集合论与图论期中考试
2019 秋图论期中考试卷
中山大学本科生期中考试答案考试科目：《图论及其应用》（A卷）学年学期：2019学年第一学期姓名：学院/系：数据科学与计算机学院学号：考试方式：闭卷年级专业：考试时长：100分钟班别：任课老师:《中山大学授予学士学位工作细则》第八条：“考试作弊者，不授予学士学位。
”------------以下为试题区域，共###道大题，总分100分,考生请在答题纸上作答------------ 对于下面的每个陈述，请给出证明或给出反例否证：1.如果简单图G的每个顶点度数均为2，那么G是一个圈。
2.若图G恰有2个奇度顶点u和v，那么u与v连通。
正确。
证明：反证法。
假设u和v不连通，则u和v在G不同的连通分支中。
根据推论1.1，每个连通分支奇度顶点的数量必须是偶数，因而每个连通分支至少有2个奇度，图G至少有4个奇度顶点。
矛盾。
3.所有树均是偶图。
（注意：只有一个顶点的图既是树也是偶图。
）正确。
证明：设T是树，则T中没有圈，因而也没有奇圈，根据定理1.3，T是偶图。
4.一个有向图G是强连通的当且仅当将顶点集划分成任意两个非空子集S 和T时，都至少存在一条从S到T的弧。
正确。
证明：先证必要性。
如果存在一种划分，使得不存在S到T的弧，则S中的任一顶点u都不存在到T中任一顶点v的路径，和图强连通矛盾。
再证充分性。
设x是图的任一顶点，令S为从x可达的所有顶点的集合，若S不等于V，令T=V-S，由于T非空，因此存在S到T的弧，此时T中必有顶点也是从x可达的，这和S是所有从x可达的顶点集合矛盾，因此S=V，也即x可达图中所有顶点。
由于x是任意顶点，所以图强连通。
5.如果T是赋权图G的一个最小权生成树，那么T中u到v的路一定是G 中u到v的最短路。
6.每个树至多有一个完美对集。
正确。
证明：设树T有两个完美对集M和M’。
考察M和M’的对称差M∆M’，由于M和M’都是完美对集，所以在对称差中，每个顶点的度数只能是0或2，因此每个连通分支要么是孤立的点要么是圈。
集合论与图论SG2017-期中试题-答案(1)
一、（20 分）对于任意集合 A 和 B， （1）证明：P(A)P(B) = P(AB)； （14 分）
对任意的 xP(A)P(B)，有 xP(A)且 xP(B)。即 xA 并且 xB，
则 xAB。所以 xP(AB)。故 P(A)P(B)P(AB)。 （7 分）
对任意的 xP(AB)，有 xAB，即 xA 并且 xB，所以 xP(A)
满射：3!*{4,3} + 4*3! =60 （4 分） 单射: 4*3! + C(4,2)*3*2 + C(4,1)*3 +1 =73 （4 分） 双射： 4*3！=24 （4 分）
得分
四、（20 分）用数学归纳法证明：
任意一个自然数的真子集都和某一个自然数等势。
S={n|nN x( x n m(mN mn))} (6 分)
(2) card P(N) = card N2 （5 分） 证一：同书上证明，子集合的特征函数。 证二：card P(N)= 2^\aleph_0=\aleph_1，card N2=2^\aleph_0=\aleph_1。
(3) 证明 < （5 分） 利用\aleph_0 < \aleph_1。
card NN =card 2N < card P(N) = card N2 （5 分，四者两两之间 6 种 关系每错 1 个扣 1 分）
证明：(1) card NN =card 2N （5 分） 证一：定义双射 H: (NN) (2N)，H(<a,b>)=f，f: 2N，f(0)=a, f(1)=b。 证二：card NN=\aleph_0，card 2N=\aleph_0。
1）S （4 分）
2）nS n+S (2 分 )
(完整word版)离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次是集合论部分的综合练习。
一、单项选择题1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{2}⊆AC．{a}⊆A D．∅∈A4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B∈ A，但B⊄AC．B ⊂ A，但B∉A D．B⊄ A，且B∉A5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．17．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R 的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的8．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的B．对称的C．对称和传递的D．反自反和传递的9．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．310．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如图一所示，若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（ ）．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对12．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A ．8、2、8、2B ．无、2、无、2C ．6、2、6、2D ．8、1、6、113．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>, <b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（ ）不是从A 到B 的函数．A ．R 1和R 2B ．R 2C ．R 3D ．R 1和R 3二、填空题1．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ．2．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是 ． 应该填写：{∅,{a ,b },{a },{b }}3．