数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透

数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透
湖北省长阳土家族自治县第二高级中学 刘军华 443500
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。

在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。

这样就把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

借助数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

笔者将从几个方面来体现数形结合思想的优越性和重要性。

【问题1：函数的最值】
1．（2006浙江卷）对R b a ∈,，记函数⎩⎨
⎧
=a b a a b a ,,|,|max 则函数)(||2||,1||max )(R x x x x f ∈-+=的最小值是。

【分析】方法一：写出函数的表达式，求分段函数的最小值。

方法二：根据函数的意义，这是一个所谓“取大”的问题。

我们只需画出函数|1|+=x y 和|2|-=x y 的图象，则两个函数图象上方的折线部分即为)(x f 的图象，观察易得在21处取得最小值2
3。

2．（2006辽宁卷）已知函数|cos sin |21)cos (sin 21)(x x x x x f --+=
，则)(x f 的
值域是( )
A.]1,1[-
B.]1,22[-
C. ]2
2,1[- D. ]22,1[-- 分析：本题与题1为同一类型，即}cos ,min{sin )(x x x f =，R x ∈可，这是一个所谓“取小”的问题，仿上题直接画图求出值域为]22,
1[-。

3．函数1362222+-++
-=
x x x x y 的最小值为________。

分析：抓住式子的几何意义，写成
2222)20()3()10()1(-+-+-+-=x x y ， 转化为动点)0,(x P 到定点)1,1(A 和)2,3(B 的和最小,即5||||||1=≥+AB PB PA ，所以函数的最小值为5。

【问题2：方程根的个数】
1．(2010全国卷)直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是 __________。

分析：由直线与曲线的有四个交点转化为方程 1||2=+-a x x 有四个根，再转化为直线a y -=1
与曲线||2x x y -=有四个交点，画出图象便可观察
到只需0141<-<-a ，则a 的取值范围为451<<a 2．若直线k x y +=与曲线21y x -=分析：曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），
k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像
如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2
-=k 或11≤<-k 。

3．方程lg sin x x =的实根的个数为（ C ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4
1- a -=1
分析：把方程根的个数转化为两函数 x y lg =与x y sin =图象的交点个数。

【问题3：不等式的解集】 1．（2009江西卷）若不等式2)2(92-+≤-x k x
，则=k __________。

分析：问题转化为],[b a x ∈时，曲线(922≥=+y y x 始终位于恒过定点)2,2(--的直线2)2(-+=x k y
的下方。

观察图象知2=k 。

2．对一切实数x 不等式|1||2|x x m ++->恒成立，__ __。

方法一：根据绝对值的几何意义可知，|2||1|-++x x 表示数轴上的点到－1与2两点的距离之和。

方法二：利用分段函数|2||1|)(-++=x x x f 的图象。

方法三：利用||||||b a b a +≥+|，则3|2||1|≥-++x x , 所以3<m 。

3．若x ∈()12，时，不等式()log x x a -<12恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A. （0，1）
B. （1，2）
C. （1，2]
D. [1，2] 分析：画出函数图象观察，我们看到2=a 时为
临界状态，且此时满足条件，又因为1>a ，所以可得 21≤<a 。

合的思想可以做到事半功倍，而且越来越多的高考题也在考察学生此方面的能力。

借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，借助函数图象解决与函数相关的问题。

从以上例子可体会到转换数与形的三条途径：① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

一方面是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助x 2log (-=x y
于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合。

在解题时充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和直观形式巧妙结合，寻找合理的、简捷的途径解决问题。

正如著名数学家华罗庚所说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。

”代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。