简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导

问题：质量为m 的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由 端。如图（a ）所示,

将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑， m 物体将作往复 运动，试求位移x 与时间t 的函数关系式。

j

■

E 0 C

图（a ）

分析：m 物体在弹力F 的作用下运动，显然位移 X 与弹力F 有关，进 而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F 替 换成关于X 与t 的量，再求解该微分方程。

推导：取物体平衡位置 0为坐标原点，物体运动轨迹为X 轴，向右为 正。设弹力为F,

由胡克定律 ,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。

根据牛顿第二定律，m 物体加速度a 二曲二山‘二【】】二-m x

代入（a ）,得(1)

址2

可令|^= - -J

...................... (2) ..................

d2x d2x 2

—7 2 P + U) dt 二一 3 X 或 dt

X=0 ................. (3) 显然，想求出位移X 与时间t 的函数关系式，须解出此微分方程

(4)式属可将阶的二阶微分方程,

若设X =u ，消去t,就要把把X’转化为关于X 与t 的函数，那么

dX H dudx du

X'' = dt = dxdr 二卫％

du

F 面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 .......................... (6) ....................

dx

再 次 分 离 变 量， ' =dt ⑺

两边积分，右边=t ，但左边较为复杂，

经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：

dr

X=0 ， 2 即 X '' +3 X=0

得

1 2 尹 = -7°2 2 X +C , (5)

u=x ' ‘ Jjci - ,X =7^丄 O >2X 2=E

2 2 2 即 u =-

3 X +C1 Judu =- a?Jxdx

由此可得,

其中 A, ①皆为常数 此方程即为简谐运动方程

若①=0,X-t 为余弦曲线，如图（b ）所示

图（b ）

验证：通过高频照相机拍摄后发现 m 的轨迹为周期摆动的简谐曲线， 与X=A^「t+川）图像基本吻合，故可判断 X=A 』「，t+I ）即为所 求,如图（c ）所示。

运用三角代换，令 dcos z -sin zdz

o>sin z =

二t+C2

即 X=A

3$(5+购 (8)

^C1

X= w

（7）式左边化z

卜軒她ULULWM坤

图（c）

（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）