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为 ．4．设集合A ={0, 1, 2}，B ={0, 2, 4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的关系矩阵M R ＝．5．设集合A ={a ,b ,c }，A 上的二元关系R ={<a , b >,<c . a >}，S ={<a , a >,<a , b >,<c , c >}则(R •S )－1= ．6．设集合A =｛a ,b ,c ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是 ．7．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x ∈A , y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为 ．8．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是 ．5 图一9．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 ．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．设A 、B 、C 为任意的三个集合，如果A ∪B =A ∪C ，判断结论B =C 是否成立？并说明理由．2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．3． 若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．5．设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N→R ，f (x )=x +6，则f 是单射．四、计算题 1．设集合A ＝{a , b , c }，B ={b , d , e }，求（1）B ⋂A ； （2）A ⋃B ； （3）A －B ； （4）B ⊕A ．2．设A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算（1）（A -B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）．3．设集合A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．4．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．5．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．（1）写出关系R 的表示式； （2）画出关系R 的哈斯图；（3）求出集合B 的最大元、最小元．6．设集合A ＝{a , b , c , d }上的二元关系R 的关系图 如图三所示．（1）写出R 的表达式； （2）写出R 的关系矩阵； （3）求出R 2．7．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x , y ∈A ；|x -y |=1或x -y =0}，试（1）写出R 的有序对表示； （2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．五、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．2．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．图一 图二 a d bc 图三3．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．4．若非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，试证明：S R ⋂也是A 上的偏序关系．参考解答一、单项选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B8．B 9．B 10．C 11．C 12．B 13．B二、填空题1．2n2．{∅,{a ,b },{a },{b }}3．{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>4．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110000115．{<a . c >, <b , c >}6．反自反的7．{<1, 1>, <2, 2>}8．{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}9．8三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．解：错．设A ={1, 2}，B ={1}，C ={2}，则A ∪B =A ∪C ，但B ≠C ．2．解：成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2。
集合论图论 期中考试试题及答案
08信安专业离散数学期中考试试题1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A⊆B且C⊆D.证明:A∪C⊆B∪D; A∩C⊆B∩D . (15分)2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分)3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的最小的对称的二元关系. (15分)4.设A={1,2,…,20},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 5)}.证明:R为A上的等价关系. 并求商集A/R. (15分)5.给出下列偏序集的哈斯图,并指出A的最大元,最小元,极大元和极小元. A={a,b,c,d,e},≢A= I A∪{<a,b>,<a,c>, <a,d>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>} (15分)6.