数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透
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数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透
湖北省长阳土家族自治县第二高级中学 刘军华 443500
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。这样就把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。借助数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。笔者将从几个方面来体现数形结合思想的优越性和重要性。
【问题1：函数的最值】
1．（2006浙江卷）对R b a ∈,，记函数⎩⎨
⎧
=a b a a b a ,,|,|max 则函数)(||2||,1||max )(R x x x x f ∈-+=的最小值是
。
【分析】方法一：写出函数的表达式，求分段函数的最小值。方法二：根据函数的意义，这是一个所谓“取大”的问题。我们只需画出函数|1|+=x y 和|2|-=x y 的图象，则两个函数图象上方的折线部分即为)(x f 的图象，观察易得在21处取得最小值2
3。 2．（2006辽宁卷）已知函数|cos sin |21)cos (sin 21)(x x x x x f --+=
，则)(x f 的
值域是( )
A.]1,1[-
B.]1,22[-
C. ]2
2,1[- D. ]22,1[-- 分析：本题与题1为同一类型，即}cos ,min{sin )(x x x f =，R x ∈可，这是一个所谓“取小”的问题，仿上题直接画图求出值域为]22,
1[-。
3．函数1362222+-++
-=
x x x x y 的最小值为________。 分析：抓住式子的几何意义，写成
2222)20()3()10()1(-+-+-+-=x x y ， 转化为动点)0,(x P 到定点)1,1(A 和)2,3(B 的和最小,即5||||||1=≥+AB PB PA ，所以函数的最小值为5。
【问题2：方程根的个数】
1．(2010全国卷)直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是 __________。
分析：由直线与曲线的有四个交点转化为方程 1||2=+-a x x 有四个根，再转化为直线a y -=1
与曲线||2x x y -=有四个交点，画出图象便可观察