傅里叶积分变换

P .V .


f ( t )dt lim
R
R
R
f ( t )dt
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
8 October 2018
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课程
第六章傅里叶积分变换
由定义
(1)函数在普通意义下收敛，在主值意义下必收敛， 在主值意义下收敛，在普通意义下未必收敛； (2)若函数为偶函数则意义一致；
l x 2
i n x l
由欧拉公式 : e cos x i sin x cos
, .
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Fra Baidu bibliotek
n e sin x l
e 2i
i
n x l
a0 n n f ( x ) (a n cos x bn sin x) 2 n 1 l l 1 l n 其中： a n f ( ) cos( )d , l l l 1 l n bn f ( ) sin ( )d . l l l
CH 6 傅里叶积分变换
1、傅立叶积分
2、 傅立叶变换
3、傅立叶变换的性质 4、卷积及傅立叶变换的应用
1
第六章傅里叶积分变换
§ 6.1 傅立叶（Fourier）积分


1.主值意义下的反常积分
2.Fourier积分公式
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e 2 e 2i
i
d , d .
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i
n l
i
n l
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第六章傅里叶积分变换
a0 1 l e iwn e iwn e iwn x e iwn x 1 l e iwn e iwn e iwn x e iwn x f ( x ) ( f ( ) d f ( ) d ） 2 n 1 l l 2 2 l l 2i 2i

(cn e

iwn x

l
l
f ( )e iwn de iwn x )
1 iwn iwn x lim ( f ( ) e d e w n ) w n 0 n - 2 wn w 1 iw iwx [ f ( ) e d ] e dw 2

第六章傅里叶积分变换
a0 e f ( x ) (an 2 n 1
i
n x l
e 2
i n l
i
n x l
bn
n l
e
i
n x l
e 2i
i
n x l
)
1 l e 其中： an f ( ) l l 1 l e bn f ( ) l l
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第六章傅里叶积分变换

例1 计算 I e 解:
I 2

( iw ) t
dt ( 0, w为实常数 ).
R
0
e
( iw ) t
dt 2 lim e ( iw ) t dt
R 0
1 2 ( iw ) t R 2 lim ( e ) . 0 iw R iw
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第六章傅里叶积分变换
2. Fourier积分公式
( 3)函数f ( t )可以为实变量复值函数 ，即f ( t ) u( t ) iv( t ), 则



f ( t )dt u( t )dt i v ( t )dt .



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n 设wn ,将系数代入得： l
整理后得复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
iwn x ( c e n )
n -
1 其中： cn 2l

l
l
f ( )e iwn d（n 2,1,0,1,2） .
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第六章傅里叶积分变换
定义2：
若设： F (w) 1 即称f ( t ) 2
f (t ) 1
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第六章傅里叶积分变换
2) 非周期函数的傅里叶级 数
周期 非周期 则 w n
f ( x ) lim
1 w n l l n -
l

l
l
0
1 ) lim ( l n - 2l
1）周期函数的傅里叶级数 (周期为 2l )
a0 n n f ( x ) (a n cos x bn sin x) 2 n 1 l l 1 l n 其中： a n f ( ) cos( )d , l l l 1 l n bn f ( ) sin ( )d . n n i x i x l l l l l n e e ix
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第六章傅里叶积分变换
1. 主值意义下的反常积分
定义1 设函数 f ( t ) 在实轴的任何有限区间上
R R
都可积.若极限 lim R f (t )dt 存在,则称在主
值意义下 f ( t ) 在区间( , )上的反常积分 收敛,记为：