设g:A→B, f:B→C.已知g f是单射且g是满射,证明:f是单射. (10分)7.设S={0,1}A, 其中A={a1,a2,…,a n}.证明:P(A)与S等势.(10分)8.证明:任何一组人中都存在两个人,他们在组内认识的人数恰好相等(假设,若a认识b,则a与b互相认识). (10分)期中考试试题解答1.证明: ∀x,x∈A∪C x∈A∩C⇔x∈A∨x∈C ⇔x∈A∧x∈C⇒x∈B∨x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇒x∈B∧x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇔x∈B∪D ⇔x∈B∩D∴A∪C⊆B∪D ∴A∩C⊆B∩D2.解:A∪((B―A)―B)=A∪((B∩∽A)∩∽B)=A∪(∽A∩(B∩∽B))=A∪(∽A∩φ)=A∪ф=A .3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ∀<x,y>,<x,y>∈R∪R-1⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1⇔<y,x>∈R-1∨<y,x>∈R⇔<y,x>∈R-1∪R⇔<y,x>∈R∪R-1∴ R∪R-1是对称关系.再证任何包含R的对称关系一定包含R∪R-1.设R⊆R’且R’是对称关系.∀<x,y>,<x,y>∈R∪R-1⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1⇔<x,y>∈R∨<y,x>∈R⇒<x,y>∈R’∨<y,x>∈R’⇒<x,y>∈R’∨<x,y>∈R’(因为R’是对称关系)⇒<x,y>∈R’.从而R∪R-1⊆R’.4.证明: 设A={1,2,…,20},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y (mod 5)}∀x∈A, x=5k+i,0≢i≢4, ∴x≡x (mod 5), 即xRx;∀x,y∈A,若xRy,即x≡y(mod 5),故有x=5k+i且y=5m+i, 所以有y≡x (mod 5),即有yRx.∀x,y,z∈A,若xRy且yRz,则有x≡y(mod 5)和y≡z(mod 5),即有x=5k+i,y=5m+i且z=5n+i(0≢i≢4),从而x≡z (mod 5) 故有xRz.因为我们证明了G有自反性,对称性和传递性,所以R是等价关系.A/R={{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19},{5,10,15,20}}5. 解:哈斯图见附图(第5题答案).A 的最大元和极大元是e, 最小元和极小元是a.6. 证明:已知g f 是单射且是g 满射.反证法.假设f 不是单射,故存在b 1,b 2∈B,b 1≠b 2,且 f(b 1)=f(b 2)=c.由g 是满射知,存在a 1,a 2∈A,使得g(a 1)=b 1, g(a 2)=b 2. 由于g 是函数且b 1≠b 2,故a 1≠a 2.但是现在有 g f(a 1)=f(g(a 1))=f(b 1)=c=f(b 2)=f(g(a 2))=g f(a 2), 这与g f 是单射函数矛盾.7. 证明:设S={0,1}A ,A={a 1,a 2,…,a n }.P(A)={B|B ⊆A }. 定义特征函数ϕB :A →{0,1},⎩⎨⎧∉∈=Bx B x x B ,0,1)(ϕ 则存在双射f:P(A)→{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.因为∀B ∈P(A),∃唯一的g=B ϕ∈{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.故 f 是P(A)到{0,1}A 的函数.∀B 1,B 2∈P(A),若B 1≠B 2,则f(B 1)=1B ϕ≠2B ϕ=f(B 2),故f 是单射.∀g ∈{0,1}A ,∃B={x|x ∈A ∧g(x)=1}∈P(A),使得f(B)=g= B ϕ,从而f 是满射.综上所述,f是P(A)到{0,1}A的双射. 故P(A)与{0,1}A等势.8.证明:设一组A中有n个人A={a1,a1,…,a n}(n≣2),我们用ϕ(a i)表示a i认识的人数.情形1:A中每个人至少认识同组中的一个人.这时,1≢ϕ(a i)≢n―1, i=1,2,…,n.即ϕ是A到{1,2,…, n―1}的函数.然而|A|=n,|{1,2,…,n―1}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).情形2:A中有一个人a i不认识A中其他任何人,即ϕ(a i)=0.这时,a i以外的每一个人至多认识A中n―2个人.所以0≢ϕ(a j)≢n―2,j=1,2,…,n. 即ϕ是A到{0,1,…,n―2}的函数.然而|A|=n,|{0,1,…,n―2}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).综上所述,在两种情况下,A中都有两个人,他们在组内认识的人数恰好相等.。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
北工大-集合与图论选择题
1、在0 Φ之间应填入（ ）符号。
A 、= ；B 、⊂；C 、∈；D 、∉。
2、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（ ）是错的。
A 、A ⊆Φ；B 、{6，7，8}∈A ；C 、{{4，5}}⊂A ；D 、{1，2，3}⊂A 。
3、下列结论中，( ) 为正确的。
A 、{Ф}∈{Ф,{{Ф}}} ；B 、{Ф}⊆{Ф,{{Ф}}}；C 、Ф∈{{Ф}}；D 、{a,b}∈{a,b,{a},{b}}。
4、下列结论中，( )是正确的。
A 、所有空集都不相等；B 、{Ф}≠Ф；C 、{Ф}=Ф；D 、若A 为非空集，则A ⊂A 成立。
5、设P={x|(x+1)2≤4且x ∈R},Q={x|5≤x 2+16且x ∈R}，则结论（ ）正确。
