3.5 长波近似-b

将 Eeff
1 E P代入，得： 3 0
1 1 P q u E Ω 1 3 0 Ω


u u u
离子晶体长光学波的宏观运动方程
一维复式格子的方程：
d 2u 2 n M u2 n 1 u2 n 1 2u2 n 2 dt d 2u2 n 1 m u2 n 2 u2 n 2u2 n 1 2 dt
P
Pe
离子位移极化
在电场作用下，正、负离子产生相对位移，破坏了 原先呈电中性分布的状态，电荷重新分布，相当于从中 性分子转变为偶极子产生离子位移极化。
离子位移极化
+ + -
+ + -
-
+ + -
-
+ -
u2n-2 u2n-1
u2n u2n+1
u2n+2 u2n+3
p2n-1,2n
2n-1 2n
离子位移极化强度
1 * pa p2 n 1, 2 n p2 n, 2 n 1 q (2u2 n u2 n 1 u2 n 1 ) 2
1 * * q (2u u u ) q (u u ) 2
pa 1 P q u u Ω
2 TO
2 b12 0 b22
黄昆方程的微观系数与宏观参量有什么关系？
（1）对于
0 W
这表示正、负离子仅仅产生静态相对位移
Ｗ，并不振动。此时，黄昆方程（1）式变成：
W
b12 b E 12 E 2 b11 TO
将上式代入黄昆方程（2）式，得到
WT 0 (a ) WL 0 (b) D 0 (c) E 0 (d )
将静电方程与黄昆方程联合求解：
b W b E (1) W 11 12 P b21W b22 E (2)
2 b12 P b22 2 TO
E
其中
b W b E (1) W 11 12 P b21W b22 E (2)
将上式与静电学极化公式比较
P 0 s 1E
可得
s
是离子晶体的相对静电介电常数
b22
b

宏观极化方程
1 1 P q u E Ω 1 3 0 Ω



1 3 0 Ω
b21
q*
1 u E Ω 1 3 0 Ω
b22

P b21W b22 E
黄昆方程
(1)式代表振动方程，右边第一项 b11W为准弹性恢复力，
离子晶体的光学波描述原胞中正负离子的相对运动。
它伴随着极化并与电磁波有强烈的相互作用，并影响长 光学模的频率，从而对离子晶体的电学与光学特性有重 要影响。 本节介绍黄昆的长波方法，讨论由离子晶体的宏观 特性确定长光学模频率。 模型：设每个原胞中只有两个电荷量相等、符号相反的
离子。
离子晶体光学纵波
pa 1 P q u u Ω
晶体总极化强度：
= + + -
1 α P P Pe q u u Eeff Ω Ω
1 α P P Pe q u u Eeff Ω Ω
3.5 长波近似
长声学波近似
声学波
长声学波
u2 n l 1 lim q 0 u 2 n 1
u 1 2 a u 2 u vA 2 2 2 t (m M )( 1 2 ) x x
2 2 2 2
长声学波=介质弹性波
长光学波
光学波
长光学波
为什么要考察离子晶体的长光学波？
即


D b21W L 0 b22 E L 0
又由静电场性质，对于无旋电场
D b21WL 0 b22 E L 0
所以
b21 EL WL 0 b22
b W b E (1) W 11 12 P b21W b22 E (2)
2 b12 b11WL b11WT WL b12 ET 0 b22
对横光学波，若不考虑有旋电场，即在静电近似下，对横电场有
ET 0, ET 0, ET 0
横向光学支格波在晶体中并不引起宏观的极化电场 将上式的有旋场和无旋场分开，得到
b W b E b W (a) W T 11 T 12 T 11 T 2 b12 WL b WL (b) 11 0 b22
底具有哪些特性呢？
LST关系（长光学横波频率与纵波频率的关系）
黄昆方程具有平面波形式的解
W W0 e i ( qr t ) i ( q r t ) PP 0e i ( q r t ) E E0 e
则可以把格波的纵向位移和横向位移分开，即位移W与
波矢q相垂直的部分构成横波WT，位移W与波矢q平行的部
作用于某个离子的有效电场=宏观极化电场-离子自身电场
洛伦兹有效场
对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理 论分析得到： 有效电场
E eff
1 E P 3 0
宏观极化强度
宏观极化电场
极化强度：单位体积内的电偶极矩矢量总和称为极化
强度，用P表示。
离子位移极化 离子晶体的极化 电子位移极化
以u 代替u2 n , u2 n 2 ;以u 代替u2 n1 , u2 n1
作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有
效电场的作用。 则正负离子的运动方程为：
2 u u q Eeff Mu 2 u u q Eeff mu
2 q 3 Ω q 0 u E 2 1 1 3 Ω 3 0 Ω 0

