2012年春七年级数学兴趣小组第四讲

2012年春七年级数学兴趣小组

第四讲 简单的几何入门

一、知识清单

1、平面上几条直线两两相交，最多可有()1231_____n +++++= 个交点。

2、在钟表上，分针每分钟绕中心旋转的角度是___________，时针每分钟绕中心旋转的角度是_________。

3、一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角_________。

4、方位角：规定以_______，_______为基准，向上为_________，向下为_________，向东为_________，向西为_________。

5、几何学习就是要常练。掌握基本图形的性质，能从复杂图形中简化出基本图形，同时还要注意基本图形的变异，谨防考虑不周。

二、典例分析

1、学会归纳，探究计数规律

例1．下面是按照一定规律画的一列“树型”图：

经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出______个“树枝”

例2．（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明.

（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系；

（3）平面上有n 条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n 条直线分一个平面所在民的区域最多，记为n a ，试研究n a 与n 之间的关系。

2、谨防图形的不同位置关系，应用分类讨论

例3．已知∠AOB=80O ，过O 作射线OC （不同于OA ，OB ），满足

3

5

AOC BOC ∠=∠，求∠AOC 的大小（题目中所说的角都是小于平角的

角）

3、巧设未知数，列方程解几何问题

例4．已知A 、O 、B 在同一条直线上，1

302

AOC BOC ∠=∠+︒，OE 平分∠BOC ，求∠BOE 的度数.

例5．小明晚上6点多外出购物，看手表上时针和分针的夹角是110O ，接近7点时回到家，发现时针和分针的夹角又是110O ，问小明外出用了多少时间？

4、熟悉定理公理体系，掌握用“推理”进行说理

例6．如图，E 是DF 上一点，B 是AC 上一点，∠1=∠2，

∠C=∠D ，求证：∠A=∠F.

例1图

例2图

例3图

例4图

例6图

A

例7．如图，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于E 、G ，∠AEM=∠DGN ，∠1=∠2，试探究EF 与GH 的位置关系，并证明.

5、探求本质，发现不变值

例8．如图所示，∠DAB+∠ABC+∠BCE=360O （1）说明AD 与CE 的位置关系，并说明理由；

（2）作∠BCF=∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若∠F 的余角等于2∠B 的补角，求∠BAH 的度数；

（3）在前面的条件下，如图所示，若P 是AB 上一点，Q 是GE 上任一点，QR 平分

∠PQG ，PM ∥QR ，PN 平分∠APQ ，下列结论：①∠APQ+∠NPM 的度数不变，②∠NPM 的度数不变，可以证明，只有一个正确的，请你作出正确的选择并求值。

例9．已知线段,AB m CD n ==，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧，C 在D

的左侧），若2m n -与()2

6n -互为相反数。

（1）求线段AB ，CD 的长；

（2）M ，N 分别是线段AC ，BD 的中点，若BC=4，求MN ；

（3）当CD 运动到某一时刻时，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，

下列两个结论：①

PA PB PC +是定值；②PA PB

PC

-是定值。可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择并画图求值。

6．适当添加辅助线，让题设与结论沟通起来

例10．如图甲，AA 1∥BA 2，求∠B 1—∠A 1—∠A 2的值.

甲

乙

【学找切入点】从图形直观分析，答案必然是确定的。有理由猜想答案大概为0，即

∠A 1+∠A 2=∠B 1。因此猜想常受直觉启发，但必须经过严格证明，因此将∠B 1通过平行线进行分割。

【解】过B 1点B 1E ∥AA 1，将∠A 1B 1A 2分成两个角∠1、∠2，如图乙所示。

甲、乙两同学从此题证明中发现，问题实质在于AA 1∥BA 2，它与连接A 1、A 2两点

之间的折线段无关。因此，如图丙，甲同学将A 1、A 3之间的折线段增加到4条A 1B 1，B 1A 2，A 2B 2，B 2A 3。仍然有∠A 1+∠A 2+∠A 3=∠B 1+∠B 2.如图丁所示，乙同学发现∠A 1+∠A 2+……+∠A n =∠B 1+∠B 2+…+∠B n-1，即向右凸出的角之和=向左凸出的角之和。

丙

丁

你认为他们的想法对吗？

例8图

例7图

例11．已知AB ∥CD ，P 为AB 、CD 之外一点.

（1）如下图，试探求∠B 、∠C 、∠P 之间的数量关系(直接写出答案

)

① ② ③

（2）如下图，AB ∥CD ，试探究图中所画各角之间的关系.(直接写出答案

)

①

②

③

④ ⑤ ⑥

三、实战演练

1．如图，l ∥m ，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则_____α∠=度.

2．将五边形纸片ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在E /、D /，已知∠AFC=76O ，则∠CFD /=_______

3．某综合性大学拟建校园局域网络，将大学本部A 和所属专业学院B 、C 、D 、E 、F 、G 之间用网线连接起来。经过测算，网线费用如图所示（单位：万元），每个数字表示对应网线（线段）的费用。实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为______万元。

4．在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角是1时_______分.

5．正五边形方场ABCDE 的周长为2000米，甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发

绕方场沿ABCDEA 的方向行走.甲的速度为50米/分钟，乙的速度为46米/分钟，则出发后经过_____分钟，甲、乙第一次行走在同一条边上。

6．C 是线段AB 的中点，D 是线段CB 上的一点，如图，若所有线段的长度都是正整数，且AB 的所有可能的长度的乘积等于140，则线段AB 的所有可能的长度之和为___________.

7．将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如图，那么∠1=______度.

8．钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值为_______.

9．如图，直线l 上有A 、B 两点，AB=40 cm ，点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以1cm/s 的速度匀速平移

.

（1）当PA+PB=50 cm 时，求P 点运动时间及线段PB 的长。

（2）如图，C 为l 上一点且BC=10 cm ，在点P 从A 点出发的同时，线段BC 沿l 向点A 匀速平移，当点P 运动到AB 的中点时，线段B /C /（线段BC 平移后对应线段）也恰好被P 点平分，求线段BC 平移的速度。

10．某火车站的钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上9点35分20秒时，时针和分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？

11．已知∠AOB=60O 。（1）已知OC 在∠AOB 内，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，求∠EOD 的度数；（2）OC 在平面内绕O 点旋转，其余条件不变。∠EOD 的值与（1）中比较会不会改变？若变化，求出变化结果；若不变，说明理由。（注意分析各种情况，另

我们讨论的角均为小于平角的角）

12．用100条直线将平面分成n 部分，①若n=200，试找出一种分割的方案；②若

200300n <<，试找出一种分割方案，并说明理由。

第1题

第2题

第3题

第6题

第7题