A 、Q ⊂P ；B 、Q ⊆P ；C 、P ⊂Q ；D 、P=Q 。
6、下列各式中， ( ) 是对的。
A 、{a,b}={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；B 、{a,b,c} ={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；C 、{b,a}={x|x 2-(a+b)x+ab=0}；D 、{b,a}={a,b,c}。
7、设A={1，2，3，4，5}，下面（ ）集合等于A 。
A 、{1，2，3，4，5，6}；B 、}25{2≤x x x 是整数且； C 、}5{≤x x x 是正整数且；D 、}5{≤x x x 是正有理数且。
8、设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，S 5={5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（ ）集合相等。
A 、S 2或S 5 ；B 、S 4或S 5；C 、S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。
9、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（ ）S ⊆。
A 、{{1,2}}；B 、{1,2 }；C 、{1}；D 、{2}。
集合论图论 期中考试试题 2008年11月
关系的传递闭包仍是自反的，因此tr(R)是自反的，因此tr(R)是包含t(R)的自反关系，因此根据闭包
的定义， 。 rt(R) ⊆ tr(R)
反之，由R ⊆ t(R)，自反闭包保持子集关系，因此r(R) ⊆ rt(R)，又t(R)是传递的，而且传递关
系的自反闭包仍是传递的，因此rt(R)是传递的，从而rt(R)是包含r(R)的传递关系，因此根据闭包
六、给定 上的关系 且 是 的倍数 ： 分 A = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 36}
R = { x, y | x, y∈A y x
} (11 )
1. 划出偏序关系R的哈斯图(3分)；
2. 求A的子集B = {3,4,9}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确
界(8分)。
分 ； (2) rt(R) = tr(R)(5 )
分 ，并举例说明有 成立 分 ； (3) st(R) ⊆ ts(R)(5 )
st(R) ⊂ ts(R) (2 )
五、设R是非空集A上的等价关系，定义S = { a, b | ∃c∈A, a, c ∈R ∧ ， c, b ∈R} 证明S也是等价关系。(12分)
// (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
// 结合律 // 吸收律
而C = C ∩ A当且仅当C ⊆ A。
点评：有许多同学直接从 得到 ，这是 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) A ∪ C = A
错误的，将被扣4分。因为对任意集合X, Y, 能得到，因为很显然当X ⊆ Y ∩ Z时总有X
点评：这一题如果说从A = B显然得到P(A) = P(B)将被扣2分，因为出这个题目的本意就是
集合论、图论重要习题100
例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
图论考试试题
图论考试试题图论考试试题在计算机科学领域中，图论是一门重要的学科。
它研究的是图的性质和图上的算法。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论可以应用于网络分析、社交网络、路径规划等领域。
图论的考试试题可以帮助学生加深对图论的理解和应用能力。
一、基本概念题1. 什么是图？答：图是由节点和边组成的数据结构。
节点表示对象，边表示对象之间的关系。
2. 图的分类有哪些？答：图可以分为有向图和无向图。
有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
另外，图还可以分为加权图和非加权图。
加权图的边具有权重，非加权图的边没有权重。
3. 什么是路径？答：路径是图中连接两个节点的边的序列。
4. 什么是连通图？答：连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径。
二、算法题1. 广度优先搜索算法（BFS）是如何工作的？答：广度优先搜索算法从起始节点开始，逐层遍历图中的节点。
它首先访问起始节点的所有邻居节点，然后依次访问邻居节点的邻居节点，直到遍历完所有可达节点。
2. 深度优先搜索算法（DFS）是如何工作的？答：深度优先搜索算法从起始节点开始，沿着一条路径一直向下访问直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，选择另一条路径继续访问，直到遍历完所有可达节点。
3. 如何判断一个图是否是二分图？答：二分图是指可以将图中的节点分为两个独立的集合，使得同一集合中的节点之间没有边相连。
判断一个图是否是二分图可以使用染色法。
从任意一个节点开始，将其染成红色，然后将其邻居节点染成蓝色，再将邻居节点的邻居节点染成红色，以此类推。
如果在染色过程中发现相邻节点颜色相同，则该图不是二分图。
三、应用题1. 在社交网络中，如何找到两个人之间的最短路径？答：可以使用广度优先搜索算法来找到两个人之间的最短路径。
从一个人开始，逐层遍历其朋友圈中的人，直到找到目标人。
在遍历过程中，可以记录路径，最后得到最短路径。
2. 在电信网络中，如何找到两个城市之间的最短路径？答：可以使用迪杰斯特拉算法来找到两个城市之间的最短路径。
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。
一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。
（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。