宏观运动方程
2 q q 3 Ω 0 u 2 E u 1 1 3 Ω 3 Ω 0 0
WT WT 0e i qr t WT 0 e i qr t iq WT 0e i qr t iq WT 0(a ) WL e i qr t WL0 iq WL 0(b) D 0 E P 0 (c)
2 TO
b 0 s
2 12
横光学波和纵光学波频率关系
b22 0 1
b 0 s
2 12
2 TO

2 LO
2 2 b12 b12 2 b11 b TO b 0 22 0 22 2 LO s 2 TO
上式表明： 纵波电场趋向于减小纵向位移，从而增加了纵向振动的 恢复力，因此，提高了光学波的纵向频率。
由黄昆方程（1），又可得：
W b W b E W L T 11 12 b b11WL b11WT WL b12 ET 0 b22
2 12
W b W b E W L T 11 12
令u u u
2 u q Eeff Mu 2 u q Eeff mu
由上式 (a ) m (b) M 得:
(a) (b)
折合质量
* 2u q E u eff
mM mM

2 q* q 3 Ω 2 0 E u u 1 1 3 Ω 3 Ω 0 0

b11
W
b12
W b11W b12 E
W b11W b12 E P b21W b22 E
Hale Waihona Puke Baidu
(1)
(2)
第二项表示电场 E 附加了恢复力。 (2)式代表极化方程， b21W 表示离子位移引起的极化，第 二项表示电场 E 附加了极化。
从方程可以看出，格波与宏观极化电场相互耦合在一起。这种耦合波到
分构成纵波WL ：
W WL WT , P P L P T , E EL ET
横波WT是等容波，它不引起晶体体积的压缩或膨胀，其散度为零；
纵波WL是无旋波，其旋度为零；
晶体内无自由电荷，电位移矢量D无散。 横光频模不产生退极化场(忽略横向极化伴随的有旋场)。
因此有以下关系：
+ + + + + + +
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
-
-
+
-
+
正电荷密集区
-
+
-
负电荷密集区
负电荷密集区
纵光学波所引起的电极化
离子晶体光学横波
+ + -
+ + -
+ +
+ + -
-
+ + -
+ +
+ + -
+ + -
+
+
宏观表象：在晶体表面出现极化电荷，对晶体势场干扰微弱
离子晶体的运动方程
离子受到的作用力：准弹性恢复力+电场作用力
因此纵光学波频率ω L总是大于横光学波的频率ω T。
电子位移极化
正负电荷中心重合的分子或原子受电场作用 时，正、负电荷中心产生相对位移，中性分子 （原子）则转化为偶极子，这种过程就是电子 云位移极化。
E
电子位移极化
1 Pe Eeff Ω
原胞内的电子位移偶极矩
+正离子的电位移极化率 - 负离子的电位移极化率



单的关系。
2 LO 2 TO
s
上式称为LST关系，它表示光学波的纵波频率与横波频率之间存在非常简
由此可得两个重要结论： （1）一般说来，静态介电常数包括离子位移极化与电子位移极化两部分 的贡献，但在高频的变化电场中，离子的位移跟不上迅速变化的电场，所 以总有
s
p2n,2n+1
++
2n+1
+ +
-
+
-
+ + -
-
+ -
+ -
u2n-2 u2n-1
u2n u2n+1
u2n+2 u2n+3
p2n-1,2n
2n-1 2n
p2n,2n+1
++ 2n+1
p2 n -1,2n
1 * q (ai u2 n u2 n 1 ) 2
1 * p2 n,2n1 q (-ai u2 n u2 n 1 ) 2
2 12 2 TO
0 s 1
（2）对于光频振动时的介电极化，由于离子的运动跟不上 迅速变化的外力，其位移W＝0，由黄昆方程（2）式，得到
b22 0 1
b22 b
P b22 E 0 1E
高频介电常数

2 12 2 TO
0 s 1
b W b E b W (a) 横向振动方程 W T 11 T 12 T 11 T b 纵向振动方程 WL b11 WL (b) 0 b22
2 12
振动频率：
2 TO b11

2 LO
2 b12 b11 b 0 22