 的切线长为___________。

4. 如图所示CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB 于M ，则可得出AM=MB ，AC BC ⋂

=⋂

等多个结论，请你

按现有的图形再写出另外两个结论：___________。