（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。
（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。
（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。
（）6．欧拉图中没有割点。
（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。
（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。
（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。
（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。
（）二、（20分，每小题2分）计算题。
对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。
（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。
（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。
（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。
D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。
确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。
已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 在图论中，一个图的顶点数为n，那么这个图最多有多少条边？A. nB. n(n-1)/2C. n^2D. 2n答案：B解析：在一个无向图中，每个顶点最多与其他n-1个顶点相连，因此最多有n(n-1)/2条边。
2. 什么是连通图？A. 至少有一个环的图B. 任意两个顶点都可以通过路径相连的图C. 没有孤立顶点的图D. 所有顶点度数都大于0的图答案：B解析：连通图是指图中任意两个顶点都可以通过路径相连的图。
3. 在图论中，什么是哈密顿路径？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有边的路径C. 经过图中所有顶点的回路D. 经过图中所有边的回路答案：A解析：哈密顿路径是指经过图中所有顶点的路径。
4. 什么是二分图？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻B. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点相邻C. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边不相邻D. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边相邻答案：A解析：二分图是指图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻。
5. 在图论中，什么是最小生成树？A. 包含图中所有顶点的最小边数的生成树B. 包含图中所有顶点的最小权重的生成树C. 包含图中所有边的最小权重的生成树D. 包含图中所有边的最小边数的生成树答案：B解析：最小生成树是指包含图中所有顶点的最小权重的生成树。
二、填空题1. 在无向图中，如果一个顶点的度数为n，则该顶点至少有______条边。
答案：n解析：一个顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。
2. 如果一个图是连通的，那么该图至少有______个连通分量。
答案：1解析：连通图的定义是图中任意两个顶点都可以通过路径相连，因此至少有一个连通分量。
3. 在图论中，一个图的色数是指给图的顶点着色，使得相邻顶点颜色不同，所需的最小颜色数。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案离散数学考试试题及答案离散数学是计算机科学和数学中的一门重要学科，它研究的是离散的结构和对象。
离散数学的理论和方法在计算机科学、信息科学、通信工程等领域具有广泛的应用。
下面将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望对大家的学习和复习有所帮助。
1. 集合论题目(1) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∪B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}(2) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∩B的结果。
答案：A∩B={3,4,5}(3) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A-B的结果。
答案：A-B={1,2}2. 图论题目(1) 给定一个无向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求该图的邻接矩阵。
答案：邻接矩阵为：A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，求该图的邻接表。
答案：邻接表为：A ->B ->C ->D ->E -> AB -> CC -> DD -> EE -> A3. 命题逻辑题目(1) 判断以下命题是否为永真式：(p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨¬r)。
答案：是永真式。
(2) 给定命题p：如果天晴，那么我去游泳；命题q：我没有去游泳。
请判断以下命题的真假：(¬p∨q)∧(p∨¬q)。
答案：是真命题。
4. 关系代数题目(1) 给定关系R(A,B,C)和S(B,C,D)，求R⋈S的结果。
《集合与图论》习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
假设u与v间有两条不同的通道(迹)，那么G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：假设δ(G)≥ 2，那么G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，那么G中有回路；(b)假设q≥p+4，那么G包含两个边不重的回路。
14．证明：假设图G不是连通图，那么G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，假设p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，假设p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的外表上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
《集合论与图论》期中考试
《集合论与图论》期中考试（2007年4月30日复旦大学计算机科学与工程系06级）学号姓名成绩一、是非判断题3．非空集合A上不存在二元关系R，使得R既是A上的等价关系，又是A上的偏序关系。
（假）反例：恒等关系。
4．设（A，≤）是偏序集，∅≠B⊆A，若B有上界，则B必有上确界。
（假）反例：（{2，3，24，36}，/）。
二、综合题设R是集合A上的二元关系1）求A上包含R的最小等价关系E的表达式;2）证明E的最小性;3）以A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, R={(1, 2), (1, 3), (4, 4), (4, 5)}为例验证你的结果. （建议评分：15分，每小题5分）/* 解题分析：求A上包含R的最小等价关系，就是求R的自反、对称和传递闭包。
因为st(R)ts(R)，所以E的表达式应该是E=tsr(R)=rts(R)，而E=str(R)=rst(R)是不成立的。
最小性结合闭包的定义进行证明。
*/解：1）E=tsr(R)=rts(R)证明：2）假设P是集合A上包含R的任一等价关系。
因为P是自反的，所以r(R)⊆P；因为P是对称的，所以sr(R) ⊆P；因为P是传递的，所以tsr(R) ⊆P；所以E⊆P，从而保证了E的最小性。
3) E=tsr(R)=rts(R)=rt({(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (4, 4), (4, 5), (5, 4)})=r({(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)})= {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}/*考核知识点：等价关系*/计算中心安排领导和6名青年教师x1，x2，x3，x4，x5，x6值夜班，从周一到周六每个青年教师值一晚，周日领导值班。
集合论与图论 离散数学 模拟题1
一．列式题。
用谓词表示法表示如下集合：1．所有偶数组成的集合AA={x| x∈Z ∧x mod 2 =0}.2．所有奇数组成的集合BB={x| x∈Z ∧x mod 2 =1}.3．10的整倍数组成的集合AA={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}.4．5的整倍数组成的集合BA={x| x∈Z ∧x mod 5 =0}.5．方程x2-1=0的所有实数解的集合B。
B={x|x∈R ∧x2-1=0}6．小于5的非负整数组成的集合A：A={x | x ∈N ∧x < 5 }.二．判断题1．（ F ）包含三个元素的集合A表示成：A=（1，2，3）。
2．（ F ）集合A ={1，2，3}与集合B ={2，3，1}是两个不同的集合。
3．（T ）R=Φ是一个二元关系。
4．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <1, 2>}，则R是A上自反的关系。
5．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>}，则R是A上对称的关系。
6．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<1, 3>}，则R是A上反对称的关系。
7．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>,<2, 2>}，则R是A上传递的关系。
8．（ F ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<2, 3>}，则R是A上传递的关系。
9．（T ）R是R的子集。
10．（T ）设f：A→B是双射，则称f-1：B→A是它的反函数。
这个反函数也是双射的。
三．计算题1．求集合A={1, 2, 3} 的所有子集？答：A的0元子集，只有一个Φ，A的1元子集，即单元集，有三：{1}、{2}、{3}；A的2元子集有三：{1，2}、{2，3}、{1，3}；A的3元子集就是它本身{1,2,3} ，因为A就是三元集。
哈工大2004年秋季学期《集合论与图论》试题答案
《集合论与图论》试题 哈工大2004/2005年秋季学期参考答案一、1．｛2，5，6｝ 2． ３．２４ ４．２４ ５．６ ６．５ ７．２162６８． ９． １０．４122164二、１． ２． rq C 222n n+ ３．{( ４． P ＝2n －1 ５．q －p ＋1６．m ＝n ７．４ ８．()９．不存在 １０．没有零因子，若有零因子,),(,)}a c a b (1),, (2),,,a b N a b N r R n N rn N nr N ∀∈−∈∀∈∈∈∈0a ≠，则存在b ≠0，使得，0ab ob ==由消去律有矛盾 0a =三、（1） p ＝6，q ＝9（2）不一定是平面图。
如K 3,3就不是平面图．（3）G 一定是哈密顿图。
因为对任一对不相邻的顶点,u v V ∈，degu ＋degv ≥p ＝6 G 不是平面图。
因为G 的顶点度数不全是偶数。
四、1.解1：a 与a -1，b 与b -1同阶，故ab 与a -1 b -1＝（ba ）-1同阶。
而（ba ）-1与ab 同阶，故ab与ba 同阶。
解2：设a 的阶为n ，则有111111()()()()nn bab bab bab bab ba bbeb e −−−−−−===L =−)nbab e −；反之，设bab 的阶为n ，即(11=，得1n ba b − e =，而1n a b eb −e ==，所以与bab a 1−同阶，而ab 与同阶。
1bab b ba −=2．设G e ，则由3个元素构成的群如表所示{,,}a b =x e a be e a ba ab e b be a3．因为R 为环，故乘法满足分配律左边＝()()na b a a a b n =+++L 1442443)((ab ab ab a b b b a nb n n =++=+++=L L 14424431442443=右边 个 个 个 五、1.因为F 有四个元支，所以（F ，＋）群的阶为4，由Lagrange 定理知，F 中每个元素对加法的阶只能为1，2，4，又因为元素的特征数只能是素数，所以特殊数只能为2。
(书后作业最后稿)集合论与图论
第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆；c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈； l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =；n) {}φφ=； o){}φ中没有任何元素； p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。
答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===。
4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=。
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。
9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C =。
10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。
(1)(\)\(\)A B C A B C =；(2)(\)()\A B C A B C =；(3)\()()\A B C A B B =。
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《集合论与图论》期中考试
（2007年4月30日复旦大学计算机科学与工程系06级）
学号姓名成绩
一、是非判断题
3．非空集合A上不存在二元关系R，使得R既是A上的等价关系，又是A上的偏序关系。
（假）
反例：恒等关系。
4．设（A，≤）是偏序集，∅≠B⊆A，若B有上界，则B必有上确界。
（假）
反例：（{2，3，24，36}，/）。
二、综合题
设R是集合A上的二元关系
1）求A上包含R的最小等价关系E的表达式;
2）证明E的最小性;
3）以A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, R={(1, 2), (1, 3), (4, 4), (4, 5)}为例验证你的结果.
（建议评分：15分，每小题5分）
/* 解题分析：
求A上包含R的最小等价关系，就是求R的自反、对称和传递闭包。
因为，所以E的表达式应该是E=tsr(R)=rts(R)，而E=str(R)=rst(R)是不成立的。
最小性结合闭包的定义进行证明。
*/
解：
1）E=tsr(R)=rts(R)
证明：
2）假设P是集合A上包含R的任一等价关系。
因为P是自反的，所以r(R)⊆P；
因为P是对称的，所以sr(R) ⊆P；
因为P是传递的，所以tsr(R) ⊆P；
所以E⊆P，从而保证了E的最小性。
3) E=tsr(R)=rts(R)=rt({(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (4, 4), (4, 5), (5, 4)})=r({(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)})= {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,
6)}
/*考核知识点：等价关系*/
计算中心安排领导和6名青年教师x1，x2，x3，x4，x5，x6值夜班，从周一到周六每个青年教师值一晚，周日领导值班。
其中x1不安排在周一值班，x2不安排在周二值班，x3不安排在周三值班。
问：共有多少种不同的安排值班方法？
解：全集为U，A 表示x1安排在周一值班的值班安排集合，B表示x2安排在周二值班的值班安排集合，C表示x3安排在周三值班的值班安排集合。
则安排值班方法=|U|-|A⋃B⋃C|=|U|-(|A|+|B|+|C|-|A⋂B|-|A⋂C|-|B⋂C|+|A⋂B⋂C|)
|U|=6!=720
|A|=|B|=|C|=5!=120
|A⋂B|=|A⋂C|=|B⋂C|=4!=24
|A⋂B⋂C|=3!=6
安排值班方法=426
/*考核知识点：容斥原理，排列*/
矩形被分为3⨯7=21个正方形，每个正方形用红色或黑色着色。
证明存在非简单子矩形（非1⨯k或k⨯1），4个角的正方形颜色相同。
解：设共有3行，7列牌。
将同一列的两个同色的牌称为“同色对”。
根据鸽笼原理，每一列至少有一个同色对，所以整个矩形含有7个同色对，每列一个。
再根据鸽笼原理，至少有4个同色对的颜色完全相同，不妨设有4个红色的同色对。
同色对在一列中有3种可能，再次根据鸽笼原理，这4个同色对至少有两个在列中具有相同的位置。
这两个同色对的4个牌确定的矩阵满足条件。
/*考核知识点：鸽笼原理*/
平面上有n(n≥2)个圆，任何两个圆都相交但无3圆共点，问这n个圆把平面划分成多少个不连通的区域？
解：n个圆把平面划分成a n个不连通的区域
a0=1, a1=2, a2=4, a n= a n-1+2(n-1) (n≥2)
a1=n2-n+2 (n≥2)
/*考核知识点：递推关系*/。